Resolución de Problemas Asesorí

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2020-2
DECIMOCTAVA ASESORÍA 
CILINDRO Y TRONCO DE CILINDRO
POSTULADO DE CAVALIERI
CONO Y TRONCO DE CONO
Problema 01
En un cono circular recto, la generatriz es congruente al diámetro AB de la
base, la longitud del menor recorrido para ir de A hacia B, pasando por la
superficie lateral del cono es a, entonces el volumen del sólido determinado
por el cono es.
A)
𝜋a3 3
48
B)
𝜋a3 6
48
C)
𝜋a3 6
96
D) 
𝜋a3 3
96
E) 𝜋a3 3
Resolución 01 
En un cono circular recto, la generatriz es congruente al diámetro AB de la base, la
longitud del menor recorrido para ir de A hacia B, pasando por la superficie lateral del
cono es a, entonces el volumen del sólido determinado por el cono es.
V
B
A
Longitud del menor recorrido 
para ir de A hacia B: a
R
R
g = 2R
A
B
V
a
gg
g
. Capacidad del cono: V =
1
3
(𝜋R2)h
Ángulo del desarrollo
El desarrollo de la
superficie lateral es
un semicírculoh
. De la figura: a = g 2 ➔ R =
a
2 2
y h =
a 3
2 2
. Reemplazando: 
. V =
1
3
(𝜋)(
a
2 2
)2(
a 3
2 2
) ➔ V =
𝜋a3 6
96
Clave: C 
β = 360
R
g
=180
A
Problema 02
En un cono circular recto de vértice O, AOB es la sección axial, se ubican
los puntos M y N en OB y AM respectivamente, por N se traza un plano
paralelo a la base. Si m∠AMO = 90, AO = 13 u, OM = 5 u y AN = NM,
entonces el área (en u2) lateral del tronco de cono determinado es
A)
176𝜋 13
3
B)
176𝜋 13
13
C)
181𝜋 13
3
D) 
146𝜋 13
9
E) 6𝜋 13
Resolución 02 
En un cono circular recto de vértice O, AOB es la sección axial, se ubican los puntos
M y N en OB y AM respectivamente, por N se traza un plano paralelo a la base. Si
m∠AMO = 90, AO = 13 u, OM = 5 u y AN = NM, entonces el área (en u2) lateral del
tronco de cono determinado es
O
A B
M
N
P Q
5
4
g = 4
13
. Área Lateral del tronco de cono: 
. SL = 𝜋(r1 + r2)g
. ∆AMO: AM = 12 ➔ AN = NM = 6
Reemplazando:
. ∆POQ ~ ∆AOB: 
. ∆NMQ: NQ = 2 13
2r1
4 13
=
9
13
➔
➔ 2r2 = 4 13
2r1 =
36 13
13
. SX = 𝜋(
18 13
13
+ 2 13)4
SX =
176𝜋 13
13
r2 
6
6
Clave: B 
3
r1 
SL
r2 
Problema 03
En un prismoide, las bases y las caras laterales son regiones triangulares
regulares. Si el volumen del sólido limitado por el prismoide es V, entonces
el volumen del sólido determinado por el cono, cuya base está inscrita en la
sección media y el vértice del cono es uno de los vértices del prismoide, es.
A)
𝜋 3V
24
B)
𝜋 3V
28
C)
𝜋 3V
30
D)
𝜋 3V
32
E)
𝜋 3V
36
Resolución 03
En un prismoide, las bases y las caras laterales son regiones triangulares regulares.
Si el volumen del sólido limitado por el prismoide es V, entonces el volumen del
sólido determinado por el cono, cuya base está inscrita en la sección media y el
vértice del cono es uno de los vértices del prismoide, es.
Clave: D 
A
B
C
D E
F
O
h
2
Vcono: volumen del sólido determinado por el cono; Vcono = ?
h
2
2a
2a
2a
2a
2a
a
aa
a
2a
a
aa 3
2
Teorema: Vcono = 
𝜋
a 3
2
2
(
h
2
)
3
= 
𝜋 a 2(h)
8
. . . (1)
Prismoide: V = 
(
2a
2
3
4
+
2a
2
3
4
+ 4(
6 a 2 3
4
))(h)
6
V = 
4 3 a 2(h)
3
. . . (2)
De (1) y (2): Vcono = 
𝜋 3V
32
Indique el valor de verdad de cada proposición:
I. En el tronco de cono circular recto, las bases son semejantes.
II. En algún tronco de cono de revolución, las generatrices diametralmente 
opuestas y el diámetro de la base menor pueden ser congruentes.
III. El tronco de cono de revolución, se obtiene al girar un trapecio 360 
alrededor de una recta que contiene a una de las bases.
A) VFV B) FVF C) VVV
D) VVF E) FFF 
Problema 04
Resolución 04
Indique el valor de verdad de cada proposición:
I. En el tronco de cono circular recto, las bases son semejantes.
II. En algún tronco de cono de revolución, las generatrices diametralmente 
opuestas y el diámetro de la base menor pueden ser congruentes.
III. El tronco de cono de revolución, se obtiene al girar un trapecio 360 alrededor 
de una recta que contiene a una de las bases.I.
Las bases son semejantes
VERDADERA
II. VERDADERA III.
El tronco de cono de revolución, se obtiene al 
girar un trapecio rectángulo 360 alrededor de 
una recta que contiene el lado perpendicular a 
las bases
FALSA
Clave: D 
Problema 05
En la superficie lateral de un cono circular recto se ubican los puntos A, B y
C tal que ABCO es un tetraedro regular, siendo O el centro de la base del
cono. Si AB = 6 u y la capacidad del cono es mínima, entonces la longitud
(en u) de la altura del cono es
A) 12 6 B) 8 6 C) 6 6
D) 4 6 E) 9 6
Resolución 05
C
B
A
FE
O
Condición: capacidad del cono es mínima
… (1)
Semejanza de conos
R = 
2 3H
H – h
⇒
(2) en (1):
Clave: C 
6
6
6
6
RR
h
P
G
Altura del cono: PO = H = ?
Capacidad del cono:
𝑉 =
1
3
𝜋R2 H
Altura del tetraedro: h =
6 6
3
h = 2 6
R 3
6
=
H
H – h
⇒ … (2)
𝑉 =
1
3
𝜋
2 3H
H – h
2
H ⇒ 𝑉 = 4𝜋H
3(h – H)−2
H + (h – H) = h = 2 6
La capacidad del cono será mínima si: H
3
=
h – H
−2
⇒ H = 3h = 6 6
En la superficie lateral de un cono circular recto se ubican los puntos A, B y C tal que
ABCO es un tetraedro regular, siendo O el centro de la base del cono. Si AB = 6 u y
la capacidad del cono es mínima, entonces la longitud (en u) de la altura del cono es
Problema 06
En un cuadrado ABCD, con centro en A y radio AB se traza el arco BD, en
el cual se ubica el punto F. El sector circular BAF es la superficie lateral de
un cono circular recto cuya base es un círculo tangente a BC, CD y al arco
BD. Si AB = 3 + 2 2 u, entonces el área lateral (en u2) del cono es
A) π B) 2π C) 4π
D) 3π E) 5π
Resolución 06
g = 3 + 2 2
g
… (1)Área lateral del cono: SL = πrg
Generatriz:
AC = g + r + r 2 = g 2
(2) y (3) en (1):
Clave: A 
F
D
T
B
A
g
g
O
C
r
r(1 + 2) = g( 2 − 1)
r = g(3 - 2 2)
… (2)
… (3)
SL = πg
2(3 - 2 2)
SL = π
En un cuadrado ABCD, con centro en A y radio AB se traza el arco BD, en el cual se
ubica el punto F. El sector circular BAF es la superficie lateral de un cono circular
recto cuya base es un círculo tangente a BC, CD y al arco BD. Si AB = 3 + 2 2 u,
entonces el área lateral (en u2) del cono es
Problema 07
En un tronco de cilindro circular recto está inscrita una esfera de longitud de
radio R y la generatriz mínima es nula. Si el área lateral es cuatro veces el
área de la base y
5 + 1
2
=  , entonces la capacidad del cilindro es
A)

4
R33 B)

4
R34 C)

2
R33
D)

8
R36 E)

4
R36
Resolución 07
Clave: E 
En un tronco de cilindro circular recto está inscrita una esfera de longitud de radio R y
la generatriz mínima es nula. Si el área lateral es cuatro veces el área de la base y
5 + 1
2 =  , entonces la capacidad del cilindro es
V = r2(
g
2
)
 g = 4r
Para el tronco: … (I)
2r
Teorema de Poncelet:
… (II)Dato: SL = 4SBASE  2(r)(
g
2
) = 4(r)2
(II) y (III) en (I):
g
y b = 2r 5
2r + 4r = 2r 5 + 2R  r =
R
3 − 5
 r3 =
R3
8
(2)3  r3 =
R36
8
… (III)
V = r2(
4r
2
) = 2r3
V = 2 (
R36
8
)
V =

4 R
36
Sabemos:
2 =  +1
Dato: R
R
r =
R(3 + 5)
4
=
R
2
(
3 + 5
2
)
r =
R
2
( + 1)
=
R
2
(1 +
1 + 5
2
)
Problema 08
El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución tiene
perímetro L. Determine la capacidad de dicho cono, si el área lateral es
máxima.
A)
L3 2 − 1
1922
B)
L3 2 − 1
962
C)
L3 2 − 1
482
D)
L3 2 − 1
242
E) 
L3 2 − 1
1922
Resolución 08
Clave: A 
El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución tiene perímetro L.
Determine la capacidad de dicho cono, si el área lateral es máxima.
SL =
1
2
(L−2x)x
V =

3
y2h … (1)
x
y
h x
x
 SL = (
L
2
− x)x Como: (
L
2
− x) + x =
L
2
= cte
Para SL máxima:
L
2
− x
1
=
x
1
 x =
L
4
Luego: 2y = L − 2x  y =
L
4
h2 = x2 – y2
En (1): V =

3
(
L
4
)2(
L
4
2 – 1) 
V =
L3 2 − 1
1922
 h =
L
4
2 – 1
SL
Problema 09
Las bases de dos conos circulares rectos son coplanares, las longitudes
de las alturas son 12 u y 8 u, los radios de las bases tienen longitudesde
2 u y 3 u respectivamente, si el plano paralelo a las bases, determina en
los conos secciones equivalentes, entonces el área (en u2) de la sección
es
A) 1,21π B) 1,69π C) 2,25π
D) 1,44π E) 1,96π
01
Resolución 09
Las bases de dos conos circulares rectos son coplanares, las longitudes de las
alturas son 12 u y 8 u, los radios de las bases tienen longitudes de 2 u y 3 u
respectivamente, si el plano paralelo a las bases, determina en los conos secciones
equivalentes, entonces el área (en u2) de la sección es
Clave: D 
12
8
y
y
r r
12 - y
8 - y
SX área de la sección determinado en cada cono 
( SX = πr
2 )
Por semejanza de triángulos
12−y
12
= 
r
2
→ 24 – 2y = 12r …..(1)
8−y
8
= 
r
3
→ 24 – 3y = 8r …..(2)
De (1) y (2): r = 1,2
Luego: SX = π(1,2)
2 → SX = 1,44π
2 3
Problema 10
En un tronco de cilindro circular recto, el volumen es numéricamente igual al
área de la superficie lateral, si la diferencia entre las longitudes de las
generatrices mayor y menor es 3 u, entonces el área (en u2) de la base
mayor del tronco es
A) 3π B) 4π C) 5π
D) 6π E) 7π
01
Resolución 10
En un tronco de cilindro circular recto, el volumen es numéricamente igual al área
de la superficie lateral, si la diferencia entre las longitudes de las generatrices
mayor y menor es 3 u, entonces el área (en u2) de la base mayor del tronco es
Clave: C 
SX = ? 
Dato: VT.CILINDRO = SL y a - b = 3
⇒ πR2
a+b
2
= 2πR
a+b
2
⇒ R = 2
Teorema:
SX cos37 = π2
2 ⇒ SX = 5π
SX
bb
3
37
a
RR
4
Problema 11
La figura muestra dos cilindros de longitud de radio R y de ejes secantes y
perpendiculares. Calcule el volumen del sólido determinado por la intersección
de los dos cilindros.
A)
3R3
4
B)
3R3
8
C)
4R3
3
D)
8R3
3
E)
16R3
3
Por teorema de Pitágoras:
Luego, 
Por postulado de Cavalieri:
Piden: 
R
R
h
Resolución 11
La figura muestra dos cilindros de longitud de radio R y de ejes secantes y
perpendiculares. Calcule el volumen del sólido determinado por la intersección de los
dos cilindros.
R
h
a
a
R
h
h
R
R
1S 2S
1V 2V
2 2 2a h R+ = 2 2 2a R h = −
2
1S a=
2 2
2y S R h= −
1 2S S=
1 2V V=
( )3 21
1
V R R R
3
= −
3
1
2
V R
3
=
3
1
16
8V R
3
=
Clave: E 
Problema 12
Dos conos circulares rectos tienen en común solo el vértice y las bases
están situados en planos paralelos, el polígono que determina a la sección
axial del tronco de cono que tiene por bases a las bases de los conos está
circunscrito a una circunferencia que tiene por centro al vértice. Si el área la
sección transversal del tronco de cono que contiene al vértice es igual a S,
entonces el área lateral del tronco de cono es
A) S B) 2S C) 3S
D) 4S E) 8S
Sea SL el área lateral del tronco de cono
Del dato:
Por teorema:
Finalmente,
Resolución 12 
S
h
h
r r
R R
x
2x S =
R r
x
2
+
=
r
R
( )( )LS R r R r=  + +
( )
2
LS 2x= 
2
LS 4 x= 
LS 4S =
R r 2x + =
Dos conos circulares rectos tienen en común solo el vértice y las bases están
situados en planos paralelos, el polígono que determina a la sección axial del tronco
de cono que tiene por bases a las bases de los conos está circunscrito a una
circunferencia que tiene por centro al vértice. Si el área la sección transversal del
tronco de cono que contiene al vértice es igual a S, entonces el área lateral del tronco
de cono es
Clave: D 
Problema 13
En un tronco de cilindro circular recto, AD y BC son las generatrices mínima
y máxima respectivamente (A y B en la base circular del tronco), tal que
AD = 3 u y BC = 5 u, además T es punto de la circunferencia de la
base. Si (TC)2 + (TD)2 = 50 u2, entonces el volumen (en u3) del sólido
limitado por dicho tronco es
A) 12𝜋 B) 14𝜋 C) 16𝜋
D) 18𝜋 E) 20𝜋
Clave: C 
Resolución 13
C
En un tronco de cilindro circular recto, AD y BC son las generatrices mínima y
máxima respectivamente (A y B en la base circular del tronco), tal que AD = 3 u y
BC = 5 u, además T es punto de la circunferencia de la base. Si (TC)2 + (TD)2
= 50 u2, entonces el volumen (en u3) del sólido limitado por dicho tronco es
5
T
AB
3
D
R R
a b
En ∆ ATB: pitágoras
a2 + b2 = 4R2
También: TC2 + TD2 = 50
52 + a2 + 32 + b2 = 50
52 + 32 + a2 + b2= 50 
52 + 32 + 4R2 = 50
R = 2
Volumen tronco = 𝜋22
5 + 3
2
= 16𝜋
Problema 14
En un cono oblicuo, su altura es trisecada por dos planos paralelos a su
base. Calcule la relación entre los volúmenes del sólido del cono
comprendido entre los planos paralelos y del sólido comprendido entre la
base y la sección transversal de mayor área.
A)
2
7
B) 
5
13
C) 
5
11
D)
7
19
E) 
9
14
Clave: D 
Resolución 14 
V1
V2
V3
h
h
h
En un cono oblicuo, su altura es trisecada por dos planos paralelos a su base. Calcule la
relación entre los volúmenes del sólido del cono comprendido entre los planos paralelos y
del sólido comprendido entre la base y la sección transversal de mayor área.
Semejanza de conos: 
V1
V
= 
h3
27h3
⟶ V1= 
V
27
V1
V1 +V2
= 
h3
8h3 ⟶V2 = 7V1
⟶ V2 = 
7V
27
V3 = V - V1 - V2 = 
19V
27
V2
V3
= 
7
19
Problema 15
En un tronco de cilindro oblicuo circunscrito a una esfera, su sección recta
es circular, sus bases congruentes, sus generatrices están inclinadas 60
con respecto a sus bases y la generatriz mayor mide g. Calcule la
capacidad del tronco.
A) 
g3
15
B) 
g3
16
C) 
g3
18
D) 
g3
20
E) 
g3
21
En un tronco de cilindro oblicuo circunscrito a una esfera, su sección recta es circular,
sus bases congruentes, sus generatrices están inclinadas 60 con respecto a sus
bases y la generatriz mayor mide g. Calcule la capacidad del tronco.
60
g
60
•
O
r
A B
M
C
N
OP = 2r, PM = g
3
2
y r = g
3
6
. ANP equilátero: AP = AN = g. Sea O es centro de la 
esfera OM = r
P
r
r
g
g/3
= g 3/6
. APN ~ BPC  BC = 
g
3
. VTRONCO = x
. x = SS.RECTA (EJE) = r
2 (
AN + BC
2
) 
x = (g
3
6
)2 (
g +
g
3
2
) 
x = (
g2
12
) ( 
4g
6
) 
x = 
g3
18
Clave: C 
Resolución 15
Problema 16
En un cono de revolución cuya capacidad es
2 2
3
r3 y el radio de la base
mide r, al desarrollar su superficie lateral se inscribe un círculo cuya área es
A) 15(7 - 4 3) r2 B) 18(7 - 4 3) r2 C) 21(7 - 4 3) r2
D) 24(7 - 4 3) r2 E) 27(7 - 4 3) r2
En un cono de revolución cuya capacidad es
2 2
3 r3 y el radio de la base mide r, al desarrollar
su superficie lateral se inscribe un círculo cuya área es
O A
V
r
h
g
V
A
A
g
g
•
y
Desarrollo de la superficie lateral
x
. VCONO = 
2 2
3
r3 = r2(
h
3
) 2 2r = h
. En el ⊿VOA: h2 + r2 = g2  (2 2r)2 + r2 = g2
3r = g
. SCIRCULO = x
=3r
. 2pbase cono = Long. del arco 2r = 2g(
α
360
) 
α
120 = α 
T
Q
. En el ⊿VTQ por ∠ 60: VT = y
3
, VQ = 2
y
3
S
. VS = VQ + QS  VS = 3r = 2
y
3
+ y 
3r(2 3 - 3) = y 
. x = 27(7 - 4 3) r2
Clave: E
Resolución 16
Problema 17 
En un hexaedro regular ABCD-EFGH, en CG se ubica el punto M. Si GM =
7 u y BH = 3 3 u, entonces el volumen (en u3) del cono cuyo vértice es A
y su base circular esta inscrito en el triángulo EMH es
A) 
π
3
B) 
2π
5
C) 
3π
5
D) 
5π
4
E) 
3π
4
Resolución 17
Clave: E
En un hexaedro regular ABCD-EFGH, en CG se ubica el punto M. Si GM = 7 u y BH = 3 3 u,
entonces el volumen (en u3) del cono cuyo vértice es A y su base circular esta inscrito en el
triángulo EMH es
C
D
B
A
G
H
M
E
7
3
3
R
453
VCONO = ?
Por teorema de las tres perpendiculares
m∠EHM = 90
Δ MHG : (MH)2 = 72 + 32 → MH = 4 
VCONO = 
1
3
πR2h
D:A C:B
F
H:E G:F
M
3
3
h
4
α
α
Δ EMH : R = 1
cosα =
h
3
= 
3
4
h = 
9
4
VCONO = 
1
3
π12 (
9
4
)
∴ VCONO = 
3π
4
Problema 18
En un cono de revolución, el radio de la base tiene longitud r y la generatriz
mide g. La longitud del radio de la sección paralela a la base, cuya área sea
igual al área lateral del tronco de cono resultante es
A) r
g
g+r
B) g
r
g+r
C)
g
r
r(g+r)
D) 
r
g
g(g+r) E) 
r
g
r(g+r)
Resolución 18
Clave: A
En un cono de revolución, el radio de la base tienelongitud r y la generatriz mide
g. La longitud del radio de la sección paralela a la base, cuya área sea igual al área
lateral del tronco de cono resultante es
S
S
r
x
g
x = ?
S =πx2
Por conos semejantes :
SL cono total
SL cono parcial
=
r2
x2
SL cono total
SL cono total−SL cono parcial
=
r2
r2−x2
SL cono total
SLtronco de cono
=
r2
r2−x2 →
πrg
πx2
=
r2
r2−x2
∴ x= r
g
r+g
r
x
Problema 19
En un tronco de cilindro circular recto, AB es un diámetro de la base. Las
generatrices máxima y mínima AC y BD miden k y q respectivamente. Si AD
⊥ BC, entonces el volumen del solido determinado por el tronco es
A)
kq(k+q)
2
B)
kq(k+q)
4
C)
kq(k+q)
6
D)
kq(k+q)
8
E)
kq(k+q)
10
Resolución 19
Clave: D 
En un tronco de cilindro circular recto, AB es diámetro de la base. La generatrices
máxima y mínima AC y BD miden k y q respectivamente. Si AD ⊥ BC, entonces el
volumen del solido determinado por el tronco es
k
A B
C
D
R
q
VTRONCO = ?
R
VTRONCO =  R
2 (
k+q
2
) ………..(I)




ABD  CAB
2R
k
= 
q
2R
 R2 = 
qk
4
Reemplazando en (I)
VTRONCO = (
qk
4
) (
k+q
2
)
VTRONCO = 
kq(k+q)
8
Problema 20
En un cono de revolución de vértice O, AC es un diámetro de la base, se
inscribe un cilindro de revolución donde una base está contenida en la base
del cono siendo G el centro de la otra base del cilindro, tal que AG ⊥ OC. Si
los radios de las bases del cilindro y el cono miden r y R respectivamente,
entonces el volumen del solido determinado por el cono es
A)
R3 R
2 R − r
B)
R3 R
3 R − r
C)
R3 R
4 R − r
D)
R3 R
5 R − r
E)
R3 R
6 R − r
Resolución 20
Clave: B 
En un cono de revolución de vértice O, AC es un diámetro de la base, se inscribe un cilindro
de revolución donde una base está contenida en la base del cono siendo G el centro de la
otra base del cilindro, tal que AG ⊥ OC. Si los radios de las bases del cilindro y el cono miden
r y R respectivamente, entonces el volumen del solido determinado por el cono es
A C
O
r
R
F
N
M
H
VCONO = ?
VCONO = 
1
3
 R2H ………..(I)


OEC  AEG  MNC
H
R
= 
R
h
= 
h
R − r
hh
H2
R2
= 
R
h
x 
h
R − r
 H = 
R R
R − r
Reemplazando en (I)
VCONO = 
R3 R
3 R − r
E
R – r 
G
Problema 21
La base de un cono de revolución está inscrita en una de las caras de un
hexaedro regular y sus generatrices intersecan a la cara opuesta. Si la
altura del cono mide H y el área lateral del hexaedro es A, entonces el
volumen del sólido limitado por el cono deficiente de altura 2 es
A)
πA
3H2
B)
πA
6H2
C)
2πA
3H2
D) π
3AH
16
E)
3πA
16
Resolución 21 
CB
A D
F
E
P
H
G
2
a
B1
O
a
a
B2
Dato: AL = 4a
2 = A
V =
1
3
B2(2) = 
πA
6H2
a2 = 
A
4
Por semejanza de conos
B2
B1
=
2
H
2
⇒
B1 = π
a
2
2
= π
A
16
Clave: B 
H
Volumen del cono:
⇒
B2
π
A
16
=
2
H
2
⇒ B2 = π
A
4H2
La base de un cono de revolución está inscrita en una de las caras de un hexaedro
regular y sus generatrices intersecan a la cara opuesta. Si la altura del cono mide H
y el área lateral del hexaedro es A, entonces el volumen del sólido limitado por el
cono deficiente de altura 2 es
Problema 22
AB y CD son dos generatrices diametralmente opuestas de un cilindro de
revolución siendo AC diámetro, se trazan dos planos secantes que tienen
en común el punto N de CD y que intersecan a AB en los puntos M y B,
determinándose un tronco de cilindro. Si m∠NBD = 45, BM = 4(AM), BD =
12 u y la distancia entre los puntos medios de AC y MN es 6 u, entonces el
volumen (en u3) del solido limitado por el tronco de cilindro determinado es
A) 120π B) 142π C) 148π
D) 288π E) 384π
Resolución 22
Clave: D 
45
6a - 12
6
a
a = 4 
Por teorema
a + b
2
= 6
ΔNDB : notable de 45 y 45
b
4a
b = 12 - a
V = SSR
4a
2
V =π(6)2
4a
2 V = 288π
6a -12 = 12
A
B
C
D
M
N
12
⇒
⇒
⇒
Vx
Vx = ?
AB y CD son dos generatrices diametralmente opuestas de un cilindro de revolución siendo
AC diámetro, se trazan dos planos secantes que tienen en común el punto N de CD y que
intersecan a AB en los puntos M y B, determinándose un tronco de cilindro. Si m∠NBD = 45,
BM = 4(AM), BD = 12 u y la distancia entre los puntos medios de AC y MN es 6 u, entonces
el volumen (en u3) del solido limitado por el tronco de cilindro determinado es
Problema 23 
En una semicircunferencia de diámetro AB, se ubican los puntos C y D (C
en el arco AD), A – E – B, tal que DE es diámetro de un circulo de centro I,
que es la base de un cono de revolución de vértice C. Si C – I – B, CD = 6 u
y AE = 8 u, entonces el área de la superficie lateral del cono es
A) 3π B) 4π C) 5π
D) 6π E) 7π
Resolución 23
q
q
A E B
C
D
6
6
6
2q
2q
H
8
4 4 1
r
r
I
ASL = π(r)(g) = π(r)(6) …(1)
∆EBD: Isósceles m∠EBI = m∠IBD = θ y
m෢AC = m෢CD = 2θ ⇒ AC = CD = 6
∆ACE es isósceles, AH = HE = 4
∆ACB, R. Métrica: 62 = (AB)(4)
AB = 9 ⇒ BE = 1
∆ACB ~ ∆EIB : r
6 = 
1
9 ⟹ r = 2/3
∴ ASL = 4 π
En una semicircunferencia de diámetro AB, se ubican los puntos C y D (C en el arco AD), A –
E – B, tal que DE es diámetro de un circulo de centro I, que es la base de un cono de
revolución de vértice C. Si C – I – B, CD = 6 u y AE = 8 u, entonces el área de la superficie
lateral del cono es
Clave: B 
ASL = ?
Reemplazando en (1)
Problema 24
En un cilindro de revolución, AB y CD son generatrices diametralmente
opuestas, O es centro de la base de diámetro AC, en AB se ubica el punto
T, OT es diámetro de la base de un tronco de cilindro de revolución cuyo eje
mayor de la otra base es MD (C – M – D). Si AT = 1 u y OC = 3 u,
entonces la relación entre los volúmenes de los solidos determinados por el
cilindro y tronco de cilindro es
A)
3
π B)
4
π C)
5
π
D)
6
π E)
7
π
Resolución 24
A
B
C
D
T
M
O
1
3 3
32
w
w
6
3
V
V
1
2
w
V1
V2
= ?
m∠TOA = m∠OMC = m∠BTD
∆TAO ~ ∆OCM : 1
3
= 
3
CM
⟹ CM = 3
∆TBD ~ ∆OAT : 1
2 3
= 
3
TB
⟹ TB = 6
∆OCM, OM = 2 3
2 3
4 3
∆TBD, TD = 4 3
L
I
Por teorema, IL = 
4 3 + 2 3
2 = 3 3
V1 = BH = π ( 3)
2.(7) = 21 π
V2 = (B)(IL) = π (1)
2.(3 3) = 3 3 π
1
1
y ∆TAO, OT = 2
∴
V1
V2
= 
7
π
En un cilindro de revolución, AB y CD son generatrices diametralmente opuestas, O es centro
de la base de diámetro AC, en AB se ubica el punto T, OT es diámetro de la base de un tronco
de cilindro de revolución cuyo eje mayor de la otra base es MD (C – M – D). Si AT = 1 u y OC =
3 u, entonces la relación entre los volúmenes de los solidos determinados por el cilindro y
tronco de cilindro es
Clave: E 
V1: volumen del cilindro, V2 = volumen del tronco de cilindro