Cambio de Variables en Integrales Triples

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Cambio de Variables en Integrales Triples
MateDLG y CyADLG
Otra vez con el Jacobiano
Sea una función integrable sobre , y sea una transformación , tal que de clase . La función es integrable sobre , y:
Donde:
Ejemplo:
Calcule
Donde está limitado por , y 
Solución:
Sea:
Realizando los cambios de variable con respecto a las limitaciones, tenemos que la nueva región está limitada por:
Proyectamos el sólido sobre UV:
En el sólido:
Piso: 
Techo: 
Definiendo al sólido:
Coordenadas Cilíndricas
Recordemos que en coordenadas cilíndricas, hacíamos el siguiente cambio de variable:
Esto implica que al cambiar de variables a coordenadas cilíndricas una integral triple, está se transformará así:
Ejemplo:
Halle el volumen de la porción de la esfera Que se encuentra dentro del cilindro 
Solución:
Transformando en coordenadas cilíndricas:
 
 
 
En YX, podemos ver que varía desde 0 hasta fíjense como varía la flecha con respecto a la circunferencia que describe.
Además:
Del gráfico (Sólido sombreado de rojo):
Observación: Solo estamos mostrando la parte superior del gráfico por cuestión de espacio. También el gráfico se extiende hasta 
Halle el volumen del sólido limitado por la porción de paraboloide , la porción de esfera y el plano en el primer octante.
Solución:
Transformando en coordenadas cilíndricas:
 
 
 
Para hallar el volumen debemos sumar el sólido cuyas proyecciones son y :
Para el sólido cuya proyección es 
Además en : 
Para el sólido cuya proyección es 
Además en : 
Calcule el volumen del sólido limitado por las superficies: y los planos , 
Solución:
Primero hallamos los puntos de intersección:
La proyección de esta intersección en el plano XY:
 solo interseca a la esfera por lo que su proyección en XY sería:
 solo interseca a la esfera por lo que su proyección en XY sería:
Como la proyección de la intersección de ambos planos con ambas esferas respectivamente pasan por la misma circunferencia quiere decir que está intersección pasa por un cilindro de esa ecuación.
Como se ve en el siguiente gráfico:
Su Proyección en XY:
Para hallar el volumen se tendrá que descomponer la integral donde el solido tiene como proyección al anillo y otro el cual el sólido es el cilindro conformado por 
Transformando en coordenadas cilíndricas:
 
 
 
Asignamos + o – por la disposición en los gráficos
Hallamos el volumen donde su proyección es el anillo:
En la proyección XY:
Piso: 
Techo: 
Piso: 
Techo: 
Hallamos el volumen del cilindro:
El volumen total sería:
Coordenadas Esféricas
Recordemos que en coordenadas esféricas, hacíamos el siguiente cambio de variable:
Esto implica que al cambiar de variables a coordenadas cilíndricas una integral triple, está se transformará así:
Ejemplo:
Halle el volumen del sólido sobre el cono e interior a la esfera 
Solución:
Transformando en coordenadas esféricas:
 
 
 
Primero: 
En el plano XY, podemos apreciar que la variación de es de 
En el gráfico:
De la proyección en ZY: 
El sólido se puede reescribir como:
Recordar análisis de coordenadas esféricas (Ver capítulo de coordenadas esféricas)
2. Utilice coordenadas esféricas para calcular el volumen del sólido limitado por las superficies 
Transformando en coordenadas esféricas:
 
 
 
En coordenadas esféricas, la ecuación del cono es (Demuéstrelo)
En coordenadas esféricas, la ecuación del cono es (Demuéstrelo)
Techo: 
Piso: 
Del gráfica podemos deducir que el sólido se puede reescribir como:
Exprese y calcule la siguiente suma de integrales en el sistema de coordenadas cilíndricas:
Donde 
Solución:
Primero, convertimos a coordenadas cartesianas, recordando que en el integral se tiene definido al Jacobiano , por lo que la función en coordenadas cartesianas será igual a 
Analizamos las restricciones de cada integrando, donde :
 
 
 
Dados que significa que solo tomaremos en cuenta los cuadrantes donde 
Al juntar los gráficos anteriores, nos percataremos que este se trata de la mitad de un cilindro.
Lo cual puede ser reescrito como coordenadas polares de la siguiente forma:
Proyectando en XY, tenemos que:
Del sólido:
Piso: 
Techo: 
Convertimos en coordenadas cilíndricas:
El sólido en coordenadas cilíndricas está descrito como:
Analizando la integral:
¿Cuándo utilizo Coordenadas Esféricas o Coordenadas Cilíndricas?
Generalmente, tiene más que ver con la región de integración que con la función. Entonces, cuanto mejor pueda visualizar, dibuje la región que lo ayudará a encontrar el mejor sistema de parametrización / coordenadas.
Las coordenadas esféricas son un poco más especializadas. Cuando funcionan, funcionan muy bien, y si no está bien, simplemente crea un gran lío. Las coordenadas cilíndricas son un poco más flexibles. Cualquier problema que pueda resolverse en coordenadas esféricas puede resolverse en cilíndrico, pero no necesariamente al revés. Si tiene dudas, utilice cilindros.
Sugerencia
Visualice el volumen tridimensional que se está integrando. ¿Es una sección de una esfera, como esta?
O una sección de un cilindro, como este
Utilice coordenadas esféricas para la primera y cilíndricas para la segunda.
Ejemplo:
Dado una región comprendida por , , Calcule:
Solución:
Si tomamos coordenadas esféricas:
Debido a la disposición del cilindro, por el ángulo . Cuando este es proyectado en ZY, está siendo analizado en 3 partes.
Para 
Para 
Para 
Y obviamente para todos los casos.
También transformando el integrando en coordenadas esféricas:
Sea 
 Donde es el jacobiano en coordenadas esféricas
Es decir que el la integral en coordenadas esféricas estará dado por:
Si tomamos coordenadas cilíndricas:
Al proyectar en el eje XY:
Según el gráfico:
Techo:	 
Piso:	 
Redefiniendo el sólido:
Transformando el integrando a coordenadas cilíndricas:
221
22
rZXYaa
ZXY
ZXYaa
ZY
ZXY4
ZY
ZY2
ZY2
ZY
ZXY
XY2-2
ZXY2-22-2
ZXY2-22-2