Calculo Diferencial Derivadas

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
MG. ING. VÁSQUEZ DOMÍNGUEZ RIQUELMER APOLINAR
AUTOR:
EDICIÓN WORD :AÑO 2019
EDICIÓN PPT :AÑO 2021
LIMA- PERÚ
CÁLCULO DIFERENCIAL
Derivada
DERIVADAS 
Definición:
Otras notaciones para la derivada:
1. Si x= xo +h entonces h= x - x0 , y
2. Al incrementar h en la variable x se le denota ∆x= h = x - x0, y para tal incremento existe un incremento en el valor de la función al que se le denota
Y de lo cual se tiene:
3. 
 
 
 Lo que indica que la variable es x
4. o
Que se lee “derivada de f con respecto a x en el punto x0 (o en el punto x, respectivamente)”.
EJERCICIOS
1.Hallar la derivada de la función 𝒇 con regla de correspondencia:
𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟐 en 𝒙 = 𝒙𝟎
Resolución
 Por definición de derivada tenemos
 
2. Hallar la derivada de la función 𝒇 en el punto 𝒙 = 𝒙𝟎, donde 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙
 
Resolución
 
 Por definición de derivada tenemos:
	
Sabemos por teoría que:
 
 
 
Para nuestro caso 𝑎 = 𝑥0 y 𝑏 = ℎ, entonces:
 
 
 
Reemplazando en se obtiene:
 
 
4. Calcule la derivada de 
Resolución
ii) 
iii) 
iv) 
Por el paso iv) vemos que a derivada de es 
5. Encuentra la derivada de 
Resolución:
i)
ii)
iii)
iv)
La derivada de 
6.Encuentre la derivada de =
Resolución 
 
En consecuencia:
 
La derivada de 
Derivadas de algunas funciones básicas
A continuación, presentamos una tabla en donde se muestran las derivadas de ciertas funciones básicas:
		
	c	0
	X	1
	ax + b	a
		2x
		n
		
	Senx	Cosx
	Cosx	-Senx
	Tanx 	
	Cotx	
	Secx	Tanx.Secx
	Cscx	-Cot.cscx
	arcSenx	
	arcCosx	
	arcTanx	
		
	Lnx	
		
		
7.2.	Diferenciabilidad en un Punto
Definición: Se define función diferenciable en un punto como aquella para la cual existe la derivada en dicho punto. En el caso de funciones de varias variables no es posible la generalización directa de este razonamiento, pues pueden existir las derivadas parciales y, sin embargo, no hacerlo alguna de las derivadas direccionales. Por esta razón la definición de función derivable es un poco más compleja en este caso. Recordemos la definición para el caso de una variable:
Sea una función definida al menos en un entorno del punto , diremos que es derivable en el punto si existe ( y es infinito) el límite:
Que recibe el nombre de derivada de la función en el punto .
7.3.	Diferenciabilidad en un Intervalo
Definición: Se dice que una función es diferenciable en un intervalo, cuando es diferenciable en cada punto de dicho intervalo.
Teorema :
Sean f y g funciones diferenciables en un intervalo, entonces:
Demostración de (I):
 
 
	
 
	
Demostración (II):
 
Sumando y restando al numerador, para no alterar, tenemos:
 
 
Demostración de (III):
Según la definición de derivada se tiene:
Sumando y restandoal numerador, para no alterar tenemos:
Resolución
 
Ejemplos:
 Hallar la deriva de la función cuando x=π :
Aplicando el teorema (I) tenemos:
Entonces:
 
Si: 
 
 
Aplicando el teorema (II) se obtiene:
 
 
Reemplazando el valor de x:
 
 
Desarrollando las derivadas tenemos:
 
 
2. Hallar la derivada de la función:
 
Resolución:
Si: 
 
 
Entonces:
 
Aplicando el teorema (III)
 
Desarrollando las derivadas tenemos: 
 
 
Teorema:
Sea f una función diferenciable en un intervalo I y c una constante, entonces:
 
 Demostración:
1º Método: Por límites
 
 
 
 
 
2ºMétodo: Por teorema de derivada de un producto
 
 
Se sabe que la derivada de una constante es 0, por lo tanto:
 
 
Teorema:
Sea f una función diferenciable sobre un intervalo I, tal que , entonces:
 
Demostración: 
 
 
 
 
 
Ejemplo:
 Hallar la derivada de cuando x=2 si:
 
Resolución:
Aplicamos el teorema:
 …………. (1)
 Al desarrollar tenemos:
 
 
 ………….. (2)
(2) en (1):
 
Aplicando el teorema obtenemos:
 
 
 
Reemplazando el valor de x:
 
 
Teorema:
Sea f una función diferenciable en un intervalo I, se cumple:
 
Demostración de (I):
Según la definición de derivada se tiene:
 
Haciendo el cambio de variable se tiene:
 
Pero por equivalencia de límites: tenemos:
Demostración de (II):
Pero sabemos que , entonces tendremos:
Ejemplo:
Si: 
Halle: 
Resolución:
Multiplicamos por 2/2 dentro de límite:
Aplicamos el teorema (II):
Desarrollamos la derivada:
 
TEOREMA:
Sea f una función diferenciable en x, entonces para ese valor de x, existe una función que depende únicamente de h, tal que:
DEMOSTRACIÓN:
En la figura se muestra la gráfica de una función f y la recta tangente a esta gráfica en el punto x.
Sea Ls la recta secante a la gráfica de f en los puntos (x, y , entonces se puede calcular su pendiente de la siguiente manera:
Sabemos que la pendiente de la recta tangente en el punto , es la derivada de f en x, es decir , entonces podemos definir para el punto la función de la siguiente manera: , es decir:
………. (1)
Donde para el punto la función dependa únicamente de h.
Despejando se tiene:
 
De la ecuación (1) aplicando límites tenemos:
Entonces podemos enunciar lo siguiente:
 Si f es una función diferenciable en x, entonces para es x fijo existe una función que depende únicamente de h tal que:
 y 
La demostración sería la misma, se llegaría a la misma estructura solo que las variables son símbolos y por ello la simbología de las variables puede ser cualquiera.
Regla de la cadena:
Sean f y g funciones diferenciables en los intervalos J e I respectivamente, tal que , entonces se demuestra que:
Demostración:
…………. (1)
Para el valor de x se puede definir una función k, que depende únicamente de h, la función k la definimos así:
………………………. (2)
Reemplazando (2) en (1) tenemos:
……….. (3)
Por el teorema anterior sabemos que:
, 
Si: y , reemplazando en la función f, entonces se obtiene lo siguiente:
….. (4)
……….. (5)
(4) en (3):
…….. (6)
(2) en (6):
……. (7)
Pero sabemos por la ecuación (2) que , aplicamos límites tendremos:
Lo que significa que se aproxima a 0, cuando h se aproxima a 0, entonces podemos plantear la siguiente ecuación:
………. (8)
Reemplazando (5) en (8):
………………………… (9)
Reemplazando (9) en (7):
Regla de la cadena para tres funciones:
Sean f, g y w funciones diferenciables en los intervalos R, I y N respectivamente, tal que:
, entonces se demuestra que:
Demostración:
Sea: ………. (1)
………… (2)
Además:
……… (3)
(2) en (3)
 
Entonces por la regla de cadena para dos variables se puede escribir:
……….. (4)
(2) en (4)
, por la regla de la cadena se tiene:
…… (5)
(2) en (5)
Ejemplos:
Hallar la derivada de la función h, que tiene la siguiente regla de correspondencia:
Resolución:
Sea: 
 
 
Entonces:
 
Significa que está correcta la designación de reglas de correspondencias para las funciones f y g.
Derivamos h respecto a x, tenemos:
Por la regla de la cadena se tiene:
………. (1)
Pero , por lo tanto derivando se obtiene: 
Evaluando f’ en se tiene:
………… (2)
También derivando la función g, con regla de correspondencia , se obtiene: 
…………. (3)
(3), (2) en (1)
 
 Hallar la derivada de la función h, que tiene la siguiente regla de correspondencia
Resolución:
Sea: 
Entonces:
Significa que está correcta la designación de reglas de correspondencia para las funciones f y g.
Derivando h, respecto en x tenemos:
Aplicando la regla de la cadena se tiene:
…………….. (1)
Además , derivando se obtiene:
Evaluando f’ en se tiene:
Pero , entonces:
………….. (2)
También derivando la función g, con regla de correspondencia , se obtiene:
…………………. (3)
(3), (2) en (1)
3. Determine el valor de verdad.
 
Si: 
y
 
Entonces 
Resolución:
Por dato , entonces 
 
Derivando usando la regla de la cadena:
…….. (1)
Pero por , entonces evaluando en se tiene:
…………….. (2)
(2) en (1)
(Verdadero)
4. hallar la derivada de h en x donde 
Resolución:
Sean: 
	
Entonces
Corrobora lo planteado para f y g.
Derivada de h respecto a x
 ... (1)
Además, derivando la función f se obtiene:
Evaluando f’ en se tiene:
Pero g(x)=, entonces:
… (2)
También derivando la función g, con regla de correspondencia , obtiene:… (3)
(3),(2) en (1)
5. Hallar la derivada de 
Resolución:
1° Método (directo): 
Derivando f respecto a x según la regla de la cadena
=
 
2°Método (por etapas): 
Sean: 
Derivando f respecto de x:
Por la regla de la cadena se tiene:
… (1)
Además , derivando la función g se obtiene: 
Evaluando en se tiene:
Pero , entonces:
… (2)
También derivando la función h, con regla de correspondencia , se obtiene:
… (3)
(3), (2) en (1)
7.4. Derivación Implícita
 
Hasta esta parte del capítulo hemos estado de hablando de funciones que descritas mediante una ecuación de la forma y = f(x), en la cual se ve a X de manera explícita a y en términos de la variable x. En estas situaciones encontraremos ecuaciones como:
En esta ecuación encontramos una relación implícita en las variables X y Y.
Es un proceso para derivar expresiones de la forma f(x,y)=0, donde generalmente no se puede despejar la variable y.
En la expresión f(x;y)=0, tácticamente se entiende que y=(y)
Para hallar la derivada miembro a miembro para derivarla de la manera usual, se puede derivar dy/dx mediante la derivación implícita.
Proceso:
Este proceso tiene los siguientes pasos:
Derivar respecto a x los dos miembros de la ecuación F(x,y)= 0
Despejar 
Evaluar en el punto deseado.
Ejemplo:
Observar la ecuación 
Resolución:
Derivando respecto a x
2x(dx/dx) + 2y(dy/dx) + (9x) (1) (dy/dx) + (9(dx/dx)) (y)=0
2x(dx/dx) + 2y(dy/dx) + (9x)(1)(dy/dx) + (9(dx/dx))(y)=0
2x + 2y. y’ + 9x.y’+9y=0
Despejamos , que también puede ser representado por Y’.
Ejemplo:
Hallar para 
Ejemplo:
Hallar la derivada sea la función 
En este ejemplo se utilizará la notación 
Se busca la derivada de la expresión 
Otro método para derivar expresiones de la forma 
Este método usa derivadas parciales.
Se identifica la expresión .
Se calcula ) llamada deriva parcial de F respecto a X de la siguiente manera:
Para calcular las derivadas parciales respecto a una variable X de F, se procede a derivar como si solo existiera la variable 𝑥 ignorando la existencia de las otras variables a las que hay que considerar como parámetros y no como variables entonces tomamos a y que es función de x, y por consiguiente tener que derivar a x con la regla de la cadena.
Similarmente se calcula la derivada parcial de F respecto a la variable y.
Siguiendo a derivar como si solo existiera la variable x ignorando la existencia de las otras variables a las que hay que considerar.
Finalmente se obtiene mediante la siguiente ecuación:
Ejemplo:
Hallar en la ecuación 
Resolución:
La ecuación es de la forma 
Identificamos F en la expresión: 
Luego:
Pasos recomendados para poder despejar 
S i existe denominadores, halle y multiplique su M.C.M a fin de poderlos eliminar para que no sea muy extenso el problema.
B. Siempre intente eliminar los paréntesis aplicando la propiedad distributiva si es necesaria.
C. Agrupe los términos con y los otros términos en otra como una ecuación.
D. Saque su factor común de 
E. Pase a dividir el factor de 
Cálculo de 
 
Cálculo de 
Cálculo de 
Sabemos que:
(1), (2) en (3)
7.5 Derivada de orden superior 
Sea una función con regla de correspondencia y = f(x) , si derivamos f respecto a x obtendremos una función f’(x) , si derivamos f’ obtendremos una función f’’(x) , llamada derivada de f de orden 2, si derivamos f’’ respecto a x obtendremos f’’’(x) , llamada derivada de f de orden 3 y si continuamos así sucesivamente obtendremos las funciones f IV(x) , f V(x) ,…, f n(x) , donde f n(x) se denomina derivada de f de orden n respecto a x.
Ejemplo:
 f(x) = sen(x)
Entonces: 
	
	f’ (x) = cos(x) 			f’’ (x) = -sen(x)
	
	f’’’= -cos(x)			f IV(x) = sen(x)
	f V(x) = cos(x)			y así sucesivamente	
Diferenciabilidad y continuidad: 
Si una función es diferenciable en un punto entonces es continua en dicho punto.
Es decir, considerando la función f:
 f’ (xo) ∃ → 
Demostración
 
f ’(xo)= 
() f’(xo)= 
0.f’(xo)= 
0=
= f(xo)
=f(xo) L.q.q.d.
7.6 Derivadas Laterales
Derivada Lateral por la izquierda
Sea f una función en los reales, la derivada lateral por la izquierda de f en xo denotado por f’ (x-o) se define:
f’(x-o)= 
Derivada Lateral por la derecha
Sea f una función en los reales, la derivada lateral por la derecha de f en xo denotado por f’ (x+o) se define:
f’(x+o)= 
0
xo
xo +h
Y
X
f(x)
f’(xo) = f’(x-o) = f’(x+o) 
A continuación, se muestra algunos valores de h que se van aproximando cada vez más a 0
	Valores de h por la derecha	Valores de h por la izquierda
	H	h
	0,1	-0,1
	0,01	-0,01
	0,001	-0,001
Sea f una función en los reales tal que f sea continua en xo y en donde:
 f1(X) , x < xo
 f(X) = 
	 f2(X) , xo ≤ x
A continuación, se muestra la grafica de f:
m1
m2
f1
f2
0
xo
x
Y
Obsérvese que se ha extendido en la línea punteada la gráfica de f1, más allá de xo, también de f2 y nótese que se traza en xo las rectas tangentes a las curvas cuyas pendientes son m1 para la gráfica f1 y m2 para la gráfica f2, entonces se demuestra que:
m1 = f’1(xo) = f’ (x-o)
m2 = f’2 (xo) = f’ (x+o)
91
Teorema:
Una función f en los reales es diferenciable en x0 si y solo si las derivadas laterales por la izquierda y por la derecha son iguales en dicho punto, este teorema se puede enunciar más exactamente de la siguiente manera:
		 		f’(𝑥0) = 𝐿 ⟷ f’(𝑥-0) = 𝐿 ∧ f’(𝑥+0) = L
Sustento:
Sabemos por definición de derivada: f(xo) = , significa que se aproxima a 
f’(xo) = L a medida que h se aproxima a cero por la izquierda y significa también que se aproxima a f’(xo) = L a medida que h se aproxima a cero por la derecha.
Ejercicio:
 
Calcular a y b para que la función f sea diferenciable en todo su dominio, donde:
	
 x ≤ 1
 f(x) = 
 1 < x
Resolución
Calculamos la derivada de f 
	f’(x) = x ≤ 1
 
	f’(x)= 1 < x
Para que f sea diferenciable en x=1, debe cumplirse:
f’(1-) = f’(1+)
Entonces:
 = 
		 0= b = 0 Rpta.
Sabemos que una función diferenciable en x=1 es continua en x=1, entonces:
= f(1)
== f(1)
= = 
Pero b = 0, entonces operando se tiene que:
a = 2 Rpta
= = 
7.7 Razón de Cambio
Sea una función con regla de correspondencia y = f (x) entonces la razón de cambio promedio de f en el intervalo [a,b] denotado por se define:
A continuación, se muestra la grafica de una función f y véase que conforme x cambia de “a” hasta “b”, f(x) cambia de f(a) a f(b).
Y
f
f
∆Y
f(a)
∆Y
∆x
0
a
b
Observación: La razón de cambio promedio entre [a, b] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
Ejemplo:
Halla la razón de cambio promedio entre [1,3] de la función f cuya regla de correspondencia es:
Resolución
Sabemos que la razón de cambio promedio es: 
Para a = 1, b = 3 y evaluando se tiene: 
	
	
Por lo tanto:
	 Rpta.
La razón de cambio promedio entre [a,b] también se puede expresar de la siguiente manera:
La gráfica muestra el uso de un nuevo parámetro h, donde b= a + h
Y
f(a+h)
f
f(a)
0
a
a+h
Luego f(b)=f(a+h) y la razón de cambio promedio seria:
Razón de Cambio Instantáneo.
Sea f una función con regla
de correspondencia y=f(x), entonces la razón de cambio instantáneo de f en x denotado por , se define de la siguiente manera: 
Pero sabemos:
	
Por lo tanto 
A continuación, se muestra una interpretación gráfica de la razón de cambio instantáneo donde se puede apreciar que la razón de cambio instantáneo en x = xo es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en dicho punto.
Observación: La razón de cambio instantáneo tiene muchas aplicaciones en la vida cotidiana y su uso es frecuente en muchos campos de la ciencia.
0
xo	 x+h1 x+h2
X+h3
X
f
Ejemplo:
Una partícula se mueve a lo largo de la curva tal que su distancia al origen aumenta a razón de 6m/s. Hallar la velocidad a la que se encuentra la partícula en el punto (3.5).
Resolución:
Sea (x,y) un punto de la gráfica de la función 
 
Sea z la distancia de un punto de la gráfica hacia el origen de coordenadas
Velocidad promedio
Sea f(t) = y la función que determina la trayectoria recorrida por un móvil hasta el instante t, entonces la velocidad promedio del móvil en el intervalo de tiempo [to,t] es
Por el dato 6 = 
Derivar implícitamente respecto al tiempo 
 
Cuando la partícula está en (3,5)
Se encuentra a una velocidad de m/s Rpta.
Calculamos la derivada de f
Notamos que ≠ 0 por lo que x ≠ 2 v x ≠ -2 pero el dominio es de x < 0
Por lo que f no es derivable en x = -2
Ejercicio:
Indique si la función es diferenciable en todo su dominio:
			 , x < 0
		
			, 0 < x
Notamos que por lo que pero 0 no pertenece al dominio de f.
Concluimos que f es diferenciable pero no en todo su dominio ()
7.8 Diferencial
Sea f una función diferenciable en x, entonces la diferencial de f en x para un ∆x denotado por “dy”, se define:
Interpretación geométrica 
 Y
f(x+∆x)
f
dy=f '(x)∆x
f(x)
∆x
0
x+∆x
X
x
Sabemos que:
También sabemos que:
Para un punto fijo “x” sea una función definida así:
mLs
mLt
Significa que va a depender de ∆x
Entonces:
Ejercicio:
Hallar la diferencial de f en x = 5 para un ∆x = 3 donde 
Resolución
Por definición:
d
Para x = 5, ∆x = 3 se tiene:
 Rpta.
Diferencial de Orden Superior 
Si la función derivada f’(x) lo derivamos una nueva vez, obtendremos una nueva función f’’(x) y a esta lo derivamos otra vez obtendremos una nueva función f’’’ y así sucesivamente podríamos continuar de esa manera.
Notación: 
Se lee: Derivada de orden n.
Calcularemos las diferenciales de f, diferencial de df y así sucesivamente.
Y continuamos con la diferencial de la nueva función obtenida
Y así sucesivamente, en general tendríamos:
Donde el termino lo llamaremos diferencial de enésimo orden de f en el punto x para ∆x = ∆x.
Teorema
Sea f una función creciente en <a,b> entonces 0 < f’(x) ∀ x ∈ <a,b> 
Gráficamente
Y
f
0
a	x	b
x
Y
f
0
a	x	b
x
Se observa que f es creciente y la pendiente m= f’(x) de la recta tangente es positiva, es decir, 0 < m ó 0 < f’(x)
Teorema
Sea una función f decreciente en <a,b>, entonces f’(x) < 0 ∀ x ∈ <a,b> 
Gráficamente
Y
f
0
a x	b
x
Y
f
0	a
b
X
Similarmente, f es decreciente y la pendiente m = f’(x) es negativa, es decir, f’(x) < 0
Teorema
Sea una función f, si 0< f’(x) para todo x ∈ <a,b>, entonces f es creciente en dicho intervalo <a,b>.
 Demostración
Considerando h > 0, tenemos:
 L.q.q.d.
Teorema
Sea una función f, si f’(x) < 0 para todo x ∈ <a,b>, entonces f es decreciente en dicho intervalo <a,b>.
 Demostración
Considerando h > 0, entonces se tiene:
 L.q.q.d.
Criterio de la Segunda Derivada
Teorema:
Sea una función f diferenciable en <a,b>:
Si 0 < f’’(x) para todo x ∈ <a,b>, entonces la gráfica de la función f la llamaremos cóncava hacia arriba.
Y
Y
Y
m
f
L2=
-1
m L2=1
m L1=-1 
2
m L1= 1
2
0
0
Y
0
f
Y
f ’
-1/2
1
-1
f
1/2
 
0
X
Se observa que la grafica de f’ es creciente 0<f’’. Este resultado se consigue cuando gráficamente f es de la forma que se muestra en la parte inicial en la que vamos a decir que f es cóncava hacia arriba.
Teorema:
Sea una función f diferenciable en <a,b>:
Si f’’(x) < 0 para todo x ∈ <a,b>, entonces la gráfica de la función f la llamaremos cóncava hacia bajo.
Y
f
m L1= − 1
2
m L1=-1
0
X
Y
0
X
-1/2
f
-1 	
Y
m L1= 
m L1=1
f
0
X
Y
1 	
f ’
1/2
 
0
X
Se observa que la gráfica de f’ es decreciente, en la derivada de f’ tendrá que ser negativa es decir f’’(x) < 0. Para que f’’(x) < 0, la gráfica de f debe ser como la que se indica arriba a la que llamaremos cóncava hacia abajo.
Método para graficar una función 
Sea f una función, donde y = f(x) entonces se puede graficar la función con la ayuda del criterio de primera derivada y el criterio de segunda derivada usando los siguientes pasos:
Hallar f’(x) y f’’(x)
Identificar que intervalos de x hacen que f’(x) y f’’(x) permanezcan con el mismo signo.
Elaborar un tabla tal que muestre los intervalos de x y los signo de f’(x) y f’’(x) para los intervalos. 
Ejemplo particular:
	x	<a,m>	<m,n>	<n,p>	<p,b>
	f‘(x)	-	+	-	+
	f’’(x)	+	-	-	+
					
Bosquejar el gráfico:
 Como ejemplo de forma arbitraria hemos colocado en la tabla algunos signos para f’(x) y f’’(x) y luego usando el criterio de la primera y segunda derivada se hace al final de la tabla un bosquejo del gráfico en ese intervalo. Esos bosquejos se trasladan al plano cartesiano X e Y para tener un bosquejo completo de la gráfica de f. 
A continuación, para el ejemplo dado, se presenta el bosquejo del grafico completo de f en XY.
Y
f
0
a	 m	 n	 p	 b
Con ayuda de las asíntotas se puede precisar mejor la gráfica de la función 
7.9. Mínimos y Máximos Relativos 
Mínimo relativo:
Definición: 
Sea f una función, se dice que f tiene un mínimo relativo en c cuando para una vecindad se cumple:
Ejemplo:
Y
f
f(x)
f(c)
0
X
c
X
Máximo relativo:
Definición: 
Sea f una función, se dice que f tiene un máximo relativo en c cuando para una vecindad se cumple:
Ejemplo:
Y
f(c)
 
f(x)
0
X
X
c
7.10. Valores Extremos 
Es el conjunto de todos los mínimos y máximos relativos de una función f.
La función f tiene valores extremos en los siguientes puntos:
x= a,b,c,d,e.
f
0
a
b
c
d
e
Y
x
Teorema:
Sea f una función diferenciable en x = c y , entonces f tiene un mínimo o máximo local en c.
Representación gráfica:
Y
 mL = 
f
L
0
c
Y
 mL = 
f
L
0
c
Teorema:
Sea f una función diferenciable en x = c, y , entonces f tiene un mínimo relativo.
Gráficamente:
Y
 mL = f ’(c) = 0
f
L
0
c
Teorema:
Sea f una función diferenciable en x = c, y , entonces f tiene un máximo relativo.
Gráficamente:
Y
mL = f ’(c) = 0
f
L
0
c
X
7.11. Punto de Inflexión 
Cuando se trata de esbozar la gráfica de una función f(x) es muy conveniente conocer la forma en la que está arqueando en cierto intervalo.
En el caso de que f sea dos veces diferenciable en un intervalo <a, b>, la segunda derivada f’’(x) = (f’(x))’ indica la forma en la que está variando la pendiente f’(x) de la recta tangente en el intervalo.
Si tenemos que en < a, b>:
Si f’’(x) > 0 entonces f’(x) está creciendo, y en tal caso tenemos un tipo de arqueamiento llamado concavidad hacia arriba en <a, b>.
Si f´´(x) < 0 entonces f´(x) está decreciendo en <a, b>, es decir, que las pendientes de las rectas tangentes van disminuyendo con forme x avanza de izquierda a derecha en <a, b>. En este caso se presenta el tipo de arqueamiento llamado concavidad hacia abajo en el intervalo <a, b>.
Cuando en <a, b> la segunda derivada f’’(x) cambia de signo, es decir que f pasa de un tipo de concavidad al otro en un punto x0 de <a, b>, entonces el punto (x0, f(x0)) recibe el nombre de punto de inflexión, y donde x0 es un elemento del Dominio de f, por su puesto.
Teorema:
Sea (c, f(c)) un punto de inflexión de la gráfica de una función f diferenciable en <a, b> y sea
c ∈ <a, b>. Si existe f’’(c) entonces f’’(c) = 0.
Sea f una función, entonces se dice que el punto P es un punto de inflexión de f, cuando f cambia de concavidad en el punto P como se puede mostrar en los siguientes gráficos:
Y
f
P
0
X
Y
f
P
0
X
Ejemplo:
Sea graficar , indicando asíntotas, valores extremos, puntos de inflexión ¿Es f derivable?
Resolución:
No tiene asíntota horizontal ni vertical.
Cálculo de las asíntotas oblicuas:
Asíntota oblicua por la derecha
Donde:
Cálculo de m:
∴ No hay asíntota oblicua por la derecha
Asíntota oblicua por la izquierda
Donde:
Cálculo de m:
∴ No hay asíntota oblicua por la izquierda
Calculo de la derivada de f(x)
 …(1)
Sacando f’’(x) a partir de la ecuación (1)
 
 
Puntos críticos
X: , 5, 
					
		+	-	+	+
		-	-	-	+
					
Rpta.
A partir del gráfico se llega a que:
Los valores extremos: y H (5;0)
Punto de inflexión: 
f es derivable en todos los reales, excepto en x = 5 porque 
Ejercicio:
Demuestre que si f es creciente entonces su derivada es positiva.
Demostración:
 es creciente (dato), entonces:
 cuando 
 cuando 
 
 
 
 
v
Se sabe que 0 < h, ahora consideramos un h que se aproxima a cero por la derecha porque se sabe h > 0, entonces tenemos:
Se sabe que h < 0, ahora consideramos un h que se aproxima a cero por la izquierda entonces:
En uno u otro caso se observa que siempre:
Entonces:
 Rpta. 
132
7.12. Teorema de Rolle 
Sea f continua sobre [a , b], a < b, y diferenciable sobre <a , b> tal que y , entonces existe al menos un punto c en <a , b> que satisface .
Antes de proceder con la demostración dada, la gráfica de f no debe tener esquinas (o vértices) dentro de <a , b> y para x = a y para x= b la grafica de f corta al eje x.
Así es, factible tener la figura siguiente. 
Cuando esto ocurre, el teorema asegura que existe por lo menos un punto c en el intervalo abierto
<a , b> tal que en dicho punto la recta tangente a la gráfica es horizontal.
En esta figura existen hasta 3 valores para tal c. Note además que f no es diferenciable en a, pero esto no afecta al teorema pues a ∉ <a , b>.
Si f(x) = 0 ∀ x ∈ <a, b> [constante], entonces cualquier c ∈ <a, b> es válido pues f´(c) = 0 para todo c ∈ <a, b>.
Si f(xo) > 0 para algún xo ∈ <a, b>, entonces, por el teorema de los valores extremos absolutos, f alcanza su máximo en algún punto c ∈ [a, b]: f(c) = máx{f(x) / x ∈ [a, b]}, pero como f(c) ≥ f(xo) > 0 y f(a) = f(b) = 0 entonces c ≠ a y c ≠ b; así, c ∈ <a, b>. Y como f satisface en <a, b> las condiciones del teorema de valores extremos entonces f´(c) = 0.
Si f(xo) < 0 para algún xo para algún xo ∈ <a, b>, f alcanza su mínimo en algún punto c ∈ [a, b]: f(c) ≤ f(xo) < 0 ⟶ c ≠ a y c ≠ b ⟶ c ∈ <a, b>; y como f satisface en <a, b> el teorema de valores extremos entonces: f´(c) = 0.
7.13. Teorema de Lagrange 
Sea f una función diferenciable en <a , b> y continua en [a , b], entonces existe al menos un c ∈ <a , b> tal que:
Y
f(a)
f
0
a
c
b
X
f(b)
Demostración:
Sea:
g(x)
…(1)
g es diferenciable en <a , b> porque sus términos que lo forman son también diferenciables en <a , b> y g es continua en [a , b], porque cada una términos que lo forman son continuas en [a , b].
Además:
g(a)
Similarmente:
g(b)
Por lo tanto, g cumple con las condiciones para aplicar el T. de Rolle, es decir existe al menos un c ∈ <a , b> tal que: g’(x) = 0 …(2)
Derivamos g en (1)
g’(x)
Evaluando en c se tiene:
g’(c)
…(3)
Luego (3) en (2)
L.q.q.d.
Nota:
El teorema del valor medio tiene implicaciones en todas las interpretaciones de la derivada. Geométricamente garantiza la existencia de una tangente que es paralela a la secante que pasa por (a, f (a)) y (b, f (b)) como indica la figura.
Ejemplo:
Calcula el punto c que satisface el teorema del valor medio para la siguiente función en el intervalo [0,1].
Debemos comprobar si se cumplen las condiciones para que se pueda aplicar el teorema del valor medio. Demos comprobar si la ecuación es continua en [0,1] y derivable en (0,1).
Resolución
Analizamos la continuidad
La función es continua en todo R, al ser una función polinómica, por lo que también será continua en el intervalo [0,1].
Analizamos si es derivable
La función es derivable en (0,1) si su derivada es continua en ese intervalo.
Que es continua en todo R al ser una función polinómica, por tanto, f(x) es derivable.
Es continua en [0,1] y derivable en (0,1), por tanto, existe un valor de c en ese intervalo tal que:
Calculamos lo que vale la función en los extremos del intervalo:
Calculamos :
Calculamos a partir de :
Sustituyendo la x por la c:
Igualamos ambos resultados de f'(c) y nos queda una ecuación que depende de c y de donde podemos despejarla y encontrar el valor de c que nos están pidiendo:
Rpta.
138
7.14. Teorema de Cauchy
Sean f y g funciones diferenciables en <a, b> y continuas en [a, b], entonces existe al menos un c Î <a, b> tal que
 , ≠0 ^ 
Gráficamente se puede interpretar como si existiera un 𝑐 𝜖 < 𝑎, 𝑏 > tal que el cociente de las pendientes de las rectas tangentes a f y g en c es igual al cociente de las pendientes de las rectas que unen los extremos en cada función f y g.
El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hopital que es muy usada en análisis matemático, para el cálculo de límites de la forma de o .
Demostración
Sea la función:
. . . (1)
Analizando W se tiene: 
w es continua en [a, b], porque cada uno su término es continuo en [a, b].
w es diferenciable en <a, b>, porque cada uno de sus términos son diferenciables en <a, b>.
Además:
 = 0
Similarmente:
W(b) = 0
Después de analizar w, se puede decir que w es función que cumple las condiciones para aplicar el T. de Rolle; es decir, existe al menos un c Î <a, b> tal que:
 W’(c)==0 . . . (2)
Derivamos w respecto a x de la ecuación (1)
Evaluando en c tenemos:
 . . . (3)
Reemplazando (3) en (2):
 = 0
 
L.q.q.d.
Ejemplo:
Supongamos que f y g son funciones derivables en el conjunto 𝑅 tal que
𝑓(𝑜) = 𝑔(𝑜) 𝑦 𝑓’(𝑥) ³ 𝑔’(𝑥) > 0 , " 𝑥 Î 𝑅, demostrar que 𝑓(𝑥) £ 𝑔(𝑥) , " 𝑥 £ 0
Resolución:
Por dato 𝑓 y 𝑔 son funciones derivables en el conjunto 𝑅, entonces por un teorema se cumple que 𝑓 y 𝑔 son continuas en 𝑅; por lo tanto, ambas funciones cumplen las condiciones para aplicar el teorema de Lagrange en el conjunto 𝑅.
Para nuestro caso haremos nuestro estudio a un intervalo: <𝑥, 0>
Por T. Lagrange:
∃ 𝑥 𝜖 < , 0 > Tal que 
Dato:
 
 
 
 
 
 
Pero > 0, para todo 𝑥 𝑅, entonces 𝑔 es creciente y por lo tanto
 − > 0 de donde:
 
Es decir:
 
En general para todo 𝑥 £ 0
 
L.q.q.d.
7.15. Regla L’Hopital para la forma 
Sean f y g funciones reales y diferenciables en <a, b>. 
Si se cumplen las condiciones siguientes:
(existe) , 
Entonces se demuestra que:
Demostración
Primero demostraremos el siguiente teorema:
 Si: 
 Entonces:
 
 
L.q.q.d.
Demostración
 Redefiniendo:
 Sean las funciones F y G
 	 , a < x 
 0 , x = a
 
 
 0 , x = a
Análisis de continuidad de F y G 
 Se verifica que:
 =
 , a < x , x a
Recordemos que se verifica por el dato 
f(x) es continua por la derecha en a.
Similarmente se verifica que G es continua por la derecha en a. 
f y g son continua [a, b]
Análisis de diferenciabilidad de F y G
Se verifica que F(X) es diferenciable en <a, ∞> porque F(x) = f(x) = y, además porque f(x) es diferenciable en < a, ∞ >.
De manera similar se verifica que G es diferenciable en < a, ∞ >. F y G se verifica que son diferenciables en < a, ∞ >.
Considerando los intervalos descritos,
las funciones F y G cumplen con las condiciones de teorema de Cauchy, entonces podemos aplicar este teorema a nuestro caso en el intervalo [a, x].
Recordemos el Teorema de Cauchy
Si
f y g son continua en [ a, b]
f y g son diferenciales en < a, b >
 Entonces:
 = , donde c ∈ < a, b >
 = donde c ∈ < a, x >, gráficamente
 = 
 = 
En la ecuación anterior para expresar que x se aproxima a “a” por la derecha lo haríamos empleando el símbolo de límite.
 = 
a	 c x
Se puede observar en el miembro derecho que aparece el símbolo de limite y esto se debe a que cuando x se aproxima a “a” entonces c también debe aproximarse a “a” por la derecha por ser un punto entre a y x.
Pero por propiedades de límite:
 
 . . . (1)
Ahora demostraremos el siguiente teorema:
Entonces:
Demostración:
Redefiniendo las funciones.
Sean las funciones F y G:
Análisis de continuidad de F y G
 Se verifica que:
 
 ∴ F(x) es continua por la derecha en a.
Similarmente se verifica que G es continua por la derecha en a.
Análisis de diferenciabilidad de F y G
También se verifica que F y G son diferenciables en < -∞, a > esto se justifica porque tanto F y G en ese intervalo son = y =y estas funciones f y g por dato son diferenciables.
Las funciones F y G cumplen con las condiciones de teorema de Cauchy, entonces podemos aplicar este teorema a nuestro caso en el intervalo [x,a]. Por el teorema de Cauchy, existe un c ∈ < x, a > tal que:
 = 
 = 
 = 
 
Si queremos que el valor de x se aproxime a “a” por la izquierda, entonces la expresión anterior tendríamos que simbolizarlo usando el término limite.
 
También se puede observar que en el miembro derecho aparece el símbolo límite, esto se debe a que C es un punto del intervalo < x, a > gráficamente seria así:
 
x	c	a
Es por ello que cuando x se aproxima a “a” por la izquierda, entonces también “c” se aproxima a “a” por la izquierda, este hecho se simboliza usando el término limite como se puede apreciar en la siguiente ecuación:
 . . . (2)
De las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:
 
L.q.q.d.
7.16. Teorema
Sean f y g funciones diferenciables para x> M > 0 tal que: 
Entonces:
 
Demostración
Sea x= . . . (1) , entonces se tiene:
Por regla de correspondencia:
 
Por regla de correspondencia:
 
De la relación x=, cuando x crece sin limite z se aproxima a cero, es por ello que se cumple lo siguiente:
 (dato), entonces: 
 
. . . (2)
. . . (3)
 (dato), entonces: 
 
 (dato), entonces:
 
Multiplicamos por al numerador y denominador se tiene:
 
 
. . . (4)
. . . (5)
De (3), (4), (5) aplicando el teorema de L’Hopital se cumple: 
 
Reemplazando (2) en (6):
 = L
 
 
. . . (6)
L.q.q.d.
Ejercicio: 
Hallar el límite:
Resolución:
Sea 
 
Entonces:
 
. . . (1)
. . . (2)
Entonces aplicaremos el teorema de L’Hopital de la forma 
 
Calculo de y 
 
 - x)cos( - x)]
 -x)-( - x)cos( - x)] 
. . . (3)
. . . (4)
. . . (5)
Dividiendo entre se obtiene:
Reemplazando (1), (2), (3), (4) en (5):
 = 
 = -sen 
 = -1
 = 1
Resumen de cómo aplicar el teorema de L’Hopital en otras situaciones:
Si el resulta ser de la forma entonces se aplica otra vez más el teorema de L’Hopital de la forma es decir se tendría:
 = 
Y así se continúa derivando una vez más hasta que el resultado no aparezca más.
Teorema de L’Hospital para la forma 
Sean 𝑓 y 𝑔 funciones diferenciables en el intervalo < 𝑎, 𝑏 >
Si: 
 
Entonces:
 L
Demostración
 
Redefinimos las funciones:
 
 
Derivando respecto a x:
 
 
Si:
 (dato), entonces 
 (dato), entonces 
. . . (1)
. . . (2)
Además
 
 . 
. 
. 
 . L 
. . . (3)
Considerando las ecuaciones (1), (2) y (3) se puede obtener un resumen:
 
 
 . L 
Entonces aplicando el T. de L’Hopital para la forma se tiene:
 
. . . (4)
Reemplazando (1), (2) y (3) en (4) se tiene:
 = . L 
 = . L 
 = 
 = L
L.q.q.d.
Todas las formas indeterminadas 0, , , 00, 1∞, ∞, −, se pueden reducir a la forma usando transformaciones algebraicas.
Calcular:
 
Resolución
Se observa que es de la forma ∞. 0 , entonces mediante una transformación algebraica sería el límite de la siguiente manera:
 = = 
Ahora es de la forma donde:
 
 
Entonces aplicaremos el teorema de L’Hopital de la forma :
 
. . . (1)
. . . (2)
. . . (3)
Calculo de 𝑓´(𝑋) y 𝑔´(𝑋)
𝑓´(x) = cosx.(
𝑔´(x) = 
Reemplazando (1), (2), (4) y (5) en (3) se tiene:
. . . (4)
. . . (5)
 = 0 
= ==1
3.Hallar:
Tanto f(x) = x-sen x como g(x) = tgx - senx son funciones derivables en sus respectivos dominios (f es derivable en todo R y g es derivable en R - { + 𝑘𝜋, 𝑘 𝑍}) en particular son derivables en un entorno de cero. 
Vuelve a ser una indeterminación del tipo . Aplicamos ahora la regla de L'Hopital a las funciones f '(x) y g'(x), pues estas son también derivables en un entorno de cero con lo que: 
Así
 = -
2. Hallar la relación entre las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo de radio r. 
3. El diámetro y la altura de un cilindro circular recto miden en un cierto instante 10 y 20 cm, respectivamente. Si el diámetro aumenta a razón de 1cm/min. ¿Qué variación de la altura mantendrá el volumen constante? 
Resolución
Aplicando definición de derivada sobre 𝑔(𝑥): 
9. Un hombre camina por una vereda recta con una rapidez de 𝟒 𝐦⁄𝐬. Un proyector está colocado en el suelo a 𝟐𝟎 𝐦 de la vereda y se mantiene enfocado al hombre. ¿Con qué rapidez está girando el proyector cuando el hombre está a 𝟏𝟓 𝐦 del punto en la vereda más cercana al proyector? 
11.Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que está a 12 metros de distancia. Si un hombre de 2 metros de alto camina desde la lámpara hacia el edificio a una velocidad de 1.6m/s. ¿con que rapidez decrece su sombra proyectada sobre el edificio cuando se encuentra a 4 metros de este? 
Sea = n