Matematicas y Ajedrez (2017)

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Introducci6n 
Considerado a1 mismo tiempo un juego, un deporte, un arte y una 
ciencia. el ajedrez ha atravesado los siglos agrandando su popularidad y 
expandh�ndose en todo el mundo, a Ia vez que mejoraba Ia calidad de las 
partidas, el interes en su pnictica y su promoci6n, llegando hoy en dia hasta 
los lugares nuis remotes de nuestro planeta. Este desarrollo sin preced.entes 
de este juego milenario se debe sin duda al a vance cultural e informative del 
conjunto de Ia sociedad, pero tambiE!n en gran medida a los avances 
cientificos logrados porIa humanidad en las wtimas decadas. 
Desde los tiempos mas antiguos, en su bU.squeda natural de mejorar sus 
capacidades, el ser humano ha intentaclo establecer conjuntos de reglas para 
Ia pr8.ctica del ajedrez, tratando, de esta manera., de navegar mejor dentro de 
Ia enorme complejidad del juego. Tales reglas, inicialmente basadas en 
simples observaciones pr8.cticas, han adquirido con el tiempo un car8.cter 
sistemlitico y organizado, llevando a teorias y metodos propios de una 
ciencia (por ejemplo, Ia teoria de las aperturas en ajedrez o Ia de los finales 
de partida). Dichas teorias se han enriquecido con el paso del tiempo, yes 
aqui donde las matematicas hanjugado un papel muy significativo en los 
tiempos modemos: Ia posibilidad de una evaluacion sistemAtica y cada vez 
mas precisa de las posiciones de ajedrez, mediante algoribnos 
oomputacionales basados en una valoraci6n numerica de Ia posiciOn y de las 
nuevas posiciones que pueden surgir a continuaci6n, ha mejorado tanto Ia 
comprensi6n humana del juego-ciencia como tambit�n el conjunto de teorias 
anteriormente mencionadas (y sobre las cuales vamos a indagar en mayor 
detalle en los capitulos de esta obra). 
A partir de los comienzos del Renacimiento, y hasta Ia actualidad, un 
gran nllm.ero de cientiticos han sentido fascinaci6n por el ajedrez, atraidos 
por su belleza, profundidad de ideas y enorme complejidad, pero tambien por 
el reto de investigar sus posibilidades de una manera similar a Ia de 
cualquier ciencia establecida. Entre los grandes campeones de ajedrez, sobre 
todo antes de Ia •profesionalizaci6n absolut.a" de los illtimos 30 aiios, se 
encuentran muchos matem8ticos e ingenieros, entre los cuales algunos se 
han dedicado mas a Ia investigaci6n mediante metodos cientificos deljuego 
que a Ia propia competici6n 
Pero, como en cualquier desarrollo cientiftco, tambien en el aJedrez 
surgen algunos aspectos posiblemente negativos en relacion al control y el 
alcance del desarrollo. £n nuestro caso, el reves de Ia mejora de Ia teoria y Ia 
comprensi6n del o,jedrez, y sobre todo de Ia introducci6n de potentes 
m3quinas de c3.1culo en su estudio, consiste en el surgimiento de las 
siguientes preguntas naturales: ;.esta eljuego acabado?, ;.todavia hay 
suticiente campo para Ia creatividad?, t,esbi cerca Ia resoluci6n deljuego, es 
decir, Ia posibilidad de establecer, a traves de las heiTaiiiientas 
computacionales, una estrategia perfecta para ambos bandos desde el 
comienzo basta el final de Ia partida? 
Todas estas preguntas no son nada fliciles de responder.lncluso desde 
antes de Ia aparici6n y del perfeccionamiento de los m6dulos informaticos, 
bubo periodos en los que se creia que el ajedrez ya no escond:ia ideas nuevas 
y que todas las partidas acabarian en tablas. Esta idea, por ejemplo, habia 
cogido fuei-.a entre los ajedrecistas de los aiios veinte del siglo XX, pero Ia 
creatividad humana demostr6 al poco que se trataba de una creencia 
altamente equivocada, y nuevas escuelas de pensamiento su.rgieron 
rapidamente. En cambio, hoy en dia se necesitan argwnentos mas complejos 
para demostrar que eljuego sigue muy vivo e interesante, dado que el poder 
computacional de los ordenadores con m6dulos informaticos para el o,jedrez 
es cada vez mayor. 
Precisamente, el papel que hajugado el desarrollo cientillco, y sobre 
todo el de las matematicas, en Ia evoluci6n del ajedrez es lo que nos 
concieme en estas pciginas. AI empezar con un breve repaso de Ia historia del 
juego-ciencia, el libro esta enfocado desde Ia perspectiva de los avances en 
ajedrez y Ia influencia que han tenido los conocimientos materrnlticos -y las 
fonnas de pensamiento propias de las matetruiticas- en dichos avances. 
El libro esta dividido en cinco capitulos tem3.ticos, cubriendo aquellos 
aspectos del ajedrez en los cuales las ideas matetruiticas han desempeiiado 
un papel importante, desde los origenes del oJedrez basta hoy. 
En el primer capitulo, tras un repaso de Ia evoluci6n del ajedrez basta Ia 
forma actual, se presentan los primeros intentos de los jugadores de oJedrez 
de Ia "epoca romantica" (siglos XVIII y XIX) de establecer algunas reglas con 
bases materruiticas, sobre todo en los finales de partidas. Tam.bien se 
enuncian algunos problemas matenuiticos relacionados con eljuego de 
ajedrez que han suscitado un gnm interes entre las mentes m8s prodigiosas 
de su tiempo, como Euler, Gauss o Cantor, entre otros. 
Por su parte, en el capitulo 2, se indaga en las primeras ideas 
matem3.ticas para construir algoritmos que puedanjugar, a un cierto nivel, al 
oJedrez. A lo largo del siglo XX se han sucedido varias ideas d.iferentes tanto 
en el mundo occidental como en Ia UniOn Sovietica. aunque ya a partir del 
siglo XVIII existia Ia idea de construir nui.quinas capaces de tomar decisiones 
complejas y calcular jugadas con Ia mayor profund.idad posible, como las que 
se necesitan parajugar bien al aJedrez. Oescribiremos las ideas matemB.ticas 
que forman Ia base de los algoritmos, tal y como han sido propuestas por 
matemB.ticos de Ia talla de Shannon o Turing. Estas ideas se han convertido 
posterionnente en bases para Ia nueva rama de Ia inteligencia artificial. 
El tercer capitulo contintia Ia presentaci6n ya iniciada en el capitulo 
anterior y describe los programas actuales de ajedrez. Actualmente hay un 
alto nlimero de m6dulos infonruilicos muy potentes (por ejemplo. Houdini. 
Komodo, Stockfish. Rybka, etc.), cuya fuerza de juego en ajedrez ha superado 
ya desde hace unos aiios a Ia de los mejores jugadores humanos. Todos estos 
programas tienen como base ideas matem8.ticas similares, utilizando una 
estructura de arbol una construccion de Ia Uamada "funcion (materruitica) 
de evaluaci6n" -que asocia a cada posiciOn de aJedrez un nUmero, segtin 
unas ciertas reglas-. procedimientos de optimizacion de Ia blisqueda de 
jugadas implementadas como algoribnos heuristicos para recorrer el arbol 
de variantes y funciones recursivas para llegar a una mayor profundidad en 
su evaluaci6n numerica 
En el capitulo 4, tratare de explicar por que, en mi opinion, el ajedrez 
sigue teniendo un gran futuro por delante. La pregunta de si se puede o no 
"resolver el juego de ajedrez", es decir, encontrar una estrategia perfecta para 
las blancas y para las negras desde Ia primerajugada basta elfinal, es un 
problema abierto, pero Ia mayoria de los especialistas considera que Ia 
respuesta es negativa. al menos a corto y medio plazo. Este hecho se puede 
justificar indagando en Ia complejidad computacional (que se debe a Ia 
cantidad de posibilidades diferentes que surgen tras cada nuevajugada 
posible) del ajedrez y en el aspecto fundamental del valor diferente (y 
relativo) de las piezas. Tambien se hace mendon a que, a pesar de esta 
enorme fueml en el juego practico, dichos prognunas no pueden establecer 
un "juego perfecto'", con Ia excepci6n de algunas posiciones muy 
simplillcadas correspondientes a los finales de partidas. En mi opinion. a 
nuestro juego-ciencia le queda un largo y brillante futuro, yes esa Ia 
principal idea que me gustaria transmitir al lector. 
Por Ultimo, en el capitulo s. como una muestra mlis de las intimas 
conexiones entre IBS matemQ.ticas y el ajedrez, muchos destacados 
ajedrecistas (incluso entre los maestros actuales) han tenido una 
preparaci6n matenuitica y algunos (varios campeones del mundo de ojedrez 
entre ellos) han Uegado a ser a Iavez importantes investigadores en ciertas 
ramas de las matemO.ticas. En este capitulo se realiza una breve presentaci6n 
biognillca de algunos ftguras relevantes del mundo del ojedrez que han 
tenido tambiCn logros notables como cientift.cos, como por ejemplo E. Lasker, 
M. Euwe, M. Botvinnik o J. Nunn. 
A lo largo de Ia redacci6n asumire que el lector o lectora conoce las 
reglas del ojedrez, es decir, el movimiento de las piezas, el enroque,la 
captura al paso. pero nada nuis. Tambien, al tratarse de un libro de 
divulgaci6n y no de un tratado especiftco de ojedrez o de matenuiticas, he 
intentado evitar por completo Ia presentaci6n tanto de variantes concretas 
de ojedrez (jugada a jugada), como de demostraciones matenuiticas o 
descripciones tecnicamente detalladas de algoritmos. Espero que este 
trabojo resulte arne no, se disfrute su lectura y sirva para amp liar 
conocimientos. Si, tras Ia lectura. algUil lector o lectora se interesa en el 
ajedrez o en profundizar algunos aspectos dellibro, el presente ll'abajo 
habni. alcanzado entonces su meta. 
CAPITULO! 
Algunos aspectos historicos 
Los origenes del ajedrez se remontan muchos siglos atnis, cuando en Ia 
India antigua se practicaba un juego de tablero Uamado chaturanga. Este 
juego esta tod.avia envuelto en misterio debido a Ia falta de fuentes 
hist6ricas ftahles de aquella epoca: por ejemplo, aUn se desconoce el nUm.ero 
inicial de jugadores, es decir, si al principio se jugaba entre dos jugadores o 
entre cuatro. Las primeras menciones nos Degan de textos no cientiftcos, 
como el largo y famoso poema religioso indio Mahabharata. escrito en el siglo 
III a C.,y en un libro-crOnica sobre Ia vida del emperador indio Jarsha 
Vardhana (Dana Bhatta. siglo VII d. C.) en el que se describe un 
extraordinario period.o de paz y bonanza en su imperio donde "solo las 
abejas discutian (mientras extraian el nectar), los pies solo se cortaban en 
los versos, y el chaturanga se practicaba sobre el ashtapada". El ashtapada 
parece ser el tablero correspondiente a1 esquema para dos jugadores, con 
casillas del mismo color y con algunas marcas especiales. 
Lo que conocemos a ciencia cierta es que los dos esquemas (para dos y 
para cuatro jugadores) coexistieron durante un largo periodo de tiempo. 
Anteriormente se creia que el chaturanga se habia inventado en un formato 
para cuatro jugadores, y despues habia cambiado al esquema para dos 
jugadores que posteriormente origin6 el ajedrez mod.erno (Forbes,186o). Sin 
embargo, en Ia actualidad se cree que Ia variante para cuatro jugadores fue 
creada a partir del esquema inicial para dos. Tampoco se conocen de forma 
completa las reglas de los juegos, en lo que se reflere a1 movimiento de 
algunos de las piezas (por ejemplo, del elefante, precursor del allll en el 
ajedrez moderno) y a! final de Ia partida (si existia o no Ia regia del ahogado, 
si se podia o no capturar el rey de Ia misma manera que las dermis piezas o si 
Ia meta del juego era dar mate a! rey o capturar todas las dermis piezas del 
jugador rival). 
Figural 
PosiciOn inicial de las piezas en el chaturanga, esquemas para dos y 
cuatro jugadores. 
� � l't' Ill * 1"1' � � � R • � � 146. 
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Existen varias teorias sobre tales aspectos, pero gran parte de ellas 
surgieron extrapolando el movimiento de las piezas en otras variantes 
actuales del ajedrez (el ajedrez chino, el shogi o ojedrez japones, otras 
variantes tailandesas o birmanas, etc.). Tambien, algunos reglas aparecen en 
el tratado de shatranj del maestro linlbe AI-Adli, una obra que se ha perdido, 
donde el autor hace una paralela entre las reglas de juego de diversas 
variantes del ajedrez practicadas en su tiempo. Podemos ver en Ia figura 1la 
distribucion inicial de las piezas sobre Ia ashtapada. en Ia version del 
chaturanga rruis proxima a! ajedrez modemo, y tambien Ia disposicion inicial 
en el esquema para cuatro jugadores. 
AI Uegar a Persia, el esquema para dos jugadores del chaturanga indio se 
convirti6 en un nuevo juego que man tenia esencialmente las reglas del 
anterior, Uamado shatnmj. En esta versiOn, las piezas era.n esencialmente las 
mismas que en el ajedrez moderno, pero sus movimientos eran diferentes a 
las piezas actuales, sobre todo Ia pieza alferLa (el equivalente de Ia actual 
darna), que era muy debil, moviendose solo una casilla en diagonal. Por ello, 
el juego era muy poco dinlimico y las partidas muy largas. Por otro lado, de 
esa epoca (siglos VII-XII) tenemos las primeras clasiftcaciones de los 
jugadores seglin su fuei"La de juego, y, mas importante para nuestro lema, los 
primeros intentos de estudio del shatranj de una fonna metOdica y 
organizada similar a Ia investigaci6n cientiftca En su afin de llegar a una 
fuerza de juego mayor -teniendo en cuenta Ia importancia que tenia en Ia 
epoca Ia clasiftcaci6n de los jugadores-, los maestros lirabes desarrollaron 
las primeras teorias de las aperturas, es decir, estrategias para los comienzos 
de las partidas, Uamadas tabiyas, lo que se traduce por "disposici6n de 
combate'". Obviamente, las teorias entonces establecidas se alejan mucho de 
las del ajedrez modemo, dadas las diferencias fundarnentales en las reglas, 
pero nos queda Ia idea: analizar de forma sistematica las posibilidades 
existentes y tratar de establecer criterios para evaluar las posiciones 
resulta.ntes y decidir Ia mejor opci6n en cada paso. Es decir, exactamente Ia 
misma estrategia que emplean los maestros contemponineos y los potentes 
progra.mas infonn8.ticos de Ia actualidad, sobre los cuales volveremos rruis 
adelante. 
Comienzos del ajedrez modemo 
AI ser tan popular entre los ar..bes, que durante Ia Edad Media 
mantenian bajo su dominio amplios territorios, el ajedrez Ueg6 a Europa 
mediante varios caminos. Uno de ellos fue a b'aves del Imperio bizantino, 
desde donde se extendio a Rusia y a Ia actual Europa del Este, pero quizlis Ia 
via de entrada rrnis importante fue a traves de Ia conquista 8rabe de la mayor 
parte de Ia Peninsula iberica. por lo que el ajedrez llego a Espaiia en el siglo 
IX. Pronto, el juego (todavia en su version antigua. el shatranj) despert6 
mucho interes, en especial en Espafia e Italia.llegando incluso a las Cortes 
Reales. Como prueba de ello, esta el famoso tratado sobre los juegos de 
ajedrez, tablas reales (el conocido como backgammon) y dados, Uamado Libro 
de los juegos (en su transcripci6n original Juegos diversos de axedrez, dados, 
y tablas con sus explicaciones) ord.enado y compuesto en Ia corte del rey 
Alfonso X el Sabio entre 1251 y 1284- De este libro se mantiene un Unico 
original en Ia biblioteca del monasterio de El Escorial y una copia de 1334 en 
Ia Real Academia de Ia Historia. El Libro de los juegos tiene gran importancia 
para Ia investigacion de los juegos de mesa. y del ajedrez en particular, 
siendo probablemente el primer tratado con Ia voluntad de ofrecer una 
presentacion organizada deljuego de ajedrez. Sin embargo, las reglas del 
a,jedrez ba,jo las cuales se escribi6 el libro siguen siendo aquellas de Ia 
version persa, el shatranj. 
A partir del siglo JN,Ias reglas del ajedrez cambian de forma 
fundamental, transforrnandose en aquellas del a,jedrez modemo que 
conocemos hoy. Los principales cambios en las reglas han stdo las 
ampliaciones de los movimientos del pe6n, el alHI y Ia dama, las dos illtimas 
piezas muy dCbiles en el shatra.nj persa (solo se podian mover una casilla en 
diagonal, saltando en el caso del alHI), que se convierten en piezas muy 
dinlimicas y con un amplio espectro de acci6n segUn las nuevas reglas. En 
particular, Ia dama se convierte en Ia pieza mas poderosa dellablero, como Ia 
conocemos actualmente. E1 resultad.o de tales cambios ha sido un enonne 
aumento del dinamismo del juego y, consecuentemente, de su complejidad y 
espectacularidad. Tambien.debido a los cambios en las reglas.las teorias de 
aperturas ya eslablecidas anteriormente por los jugadores de shatranj se 
vuelven obsoletas y el nuevo juego requiere nuevas aperturas, nuevos 
estudios de los finales de partida y, en general, nuevas estrategias. 
Se considera que los cambios de las reglas que han Uevado a Ia 
introducci6n del ajedrez modemo surgieron por primera vez en Valencia, 
probablemente entre los aiios 1470-1490. Como muestra de ello, esta Ia 
primera partida publicada y conocida basta hoy con las nuevas reglas, 
disputada entre Francese de Castellvi (blancas) y Narcis Vinyoles (negras) en 
Valencia, en el aiio 1475, y acabada con Ia victoria de las blancast. Esta partida 
se presenta mediante un poema llamado "Scachs d'amor'" escrito por los dos 
jugadores junto con Bernat Fenollar, que en el poema tiene el papel de 
"arbitro", explicando las reglas, aunque el mismo era un fuerte jugador de Ia 
epoca Poco despues, Francesch Vicent de Segorbe publica el primer libro 
conocido sobre el ajedrez modemo, El Uibre dels Jochs Partits dels Schacs en 
nombre de 100 ord.enat e compost, del que no nos ha llegado ninglin ejemplar 
original basta hoy. Conocemos este libro a ra.iz de las investigaciones 
recientes del historiador y ajedrecista valenciano Jose Antonio GarzOn Roger, 
que ha podido reconstituir el antiguo libro de Francesch Vicent partiendo de 
unos manuscritos encontra.dos en ltalia, publicando sus conclusiones sobre 
el nacimiento del ajedrez modemo en Valencia (Garz6n Roger, zoos). 
Poco despues se publica el primer tratado de ajedrez en castellano, 
escrito por Luis Ramirez de Lucena (rruis conocido como Lucena), titulado 
Repeticion de amores y arte de oJedrez, con 150 juegos de partido, cuya 
primera edici6n apareci6 en Salamanca en 1497. Seglin las investigaciones de 
Jose Antonio Garz6n Roger, se trata de un desarrollo del libro de Francesch 
Vicent, pero Ia cantidad y riqueza de las ideas de ajedrez presentadas en el 
libro resultan impresionantes para aquella epoca. Lucena, considerado uno 
de los mejores jugadores de su tiempo, menciona brevemente en el libro una 
gran cantidad de planteamientos te6ricos de aperturas de ajedrez, muchos 
de los cuales se siguen utilizando hoy en d:ia. aunque, como es obvio, con 
muchas mejoras y nuevas ideas. Tambien en el libro de Lucena se incluyen 
nuevas ideas estrategicas -que todavia se conservan- del med.io juego, es 
decir, aquella parte que surge despues de una apertura, como el estudio de 
algunas estructuras de peones, Ia apertura de lineas y diagonales o Ia 
importancia del desam>llo de las piezas y de Ia lucha por el centro del 
tablero en el comienzo de una partida. Todas elias fueron ideas novedosas en 
su epoca.. y con el paso del tiempo se han convertido en elementales en Ia 
teoria del ajedrez actual. El libro constituye sin duda un enorme avance en Ia 
pnictica del ajedrez y sienta las bases de un estudio met6dico y sisterruitico 
deljuego, similar a los procedimientos de las investigaciones cientiftcas. 
Tambien se conocen partidas de a,jedrez posteriores al libro jugadas por el 
mismo Lucena., y una famosa posiciOn te6rica de los finales de torre, .. Ia 
posiciOn de Lucena", aunque no figura en el libro. 
A partir del libro de Lucena surgi6 un potente y rapido desarrollo del 
a,jedrez, adenuis de un gran crecimiento de su popularidad en el continente 
europeo. Los maestros de Ia epoca se preocuparon por ampliar Ia teoria del 
ajedrez con las nuevas reglas. tanto en las aperturas (comienzos de partida) 
como en los finales de partidas ( posiciones simplifi.cadas, con pocas piezas, 
que son mas f8ciles de estudiar de fonna sisterruitica y cientiftca debido a su 
menor complejidad). Algunos de eUos publicaron sus conclusiones en forma 
de nuevos tratados de ajedrez, siendo uno de los mas conocidos el de Ruy 
LOpez de Segura, Ubro de Ia invencion liberal y arte deljuego del axedrez 
(J.S6t), donde su autor, un espaiiol considerado el jugador mti.s fuerte de Ia 
epoca. fonnalizaba por primera vez las tlltimas dos reglas del e,jedrez 
modemo que aW. no estaban por escrito: el enroque y Ia captura al paso de 
los peones. A partir de Ia publicacion de su Hbro,las reglas del ajedrez 
alcanzan de6nitivamente su fonna actual. 
Figura2 
P;igina del tratado de Lucena, con un diagrama de ajedrez. 
Mlis tarde,la popularidad del '\iedrez se extiende por Europa y aparecen 
escuelas de pensamiento en varios paises, como por ejemplo Ia escuela 
italiana (representada por Gioachino Greco, Ponziano, Polerio, etc.), o 
posterionnente Ia fnmcesa (representada por los "chi.sicos" Philidory 
posterionnente Saint-Amant y La Bourdonnais),luego Ia inglesa, Ia alemana. 
etc. 
Un significative avance en Ia comprensi6n humana del ajedrez se 
alcanz6 a partir del famoso tratado (Philidor, 1749) escrito por Andre Danican 
Philidor (1726-1795), destacado mU.ico y ajedrecista frances, considerado el 
mejor jugador de su tiempo y fundador de Ia escuela francesa de ajedrez. En 
este se amplian las bases estrategicas del juego al introducirse un arnilisis 
sistematico de Ia importancia de las diferentes estructuras de peones y Ia 
movilidad de los mismos, cuesti6n fundamental hoy dia para cualquier 
jugador de competici6n. Su forma de pensar el ajedrez se puede resumir a 
traves de su fam.osa cita "los peones son el alma del ajedrez". Tambien se 
introd.ucen conceptos de estrategia y pensamiento tan presentes en el 
ajedrez modemo como el sacrificio posicional (y Ia compensaci6n), el 
pensamiento profilcictico, etc. Aderruis, Philidor fue el primero en intentar un 
estudio met.6d.ico de los finales de torres, en particular los de torre y peOn 
contra torre, o torrey alfil contra torre, demostrando algwtas tecnicas 
defensivas importantes para alcanzar las tablas, conocidas incluso hoy como 
posicion de Philidor o defensa de Philidor. 
carla una de las escuelas de pensamiento posteriores contribuy6 a Ia 
ampliaci6n de Ia teoria del ajedrez, de tal manera que se introducen muchas 
variantes de apertura y tam bien se empieza. un estudio sistematico de los 
finales de partida, cuyo an8.lisis era (al menos en apariencia) un trabajo m8s 
c6modo para los analistas de Ia epoca. Es verdad que, en Ia actualidad, 
muchos de los an8.lisis de los maestros de los siglos pasados han sido 
refutad.os, pero lo que aqui nos imports. es el estudio de estas dos fases del 
juego (las aperturas y los finales) de una forma met6dica propia de las 
ciencias. 
Ideas geometricas en los finales 
Uegamos asia una de las primeras facetas del ajedrez (por arden 
cronol6gico) donde pensamientos matemtiticos muy elementales 
relacionados con Ia geometria del tablero han tenido una gran importancia 
en el trabajo para establecer una teoria de los finales de partida. Debido al 
nlimero reducido de piezas que quedan en el tablero y, por tanto, al nlimero 
tam bien relativamente bajo de jugadas posibles, en las posiciones de finales 
de partidas Ia estructura geometrica del tablero (con sus lllas, columnas y 
diagonales) facilita Ia comprension de las posiciones y el ca!culo precise de 
las variantes posibles. Por ello, los maestros de Ia Edad Media y Ia Moderna 
trataron de descubrir sencillas reglas geometricas a traves de las cuaJes 
podian decidir de inmediato, con una simple mirada al tablero, el resultado 
precise (y Ia forma de Iograrlo en Ia prlictica) de aquellas posiciones 
simpliftcadas de ftnales. A continuaci6n vamos a presentar aJgunos sencillos 
ejemplos. 
La regia del cuadrado 
Esta trata sobre Ia rruis sencilla y elemental posiciOn de los finales de 
peones. y hoy en dia es algo que cualquier jugador principiante de ajedrez ve 
poco despues de aprender las reglas b8sicas. Se trata de decidir si el peOn 
blanco Uega a coronar (es decir, convertirse en una pieza m3.s fuerte, 
habitualmente dama, al llegar a Ia octava fila) o, por lo contrario, el rey negro 
alcanza el peOn antes de coronar y lo captura, acabando de tal man era en 
tablas.Para poner un ejemplo de cOmo nos puede ayudar un pensamiento 
geomCtrico, vCase Ia figura 3· Se fonna el cuadrado "imaginario" sobre el 
tablero, teniendo como dos vertices Ia casilla inicial del peOn y Ia casilla de 
coronaci6n (en Ia octava fila) del mismo. Si el rey negro se encuentra dentro 
del cuadrado generado (marcado en el diagrama con flechas y color distinto), 
el resultado es tablas, es decir, el rey llega a capturar el peOn en su camino 
bacia Ia casilla de coronaciOn. En el caso contrario, si el rey se encuentra 
fuera del mismo cuadrado, el peon II ega a coronar y su ban do gana Ia partida. 
Por ejemplo, figura 3. si en Ia posicion dada juegan las blancas, avanza el 
peOn una casilla y el rey negro se queda lejos del nuevo cuadrado generado, 
por lo que el peOn II ega a coronar y ganar. Sijuegan las negras, su rey move rei 
dentro del cuadrado marcado y Ia partida finalizara en tablas. 
Figura3 
llustracion de Ia regia del cuadrado en los finales de oJedrez. 
La importancia pnlctica, incluso en situaciones tan sencillas, de "reglas" 
como esta (y las que siguen) consiste en conocer el resultad.o de una posiciOn 
a simple vista. sin tener que calcular nada, y en el caso de una competici6n o 
situaci6n pnlctica de aJedrez ahoiTar de esta. fonna tiempo en Ia toma de 
decisiones. 
!A regia de Bhir 
Otra sencilla regia para decidir a simple vista el resultado de un final de 
peones muy elemental pero frecuente en las partidas pr8cticas es aquella 
conocida como .. regia de Bhiir", que representa una manera visual (basada de 
nuevo en Ia geometria del tablero de ajedrez) de conocer de antemano el 
resultado de un final de reyes y peones como los que se muestran en Ia ftgura 
4· 
La regia es de nuevo f;icil de entender: se traza una diagonal sabre el 
tablero, desde Ia casilla ocupada por el pe6n blanco hasta Ia columna del alftl 
m8s cercana a los peones bloqueados en la banda (en este cBSO, Ia columna 
c), y otra diagonal desde Ia casilla del peon negro bloqueado hasta Ia misma 
columna del alftl, tal y como se indica en Ia ftgura (mediante las flechas 
dibujadas sobre los diagramas). Si las dos diagonales "imaginarias" 
(marcadas con flechas) se intersectan en una casilla. o Ia que parte desde el 
peOn negro llega a una casilla posterior, entonces las blancas ganan la 
partida (y Ia variante ganadora comienza con una jugada de rey una casilla 
en diagonal hacia el peon negro). Es Ia situacion de Ia ftgura de Ia izquierda. 
En caso contrario, como ocwre por ejemplo en Ia posiciOn de Ia derecha, el 
resultad.o de Ia posiciOn es tablas, independientemente de los intentos de las 
blancas para ganar. El interes pnictico de reglas como esta. al tratarse esta 
vez de un final que requiere un ca.J.culo de variantes algo nuis largo, no solo 
consiste en conocer de antemano el resultad.o de un final de este tipo (una 
vez llegado ahi), sino tambien en decidir desde antes si pasar o no a un final 
semejante si durante una partida pnictica se tiene esta opciOn (por ejemplo, 
a !raves de cambios de las piezas que quedan). 
Figura4 
Ilustraci6n de ia regia de Bhir en los llnales de eJedrez. 
La teoria de las casillas conjugadas (o coiTespond.ientes) 
Muestnl. cOmo un pensamiento materruitico, en relacl6n con Ia geometria 
del tablero, se vuelve Util incluso en situaciones de final mucho rn.8s 
complejas, como ia que se presenta en ia llgunls. 
Figuras 
casillas conjugadas en los finales de ajedrez. 
En esta figura se muestra un escenario mucho m8s complejo de ftnales 
de reyes y peones, en donde, razonando solamente a traves del c8.1culo 
"bruto" de variantes es flicil equivocarse o , como minimo, perd.er mucho 
tiempo si estamos juga.ndo una partida de competicion -con control de 
tiempo-. Aderruis, noes nada flicil apreciar el resultado de esta posiciOn a 
simple vista,y asi decidir en las jugadas previas s� en un escenario pnictico, 
nos conviene o no tomar Ia decisiOn de transfonnar Ia posiciOn pan. alcanzar 
este final. En este caso, las matematicas del tablero nos ayudan de fonna 
esencial para poder conocer con antelaci6n el resultado de los 6nales. 
La idea matematica detnis de las casillas conjugadas es asociar a las 
casillas importantes del tablero un mimero, en funci6n de su posiciOn. Se 
comienza con las casillas '"clave", que son aquellas en donde si el rey del 
bando fuerte (en nuestro caso, el rey de las blancas, cuyo ejercito cuenta con 
un pe6n de ventaja y mayor espacio) consigue entrar, dicho bando gana Ia 
partida. Tales casillas, a veces Uamadas "casillas de entrada", se marcan en 
nuestra asociaci6n "imaginaria" con una tetra X. como en Ia figura s. y son las 
casillas que el rey blanco desea conquistar (y el rey negro quiere defender). 
Observamos en dicha figura que hay dos casillas de entrada 
correspondientes a los cuadros "114" y "bi' del tablero. El paso siguiente es 
asociar las derrui.s casillas con un ntimero que responde a Ia pregunta: 
lcwinlas jugadas de rey se necesitan, por el camino 6ptimo (el mas corto 
posible), para Uegar desde Ia casilla considerada a las casillas marcadas con 
Ia X? Podemos ver el resultado de esta operaci6n empezando con el ntimero 
o para las casillas contiguas a las marcadas por X (considerando solo 
aquellas casillas situadas cerca de Ia cadena de peones). 
La defensa precisa de las negras (en este caso el bando debil), una vez 
realizada Ia nwneraci6n del tablero explicada anteriormente, consiste en 
situar el rey en aquellas casillas marcadas con el mismo nUmero que Ia 
casilla en donde se halla en su momenta el rey blanco. Por su parte, el bando 
de las blancas intentani "romper" esta simetria (a veces llamada "oposici6n") 
para ganar Ia partida Como podemos observar, en este caso son las blancas 
las que ganan esta posicion, a! disponer de Ia posibilidad de situar su rey una 
vez en Ia casilla "b4" del tablero, numerada por 2.4. que es Unica (las negras 
no disponen de una casilla coJ1jugada a esa). En ese momento, cuando las 
blancas jueguen el rey a "b4", las negras tendnin que efectuar un movimiento 
alejlindose un tiempo mas de una de las dos casillas marcadas con X; por 
tanto, son las negras las que de esta manera perdenin Ia "oposici6n" y 
despues el rey blanco penetrara de fonna ganadora en una de las dos casillas 
marcadas con X (precisamente conquistani aqueUa casilla de Ia que el rey 
negro tuvo que alejarse un paso mas como efecto de Ia maniobra 
anteriormente explicada). Como podemos ver, mediante esta tlknica.la 
resoluci6n de una posiciOn como Ia que hemos visto, aparentemente no 
trivial, a traves del ccilculo de variantes, se convierte en Ia resoluci6n de un 
flicil problema de caminos geometricos2. 
Otros finales 'geometricos' 
No solo en los finales de peones Ia geometria del tablero juega un papel 
importante en su comprensi6n y juego coiTeCto. Los finales que involucran 
otras piezas con movimiento •lineal"' (sobre todo, torres o alftles, pero no los 
caballos) tambien se han estudiado empleando patrones geometricos para 
establecer las maniobras coiTeCtas. Como los ftnales de torre son muy 
frecuentes en las partidas practicas de ajedrez (tanto que se le suelen 
dedicar libros y tratados enteros), ceiTillllos este apartado presentando, solo 
a titulo infonnativo, dos posiciones de finales de torre. Estes, muy similares, 
pertenecen a un caso rruis general de defensa estudiado por el ajedrecista y 
escritor ruso Peter Romanovsky (•Bg•-•964), a partir de un metodo defensive 
establecido por el jugador y estudioso de ajedrez checo Josef Vancura (18g8-
1921) para los finales de torrey peOn contra torre cuando el peOn se 
encuentra en Ia banda. En ambas posiciones consideramos que son las 
negras las que tienen la jugada 
Sin entrar en un aruilisis deta.Uado (con jugadas yvariantes concretas de 
ajedrez) de las posiciones en los diagramas precedentes, Romanovsky 
establecio una interesante regia geometrica para predecir a simple vista el 
resultado de los finales. Como observamosen Ia ftgura 6, el rey de las blancas 
quiere acercarse a su propio peOn para liberar su torre de Ia defensa del 
pe6n, y el negro trata de impedir esta maniobra Por tanto,la jugada 
defensiva natural de las negras es cortar el camino del rey blanco (hacia 
adelante) con Ia torre a traves de Ia lila posterior a Ia posicion inicial del rey 
blanco. A partir de un ami.l.isis exhaustivo y sisterruitico de posiciones como 
las mostrad.as, Peter Romanovsky esta.bleci6 en 1950 una regia geometrica 
muy sencilla para predecir el resulta.do: si el rey blanco se halla fuera del 
cuadrado que tiene como dos vertices Ia esquina del tablero que se 
encuentra en Ia misma columna que el pe6n blanco y Ia posicion 6nal de Ia 
torre despues del primer movimiento natural para "cortar" el paso al rey 
blanco, entonces el resultado es tablas; si, por el contrario, el rey blanco se 
encuentra en el interior de dicho cuadrado, entonces las blancas ganan la 
partida. 
Figura6 
Posiciones de 6nal que utilizan Ia regia de Romanovsky. 
Como cualquier regia geometrica es muy visual (yes mucho mlis flicil de 
comprender sobre ejemplos que a tmvCs de explicaciones), volvamos a Ia 
ftgura 6. Los cuadrados "criticos" esbin marcados sobre los diagramas 
mediante ftechas; en ambas posiciones vemos que el rey blanco est& en el 
exterior de los cuadrados y. en cumplimiento de Ia regia de Romanovsky, 
ambas posiciones acaban en tab las con el juego correcto. Por supuesto, debe 
conocerse en Ia prlictica Ia maniobra para alcanzar dichas tablas3, pero es de 
gran ayuda saber de antemano el resultado de una posicion antes de tener 
que calcular cualquier variante. 
Este era el tipo de niZOnamientos matemliticos que los jugadores de 
aJedrez de epocas previas a Ia aparici6n de los programas de ordenador 
actuales hac ian para mejorar su juego y tratar de estudiar de forma cientiftca 
el aJedrez, en Ia medida de las posibilidades de aquel periodo (es decir, sin 
disponer de Ia ayuda de las potentes mliquinas de c8.1culo que tenemos en Ia 
actualidad). Muchas pequeilas "reglas geometricas" para resolver posiciones 
de finales de partida se han establecido en los siglos XVII y XVIII. 
Problemas matemliticos sobre el tablero 
Dejando por ahora de lado el uso elemental de Ia geometria del tablero 
que los maestros de aJedrez de los siglos XVII-XIX empleaban para analizar 
posiciones concretas, el auge de Ia popularidad del aJedrez en ese mismo 
periodo hist6rico motiv6 el interes de muchos intelectuales de Ia Cpoca 
(tanto matemliticos profesionales como aJedrecistas) de proponer y estudiar 
problemas matem3.ticos relacionados con el tablero de ajedrez y el 
movimiento de las piezas. Dos de estos problemas lograron suscitar el 
interes de los matetruiticos mas famosos de su tiempo y mantuvieron una 
cierta fama hasta Ia actualidad: el problema de las ocho damas y el problema 
del sal to de caballo, este Ultimo con una dificultad combinatoria mucho 
mayor. 
El problema de las ocho damas 
Se plan teO por el matematico y ajedrecista aleman Max Bezzel en 1848, y 
consiste en encontrar todas las posibilidades esenciaJmente distintas (es 
decir, que no se pueden transformar una en otra mediante simetrias o 
rotaciones del tablero) de situar ocho damas en las casillas de un tablero de 
ajedrez de tal manera que ninguna amenace a otra Durante el siglo XIX. los 
nuis destacados matemiiiticos, como Georg Cantor y Gauss, se interesaron por 
el problema y propusieron soluciones. Otros matenuiticos ale manes, como 
Franz Nauck. generalizaron el problema tambien a N damas en un tablero de 
ajedrez NxN, siendo N cualquier nUm.ero entero positivo. Un ejemplo de 
conliguracion correcta de las ocho damas se puede ver en Ia figura 7-
Figura7 
Una solucion particular del problema de las ocho damas. 
Como suele ocunir con los problemas matemiticos diliciles propuestos 
en los siglos anteriores, ha sido con la ayuda de las maquinas de ailculo 
contemporaneas cuando se ha podido dar una solucion completa al 
problema. Mas precisamente, este fue elegido en 1972 par el cientillco 
holandes E. Dijkstra para ilustrar el gran alcance de las nuevas tecnicas de la 
programacion estructurada Dijkstra publico un algoritmo mediante la 
tecnica de programaci6n backtracking, que resuelve el problema de forma 
completa; el nUmero de soluciones encontradas en el caso de ocho damas en 
un tablero de ajedrez estandar (BxB) es de 92 soluciones totales, de las cuales 
solo 12 son esencialmente diferentes entre si. El mismo programa puede 
emplearse para resolver el problema de los N damas (sobre un tablero NxN), 
y con Ia ayuda de ordenadores cada vez rruis potentes, desde el punto de 
vista computacional, se han Uegado a clasiflcar las soluciones del problema 
para nWneros enteros N suflcientemente grandes, a pesar de que el nUmero 
de soluciones crece de fonna exponencial (y tambien Ia complejidad del 
algoritmo). Como una curiosidad, para N=25 (es decir, situar 25 damas sobre 
un tablero 2SX25) hay 2.207.B93435-Bo8.352 soluciones, entre las cuales hay 
275-986.683.743·434 soluciones esencialmente distintas. 
El problema del salto de caballo 
En este problema se plantea Ia pregunta de como hallar el ntlmero de 
posibilidades de recorrer todas las casillas del tablero de ajedrez por parte 
de un caballo que empieza a moverse desde una casilla cualquiera.. y con Ia 
condici6n de pasar una sola vez por cada una de las casi.llas del tablero en su 
recorrido. Esencialmente, se trata de un problema de materrnitica discreta.. 
muy relacionado con el problema de Ia ruta hamiltoniana en Ia teoria de 
grafos, que es un camino que recorre tod.os los vertices de un grafo una sola 
vez. El problema aparece por primera vez en manuscritos B.rabes del siglo IX. 
incluyendo algunas soluciones particulares, pero alcanz6 un gran auge entre 
los matemliticos europeos mlis destacados del siglo XVIII debido a Ia gran 
cantidad de soluciones diferentes. 
Uno de los matetrniticos m8s destacados interesados en este problema 
fue L. Euler, quien, entre otras contribuciones, encontrO una de las 
soluciones rruis famosas a este problema matemlitico. En efecto, Euler 
comenz6 por asociar un nllmero a cada casilla del tablero de ajedrez, 
representando el momento cuando el caballo, en su recorrido por el tablero, 
pasaba por dicha casillll! por ejemplo,la casiUa de partida del caballo recibe 
el mimero t,la casilla siguiente donde salta Ia primera vez recibe el mlmero 2 
y asi basta Ia tlltima casilla del recorrido, que recibe el nU!nero 64- De esta 
manera, y usando su genialidad, Euler no solo fue capaz de encontra.r varias 
soluciones particulares del problema (presentadas en Ia Academia de 
Ciencias de Berlin en 1759), sino que entre elias descubri6 una que 
representa un .. cuadrad.o m8gico", es decir, un cuadrado de mlmeros donde Ia 
suma de carla una de las ftlas y las columnas es el mismo nU.mero (en nuestro 
caso, 260). Esta soluci6n particular muy especial y elegante se puede ver en Ia 
ftgura8. 
Figura8 
La soluci6n del'cuadrado mligico' de Euler para el problema del caballo. 
La estrategia utilizada por Euler para encontrar esta solucion y algunas 
otras (incluyendo recorridos cerrados del caballo, es decir, con Ia Uegada en 
una casilla desde donde se puede saltar a Ia casilla inicial) fue descomponer 
el tablero en pequeiias partes y tratar despues de •concatenar" recorridos 
separados del caballo en cada parte pequeiia para asi crear un recorrido 
completo. Un planteamiento que es Ia base de una tecnica de programaci6n 
de ord.enadores actual que se conoce como divide et impera. Sin embargo, 
hay muchas mlis soluciones, como por ejemplo Ia que se presenta en Ia Hgura 
g y que no tiene ninguna propiedad •magica". 
Figurag 
Otra soluci6n del problema del salto del caballo. 
Jl 58 5 00 45 24 43 48 
4 61 2 25 • 47 30 23 
57 20 59 .. 29 44 49 42 
02 3 20 15 lD 7 22 31 
27 58 u 8 21 32 41 "" 
18 63 14 53 18 9 38 35 
55 12 17 20 33 38 51 40 
.. 19 54 13 ..39 34 37 
Par tanto, es natural preguntarse cua.ntos recorridos diferentes hay. Y su 
nUmero, contrario a lo que puede parecer a simple vista, es 
sorprendentemente grande; tan grande, que todavia parece estar fuera de 
nuestro alcance, aunque hubo cientiftcos que emplearon los ordenadores 
mas potentes para hallar todas las posibilidades. En 1995,los programadores 
Martin LObbing e Ingo Wegener anunciaron, tras hacer trabajar a 20 potentes 
ordenadores durante cuatro meses, que el mimero total de recorridos (no 
cemulos) del caballo em de 33-439-123-484-294, es decir, mas de 33 billones de 
recorridos posibles. Adenuis. investigaciones m8s recientes han llegado a 
mimeros mayores, como por ejemplo un total (que parece definitive) de 
il9-59L828.t70.979-904 recorridos abiertos!4 Por otro lado, si nos restringimos 
solo a cuantificar los recorridos cerrados, es decir, aquellos que finalizan en 
una casilla desde donde el cabaUo podria saltar de nuevo a Ia casilla inicial, 
su mimero es menor que los nUmeros precedentes pero aun asi muy grande: 
1J.267-364-410-532 recorridos cemulos posibles. A primem vista. tales 
mimeros parecen imposibles, y. claro esta. todos estos mimeros se han 
lognulo con Ia ayuda de ordenadores de alta potencia computacional (o 
redes de ordenadores) y con algoritmos muy complejos que emplean redes 
neuronales o metodos heuristicos para tratar de optimizar el altisimo coste 
computacional5. 
CAPITUL02 
Las primeras maquinas y programas de ajedrez 
Desde los comienzos de Ia era industrial, y coincidiendo con el auge que 
experiment6 el aJedrez en los siglos XIX y XX. ha ido surgiendo entre los 
humanos Ia idea de automatizar el ajedrez, es decir, de construir aut6matas y 
mliquinas de cli.lculo cada vez mejores que puedanjugar una partida a un 
nivel cad.a vez rruis alto. Hoy en dia se pued.e considerar que los avances han 
sido mBs que exitosos: los mejores programas actuales tienen una fuerza de 
juego mayor que Ia de cualquier humano, incluido el campe6n mundial 
Magnus Carlsen. Pero ha hahido muchos pasos, avances, ideas diferentes 
(muchas de ellas con rigurosas bases matematicas) que han jugado su papel 
en esta carrera para alcanzar el nivel actual. En este capitulo repasamos, por 
orden cronol6gico, el desarrollo de dichas ideas te6ricas y su posterior 
aplicaci6n en forma de programas, mliquinas de ci.lculo, etc. 
lA historia de los aut6matas de ajedrez empieza con una famosa 
anecdota -aunque esbi demostrado que se trat6 de una farsa-: Ia del 
autOmata tun:o (tambien conocido simplemente como el Turco). Este 
autOmata fue construido por Wolfgang von Kempelen en 1769 y presentado 
en Ia corte de Ia emperatriz Maria Teresa de Austria en 1710. MBs tarde, sin 
revelar su secreta, Von Kempelen Uev6 a su autOmata de gira por Emopa e 
hizo exhibiciones de ajedrez contra los mejores jugadores del momento, en 
las cuales el autOmata casi siempre ganaba. Entre las "victimas" famosas del 
Turco est8.n Benjamin Franklin o el mismisimo emperador NapoleOn (que era 
un gran amante del ajedrez y tenia un nivel de juego bastante alto entre los 
jugadores de su tiempo). IA historia del autOmata sigui6 basta 1854, con giras 
de demostraci6n por lnglaterni, Estados Unidos y Cuba (donde sus 
propietarios sucesivos ganaban mucho dinero por sus "espect.Bculos" 
pliblicos). El Turco acab6 en el Museo Peale de Filadelfta, donde acab6 
destruido en un incendio. En Ia actualidad sahemos -y tambien se pensaba 
asi en su epoca- que el Turco era una estafa: un maestro ajedrecista lo 
manejalla desde dentro. Y el secreta de su alto porcentaje de victorias incluso 
contra otros jugadores fuertes era que el espectaculo que Von Kempel en y su 
siguiente propietario, Johann Maezel, montaban de cara al publico en las 
demostraciones hacia que el retador humano se pusiera nervioso, bajo una 
considerable presiOn psicol6gica. de forma que jugase a un nivel inferior a su 
destreza habitual. Estaba claro que, con las herramientas de su tiempo, 
construir una verdadera m&quina con estas capacidades era tarea imposible. 
Sin embargo, a pesar de Ia estafa. el Oxito de publico logrado por el Turco 
demostr6 que Ia idea de automatizar el ajedrez ya atraia a Ia comunidad. 
Volviendo a las verdaderas mliquinas. hubo que esperar un siglo para 
que un autOmata real apareciese. Fue precisamente un espaftol su inventor: 
el reconocido matenuitico. ingeniero e inventor Leonardo ToiTeS Quevedo 
(1852-1936). Entre sus numerosas invenciones, Leonardo Torres Quevedo 
diseii6 un autOmata capaz de jugar de fonna independiente (sin intervenci6n 
humana) unas posiciones sencillas de ajedrez. E1 autOmata. Uamado el 
Ajedrecista. fue construido en 1912 y presentado en Ia Feria de Paris en 1914 
donde gener6 una gran expectaci6n. El autOmata de Torres Quevedo era 
capaz de jugar posiciones muy sencillas (del tipo rey y torre contra rey) y 
siempre encontrar el mate. aunque no por el metodo mas directo y 6ptimo. El 
Ajedrecista es considerado por muchos especialistas como Ia primera 
mliquina parajugar ajedrez de Ia historia (Anonymous. 1915). E1 mecanismo 
del autOmata. revelado por Henri Vigneron (1914), utili2aba una tecnica 
electxomecanica para mover las piezas: un sistema elktrico situado debajo 
del tablero le pennitia "sentir• Ias piezas (posterionnente. en una versiOn 
mejorada. Leonardo Torres Quevedo us6 imanes debajo del tablero) y un 
brazo mecinico reaccionaba para mover las piezas. En general, Torres 
Quevedo no pensO en su invenci6n como de utilidad. para el ajedrez en si 
mismo, sino como una aplicaci6n mas (entre otros invent.os suyos) de las 
nuevas tecnicas de electromec8nica introducidas al comienzo del siglo XX. 
La investigacion sobre las m&quinas capaces de jugar al e,jedrez quedo 
parada por un tiempo, basta Ia publicacion de uno de los articulos de 
investigaci6n m8s fundamentales en este desarroUo: el de Claude Shannon, 
Programming a Computer for Playing Chess (1950). Shannon (1916-2001) fue 
un destacado matemAtico e ingeniero elktrico americana, considerado en Ia 
actualidad como el padre de Ia teoria de Ia informacion por sus varios 
descubrimientos en este campo, pero especialmente por asentar las bases 
materruiticas de los futuros desarrollos en esta teoria en su articulo A 
Mathematical Theory of Communication (1948). 
Shannon trabe,jo inicialmente en el celebre MIT (Massachusetts 
Institute of Technology). donde tambien obtuvo su titulo de doctor. y 
posterionnente paso a trabajar en los labonllorios Bell, donde desarrollo sus 
mejores trabe,jos de investigacion con Ia ayuda de un equipo fonnado por 
otros materrui.ticos e ingenieros destacados. OtnL contribuci6n esencial de 
Shannon para el futuro de las ciencias computacionales fue demostrar el uso 
del li.lgebra de Boole en el a.nli.lisis de Ia conmutacion y de los circuitos 
digitales. El li.lgebra booleana es una estructura algebraica (nombrada asi en 
honor al materruitico ingles del siglo XIX George Boole) que fonnaliza 
matematicamente las cuatro operaciones logicas fundamentales (AND, IF, 
OR, NOT) y las operaciones elementales de Ia teoria de conjuntos (union, 
intersecci6n de conjuntos y el complemento de un subconjunto). A partir del 
articulo de Shannon, el Blgebra de Doole se empez6 a utilizar de forma 
generalizada en Ia teoria de Ia infonnaci6n�. 
Adem8s de sus articulos te6ricos, que formalizan desde un punto de 
vista matem&tico Ia teoria de Ia infonnaci6n y ponen las bases de Ia creaci6n 
de algoritmos parajugar bien al ajedrez, Shannon tambien construy6 un 
pequeiio autOmata ehktrico (que solo podia trabajar con posiciones teniendo 
hasta un m8ximo de seis piezas) que usa.ba para veriftcar de forma 
experimental el resultad.o de varios metodos de programaci6n que et mismo 
disefiaba. Shannon construy6 su autOmata en 1949 y lo present6 al 
ajedrecista Edward Lasker (primo lejano del gran campe6n mundial y 
matem8.tico Emanuel Lasker, de quien hablaremos en el capitulo s) en 1950. 
El autOmata experimentalde Shannon fue programado de tal manera que 
tenia tam.biim una funci6n aleatoria de elecci6n entre varias posibilidades 
considera.das "jugables" y, por tanto, partiendo desde Ia misma posiciOn 
dada, no siempre respondia con Ia mismajugada, sino que podia efectuar 
jugadas distintas en ocasiones similares. Actualmente, eso es algo comUn a 
todos los programas modemos. 
Estrategias de bU.queda utilizadas por los programas 
En el articulo anteriormente mencionado (Shannon, 1950), trata de dar 
una estrategia para construir un programa que puedajugar a un nivel 
razonable al ajedrez. Esas directivas, aunque con algunas mejoras, se han 
mantenido hasta hoy como las ideas generales que estan detnis de los 
programas de ajedrez. En primer Iugar, Shannon establece en su articulo dos 
estrategias distintas (pero que tambien podrian mezclarse) para Ia blisqueda 
de jugadas y v ariantes posibles: 
L Los programas de Tipo A. considerados por Shannon como m8.s rudimentarios, 
emplean una btisqueda basada en Ia •fuerza bruta• de c8.lculo, es decir, tra.tan de 
calcular todas las posiciones que pueden ocurrir a partir de una posiciOn inicial 
Oa que queremos evaluar) basta una cierta profundidad (ntimero de jugadas en 
a vance que el programador o usuario quiere calcular a partir de Ia posiciOn 
dada). 
2. Los programas que Shannon llama de Tipo B son aquellos que emplean varios 
criterios de selecciOn de jugadas candidatas a partir de una posiciOn, y solo 
calculan y evaiUan las posiciones resultantes a partir de esasjugadas. De esta 
forma, se busca optimizar eljuego (es decir, reducir la complejidad 
computacional) restringiendo el proceso de elecci6n a aqueUas jugadas 
consideradas "interesantes" o •correctas" respecto a algUn criteria de seleccicin 
(lntroducido por el progra.mador), para asi reducir Ia carga computacional 
eHmlnando de antemano Ia mayoria de las jugadas posibles (ya que, con raz6n: 
en Ia mayo ria de las posiciones •nonnales· de ajedrez hay un nU.mero en torno a 
las 30 jugadas posibles, pero de las cuales solo 4 o 5 suelen ser de verdadero 
interes). Como siempre, en este tipo de consideraciones, el gran problema que 
surge es: i.CU8.1 es el criteria que usamos para seleccionar lasjugadas 
interesantes?, t.es este criteria universal (es decir, funeiona en eualquier 
posiciOn)? 
En su articulo, Shannon decide que Ia estrategia de Tipo A es inviable, dado 
que Ia complejidad computacional seria demasiado gnmde, algo imposible de 
caJcular para los ordenadores (muy rudimentarios) de los aiios cincuenta; 
incluso da un catculo aproximado del nUmero de posibles posiciones que 
deberian ser evaluad.as por parte de un programa funcionando con esa 
estrategia. Uegando a un nU.mero del orden de 1043, es decir, demasiado 
grande. 
Por otro !ado, poco antes de Ia publicacion del articulo de Shannon, el 
psicologo y maestro de ajedrez holandes Adrian de Groot (1914·2006) realize 
una serie de experimentos sobre los procesos cognitivos que OCWTen en el 
cerebro de un jugad.or de ajed.rez usando como base para sus conclusiones 
diversas pruebas y entrevistas conjugadores de todos los niveles, desde 
principiantes y aficionados hasta los grandes maestros del momento. Los 
resultados de los experimentos, publicados en su tesis doctoral en 1946 (De 
Groot, 1946), muestran que tanto los mejores maestros como los aficionados 
estudian en promed.io el mismo nU.mero de posiciones sobre el tablero antes 
de to mar una decisiOn. Pero lo que de verdad diferencia a los jugadores mas 
fuertes de aquellos de menor capacidad de juego es Ia habilidad de 
reconocimiento de mod.elos (que se adquiere y mejora con Ia experiencia). Es 
decir, se demuestra que los jugadores m8s fuertes "saben elegir" de 
antemano las jugadas que merece Ia pena estudiar y calcular, y asi ganan 
mucho tiempo y profundidad de cli.lculo respecto a los jugadores de men or 
nivel, que pierden mucho tiempo y energia en considerar y analizar jugadas 
peores. Usando Ia terminologia de Shannon: los experimentos de De Groot 
demuestran que Ia mente humana emplea una estrategia de Tipo B. 
A partir de esas razones, y de Ia demostraciOn de Ia inviabilidad 
computacional de las estrategias de Tipo A (a! menos, con las herramientas 
disponibles en Ia decada de los cincuenta), Shannon propane como tema de 
investigaciOn pam. el futuro construir y perfeccionar estrategias de Tipo B 
simulando Ia forma de pensary analiza.r de los grandes maestros. Pero nos 
queda Ia pregunta, independiente del tipo de estrategia que vamos a seguir: 
t.cOmo se implementa una evaluaciOn de una posiciOn concreta? 
FunciOn de evaluaciOn 
Shannon contesta a Ia pregunta formulada anteriormente a traves de Ia 
construcciOn de lo que llamamos una funciOn de evaluaciOn, es decir, una 
funciOn que asocia a cada posiciOn Pun valor numCrico f(P) acorde con unas 
reglas, y que deberia ser capaz de predecir, en ciertas situaciones al menos 
(si no en todas), el resultado que se obtiene en una partida a partir de Ia 
posiciOn P con el mejor juego posible. Obviamente, las cosas esttin muy lejos 
de esta situaciOn idealizada. Por ejemplo, si pudiCramos caJcular todas las 
jugadas y posiciones posibles hasta el llnal en ajedrez (es decir, si 
pudieramos resolver eljuego). una funcion de evaluacion muy trivial seria 
una que solo tomase 3 valores' f(P)=• si Ia posicion est& ganada por las 
blancas, f(P)=o si Ia posicion es tablas y f(P)·-• si Ia posicion Ia han ganado 
las negras. 
Pero, en Ia pnictica. las cosas estan muy lejos de esta situacion tan 
simple (de lo contrario, el ajedrez estaria completamente acabado y dejaria 
de ser interesante); por tanto, se deben buscar evaluaciones aproximativas 
de cada posiciOn y funciones de evaluaci6n realistas. £1 mismo Shannon 
propone en su articulo un ejemplo de funcion de evaluacion. Recordando 
que, habitualmente, el valor relativo de las piezas en ajedrez es 
pe6n=I punto, allil=caballo=3 puntos, torre=s puntas, dama=g puntos, 
Shannon propone Ia siguiente formula como funcion de evaluacion, 
teniendo en cuenta no solo las diferencias materiales, sino tambien aspectos 
posicionales o dimimicos de Ia posiciOn que se quiere evaluar: 
f(P)=2oo{K-K')+g(Q-Q')+S(T-T')+3(A-A'+C-C')+(P-P') 
-o,S(D-D'+S-S'+l-l')+o,I(M-M')+ ... 
donde por las letras consideradas entendemos que K. Q. T, A. C, P 
representan el nU!nero de reyes, danlas, torres, alftles, caballos, peones de 
color blanco existentes en el tablero (y las mismas notaciones con las primas 
corresponden a las negras). La explicacion del factor 200 delante de los 
nUmeros que corresponden a los reyes es que Ia desaparici6n de un rey 
(entendida en eljuego por eljaque mate) debe tener un peso mayor que Ia 
suma de todos los demli.s factores, ya que eljaque mate acaba Ia partida. 
D, 5, 1 (y sus respectivas notaciones con primas para las negras) 
corresponden al mimero de peones doblados, peones atrasa.dos y peones 
aislados en Ia posicion de las blancas (respectivamente de las negras). 
M y M', respectivamente, corresponden a una medida de Ia movilidad de 
las piezas blancas y negras. Shannon propane, por ejemplo, como medida de 
Ia movilidad, el mimero de jugadas legales, pero esta claro que esta med.ida 
dista mucho de ser Optima. 
Por tanto, en Ia funci6n de evaluaci6n considerada por Shannon 
aparecen tanto evaluaciones de las diferencias de material en Ia posiciOn 
(correspondientes a Ia primera y segunda linea de Ia funci6n, tal y como esta 
escrita arriba) como evaluaciones de varios factores posicionales y 
din8.micos. En efecto, como los aficionados al ajed.rez ya conocen, tener 
peones doblados, aislados o atrasados suele ser (en Ia mayoria de las 
posiciones) un importante defecto posicional para el hando que los tiene, 
pero, sin embargo, se considera que es menos grave tener una debilidad asi 
que tener un peOn entero de menos. Por lo tanto, Shannon da a estos 
factores un peso de o,s,y con el signo menos en frente (es decir, favorableal 
oponente del que tiene semejantes defectos). 
Por otro lado, es altamente cuestionable si Ia diferencia de movilidad de 
las piezas (factor diruimico que puede Uegar a ser completamente decisivo en 
mochas posiciones de a,jedrez, a pesar del material, por ejemplo, cuando se 
tiene un ataque ganador contra el rey contrario despues de haber sacrificado 
piezas, o cuando se tiene una compensaci6n posicional a largo plaza) se debe 
puntuar con un peso tan pequeiio como 0,1 o con uno mucho mas grande, 
pero Ia idea general es Ia misma. 
De Ia precision de Ia funci6n de evaluaci6n depende mucho Ia fue.-.a del 
programa de a,jedrez que se est& construyendo. De esta manera. se han 
propuesto funciones de evaluaci6n mucho nuis complejas y precisas a lo 
largo del ti.empo, teniendo en cuenta un mayor ntimero de factores 
posicionales o diruimicos. La mayoria de las funciones de evaluaci6n 
consideradas son lineales, es decir, una combinaci6n lineal (similar a Ia de 
Shannon) de aspectos posicionales con diferentes pesos, por ejemplo: 
N 
f(P)= • W:F, 
iol 
donde Fi es el factor a considerar (material, posicional, diruimico, etc.) y 
Wi su peso especillco en Ia evaluacion global. Tambien se han propuesto 
factores rruis sofisticados como interacciones entre piezas y peones o 
mod.elos concretos, y funciones de evaluaci6n no lineales que funcionan en 
varias fases (por ejemplo, primero evalllan el material, despues los factores 
dimimicos, y despues buscan si en Ia posiciOn dada existe alguno de los 
patrones especiftcos que le han sido implementados). Obviamos los detalles 
de estas construcciones, que superan los objetivos de este libro. 
Sin embargo, tener una funci6n de evaluaci6n buena no es suftciente 
para idear un programa de o,jedrez, ya que, por mucho que considere un gran 
nUmero de factores posicionales, la evaluaci6n que ella realiza no deja de ser 
una evaluaci6n esbitica. a partir de los elementos de Ia posiciOn que tenemos 
para analizar. Pero en el o,jedrez, con cada jugada Ia posicion cambia. a veces 
de forma fundamental, y es muy probable que Ia evaluacion tambien. asi que 
necesitamos una fonna de evaluar tanto Ia posiciOn de partida como 
tambien las posiciones que surgen despues de cadajugada considerada por 
parte de las blancas y luego de las negras (esto es, despues de cadajugada 
legal, si queremos emplear una estrategia de Tipo A, o despues de cada 
jugada candidata seleccionada porIa aplicacion de alguna condicion 
selectiva, si empleamos una estrategia de Tipo B), y todo este proceso 
repetido basta alcanzar Ia profundidad (n1llnero de jugadas en adelante) 
deseada. En Ia realizaci6n de esta tarea se utilizan algoritmos de tipo 
minimax. 
El minimax es un algoritmo para determinar el resultado en los juegos 
de swna cero. Por juegos de suma cero entendemos aquellos juegos (entre 
dos o roBs jugadores) don de, si uno de los jugadores gana. es obligatorio que 
al menos algW! otro jugador salga perdiendo, y si sumamos a lo largo del 
juego todas las ganancias de los jugadores que han ganado (suponiendo que 
son cantidades cuantiftcables matem8.ticamente, como por ejemplo, el dinero 
en procesos econ6micos) y restamos las perdidas de aquellos que han 
perdido, obtenemos en cualquier momento el resultado cero. Esta teoria es 
importante en economia, pero en el caso que nos concieme es muy fW:il de 
observar que el ajedrez es unjuego de suma cero con solo dos jugadores. 
Entre los te6ricos del algoritmo minimax se encuentran materruiticos de Ia 
fama de John von Neumann (quien demostr6 en 1928 el teorema minimax 
que representa lajustiftcaci6n matemlitica de que el algoritmo es correcto)7. 
En el caso del ajedrez y de los programas que nos interesan, Ia aplicaci6n 
del algoritmo minimax es bastante sencilla. Supongamos que queremos 
evaluar una posiciOn y que son las blancas las que deben jugar. En un primer 
paso, evaluamos (usando Ia funci6n de evaluaci6n que ya hemos construido) 
todas las posiciones posibles que surgen tras cadajugada legal de las 
blancas y buscamos el truix.imo. Pero en el siguiente turno, son las negras las 
que juegan, y elias tarnbien buscan lograr el rruiximo para sus intereses, es 
decir, la peor posibilidad para las blancas. Entonces, el algoritmo evalua el 
valor de cadajugada inicial blanca como el minimo en funci6n de todas las 
jugadas posibles del negro a partir de aquella primerajugada blanca, y luego 
maximiza entre las diferentes jugadas posibles de las blancas, es decir, 
realiza un mliximo entre varios minimos. Lo mismo sigue basta Ia 
profundidad computacional que queremos (o Ia que nuestra herramienta de 
c8lculo puede soportar). En Ia implementaci6n del algoritmo minimax se usa 
habitualmente una pequeiia variaci6n llamada negamax, es decir, una forma 
que pennite implementar solo rutinas computacionales para calcular val ores 
rruixim.os usando Ia sencilla relaci6n materrui.tica que convierte minimos en 
rruiximos: 
max(a.b)=-min( -a.-b) 
vlilida para dos nlimeros reales a y b cualesquiera. Finalmente, para 
pasar a profundidades mayo res, se usan rutinas recursivas, ya que en Ia 
aplicaci6n del algoritmo mirumax despues de N jugadas completas (por 
jugada completa se entiende unajugada de las blancas y Ia respuesta de las 
negras), se deben tener en cuenta como datos de partida los resultados 
alcanzados en Ia evaluaci6n efectuada basta el paso N-1, es decir, basta una 
jugada anterior. Para dar un ejemplo de c6mo funciona Ia blisqueda de Ia 
variante principal mediante el algoritmo minimax, tenemos el slgulente 
Brbol de evaluaclones: 
Figura 10 
Un ejemplo de apllcacion del algoritmo minimax, 
En el caso "dlcblctico" de nuestra flgunl, partimos de una posicion 
evaluada como +4: en el primer paso, elegimos lajugada que nuis puntas da 
(maximizamos). Por tanto, de las 3 posibilidades analizadas, vamos bacia el 
nodo del lirbol situado nuis a Ia derecha, evaluado con +4- En el segundo paso, 
es el bando rival el que juega, por tanto, en el segundo nivel del arbol 
tenemos que minimizar. Por fin. en el siguiente tumo, de nuevo nos toea a 
nosotros jugar, asi que tenemos que maximizar de nuevo el resultad.o, pero 
solo den1ro de Ia rama del arbol que contiene los nodos previamente 
encontnulos (en los pasos anteriores); las dellllis ramas del arbol se 
descartan una vez encontrad.a una mejor. 
Desarrollo de los programas. El prognuna de Alan Turing 
Poco despues de Ia publicaci6n del articulo de Shannon y su 
argumentaci6n a favor de las estrategias de Tipo B para construir programas 
de oJedrez, muchos de los materruUicos y especialistas en Ia teoria de Ia 
computaci6n de su tiempo se interesaron por el ajedrez y vieron Ia creaci6n 
de algoritmos cada vez mejores parajugar al ajedrez como un logro 
interesante en Ia investigaci6n del nuevo campo de Ia inteligencia artificial. 
Entre ellos, esta problem3.tica suscit6 el interes del famoso matelllitico 
ingles Alan Turing. uno de los mayores exponentes del siglo XX en el ambito 
de Ia infonruitica te6rica y el desarrollo de los ordenadores. 
Alan Mathison Turing (Igi2-I9S4) fue un matematico, l6gico y cientillco 
ingles de Ia computaci6n, considerado uno de los pioneros de Ia infonnitica 
Entre sus contribuciones esenciales para los desarrollos posteriores de Ia 
ciencia de Ia computaci6n se encuentra Ia nuiquina de Turing. que es un 
dispositivo abstracto (hipotetico) que representa una nuiquina de 
computaci6n capaz de resolver cualquier problema materruUico que se puede 
representor mediante un algoritmo. Hoy en dia las maquinas de Turing 
siguen siendo objetos centrales de estudio en Ia teoria de Ia computaci6n. 
Turing tambien es un pionero de Ia inteligencia artificial, por la introducci6n 
del test de Turing para comprobar Ia "inteligencia" de un sistema artificial; el 
test tiene Ia meta de comprobar Ia capacidad de una maquina de dar 
respuestas similares (o incluso indistinguibles) a las respuestas que da un 
hwnano. 
Entre muchas otras contribuciones,Turing tambien se interes6 por los 
programas de ajedrez y (junto con algunos colegas) desarrollo en 194B io que 
se considera como el primer programa de ajedrez, a! que llama Turochamp. 
El programa fue desarrollado de forma te6rica. dado que en ese tiempo no 
habia una rruiquina de c8.Iculo capaz de ejecutar las instrucciones del 
Turochamp. En cambio, para probar Ia fuerza de su programa, Turing actu6 
e1 mismo como si fuera una mliquina. siguiendo el algoritmo y requiriendo un 
tiempo de truis de media hora (a veces llegando basta Ia hora y media) por 
jugada. Se conocen asi dos partidas jugadas por Turochamp: una ganada, 
contra Ia mujer (jugadora con nivel de principiante) de su colaborador mas 
proximo en el trabajo para Turochamp, David Champemowne, y otra partida 
perdida contra otro compaiiero de trabajo, Alick Glennie, que tenia un nivel 
nuis avanzado. Pero quizais las mayores contribuciones de Twing y su 
Turochamp en este campo no son los resultados y Ia fuerza de juego en si, 
sino las nuevas ideas de mejora del algoritmo que Turing ha incorporado en 
el desarrollo computacional de Turochamp y ha publicado ulterionnente 
(Turing, publicaci6n p6stuma en 1953). 
Los investigadores que han trabajado en Ia elaboraci6n del programa 
Turochamp (Turing y su colaborador David Champemowne, tambien 
conocido matenuitico y economista) han incorporado a su programa una 
serie de nuevas habilidades, que Shannon no habia considerado en su 
articulo, y que se han convertido en esenciales para elabolliJ' un buen 
programa de ajedrez. En primer Iugar, su programa incorpora nuevos 
elementos en su funci6n de evaluaci6n que Shannon no considenlba (pero 
debemos precisar que Ia intenci6n de Shannon no fue crear un programa 
pr&ctico, sino solo poner las bases te6ricas de cOmo se debe traba.jar para 
lograrlo), y que Turing describe en Ia publicaci6n mencionada anteriormente. 
Voy a poner en detaUe los elementos de Ia funci6n de evaluaci6n que 
utilizaba Turochamp para dar un ejemplo (elemental) de un sistema de 
evaluaci6n realmente utilizado en Ia pnictica, recordando que Ia funci6n de 
evaluaci6n es Ia combinaci6n lineal de cada factor multiplicado por su peso 
especiftco: 
- El valor de las piezas ligeramente modiOcado respecto al de Shannon, dando 
10 puntas a la dama y 3.S puntos al alftl (que. de esta fonna, se evaluaba como 
llgeramente mejor que el caballo). Hoy en dia sabemos que eso no es realist&. 
- Movilidad: Turing evaluaba este factor como Ia raiz cuadrada del nUmero de 
jugadas posibles, con Ia excepci6n de Ia captura (que se contaba como dos 
jugadas en el catculo) y el enroque (que simplemente no contaba en este 
caJculo, pero sumaba un punto entero a Ia evaluaci6n final despues de extraer 
Ia raiz cuadrada mencionada). 
- Segu.ridad de las piezas: se sumaba 1 punto en Ia evaluaci6n si las piezas torre, 
al61, caballo estaban derendidas una vez (es decir, por una sola otra pieza 
propia) y 1.5 puntos si estaban derendidas dos veces. En el caso del rey, se 
restaban puntos segUn una regia algo mas complicada para evaluar Ia ratta de 
seguridad del rey: se restan k puntos, donde k es el nlimero de casillas desde 
donde una dama puede atacar al rey. Por 6n, la amenaza de mate sumaba un 
punto,y Ia amenaza de jaque o,s puntos. 
- PosiciOn de los peones: sumar 0,2 puntos para cualquier casilla que el peOn ha 
avanzado, y otros o,a si en esa casilla el peOn esta derendido por una o mas 
piezas. 
Claramente estas evaluaciones dejan fuera de su alcance muchas de las 
caracteristicas de una posicion de ajedrez; por ejemplo, un pe6n que ha 
avanzado demasiado se convierte en una debilidad para su bando (y acaba 
por ser capturado por el rival), pero las evaluaciones presentadas puntUan 
los avances de peones solo de forma positiva Tambien Ia seguridad del rey es 
un factor extremadamente relativo y dificil de cuantificar matematicamente, 
ya que su evaluacion real (en una partida concreta) depende mucho de Ia 
existencia de fuerzas atacantes del bando contrario en Ia zona o no. Pero 
para mejorar Ia fuerz.a de juego, aparte de las evaluaciones anterionnente 
mencionadas, el programa de Alan Turing introdujo unas rutinas que 
realizaban nuevas opemciones hoy en dia muy habituales y esenciales que 
no habian sido desarrolladas antes. Entre ellas, mencionamos: 
• La bllsqueda de posiciones estables (quiescence search) es uno de los 
grandes avances ideados por Turing y su equipo de colaboradores en Ia 
programaci6n del ajedrez. En efecto, uno de los mayores problemas con los 
que se encuentra un algoritmo de eJedrez, tanto a nivel pnictico como a nivel 
te6rico, es el llamado problema del horizonte, descrito en estos tenninos por 
Hans Berliner (1973) unos 20 o.fios despues de los avances realizados por 
Turing y su equipo. Se trata de Ia siguiente diftcultad especifica de los 
programas de ajedrez: al tener una busqueda y aruilisis de jugadas de 
profundidad limitada. el programa empieza a proponer jugadas intennedias 
malas, il6gicas o completament.e inU.tiles para posponer un desenlace 
inminente (que ha descubierto en su an81isis) para despues del umbra! de 
bU.queda (horizonte) que tiene. 
Para dar un ejemplo nuis concreto, supongamos que en una posiciOn 
dada hay una combinaci6n bictica que lleva a Ia perdida iruninente de Ia 
dama despues de 8 jugadas en Ia linea principal, y que tenemos un programa 
que tiene una profundidad m8xima de 8 jugadas completas (entendiendo, 
como es habituol, por jugada completa el conjunto de unajugada de las 
blancas y Ia respuesta de las negras). En este caso, Ill percibir Ia perdida de Ia 
dama como una desventaja mayor acorde con su funci6n de evaluaci6n (Ia 
dama suele valer muchos puntas), el programa encuentra algunas jugad.as 
completamente inU.tiles (como por ejemplo, entregar rmis piezas) con los que 
solo consigue posponer el desenlace inevitable (Ia perdida de Ia dama) mas 
alia de lajugada 8. Pero Ill no tener una profundidad sullcientemente grande, 
es decir, Ill parar su aruilisis en lajugada 8, donde todavia (debido a las 
jugadas intermedias) Ia dama no se ha perdido, Ia evaluacion del mOdulo 
infonnB.tico seni altamente equivocada (como si Ia dama ya no se perdiese 
despuCs, solo se ha perdido el material menos importante sacriftcad.o en esas 
jugadas intermedias, imaginemos que pasaria de +g puntos a +2 puntos). 
Otro ejemplo aUn mas impactante puede ser el siguiente: supongamos 
que tenemos una m;iquina que analiza una posiciOn con profundidad de 8 
jugadas,y Ia Ultimajugada que considera es una captura Por ejemplo, Ia 
dama captum una torre en Ia Ultimajugada analizad.a. Entonces, un 
programa que no tiene implementada Ia bUsqueda de posiciones estahles va 
a decidir que esta es su variante principal, ya que aJ Hnal de su variante nos 
estani diciendo que ha ganado una torre (evaluaci6n +s). Pero si Ia torre esta 
defendida por otra pieza, en Ia siguiente jugada (que esta fuera de su umbra! 
de clilculo) el bando que el programa evolua como ganador perdera Ia dama. 
es decir, la verdad "absoluta" de Ia variante seleccionada por Ia m8.quina seria 
que hemos perdido Ia dama a cambio de una torre (evaluacion -4. desventaja 
material perdedora), mientras que, como hemos explicado, nuestra mB.quina 
nos estli diciendo que hemos ganado una torre entera (es decir ventaja 
material ganadora, +5 puntas). 
AI tener un horizonte de bllsqueda limitado, todos los prograrnas tienen, 
en men or o mayor grad.o, esta dificultad, y el problema es encontrar formas 
de atenuar el posible efecto negative. Como respuesta a este problema, Ia 
comunidad (empezando par Turing y Champernowne) ha propuesto Ia idea 
de Ia bU.squeda de posiciones estables. Eso signiftca que a los prograrnas se 
les implementa una rutina para que reaJicen una bUsqueda aftadida de unas 
pocas jugadas al final de su bU.queda con profundidad flja, para a.segurarse 
de que al final de Ia bUsqueda solo se analizan posiciones estables, es decir, 
aquellas posicionesdonde no existenjugadas bicticas decisivas por hacer. En 
principio,las jugadas de captura, los jaques y las amenazas decisivas (por 
ejemplo, de mate o de coronaci6n de un peOn) enti1lll en estA categoria de 
jugadas llicticas, y cuando dichas posibilidades se encuentran al final de Ia 
bUsqueda se debe continuar el aruilisis (solo en aquellas variantes 
particulares que empiezan con lajugada llictica) unas pocasjugadas mas, 
basta que tales jugadas con canlcter forzado desaparezcan. Esta idea surgi6 
ya en el trabe,jo de Turing para Ia maquina Turochamp, como su colaborador 
David Champernowne describe (Turing y Copeland, 2004). Hoy en dia, todos 
los programas utilizan tecnicas (variadas) de busqueda de posiciones 
estahles, a traves de las llamadas extensiones. Volveremos a este tema m8s 
adelante en el libro, ya que hay muchas propuestas de como realizar una 
bU.queda de posiciones estables {panl poner dos ejemplos te6ricos, Kaindl, 
1983; Beal, lggo). 
• La selectividad es una capacidad de los programas de ajedrez 
relacionada con Ia anterior. Su idea es tratar de descubrir aquellas lineas de 
juego "interesantes" o forz.adas que tienen mayores posibilidades de 
convertirse en Ia variante principal, pero a Ia vez, tener un metodo para 
eliminar aquellas jugadas que no van a pertenecer a ninguna variante 
principal. Por variante principal entendemos Ia sucesi6n de jugadas que el 
programa considera como Ia mejor posible, y que por tanto espera que se 
jueguen en Ia partida que se est& analizando. Una manera de descartar 
jugadas o lineas obviamente irrelevantes es esencial en Ia programaci6n 
para limitar Ia carga computacional. Una de las formas de seleccionar solo 
las variantes mas relevantes es Ia bU.queda con profundidad variable (en 
funci6n de Ia variante que se esbi analizando), lo que nos lleva a las mismas 
ideas de bU.squeda de posiciones estables y de Ia teoria de las extensiones (es 
decir, aquellas subrutinas que incrementan Ia profundidad. en determinad.as 
situaciones consideradas "interesantes" para Ia evaluaci6n). 
• El aprendizaje (machine learning) es el proceso de adquisicion 
automlitica de nuevos conocimientos a traves de Ia experiencia previa. 
similar a Ia forma en Ia que asimilamos nuevos conocimientos los humanos. 
En el caso de los programas de ajedrez. se trata de implementar algoritmos 
que permiten aJ programa cambiar su actuaci6n y toma de decisiones a base 
de asimilar Ia experiencia de las partidas jugadas o analizadas 
anteriormente. Ocurre. por ejemplo. cuando se prueba el programajugando 
contra varios adversarios, tanto humanos como otras m&quinas. 
Tambif�n es import.ante a Ia hom de implementar en el algoritmo un 
libro de aperturas, porque Ia teoria de aperturas est& en continuo cambio y 
es necesario que el prognuna pueda asimilar e introducir en sus B.rboles de 
variantes las novedades mBs recientes. Turing introdujo esta idea en el 
diseiio de su programa de ajedrez (Turing, 1953) al proponer que Ia rrniquina 
intentase variaciones en sus datos, como, por ejemplo, variar ligeramente los 
valores numericos asignados a distintos aspectos incluidos en Ia funci6n de 
evaluacion, y adoptar aquellos que dan los mejores resultados. Esta idea hace 
que Ia rrniquina de ajedrez de Turing sea un primer ejemplo de lo que hoy en 
dia se conoce como algoritmo genetico. En Ia actualidad, todos los programas 
tienen incorponldos algoritmos pam el aprendizaJe. 
Metodos de selecci6n 
La poda alfa-beta Como hemos dicho anterionnente, volvemos al tema 
de Ia selectividad, es decir, aquellos procedimientos que permiten a los 
programas de ojedrez evitar una carga computacional excesiva, al eliminar 
varias de las lineas consideradas "no interesantes" sin investigarlas en 
proli.mdidad. Dichas tecnicas se Uaman "podas" (en ingles, pruning) y han 
sido un tema importante de investigaci6n entre los te6ricos y programadores 
de ojedrez. Hay muchas variantes de "podas" que se han propuesto como 
resultado de esta proliftca investigaci6n, pero prohahlemente Ia tecnica de 
selecci6n y descarte mas conocida y con mayor valor hist6rico (y de 
comprensi6n de las ideas para el lector) es Ia Uamada poda alfa-beta 
(tambien conocida como "el algoritmo alfa-beta" o bien "Ia heuristica alfa­
beta" -alpha-beta pruning-). Vamos a explicar, usando esta tecnica, cuales 
son las ideas que Connan Ia base de estas "podas". 
La poda alfa-beta parece haber sido introducida por John McCarthy en 
1956 en Ia Conferencia de Dartmouth, aunque ideas similares existian ya 
debido a su naturalidad. Sin embargo, sus bases te6ricas han sido 
organizadas en un articulo posterior escrito por Newell, Clark and Simon 
(1958). Tras este articulo, ha habido reftnamientos y mejoras del algoritmo, de 
los cuales mencionamos aquellos realizados por Knuth y Moore (Knuth y 
Moore, 1975) o Judea Pearl, que ha probado materruiticamente Ia eftcacia del 
algoritmo (Pearl, 1982)8. 
La idea del algoritmo es eliminar grandes partes del lirbol de blisqueda 
en el aruilisis de una posiciOn de ajedrez (que sigue usando el algoritmo 
minimax como base) a traves de trahajar con una cota superior y una cota 
inferior para Ia evaluaci6n realizada basta un detenninado momenta, y 
eliminando aqueUas nunas cuya evaluaci6n dista mucho de mejora.r las 
acotaciones ya existentes. Concretamente, el algoritmo define y mantiene 
dos valores numCricos (de forma din3.mica., ya que pueden cambiar en carla 
paso si se encuentra una variante Optima): 
· a (alfa). Representa el valor maximo alcanzado basta el momento actual 
(en Ia ejecucion del algoritmo para analizar una posicion) para el bando que. 
en el minimax. aspira a maximizar su evaluaci6n (tipicamente el bando de las 
blancas); es decir, funciona como una acotaci6n superior de Ia evaluaci6n 
que. a lo largo del camino. se esta considerando dentro del arbol de blisqueda 
con el algoritmo minimax. 
• p (beta). Representa el valor de Ia mejor opcion para el bando que. en Ia 
ejecuci6n del algoritmo minimax, aspira a minimizar Ia evaluaci6n 
(tipicamente el bando de las negras). 
La bUsqueda elimina ramas enteras del Brbol cuando el valor que se esta 
examinando no mejora las dos acota.ciones a y p v8.1idas en el momento 
considerado (usando una tecnica de programaciOn mas general. conocida 
como branch-and-bound). Pero todas estas explicaciones generales tienen 
un car.icter bastante abstracto. Para ver cOmo funciona el algoritmo. vamos a 
presentar unos ejemplos sencillos. 
SUpongamos primero que nos enconb'amos delante de una posiciOn de 
ajedrez donde es el tumo de las blancas pamjugar, y queremos evaluar solo 
con profund.idad 2 (es decir, la primerajugada de las blancas y Ia respuesta 
de las negras): tan solo 2jugadas o unajugada completa, en Ia tenninologia 
utilizada en ajedrez. Tomamos unajugada blanca y Ia evaluamos,junto con 
todas las respuestas de las negras. Supongamos que nuestra conclusiOn es 
que las blancas logran una ligera venta,ja contra Ia mejor respuesta de las 
negras (evaluaciOn positiva en tenninos matem&ticos). Tomamos ahora otra 
jugada blanca diferente a partir de Ia posiciOn inicial y empezamos a analizar 
las respuestas de las negras a esta Si en una de ellas nos enconb'amos que 
ya las negras logran ventaja o ganan material (evaluaciOn negativa en 
tenninos materruiticos si se usa Ia variante negamax). descartamos por 
completo tanto esajugada blanca como todas las respuestas negras posibles 
sin anali.arlas, ya que esta claro que por esta rama del &rbol de blisqueda no 
vamos a mejorar Ia evaluacion que ya tenemos a partir de Ia primerajugada 
blanca analizada La evaluacion de Ia primerajugada blanca considerada 
actUa de esta manera como una acotaciOn inferior para Ia evaluaci6n global: 
sabemos que al menos esa ventaja Ia tenemos asegurada. por tanto, tiene 
sentido buscar solo aquellas jugadas que mejoren esta evaluaciOn. 
Pasemos ahora a una btisqueda mas profunda. pero siguiendo el mismo 
plan para descartar nunas del