Cambio de variable en integrales dobles

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Cambio de variable en integrales dobles
Integrales dobles en Coordenadas Polares
Consideremos las siguientes transformaciones:
Dada las transformaciones:
Donde 
Y las particiones:
Tales que los intervalos determinen la región siguiente:
Entonces, calculamos el área de la región como la diferencia de sectores circulares:
Donde
Además, recordemos que 
Por sumatoria de Riemann:
Dado que:
Entonces concluimos que:
Donde la fuera de la función f es denominada factor de corrección
Ejemplo:
Calcule la integral doble de la función limitada por en el primer cuadrante.
Podemos expresar como:
Donde:
De tal forma que tendríamos que calcular 2 integrales.
Sin embargo, al expresarlo en polares:
Además: 
2. Halle el área de la región encerrada por la lemniscata
Solución:
Es decir: 
Como el gráfico es simétrico, las áreas limitadas por y son iguales:
Ejemplo 3:
Calcule el volumen del sólido limitado superiormente por la superficie e inferiormente por la región limitada por la gráfica de la circunferencia 
En coordenadas polares:
Convirtiendo la función z en una ecuación polar:
Por lo tanto el volumen de sólido estará dado por:
¿Cómo identifico la variación de la región en coordenadas polares?
Cuando transformamos nuestra función a coordenadas polares, esta está siendo definida por la región:
Entonces, si queremos hallar la variación de lo que podemos hacer es transformar la siguiente función:
Y para hallar la variación de solo nos basta graficando la región en el eje 
Ejemplo: Para la gráfica es una circunferencia, por lo que analizando la circunferencia podemos concluir 
Ejercicio 4:
Halle el volumen de la región limitada por los planos y el hiperboloide 
Solución:
Primero, aclaramos que es la región encerrada por el contorno rojo y azul, y es la región encerrada por el contorno azul.
El sólido pedido consta del cilindro con base y altura cuyo volumen es:
Y del sólido limitado superiormente por e inferiormente por 
, también descrito como: sobre la región 
Descrita por , que al pasarla a coordenadas polares:
Por lo tanto, calculando el volumen total:
4. Usando coordenadas polares evaluar:
Solución:
En coordenadas polares:
Del gráfico podemos apreciar que tiene ese comportamiento solamente cuando varía desde a , y vuelve a tener el mismo comportamiento cuando varía desde a .
También tiene este comportamiento solamente cuando varía desde a 
Entonces al pasar a coordenadas polares tenemos:
Jacobiano de una función de n variables
Sea una transformación tal que 
 de clase el jacobiano de la transformación está dado por:
Propiedades del Jacobiano:
Cambio de Variables en Integrales Dobles
Sea una transformación de clase definida por 
Si es una función integrable en , entonces la función 
 es integrable sobre el conjunto y:
Donde:
Ejemplo:
Calcule 
Solución:
En el gráfico XY podemos ver que el gráfico está limitado por: 
Graficamos en el plano estas nuevas restricciones
Entonces, la región en el plano está dado por:
Además
2. Use la transformación para calcular:
, donde es una región limitada por la curva 
Solución:
Graficamos en el plano estas nuevas restricciones
Entonces, la región en el plano está dado por:
Además
Dada la integral calcule , donde es una región limitada por las curvas de ecuación:
Solución:
De las curvas que limitan , podemos concluir que la región está limitada por las curvas:
Recordemos:
Además:
Restando:
Casos Particulares (Coordenadas Polares)
Si es la transformación en coordenadas polares definida por:
Donde el jacobiano de es:
Entonces para unces para una función tenemos:
Casos particulares (Elipse)
Si en una integral doble se presenta los términos de la forma 
 entonces se aplica la transformación polar:
Donde el jacobiano es:
Entonces:
Ejemplo:
Hallar el área en el primer cuadrante de la región limitada por , , , .
Solución:
Por coordenadas polares modificadas:
Del gráfico: 
Observación:
Luego:
Casos Particulares (Astroide)
Un astroide es una curva con ecuación:
Da origen a la transformación:
Donde:
Ejemplo:
Halle el volumen del sólido en el primer octante, limitado por las superficies:
Solución:
Hallamos la proyección de la curva que forma la intersección entre ambas superficies, ya que está es la región limitada para el volumen.
El techo está dado por y el piso por por lo que debemos calcular:
Transformando a coordenadas polares:
Determine el volumen del sólido S, que se encuentra debajo del paraboloide , arriba del plano , y dentro del cilindro 
Solución:
Hallamos la región que limita el volumen del sólido (la proyección de la curva de intersección entre ambas superficies): 
En coordenadas polares:
Donde:
Piso: 
Techo: 
Teorema de Fubini
El teorema de Fubini es una forma de llamar a la definición de integral iterada, donde dada una función integrable f se cumple:
Otra forma de expresar este teorema es:
Si 
Ejemplo:
Calcule la integral Gaussiana:
Solución:
Dado que es una función par entonces:
Multiplicamos por :
Por teorema de Fubini:
Sea 
Haciendo un cambio de variable:
dcabr = ar = bߠ�ൌ�dߠ�ൌ�cBE
ߠEߠii-1Eijrjrj-1
1212
-aa
422
12
22
-111
-111
2VUu=vu=-v(-2,2)(2,2)YX22
VUYX-1-111
VUYX5-5
3246YX
YX22R
YX12