Clase Diferenciales e Integración Vectorial

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Diferenciales e Integración Vectorial
Índice:
Diferenciales
Incremento de una función vectorial
Diferencial
Interpretación Geométrica
Propiedades
Integración Vectorial
Integral Indefinida
Integral Definida
Teoremas fundamentales del Cálculo
Longitud de Curva
Teorema
Función Longitud de Curva
Ejercicios
Incremento de una función vectorial
 (Incremento vectorial)
 , si aproximamos la derivada para un h muy pequeño:
Donde h es el incremento en t y se denota por. 
Luego:
Entonces:
Aproximación del incremento:
Diferencial
Donde es el incremento de y es el diferencial de : 
Donde es un vector paralelo al vector , si hacemos 
Donde es un vector paralelo al vector al vector 
Interpretación de Diferencial
Se aprecia que el paralelismo a 
Y también que la función vectorial es la resultante de la diferencia vectorial entre y 
Propiedades
Para , además 
Ejemplo:
Dada la siguiente función:
Calcule:
Solución
 
a) 
b) 
Integral de funciones vectoriales
Si, no tengo otro chiste
xd
Integral indefinida de una función vectorial
Si es una función vectorial de variable real dado por la integral indefinida de es dado por:
Observaciones:
Integral definida de una función vectorial
Sea una función vectorial de variable real definida por 
 la integral definida de sobre el intervalo cerrado está dado por:
Donde si es continua en el intervalo entonces existe.
Primer teorema fundamental del Cálculo
Si una función vectorial de variable real continua sobre el intervalo y 
Aplicamos el primer teorema fundamental a cada una de las funciones componentes:
Segundo teorema fundamental del Cálculo
Si una función vectorial de variable real continua sobre el intervalo 
Aplicando el segundo teorema fundamental del cálculo a cada una de las funciones componentes:
Propiedades de la Integral definida
Si una función vectorial de variable real integrable y un vector constante, entonces
Sea integrable en 
Ejemplo:
Una partícula inicia su movimiento en con velocidad inicial . Su aceleración es Determine la función velocidad y la posición de la partícula en cualquier instante t.
Solución:
Como 
Luego, la velocidad que satisface la condición inicial sería 
Luego:
Como 
Luego, la velocidad que satisface la condición inicial sería 
Longitud de una curva
Longitud de Arco
Consideremos un curva C definida por la función vectorial tal que 
 y consideremos una partición de , donde 
, toda partición de P de define una poligonal definida por los segmentos rectilíneos de a de a ,…, de a para el caso de 
, denotaremos la longitud de este arco poligonal por 
Definición
La curva C definida por la función vectorial de se dice que es rectificable si tiene cota superior, matemáticamente: es rectificable si su supremo es la longitud L, es decir:
Si se obtiene una partición de agregando algunos puntos de la parición a de entonces a le llamaremos refinamiento de 
Lema:
Si es un refinamiento de entonces .
Sea el primer valor t de que no está en entonces para algún i, y
Por desigualdad triangular: 
Añadiendo todos los puntos de a y obtenemos que 
Teorema
Sea C una curva regular definida por entonces la longitud de arco de la curva C es:
Consideremos una curva C en y, una posición de por el teorema del valor intermedio:
 para algún como , son continuas están acotadas sobre , supongamos que 
, , (donde M representa a un valor muy próximo a ), para todo entonces:
Para toda partición P de por lo tanto está superiormente acotada y C es rectificable
Ahora demostraremos que 
Sea cualquiera como existe una partición de tal que:
como es continua en entonces , es decir:
Luego , tal que siempre que ahora bien:
 
Luego: , entonces queda demostrado que 
Nota: Si para entonces la longitud de arco de la curva C es:
Demostración comprensible (para el que no entendió):
Haciendo un zoom
a la curva:
Podemos ver que una curva puede estar compuesta por muchas diferenciales del mismo vector, por lo que esta puede expresarse como una sumatoria de infinitos diferenciales (definición de integral de Riemann).
Por lo que:
Un pequeño trozo de la longitud de curva es equivalente a un diferencial de una función vectorial, por lo que:
La longitud se evalúa en un intervalo de a hacia b:
a
b
Función Longitud de Arco
Sea C la curva descrita por la función vectorial y sea s unidades la longitud del arco de la curva, mediad desde el punto arbitrario hasta el punto 
 y de modo tal que s aumenta cuando t aumenta. Entonces:
Donde existe una relación funcional entre los parámetros s y t. Es más, como por el primer teorema fundamental del cálculo:
Entonces dicha relación funcional es univalente. Así, si es posible despejar t en función de s, entonces puede definirse la curva C en términos del parámetro longitud de arco.
Por consiguiente se implica que esta función de longitud de arco puede tener una función inversa
Ejemplo:
Encontrar la longitud de la curva definida por:
Entre y , sabiendo que es el punto donde es paralelo al plano YZ ()
Solución:
Por el primer teorema fundamental del cálculo, hallamos :
Y el módulo de esta es: 
Dado que el vector es paralelo al plano YZ, el componente X del vector debe ser nulo, por lo tanto: 
Como entonces . Entonces, la longitud de la curva se evaluará desde el punto hasta 
Ejemplo:
Sean las curvas:
Determine en cuanto debe incrementarse t para que la longitud de arco se incremente en , desde el punto en que se interseca con la curva 
Solución:
Sean y los valores de los parámetros t en las funciones f y g, respectivamente, en el punto en que las curvas se intersecan. Entonces se debe verificar que: . Esta ecuación es equivalente al sistema:
De (1) y (3), obtenemos que:
Donde el único valor de y que verifica la ecuación 2 es: 
Entonces, el incremento de la longitud de la curva es igual a la longitud de la cuerda medida desde t = 0 hasta un valor t, de modo que: 
La derivada de la función vectorial es:
Y su modulo es:
Reemplazando en (4):
El incremento del parámetro t, a partir del punto de intersección entre las curvas, es igual a .
Se tiene una función creciente que posee inversa