El_analisis_matematico-Boole

Vista previa del material en texto

EL ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LA LÓGICA 
 
Por 
 
GEORGE BOOLE 
 
Traducción de 
 
EMILIO MÉNDEZ PINTO 
 
 2 
Edición digital para la Biblioteca Digital del ILCE 
Título original: The Mathematical Analysis of Logic 
© De la traducción: Emilio Méndez Pinto 
Primera edición: Cambridge, 1847 
D. R. © Cambridge, 1847 
Prohibida su reproducción por cualquier medio mecánico o 
eléctrico sin la autorización por escrito de los coeditores. 
 3 
PREFACIO 
 
 Al presentar esta obra al público, no considero irrelevante hacer observar que 
algunas especulaciones similares a las registradas aquí han ocupado mis pensamientos 
en distintos periodos. En la primavera de este año mi atención se dirigió a la cuestión 
entonces colocada entre el señor Hamilton y el profesor De Morgan, y el interés que 
inspiraba me indujo a reanudar el hilo casi olvidado de las investigaciones anteriores. 
Me parecía que, aunque la lógica puede ser vista con referencia a la idea de cantidad, 
también tenía otro sistema de relaciones más profundo. Si era válido considerarla desde 
el exterior, como conectándola con las intuiciones del espacio y del tiempo por medio 
del número, también era válido considerarla desde el interior, como basada sobre 
hechos de otro orden que tienen su morada en la constitución de la mente. Los 
resultados de esta perspectiva, y de las indagaciones que sugería, están encarnadas en el 
siguiente tratado. 
 A un autor no suele permitírsele prescribir el modo con el que debe juzgarse su 
obra, pero hay dos condiciones que me aventuro a requerir de aquellos que se acometan 
a estimar los méritos de esta realización. La primera es que no debe permitirse ninguna 
noción preconcebida sobre la imposibilidad de sus objetos que interfiera con la 
franqueza y la imparcialidad que demanda la investigación de la verdad; la segunda es 
que el juicio del sistema como un todo no debe fundarse ni sobre el examen de sólo una 
parte de él ni sobre la medida de su conformidad con cualquier otro sistema recibido 
considerado como estándar de referencia y del que se niega la apelación. Es en los 
teoremas generales que ocupan los últimos capítulos de este trabajo - resultados que no 
tienen contraparte - que están más plenamente establecidas las reivindicaciones del 
método como un cálculo del razonamiento deductivo. 
 Lo que pueda ser la apreciación final del valor del sistema, no tengo ni el deseo 
ni el derecho de anticipar. La estimación de una teoría no está simplemente determinada 
por su verdad. También depende de la importancia de su objeto y de la extensión de sus 
aplicaciones, más allá de lo cual debe dejarse algo a la arbitrariedad de la opinión 
humana. Si la utilidad de la aplicación de las formas matemáticas a la ciencia de la 
lógica fuese únicamente una cuestión de notación, me contentaría con hacer reposar la 
defensa de este intento sobre un principio establecido por un hábil escritor vivo: 
“Siempre que la naturaleza del tema permita que el proceso de razonamiento no corra el 
riesgo de llevarse a cabo mecánicamente, el lenguaje debe ser construido sobre 
 4 
principios mecánicos tanto como sea posible, mientras que en el caso contrario debe ser 
construido de tal forma que haya el mayor obstáculo posible a un mero uso mecánico de 
él.”1 En un aspecto, la ciencia de la lógica difiere de todas las demás: la perfección de 
su método es principalmente valioso como una evidencia de la verdad especulativa de 
sus principios. Sustituir el empleo de la razón común, o someterla al rigor de formas 
técnicas, sería el último deseo de alguien que conoce el valor de tal labor y guerra 
intelectual, que imparte a la mente un vigor atlético y que le enseña a lidiar con 
dificultades y a confiar en ella en las emergencias. 
 
1 Mill. System of Logic, Ratiocinative and Inductive, Vol. II, p. 292. 
 5 
INTRODUCCIÓN 
 
Aquellos que están familiarizados con el estado actual de la teoría del álgebra simbólica 
son conscientes de que la validez de los procesos de análisis no depende de la 
interpretación de los símbolos empleados, sino únicamente de las leyes de su 
combinación. Todo sistema de interpretación que no afecte la verdad de las relaciones 
supuestas es igualmente admisible, y es así que el mismo proceso puede representar, 
bajo un esquema de interpretación, la solución de una cuestión sobre las propiedades de 
los números, bajo otra, la de un problema geométrico, y bajo una tercera, la de un 
problema de dinámica o de óptica. Este principio es, en realidad, de una importancia 
fundamental, y puede afirmarse con seguridad que los recientes avances del análisis 
puro se han visto muy asistidos por la influencia que aquél ha ejercido en la dirección de 
la investigación. 
 Pero un reconocimiento pleno de las consecuencias de esta importante doctrina 
se ha visto, en cierta medida, retrasado por circunstancias accidentales. Ha sucedido, en 
toda forma conocida de análisis, que los elementos a ser determinados han sido 
concebidos como mensurables por comparación con algún estándar fijo. La idea 
predominante ha sido la de la magnitud, o más estrictamente, la de la relación numérica. 
La expresión de magnitud, o de operaciones sobre la magnitud, ha sido el objeto 
expreso para el cual se han inventado los símbolos del análisis y para el cual se han 
investigado sus leyes. Así, las abstracciones del análisis moderno, no menos que los 
ostensivos diagramas de la geometría antigua, han alentado la noción de que las 
matemáticas son esencialmente, así como realmente, la ciencia de la magnitud. 
 La consideración de tal perspectiva, que ya ha sido establecida como encarnando 
el verdadero principio del álgebra de los símbolos, nos llevaría, sin embargo, a inferir 
que esta conclusión no es de ninguna manera necesaria. Si toda interpretación existente 
muestra involucrar la idea de magnitud, es solamente por inducción que podemos 
afirmar que ninguna otra interpretación es posible. Y podría ponerse en duda si nuestra 
experiencia es suficiente para considerar legítima tal inducción. La historia del análisis 
puro es, podría decirse, demasiado reciente como para permitirnos establecer límites 
sobre la extensión de sus aplicaciones. Si concedemos a la inferencia un alto grado de 
probabilidad aún podríamos, y con razón, sostener la suficiencia de la definición a la 
cual nos llevaría el principio recién establecido. Igualmente podríamos asignarle el 
carácter de un cálculo verdadero, que es un método que descansa sobre el empleo de 
 6 
símbolos cuyas leyes de combinación son conocidas y generales, y cuyos resultados 
admiten una interpretación consistente. Que a las formas existentes del análisis se les 
asigne una interpretación cuantitativa es el resultado de las circunstancias por las cuales 
tales formas fueron determinadas, y esto no debe traducirse en una condición universal 
del análisis. Es sobre el fundamento de este principio general que me propongo 
establecer el cálculo de la lógica y que clamo por él un lugar entre las formas 
reconocidas del análisis matemático, sin importar que en su objeto y en sus 
instrumentos deba estar, en el estado actual de las cosas, solo. 
 Lo que hace posible a la lógica es la existencia, en nuestras mentes, de nociones 
generales; nuestra capacidad para concebir una clase y para designar a sus miembros 
individuales con un nombre común. La teoría de la lógica está, de esta forma, 
íntimamente ligada con la del lenguaje. Un intento exitoso por expresar proposiciones 
lógicas con símbolos, cuyas leyes de combinación deben fundarse sobre las leyes de los 
procesos mentales que representan, sería, hasta aquí, un paso hacia un lenguaje 
filosófico. Pero esta es una visión que no necesitamos seguir a detalle. Asumiendo la 
noción de una clase, somos capaces, desde cualquier colección de objetos concebible, 
de separar, a partirde un acto mental, aquellos [objetos] que pertenecen a la clase dada 
y de contemplarlos aparte del resto. Podemos concebir que se repita tal acto de elección, 
o uno similar, y el grupo de individuos tomado a consideración puede ser limitado 
todavía más al elegir, mentalmente, a aquellos entre ellos que pertenecen a alguna otra 
clase reconocida, así como también a la [clase] antes contemplada. Y este proceso 
puede repetirse con otros elementos de distinción hasta que lleguemos a un individuo 
poseyendo todos los caracteres distintivos que hemos tomado en cuenta, y a un 
miembro, al mismo tiempo, de cada clase que hemos enumerado.2 En realidad, es un 
método similar a éste el que empleamos siempre que, en el lenguaje común, 
acumulamos epítetos descriptivos en la búsqueda de definiciones más precisas. 
 Ahora, las distintas operaciones mentales que, para el caso de arriba, hemos 
supuesto que se realizan, están sujetas a leyes peculiares. Es posible asignar relaciones 
 
2 Esta perspectiva está muy bien expuesta en una de las cartas de Blanco White: “La lógica es, en su 
mayor parte, una colección de reglas técnicas fundadas sobre la clasificación. El silogismo no es otra cosa 
que un resultado de la clasificación de las cosas, que la mente forma natural y necesariamente, al formar 
un lenguaje. Todos los términos abstractos son clasificaciones, o mejor dicho, las etiquetas de las clases 
que ha establecido la mente.” Memoirs of the Rev. Joseph Blanco White, vol. II., p. 163. También véase, 
para una introducción muy lúcida, la obra del Dr. Lathem First Outlines of Logic applied to Language, la 
obra German Grammar de Becker, etc. Los nominalistas más extremos hacen depender a la lógica 
enteramente del lenguaje. Para una perspectiva contraria, véase la obra de Cudworth Eternal and 
Immutable Morality, libro IV, cap. III. 
 7 
entre ellas, ya sea con respecto a la repetición de una operación dada o a la sucesión de 
operaciones distintas, o a algún otro particular, que nunca son violadas. Es verdad, por 
ejemplo, que el resultado de dos actos sucesivos no se ve afectado por el orden en el que 
se realizan, y hay por lo menos otras dos leyes que consideraremos en el momento 
apropiado. Estas últimas leyes quizá parezcan tan obvias como para ser clasificadas 
entre las verdades necesarias y tan poco importantes como para no recibir una atención 
especial. Y probablemente sean observadas por primera vez en este ensayo. Con todo, 
puede afirmarse con seguridad que, si fuesen distintas a lo que son, todo el mecanismo 
del razonamiento, y más aún, las mismas leyes y constitución del intelecto humano, 
serían vitalmente cambiados. Podría existir, en efecto, una lógica, pero ya no sería la 
lógica que poseemos. 
 Tales son las leyes elementales sobre cuya existencia, y sobre cuya capacidad de 
una expresión simbólica exacta, está fundado el método de este ensayo, y se presume 
que el objeto que busca alcanzar así lo habrá sido completamente. Toda proposición 
lógica, ya sea categórica o hipotética, será capaz de ser expresada exacta y 
rigurosamente, y no sólo desde allí serán deducibles las leyes de la conversión y del 
silogismo, sino que también lo serán la resolución de los sistemas de proposiciones más 
complejos, la separación de cualquier elemento propuesto, y la expresión de su valor en 
términos de los elementos restantes, con toda relación subsidiaria involucrada. Todo 
proceso representará deducción y toda consecuencia matemática expresará una 
inferencia lógica. La generalidad del método incluso nos permitirá expresar 
arbitrariamente operaciones del intelecto, y llevarnos así a la demostración de teoremas 
generales en la lógica análogos, en ningún grado ligero, a los teoremas generales de las 
matemáticas ordinarias. Ninguna parte insignificante del placer que derivamos de la 
aplicación del análisis a la interpretación de la naturaleza externa surge de las 
concepciones que nos permite formar sobre la universalidad del dominio de la ley. Las 
fórmulas generales a las que nos vemos conducidos parecen dar a tal elemento una 
presencia visible, y la multitud de casos particulares a los que se aplican demuestra la 
extensión de su influencia. Incluso la simetría de su expresión analítica puede ser, en 
ningún sentido fantasioso, indicativo de su armonía y de su consistencia. 
 Ahora bien, no pretendo decir hasta qué extensión están abiertas las mismas 
fuentes de placer en este ensayo. La medida de tal extensión puede dejarse a la estima 
de aquellos que piensen que el tema es digno de su estudio. Pero sí puedo aventurarme a 
afirmar que tales ocasiones de gratificación intelectual no están ausentes aquí. Las leyes 
 8 
que tenemos que examinar son las leyes de una de las más importantes de nuestras 
facultades mentales. Las matemáticas que tenemos que construir son las matemáticas 
del intelecto humano. Ni la forma ni el carácter del método, más allá de su 
interpretación, son indignos de ser notados. Incluso hay una ejemplificación notable, en 
sus teoremas generales, de tal especie de excelencia, que consiste en la libertad de 
excepción. Y esto se observa en donde, en los correspondientes casos de las 
matemáticas heredadas, tal carácter no es de ninguna manera aparente. Aquellos pocos 
que piensan que hay algo en el análisis que lo hace meritorio de atención por sí mismo, 
podrán encontrar que vale la pena estudiarlo bajo una forma en la que toda ecuación 
puede resolverse y toda solución puede interpretarse. Tampoco aminorará el interés de 
este estudio el reflexionar que toda peculiaridad que notarán en la forma del cálculo 
representa una característica correspondiente en la constitución de sus propias mentes. 
 Sería prematuro hablar del valor que este método puede poseer como 
instrumento de investigación científica. Aquí hablo con referencia a la teoría del 
razonamiento y al principio de una verdadera clasificación de las formas y de los casos 
de la lógica considerada como una ciencia.3 El objetivo de estas investigaciones estuvo, 
en un primer momento, confinado a la expresión de la lógica heredada y a las formas 
del arreglo aristotélico, pero pronto se hizo evidente que de esta manera se introducían 
ciertas restricciones puramente arbitrarias y que no tenían fundamento en la naturaleza 
de las cosas. Éstas fueron notadas a medida que ocurrían, y serán discutidas en el lugar 
apropiado. Cuando se volvió necesario considerar el tema de las proposiciones 
hipotéticas (en donde, comparativamente, se ha hecho poco), y todavía más, cuando se 
requería una interpretación para los teoremas generales del cálculo, encontré imperativo 
descartar todo lo que se refiere a lo precedente y a la autoridad, e interrogar al método 
por sí mismo en búsqueda de una expresión de los justos límites de su aplicación. Con 
todo, no hubo un esfuerzo especial por llegar a resultados novedosos. Pero entre éstos, 
que en el momento de su descubrimiento parecían ser tales, puede ser apropiado 
observar lo siguiente. 
 Una proposición lógica es, de acuerdo con el método de este ensayo, expresable 
por una ecuación cuya forma determina las reglas de conversión y de transformación, a 
las cuales está sujeta la proposición dada. Así, la ley de lo que los lógicos llaman 
 
3 “Estrictamente una ciencia”; también “un arte”. Elements of Logic de Whately. En realidad no debemos 
considerar todo arte como ciencia aplicada, a menos que estemos dispuestos a considerar, junto con “la 
multitud”, al arte como “adivinar y proponer bien”. Platón, Filebo. 
 9 
conversión simple está determinada por el hecho de que las ecuaciones correspondientes 
son simétricas, que no se ven afectadas por un cambio de lugar mutuo en aquellos 
símbolos que corresponden a las clases convertibles. Así fueron determinadas las leyes 
de conversión heredadas,y después otro sistema que está pensado para ser más 
elemental y más general. Véase el capítulo Sobre la conversión de proposiciones. 
 Siendo expresadas por ecuaciones las premisas de un silogismo, la eliminación 
de un símbolo común entre aquellas conduce a una tercera ecuación que expresa la 
conclusión, siendo ésta siempre lo más general posible, sin importar si es aristotélica o 
no. Entre los casos en los que no fue posible ninguna inferencia, encontré que había dos 
formas distintas de la ecuación final. Pasó un tiempo considerable antes de que 
descubriera la explicación de este hecho, pero fue ampliamente visto que depende de la 
presencia o ausencia de un verdadero medio de comparación entre las premisas. La 
distinción, que se piensa como nueva, está ilustrada en el capítulo Sobre los silogismos. 
 El carácter no exclusivo de la conclusión disyuntiva de un silogismo hipotético 
está claramente señalado en los ejemplos de este tipo de argumento. 
 La clase de los problemas lógicos ilustrados en el capítulo Sobre la solución de 
ecuaciones electivas se concibe como nueva, y se cree que el método de tal capítulo 
proporciona los medios para un perfecto análisis de cualquier sistema de proposiciones 
concebible, un fin hacia el que las reglas para la conversión de una única proposición 
categórica son sólo el primer paso. 
 Sin embargo, sobre la originalidad de estos puntos de vista o de cualesquiera 
otros soy consciente de que poseo un conocimiento muy ligero de la literatura de la 
ciencia lógica, y especialmente de la literatura antigua, como para poder hablar con 
seguridad. 
 Puede que no sea inapropiado, antes de concluir estas observaciones, ofrecer 
unas cuantas reflexiones sobre la cuestión general del uso del lenguaje simbólico en las 
matemáticas. Últimamente se han lanzado fuertes objeciones contra esta práctica sobre 
la base de que, al obviar la necesidad de pensamiento, y al sustituir una referencia a las 
fórmulas generales en el lugar del esfuerzo personal, tiende a debilitar las facultades de 
razonamiento. 
 Ahora bien, la cuestión del uso de los símbolos puede ser considerada desde dos 
puntos de vista. Primero, puede ser considerada con referencia al progreso del 
descubrimiento científico, y segundo, con referencia a su incidencia sobre la disciplina 
del intelecto. 
 10 
 Con respecto al primer punto de vista puede observarse que, así como es el fruto 
de un trabajo realizado que nos pone en libertad de participar en afanes más peligrosos, 
también es el resultado necesario de un avanzado estado de la ciencia que nos permite, e 
incluso nos llama, a pasar a problemas más elevados que aquellos que contemplamos 
antes. La inferencia práctica es obvia. Si a través de la potencia de avance de los 
métodos científicos descubrimos que las búsquedas con las que alguna vez estuvimos 
comprometidos ya no proporcionan un campo lo suficientemente amplio para el 
esfuerzo intelectual, el remedio es proceder a investigaciones más elevadas y, en nuevas 
trayectorias, buscar dificultades hasta entonces incontroladas. Y tal es, en efecto, la 
verdadera ley del progreso científico. Debemos contentarnos, o bien con abandonar la 
esperanza de conquistas futuras, o bien con emplear los auxilios del lenguaje simbólico, 
como son propios al estado del progreso, al cual hemos llegado. Pero no debemos temer 
el tener que comprometernos con tal curso. Aún no hemos llegado tan cerca de los 
límites del conocimiento posible como para sugerir la aprehensión de que tal alcance 
acabará por fallarle al ejercicio de las facultades inventivas. 
 Al discutir la segunda, y apenas menos trascendental, cuestión de la influencia 
del uso de símbolos en la disciplina del intelecto, debe hacerse una distinción 
importante. Es una consecuencia principalmente material si tales símbolos son 
utilizados con un pleno entendimiento de su significado, con una plena comprensión de 
aquello que hace lícito su uso, y con una habilidad para expandir las abreviadas formas 
de razonamiento que inducen, en su desarrollo completamente silogístico, o si son 
meros caracteres nada sugestivos cuyo uso descansa sobre la autoridad. 
 La respuesta que debe ofrecerse a la cuestión propuesta diferirá dependiendo de 
si se admite una u otra de estas suposiciones. En el primer caso se proporciona una 
disciplina intelectual de un orden mayor, un ejercicio no sólo de la razón, sino también 
de la facultad de generalización. En el segundo caso no hay ninguna disciplina mental. 
Quizá fue la mejor defensa en contra del peligro de una confianza irracional en los 
símbolos, por un lado, y un abandono de sus justas reclamaciones, por el otro, el que 
cada tema de las matemáticas aplicadas haya sido tratado bajo el espíritu de los métodos 
conocidos en el tiempo en el que fue hecha la aplicación, aunque en la mejor forma que 
tales métodos han asumido. El orden de los logros en la mente individual guardaría, de 
esta forma, alguna relación con el orden real del descubrimiento científico, y los 
métodos más abstractos del análisis superior únicamente serían ofrecidos a tales mentes, 
preparadas para recibirlos. 
 11 
 La relación en la que este ensayo se encuentra con la lógica y con las 
matemáticas a la vez puede, además, justificar alguna atención a la cuestión 
últimamente revivida del valor relativo de los dos estudios en una educación liberal. 
Una de las principales objeciones que se han lanzado en contra del estudio de las 
matemáticas en general no es sino otra forma de lo que ya hemos considerado con 
respecto al uso de los símbolos en particular. Y no tenemos más que decir que, si [esta 
objeción] vale algo, entonces se aplica con igual fuerza en contra del estudio de la 
lógica. Las formas canónicas del silogismo aristotélico son realmente simbólicas; 
únicamente sucede que los símbolos son menos perfectos de su especie que aquellos de 
las matemáticas. Si son empleados para probar la validez de un argumento, ciertamente 
sustituyen al ejercicio de la razón tanto como lo hace una referencia a una fórmula del 
análisis. Si hoy en día los hombres hacen uso de los cánones aristotélicos, excepto como 
una ilustración especial de las reglas de la lógica, puede ser puesto en duda, pero no 
puede cuestionarse que, cuando la autoridad de Aristóteles fue dominante en las 
escuelas de Europa, tales aplicaciones eran habituales. Y nuestro argumento solamente 
requiere la admisión de que el caso es posible. 
 Pero la cuestión que tenemos ante nosotros se ha discutido en niveles más 
elevados. Considerando a la lógica como una rama de la filosofía, y definiendo filosofía 
como “la ciencia de una existencia real” y como “la búsqueda de causas”, y asignándole 
como principal empresa la investigación del “porqué”, mientras que las matemáticas 
muestran sólo el “que”, el señor W. Hamilton ha afirmado no sólo que la superioridad 
descansa en el estudio de la lógica, sino que el estudio de las matemáticas es peligroso e 
inútil a la vez.4 Las búsquedas del matemático “no sólo no lo han entrenado con ese 
olfato agudo, con ese delicado, casi instintivo, tacto que, en el crepúsculo de la 
probabilidad, demandan la búsqueda y la discriminación de sus hechos más finos; han 
llegado a nublar su visión, a endurecer su tacto a todo excepto a la resplandeciente luz, 
la cadena de hierro de la demostración, y lo han dejado fuera de los estrechos límites de 
su ciencia, a una credulidad pasiva en cualesquiera premisas o a una absoluta 
incredulidad en todas.” En apoyo de estos y de otros cargos, se aducen tanto 
argumentos como autoridades copiosas.5 No pretendo una discusión completa de las 
 
4 Edinburgh Review, vol. LXII, p. 409 y Letter to A. De Morgan, Esq. 
5 Los argumentos son, por lo general, mejores que las autoridades. Muchos autores citados en la condena 
a las matemáticas (Aristón, Séneca, Jerome,Agustín, Cornelius Agrippa, etc.). han aportado testimonios 
no menos explícitos en contra de otras ciencias, entre ellas la lógica. El tratado del último autor 
nombrado, De Vanitate Scientiarum, seguramente fue referido por error - Vide cap. CII. 
 12 
cuestiones sugeridas por estos comentarios. Mi objeto no es la controversia, y las 
observaciones que siguen no están ofrecidas bajo el espíritu del antagonismo, sino con 
la esperanza de contribuir a la formación de perspectivas justas sobre un tema 
importante. Del Sr. Hamilton no puede hablarse sino con aquel respeto debido al genio 
y al saber. 
 La filosofía, entonces, es descrita como la ciencia de una existencia real y como 
la búsqueda de causas. Y para que no quede duda del significado de la palabra causa, 
además se dice que la filosofía “investiga principalmente el porqué”. Estas definiciones 
son comunes entre los autores antiguos. Así, Séneca, una de las autoridades del Sr. 
Hamilton, dice (Epístola LXXXVIII) que “El filósofo busca y conoce las causas de las 
cosas naturales, sobre las cuales el matemático investiga y computa los números y sus 
medidas.” Puede observarse, de paso, que en cualquier grado que haya prevalecido la 
creencia de que la empresa de la filosofía es inmediatamente con las causas, en el 
mismo grado ha sido ligeramente apreciada toda ciencia cuyo objeto sea la 
investigación de leyes. Así, la Epístola recién referida dedica, en contraste con la 
filosofía, una condena separada sobre la música y la gramática, sobre las matemáticas y 
la astronomía, aunque haya sido sólo la condena a las matemáticas la que ha citado el 
Sr. W. Hamilton. 
 Ahora podríamos tomar nuestra posición sobre la convicción de muchas mentes 
pensantes y reflexivas de que, en la medida del significado establecido arriba, la 
filosofía es imposible. La empresa de la verdadera ciencia, concluyen, tiene que ver con 
leyes y fenómenos. La naturaleza del Ser, el modo de operación de la Causa, el porqué, 
sostienen, está más allá del alcance de nuestra inteligencia. Pero no requerimos el 
terreno ventajoso de esta postura, ni tampoco se duda que, sea o no alcanzable el 
propósito de la filosofía, el deseo que nos impulsa a tal intento es un instinto de nuestra 
naturaleza más elevada. Establezcamos que el problema que ha frustrado los esfuerzos 
de siglos enteros no es desesperanzador, que “la ciencia de una existencia real” y de “la 
búsqueda de causas”, “aquel meollo” por el cual “la filosofía sigue militando” no 
trasciende los límites del intelecto humano. Es así que me veo obligado a afirmar que, 
de acuerdo con esta perspectiva sobre la naturaleza de la filosofía, la lógica no forma 
parte de ella. Sobre el principio de una verdadera clasificación, ya no debemos asociar 
la lógica y la metafísica, sino la lógica y las matemáticas. 
 Si, después de todo lo dicho, alguien mantiene una duda sobre este punto, debo 
referirlo a la evidencia proporcionada en el siguiente ensayo. Ahí verá que la lógica, al 
 13 
igual que la geometría, descansa sobre verdades axiomáticas, y verá sus teoremas 
construidos sobre la doctrina general de los símbolos, que constituye el fundamento del 
análisis reconocido. En la lógica de Aristóteles será conducido a ver una colección de 
las fórmulas de la ciencia expresadas por otro esquema de símbolos (se piensa) menos 
perfecto. Me siento obligado a impugnar la exactitud absoluta de este paralelismo. No 
escapa a la conclusión a la que se apunta afirmar que la lógica no únicamente construye 
una ciencia, sino que también indaga en el origen y en la naturaleza de sus propios 
principios, una distinción negada a las matemáticas. “Está totalmente más allá del 
dominio de las matemáticas,”, se dice, “indagar en el origen y en la naturaleza de sus 
principios.” (Review, p. 415). Pero, ¿sobre qué base puede sostenerse tal distinción? 
¿Qué definición del término “ciencia” será lo suficientemente arbitraria como para 
permitir tales diferencias? 
 La aplicación de esta conclusión a la cuestión que tenemos ante nosotros es clara 
y decisiva. La disciplina mental que proporciona el estudio de la lógica como una 
ciencia exacta es, en especie, la misma que proporciona el estudio del análisis. 
 ¿Se sostiene, entonces, que la lógica o las matemáticas pueden suministrar una 
disciplina perfecta al intelecto? El examen más cuidadoso y sin prejuicios de esta 
cuestión me lleva a dudar de si tal posición puede sostenerse. Las reivindicaciones 
exclusivas de cualquiera de las dos deben ser, creo, abandonadas, pero tampoco pueden 
[otras disciplinas], participando en un carácter exclusivo similar, ser admitidas en su 
lugar. Constituye una observación importante, que ha sido hecha más de una vez, que 
una cosa es llegar a premisas correctas y otra deducir conclusiones lógicas, y que la 
empresa de la vida depende más de la primera que de la segunda. El estudio de las 
ciencias exactas puede enseñarnos aquella y puede darnos alguna preparación general 
del conocimiento y de la práctica para alcanzar ésta, pero es la unión del pensamiento 
con la acción, en el campo de la lógica práctica, en la arena de la vida humana, la que 
debemos buscar para su más completo y perfecto logro. 
 Me gustaría expresar mi convicción de que, con el avance de nuestro verdadero 
conocimiento de toda ciencia verdadera, encontraremos una armonía cada vez mayor 
entre sus diversas ramas. La visión que conduce al rechazo de una debe, si es 
consistente, llevar al rechazo de otras. Y en realidad muchas de las ya citadas 
autoridades que claman contra el estudio de las matemáticas son incluso más explícitas 
en su condena a la lógica. “Las ciencias naturales”, dice Chian Aristo, “están por 
encima de nosotros, y la ciencia lógica no nos concierne.” Cuando conclusiones así 
 14 
están fundadas sobre una convicción profunda del valor e importancia preeminentes del 
estudio de la moral (como suelen estarlo), admitimos las premisas pero objetamos la 
inferencia. Porque ha sido bien dicho por un antiguo autor que “es característico de las 
ciencias liberales, no que nos conduzcan a la virtud, sino que nos preparen para la 
virtud”, y el sentimiento de Melancthon “abeunt studia in mores” ha pasado a ser un 
proverbio. Más aún, existe un terreno común sobre el cual pueden encontrarse todos los 
devotos sinceros de la verdad, intercambiando entre ellos el lenguaje de la apelación de 
Flamsteed a Newton: “Los trabajos de la Eterna Providencia serán mejor comprendidos 
a través de sus trabajos y de los míos.” 
 15 
PRIMEROS PRINCIPIOS 
 
 Empleemos el símbolo 1, o la unidad, para representar al Universo, y 
entendámoslo como comprendiendo toda clase de objetos concebible, ya sean existentes 
o no, con la premisa de que el mismo individuo puede encontrarse en más de una clase 
en la medida en que pueda poseer más de una cualidad en común con otros individuos. 
Empleemos las letras X, Y, Z para representar los miembros individuales de las clases, X 
aplicando a cada miembro de una clase, como miembros de tal clase particular, y Y a 
cada miembro de otra clase como miembros de tal clase, y así sucesivamente de acuerdo 
con el lenguaje heredado de los tratados de lógica. 
 Además de esto, concibamos una clase de símbolos x, y, z poseyendo el 
siguiente carácter. El símbolo x, operando sobre cualquier sujeto comprendiendo 
individuos o clases, debe suponerse que elige, de tal sujeto, todas las Xs que contiene. 
Del mismo modo, el símbolo y, operando sobre cualquier sujeto, debe estar supuesto a 
elegir, de él, todos los individuos de la clase Y que están comprendidos en él, y así 
sucesivamente. 
 Cuando ningún sujeto está expresado, debemos suponer a 1 (el Universo) como 
el sujeto entendido, así que tendremos 
xx = (1), 
siendo el sentido de cada término la selección, desde el Universo, de todas las Xs que 
contiene, y siendo el resultado de la operación, en lenguajecomún, la clase X, i. e., la 
clase de la cual cada miembro es una X. 
 De estas premisas se sigue que el producto xy representará, en sucesión, la 
selección de la clase Y y la selección, desde la clase Y, de los individuos de la clase X 
contenidos en ella, siendo el resultado la clase cuyos miembros son tanto Xs como Ys. Y 
de manera análoga el producto xyz representará una operación compuesta de la cual los 
elementos sucesivos son la selección de la clase Z, la selección, desde ella, de los 
individuos de la clase Y contenidos en ella, y la selección, del resultado así obtenido, de 
todos los individuos de la clase X que contiene, siendo el resultado final la clase común 
a X, Y, y Z. 
 Dada la naturaleza de la operación que los símbolos x, y, z están concebidos para 
representar, los designaremos como símbolos electivos. A una expresión en la que estén 
involucrados la llamaremos función electiva, y una ecuación cuyos miembros sean 
funciones electivas será llamada ecuación electiva. 
 16 
 No será necesario que entremos en el análisis de la operación mental que hemos 
representado por el símbolo electivo. No es un acto de abstracción desde la aceptación 
común de tal término porque nunca perdemos vista de lo concreto, sino que 
probablemente se refiere a un ejercicio de las facultades de comparación y atención. 
Nuestra preocupación actual más bien tiene que ver con las leyes de combinación y de 
sucesión, por las cuales están gobernados sus resultados, y sobre éstas será suficiente 
decir lo siguiente. 
 1) El resultado de un acto de elección es independiente del agrupamiento o de la 
clasificación del sujeto. 
 Así, es indiferente si desde un grupo de objetos considerados como un todo 
seleccionamos la clase X o dividimos al grupo en dos partes, seleccionamos las Xs de 
ellas de forma separada, y después conectamos los resultados en una concepción 
agregada. 
 Podemos expresar matemáticamente esta ley con la ecuación 
,)( xvxuvux +=+ 
vu + representando al sujeto indiviso y u y v a sus partes componentes. 
 2) Es indiferente en qué orden se realizan dos actos sucesivos de elección. 
 Ya sea que desde la clase de animales seleccionemos las ovejas, y desde las 
ovejas aquellas que tienen cuernos, o que desde la clase de animales seleccionemos los 
cornudos y desde éstos a aquellos que son ovejas, el resultado no se ve afectado. En 
cualquier caso llegamos a la clase ovejas con cuernos. 
 La expresión simbólica de esta ley es 
yxxy = . 
 3) El resultado de un acto de elección dado realizado dos veces, o cualquier 
número de veces en sucesión, es el resultado del mismo acto realizado una vez. 
 Si desde un grupo de objetos seleccionamos las Xs, obtenemos una clase de la 
cual todos los miembros son Xs. Si repetimos la operación sobre esta clase no resultará 
ningún cambio: al seleccionar las Xs tomamos el todo. Así, tenemos 
xxx = 
o 
xx =2 , 
y suponiendo que la misma operación se realiza n veces, tenemos 
xxn = , 
 17 
que es la expresión matemática de la ley establecida arriba.6 
 Las leyes recién establecidas bajo las formas simbólicas 
),1......()( xvxuvux +=+ 
),2......(yxxy = 
),3......(xxn = 
son suficientes para la base del cálculo. A partir de la primera de éstas, parece que los 
símbolos electivos son distributivos, de la segunda que son conmutativos; propiedades 
que poseen en común con los símbolos de la cantidad, y en virtud de las cuales son 
aplicables todos los procesos del álgebra común al presente sistema. El único y 
suficiente axioma involucrado en esta aplicación es que operaciones equivalentes 
realizadas sobre sujetos equivalentes producen resultados equivalentes.7 
 A la tercera ley (3) la denominaremos la ley del índice. Es peculiar a símbolos 
electivos, y nos será de gran importancia al permitirnos reducir nuestros resultados a 
formas convenientes para la interpretación. 
 De la circunstancia de que el proceso del álgebra pueda aplicarse al presente 
sistema no debe inferirse que la interpretación de una ecuación electiva no se verá 
afectada por tales procesos. La expresión de una verdad no puede ser negada por una 
operación legítima, pero sí puede ser limitada. La ecuación zy = implica que las clases 
 
6 La función del símbolo electivo x es seleccionar individuos comprendidos en la clase X. Supongamos 
que la clase X abarca al Universo; entonces, sea cual sea la clase Y, tenemos que yxy = . La función 
que realiza x es ahora equivalente a la del símbolo +, por lo menos en una de sus interpretaciones, y la ley 
del índice (3) da +=+ n , que es la propiedad conocida de tal símbolo. 
7 Es generalmente afirmado por los lógicos que todo el razonamiento depende, en última instancia, de una 
aplicación del dictum de Aristóteles de omni et nullo. “Cualquier cosa que se predique universalmente de 
cualquier clase de cosas, de igual forma puede ser predicada de cualquier cosa comprendida en tal clase.” 
Pero suele acordarse que este dictum no es inmediatamente aplicable en todos los casos, y que en una 
mayoría de instancias es necesario un cierto proceso de reducción anterior. ¿Cuáles son los elementos 
involucrados en tal proceso de reducción? Claramente son más parte del razonamiento general que el 
propio dictum. 
 Otra manera de considerar la cuestión es resolviendo todo el razonamiento en una aplicación de 
uno o de otro de los siguientes cánones: 
1. Si dos términos concuerdan con uno y el mismo tercero, concuerdan entre sí, 
2. Si un término concuerda y otro no con uno y el mismo tercero, entonces aquellos no 
concuerdan entre sí. 
Pero la aplicación de estos cánones depende de actos mentales equivalentes a aquellos que están 
involucrados en el antes nombrado proceso de reducción. Debemos seleccionar individuos de clases, 
convertir proposiciones, etc., antes de poder aprovecharnos de su guía. Cualquier explicación del proceso 
de razonamiento es insuficiente si no representa las leyes de la operación que lleva a cabo la mente en tal 
proceso y las verdades primarias que reconoce y aplica. 
Es de presumir que las leyes en cuestión están adecuadamente representadas por las ecuaciones 
fundamentales del cálculo actual. La prueba de esto se reconocerá en su capacidad para expresar 
proposiciones y para exhibir, en los resultados de sus procesos, todo resultado al que pueda llegarse por el 
razonamiento ordinario. 
 18 
Y y Z son equivalentes miembro por miembro. Multipliquémosla por un factor x y 
tendremos 
xzxy = , 
que expresa que los individuos comunes a las clases X y Y también son comunes a X y 
Z, y viceversa. Ésta es una inferencia perfectamente legítima, pero el hecho que declara 
es menos general que el que se afirmó en la proposición original. 
 19 
DE LA EXPRESIÓN Y DE LA INTERPRETACIÓN 
 
 Una proposición es una oración que afirma o niega, como “Todos los hombres 
son mortales.”, “Ninguna criatura es independiente.” 
 Una proposición tiene, necesariamente, dos términos, como hombres, mortales; 
al primero de ellos, o a aquel sobre el que se habla, se le llama sujeto y al segundo, o a 
aquel que afirma o niega del sujeto, se le llama predicado. Estos términos están 
conectados por la cópula es o no es, o por alguna otra modificación del verbo 
sustantivo. 
 El verbo sustantivo es el único verbo reconocido en la lógica, siendo todos los 
otros resolubles por medio del verbo ser y de un participio o adjetivo, por ejemplo, “Los 
romanos conquistaron”; la palabra “conquistaron” es tanto cópula como predicado, 
siendo equivalente a “fueron (cópula) victoriosos (predicado)”. 
 Una proposición debe ser afirmativa o negativa, y también universal o particular. 
Así es que reconocemos en todas cuatro tipos de proposiciones puramente categóricas: 
1) Universal-Afirmativa, usualmente representada por A 
Ejemplo: Todas las Xs son Ys. 
2) Universal-Negativa, usualmente representada por E 
Ejemplo:Ninguna X es Y. 
3) Particular-Afirmativa, usualmente representada por I 
Ejemplo: Algunas Xs son Ys. 
4) Particular-Negativa, usualmente representada por O8 
Ejemplo: Algunas Xs no son Ys. 
1. Expresar la clase no-X, esto es, la clase que incluye todos los individuos que 
no son Xs. 
La clase X y la clase no-X hacen juntas al Universo. Pero el Universo es 1, y la 
clase X está determinada por el símbolo x; por lo tanto, la clase no-X estará determinada 
por el símbolo x−1 . 
Así pues, la función del símbolo x−1 , unido a un sujeto dado, será seleccionar 
de él todas las no-Xs que contiene. 
 
8 Esto está tomado, con algunas variaciones, de los tratados de Aldrich y Whately. 
 20 
Y análogamente, como el producto xy expresa toda la clase cuyos miembros son 
Xs y Ys, el símbolo )1( xy − representará la clase cuyos miembros son Ys pero no Xs, y 
el símbolo )1)(1( yx −− [representará] toda la clase cuyos miembros no son ni Xs ni Ys. 
2. Expresar la proposición “Todas las Xs son Ys.” 
Como todas las Xs que existen se encuentran en la clase Y, es obvio que 
seleccionar del Universo todas las Ys y de éstas seleccionar todas las Xs es lo mismo 
que seleccionar, de una sola vez, todas las Xs del Universo. 
Por lo tanto 
xxy = 
o 
0)1( =− yx (4). 
 3. Expresar la proposición “Ninguna X es Y.” 
 Afirmar que ninguna X es Y es lo mismo que afirmar que no hay elementos 
comunes en las clases X y Y. Ahora bien, todos los individuos comunes a tales clases 
están representados por xy. Por lo tanto, la proposición de que ninguna X es Y está 
representada por la ecuación 
0=xy (5). 
 4. Expresar la proposición “Algunas Xs son Ys.” 
 Si algunas Xs son Ys, entonces hay algunos elementos comunes a las clases X y 
Y. Si tales términos constituyen una clase separada V, a la cual corresponde un símbolo 
electivo separado v, entonces 
xyv = (6). 
Y como v incluye todos los términos comunes a las clases X y Y, podemos interpretarlo, 
indiferentemente, como “Algunas Xs” o como “Algunas Ys”. 
 5. Expresar la proposición “Algunas Xs no son Ys.” 
 En la última ecuación, escribir y−1 en lugar de y, y tenemos 
)1( yxv −= (7), 
siendo la interpretación de v indiferentemente “Algunas Xs” o “Algunas no-Ys”. 
 Las ecuaciones anteriores involucran la teoría completa de las proposiciones 
categóricas, y en cuanto respecta al empleo del análisis para la deducción de inferencias 
lógicas, nada más debe desearse. Pero puede resultar satisfactorio notar algunas formas 
particulares deducibles de las ecuaciones tercera y cuarta, susceptibles a una aplicación 
similar. 
 21 
 Si multiplicamos la ecuación (6) por x, tenemos 
xyyxvx == 2 (en virtud de (3)). 
 Comparando con (6), encontramos que 
vxv = 
o 
0)1( =− xv (8). 
 Y multiplicando (6) por y, y haciendo una reducción similar, tenemos 
vyv = 
o 
0)1( =− yv (9). 
 Comparando (8) y (9), 
vvyvx == (10). 
 Además, comparando (8) y (9) con (4) tenemos, como el equivalente de este 
sistema de ecuaciones, las proposiciones 
Todas las Vs son Xs. 
Todas las Vs son Ys. 
 El sistema (10) puede utilizarse para remplazar a (6), o también la ecuación 
simple 
vyvx = (11) 
puede ser utilizada si a vx le asignamos la interpretación “Algunas Xs” y a vy la 
interpretación “Algunas Ys”. Pero se observará que este sistema no expresa tanto como 
la ecuación simple (6), de la cual deriva. En efecto, ambas cosas [la ecuación simple (6) 
y el sistema (10)] expresan la proposición “Algunas Xs son Ys”, pero el sistema (10) no 
implica que la clase V incluya todos los términos comunes a X y Y. 
 Del mismo modo, de la ecuación (7), que expresa la proposición “Algunas Xs no 
son Ys”, podemos deducir el sistema 
vyvvx =−= )1( (12), 
en donde la interpretación de )1( yv − es “Algunas no-Ys”. Como en este caso 0=vy , 
debemos tener cuidado para no interpretar vy como “Algunas Ys”. 
 Si multiplicamos la primera ecuación del sistema (12), a saber, 
)1( yvvx −= 
por y, tenemos 
)1( yvyvxy −= 
 22 
0=∴vxy (13), 
una forma que se presentará ocasionalmente. No es necesario regresar a la ecuación 
primitiva para interpretarla, porque la condición de que vx representa “Algunas Xs” nos 
muestra, en virtud de (5), que su sentido será 
Algunas Xs son no Ys, 
el sujeto comprendiendo todas las Xs que se encuentran en la clase V. 
 Universalmente, en estos casos, la diferencia de forma implica una diferencia de 
interpretación con respecto al símbolo auxiliar v, y cada forma es interpretable por sí 
misma. 
 Además, estas diferencias no introducen una perplejidad innecesaria en el 
cálculo. En lo sucesivo se verá que ofrecen una precisión y una definitud a sus 
conclusiones, que de otra forma no podrían asegurarse. 
 Finalmente, podemos decir que todas las ecuaciones por las cuales se expresan 
verdades particulares son deducibles de cualquier ecuación general que exprese 
cualquier proposición desde la cual tales proposiciones particulares son deducciones 
necesarias. Ya hemos mostrado parcialmente esto, pero se ejemplifica mucho más 
plenamente en el siguiente esquema. 
 La ecuación general yx = 
implica que las clases X y Y son equivalentes miembro por miembro, que cualquier 
individuo perteneciente a una pertenece también a la otra. Multiplicando la ecuación por 
x tenemos que 
xyx =2 
xyx =∴ , 
que implica, por (4), que todas las Xs son Ys. Multiplicando la misma ecuación por y, 
del mismo modo tendremos que 
xyy = , 
cuyo sentido es que todas las Ys son Xs. Tomemos cualquiera de estas ecuaciones, la 
última por ejemplo, y escribiéndola bajo la forma 
0)1( =− yx , 
podemos considerarla como una ecuación en la que se busca que y, una cantidad 
desconocida, sea expresada en términos de x. Ahora bien, más adelante, cuando 
lleguemos a la Solución de Ecuaciones Electivas (y el resultado puede ser verificado 
aquí por sustitución), mostraremos que la solución más general de esta ecuación es 
 23 
vxy = , 
que implica que todas las Ys son Xs y que algunas Xs son Ys. Multiplicando por x 
tenemos 
vxvy = , 
que indiferentemente implica que algunas Ys son Xs y que algunas Xs son Ys, siendo la 
forma particular a la que ya llegamos antes. 
 En aras de la conveniencia de referencia, los resultados de arriba y otros más han 
sido clasificados en la tabla anexada, cuya primera columna contiene proposiciones, la 
segunda ecuaciones, y la tercera las condiciones de interpretación final. Ha de 
observarse que las ecuaciones auxiliares ofrecidas en esta columna no son 
independientes, sino que están implicadas, o bien en las ecuaciones de la segunda 
columna, o bien en las condiciones para la interpretación de v. Pero he pensado que es 
mejor, en aras de la facilidad y de la conveniencia, escribirlas separadamente. También 
debe tenerse en mente que, aunque están ofrecidas tres formas distintas para la 
expresión de cada una de las proposiciones particulares, en realidad todo está incluido 
en la primera forma. 
 24 
DE LA CONVERSIÓN DE PROPOSICIONES 
 
 Se dice que una proposición ha sido convertida cuando se han transpuesto sus 
términos; cuando no se hace nada más, llamamos a esto una conversión simple. Por 
ejemplo, 
Ningún hombre virtuoso es tirano 
se convierte en 
Ningún tirano es un hombre virtuoso. 
 Los lógicos también contemplan la conversión per accidens, o por limitación, 
por ejemplo, 
Todos los pájaros son animales 
se convierte en 
Algunos animales son pájaros. 
 Y [también contemplan] la conversión por contraposición o negación, como 
Todo poeta es un hombre de genio 
se convierte en 
Aquel que no es un hombre de genio no es poeta. 
 Consecuentemente, toda proposición puede ser convertida en alguna de estas tres 
formas, a saber, E e I simplemente, A y O por negación, A y E por limitación. 
 Las formas canónicas primarias ya determinadas para la expresión de 
proposiciones son: 
 Todas lasXs son Ys, ,0)1( =− yx A. 
 Ninguna X es Y, ,0=xy E. 
 Algunas Xs son Ys, ,xyv = I. 
 Algunas Xs no son Ys, ),1( yxv −= O. 
 Al examinar estas formas, percibimos que E e I son simétricas con respecto a x y 
y, así que si x es cambiada en y, y y en x, las ecuaciones permanecen sin cambios. Por lo 
tanto, E e I pueden interpretarse como 
Ninguna Y es X, 
Algunas Ys son Xs, 
respectivamente. Es así que tenemos la conocida ley de los lógicos de que las 
proposiciones particulares afirmativas y las universales negativas admiten la conversión 
simple. 
 25 
 Las ecuaciones A y O pueden escribirse bajo las formas 
,0)}1(1){1( =−−− xy 
)}.1(1){1( xyv −−−= 
 Ahora bien, éstas son precisamente las formas que habríamos obtenido si 
hubiésemos cambiado, en tales ecuaciones, x en y−1 y y en x−1 , que habrían 
representado el cambio, en las proposiciones originales, de las Xs en no-Ys y de las Ys 
en no-Xs, siendo las proposiciones resultantes 
Todas las no-Ys son no-Xs, 
Algunas no-Ys no son no-Xs (a). 
 O también podemos, al simplemente invertir el orden de los factores en el 
segundo miembro de O, y escribiéndola bajo la forma 
,)1( xyv −= 
interpretarla, por I, como 
Algunas no-Ys son Xs, 
que en realidad es otra forma de (a). De aquí se sigue la regla de que las proposiciones 
universales afirmativas y las particulares negativas admiten la conversión negativa o, 
como también se le llama, la conversión por contraposición. 
 Las ecuaciones A y E, escritas bajo las formas 
,0)1( =− xy 
,0=yx 
dan como solución las respectivas formas 
,vyx = 
),1( yvx −= 
cuya exactitud puede mostrarse al sustituir estos valores de x en las ecuaciones a las 
cuales pertenecen y al observar que tales ecuaciones son satisfechas independientemente 
de la naturaleza del símbolo v. La primera solución puede interpretarse como 
Algunas Ys son Xs 
y la segunda como 
Algunas no-Ys son Xs. 
 De esto parece ser que las proposiciones universales-afirmativas, y las 
universales-negativas, son convertibles por limitación o, como se le ha llamado, per 
accidens. 
 26 
 Las anteriores son las leyes de conversión reconocidas por el Arzobispo 
Whately. Empero, los autores difieren en cuanto a la admisibilidad de la conversión 
negativa. La cuestión depende de si nos permitimos el uso de términos como no-X, no-
Y. Concordando con aquellos que piensan que tales términos deben admitirse, aún 
cuando cambien el tipo de proposición, me veo obligado a observar que su clasificación 
actual es deficiente y defectuosa. Así, la conversión de “Ninguna X es Y” en “Todas las 
Ys son no-Xs”, aunque perfectamente legítima, no está reconocida en el esquema 
anterior. Será apropiado, pues, examinar el tema de forma más completa. 
 Si del sistema de ecuaciones que hemos obtenido procuramos deducir las leyes 
no sólo de la conversión, sino también de la transformación general de proposiciones, 
nos vemos guiados a reconocer los siguientes elementos distintos, cada uno conectado 
con un proceso matemático distinto. 
 1) La negación de un término, i. e., el cambio de X en no-X o de no-X en X. 
 2) La traducción de una proposición desde un tipo a otro, como si cambiáramos 
 “Todas las Xs son Ys” en “Algunas Xs son Ys” A en I, 
lo que sería legítimo, o 
 “Todas las Xs son Ys” en “Ninguna X es Y” A en E, 
lo que sería ilegítimo. 
 3) La conversión simple de una proposición. 
 Las condiciones de obediencia a las cuales deben sujetarse estos procesos para 
ser legítimos pueden deducirse de las ecuaciones por las cuales se expresan las 
proposiciones. 
 Tenemos 
 Todas las Xs son Ys 0)1( =− yx A, 
 Ninguna X es Y 0=xy E. 
 Escribamos E bajo la forma 
0)}1(1{ =−− yx 
y entonces es interpretable, por A, como 
Todas las Xs son no-Ys, 
así que podemos cambiar 
“Ninguna X es Y” en “Todas las Xs son no-Ys”. 
 Del mismo modo, A interpretada por E da 
Ninguna X es no-Y, 
 27 
así que podemos cambiar 
“Todas las Xs son Ys” en “Ninguna X es no-Y”. 
 A partir de estos casos tenemos la siguiente regla: una proposición universal-
afirmativa es convertible en una universal-negativa, y viceversa, por la negación del 
predicado. 
 De nuevo, tenemos 
 Algunas Xs son Ys ,xyv = 
 Algunas Xs son no-Ys )1( yxv −= . 
 Estas ecuaciones únicamente difieren de las antes consideradas por la presencia 
del término v. Aplica, por tanto, el mismo razonamiento, y tenemos la regla: una 
proposición particular-afirmativa es convertible en una particular-negativa, y viceversa, 
por la negación del predicado. 
 Asumamos las proposiciones universales 
 Todas las Xs son Ys ,0)1( =− yx 
 Ninguna X es Y 0=xy . 
 Multiplicando por v encontramos que 
,0)1( =− yvx 
0=vxy , 
que son interpretables como 
Algunas Xs son Ys I, 
Algunas Xs no son Ys O. 
 Por consiguiente, una universal-afirmativa es convertible en una particular-
afirmativa, y una universal-negativa en una particular-negativa, sin negación del sujeto 
o del predicado. 
 Combinando lo dicho arriba con la ya probada regla de conversión simple, 
llegamos al siguiente sistema de leyes independientes de transformación. 
 1) Una proposición afirmativa puede cambiarse en su correspondiente negativa 
(A en E o I en O) y viceversa, por negación del predicado. 
 2) Una proposición universal puede cambiarse en su correspondiente 
proposición particular (A en I o E en O). 
 3) En una proposición particular-afirmativa, o universal-negativa, los términos 
pueden ser convertidos mutuamente. 
 28 
 Donde la negación de un término es el cambio de X en no-X y viceversa, y no 
debe entenderse como una afectación del tipo de proposición. 
 Toda transformación legítima es reducible a las reglas expuestas arriba. Así, 
tenemos que 
 Todas las Xs son Ys, 
 Ninguna X es no-Y por la primera regla, 
 Ninguna no-Y es X por la tercera regla, 
 Todas las no-Ys son no-Xs por la primera regla, 
que es un ejemplo de conversión negativa. De nuevo, 
 Ninguna X es Y, 
 Ninguna Y es X tercera regla, 
 Todas las Ys son no-Xs primera regla, 
que es el caso ya deducido. 
 29 
DE LOS SILOGISMOS 
 
 Un silogismo consiste en tres proposiciones, la última de las cuales, llamada 
conclusión, es una consecuencia lógica de las dos primeras, llamadas premisas; por 
ejemplo, 
 
 Todo silogismo tiene tres y sólo tres términos, de los cuales aquel que es el 
sujeto de la conclusión es llamado el término menor, el predicado de la conclusión el 
término mayor, y el término que queda, común a ambas premisas, el término medio. De 
esta manera, en la fórmula de arriba Z es el término menor, X el término mayor, y Y el 
término medio. 
 La figura de un silogismo consiste en la situación del término medio con 
respecto a los términos de la conclusión. Las variedades de figura se muestran en el 
siguiente esquema: 
 1ª Fig. 2ª Fig. 3ª Fig. 4ª Fig. 
 YX XY YX XY 
 ZY ZY YZ YZ 
 ZX ZX ZX ZX 
 Cuando designamos las tres proposiciones de un silogismo con sus símbolos 
usuales (A, E, I, O) y en su orden real, se dice que determinamos el modo del silogismo. 
Así, el silogismo establecido arriba a modo de ejemplo pertenece al modo AAA en la 
primera figura. 
 Los modos de todos los silogismos comúnmente aceptados como válidos están 
representados por las vocales en los siguientes versos mnemotécnicos: 
 Fig. 1 - bArbArA, cElArEnt, dArII, fErIO que prioris. 
 Fig. 2 - cEsArE, cAmEstrEs, fEstInO, bArOkO, secundae. 
Fig. 3 - Tertia dArAptI, dIsAmIs, dAtIsI, fElAptOn, bOkArdO, fErIsO, habet: 
quarta insuper addit. 
Fig. 4 - brAmAntIp, cAmEnEs, dImArIs, fEsApO, frEsIsOn. 
La ecuación por la cual expresamos cualquier proposición relativa a las clases X 
y Y es una ecuación entre los símbolos x y y, y la ecuación por la cual expresamos 
cualquier proposición relativa a las clases Y y Z es una ecuación entre los símbolos y y 
z. Si de dos tales ecuaciones eliminamos y, el resultado, si es que no desaparece,será 
 30 
una ecuación entre x y z, y será interpretable en una proposición relativa a las clases X y 
Z. Y entonces constituirá el tercer miembro, o la conclusión, de un silogismo del cual 
las dos proposiciones dadas son las premisas. 
El resultado de eliminar y de las ecuaciones 
0=+ bay 
 (14) 
0'' =+ bya 
es la ecuación 0'' =− baab (15). 
 Ahora bien, siendo del primer orden las ecuaciones de las proposiciones con 
respecto a cada una de las variables involucradas, todos los casos de eliminación que 
tendremos que considerar serán reducibles al caso de arriba, siendo las constantes 
',',, baba remplazadas por funciones de x, z y el símbolo auxiliar v. 
 En cuanto a la elección de ecuaciones para la expresión de nuestras premisas, la 
única restricción es que las ecuaciones no deben ser ambas de la forma 0=ay , porque 
en tales casos la eliminación sería imposible. Cuando ambas ecuaciones son de esta 
forma, es necesario resolver una de ellas, y no importa cuál elijamos para este propósito. 
Si la que elegimos es de la forma 0=xy , su solución es 
)1( xvy −= (16); 
si es de la forma 0)1( =− yx , la solución será 
vxy = (17), 
y éstos son los únicos casos que pueden surgir. La razón de esta excepción se presentará 
más adelante. 
 En aras de la uniformidad, en la expresión de proposiciones particulares nos 
limitaremos a las formas 
 vyvx = Algunas Xs son Ys, 
 )1( yvvx −= Algunas Xs no son Ys. 
 Estas formas tienen una analogía más cercana con (16) y (17) que las otras 
formas que pueden emplearse. 
 Entre las formas a ser desarrolladas y los cánones aristotélicos se observarán, 
ocasionalmente, algunas diferencias sobre las cuales resulta apropiado advertir al lector. 
 Para un adecuado entendimiento de esto conviene señalar que la estructura 
esencial de un silogismo es, en cierta medida, arbitraria. Suponiendo que el orden de las 
premisas es fijo, y que la distinción del término mayor y del menor está, de este modo, 
 31 
determinada, es puramente una cuestión de elección cuál de los dos tendrá precedencia 
en la conclusión. Los lógicos han resuelto esta cuestión a favor del término menor, pero 
es claro que esto es una convención. Si se hubiese acordado que sea el término mayor el 
que tenga el primer lugar en la conclusión, podría haberse construido un esquema lógico 
menos conveniente en algunos casos que el actualmente existente, pero superior en 
otros. Lo que se perdió en barbara se habría ganado en bramantip. La conveniencia está 
quizá a favor del arreglo adoptado,9 pero debe recordarse que es simplemente un 
arreglo. 
 Ahora, el método que mostraremos, al no tener referencia con un esquema más 
que con otro, siempre ofrecerá la conclusión más general, y únicamente debe observarse 
su validez abstracta considerada como un resultado del razonamiento puro. Y por tanto 
a veces veremos conclusiones que para un lógico serían informales pero nunca tales que 
un razonamiento podría contar como falsas. 
 Pero los cánones aristotélicos, además de restringir el orden de los términos de 
una conclusión, también limitan su naturaleza, y esta limitación es de mayor 
consecuencia que lo primero. Por un cambio de figura podemos remplazar la conclusión 
particular de bramantip por la conclusión general de barbara, pero de este modo no 
podemos reducir a una regla inferencias como 
Algunas no-Xs no son Ys. 
 Con todo, hay casos en los que tales inferencias pueden realizarse con 
legitimidad, y suelen ocurrir en los argumentos no restringidos. Ahora, si una inferencia 
de este tipo o de cualquier otro es legítima por sí misma, será exhibida en los resultados 
de nuestro método. 
 Al restringir el canon de interpretación podemos confinar nuestros resultados 
expresados dentro de los límites de la lógica escolástica, pero esto sólo nos restringiría 
al uso de una parte de las conclusiones que nos permite nuestro análisis. 
 La clasificación que adoptaremos será puramente matemática, y más tarde 
consideraremos el arreglo lógico al cual corresponde. Será suficiente, como referencia, 
con nombrar las premisas y la figura en la que se basan. 
 1ª Clase - Formas en las que no entra v. 
 
9 El punto de vista contrario fue sostenido por Hobbes. La cuestión está muy bien discutida en la 
Introduction to the Literature of Europe, vol. III, p. 309 de Hallam. En el uso retórico del silogismo, la 
ventaja parece descansar sobre la forma rechazada. 
 32 
 Aquellas que admiten una inferencia son AA, EA, Fig. 1; AE, EA, Fig. 2; AA, AE, 
Fig. 4. 
 Ejemplo. AA, Fig. 1, y, por mutación de premisas (cambio de orden), AA, Fig. 4. 
 Todas las Ys son Xs, ,0)1( =− xy o 0)1( =− yx , 
 Todas las Zs son Ys, ,0)1( =− yz o 0=− zzy . 
 Eliminando y por (15) tenemos 
0)1( =− xz 
∴Todas las Zs son Xs. 
 Un modo conveniente de llevar a cabo la eliminación consiste en escribir la 
ecuación de las premisas de forma tal que y sólo aparezca como una factor de un 
miembro en la primera ecuación y sólo como un factor del miembro opuesto en la 
segunda ecuación, y después multiplicar las ecuaciones omitiendo a y. Éste es el método 
que adoptaremos. 
 Ejemplo. AE, Fig. 2, y, por mutación de premisas, EA, Fig. 2. 
 Todas las Xs son Ys, ,0)1( =− yx o xyx = , 
 Ninguna Z es Y, ,0=zy o 0=zy 
 0=zx 
 ∴Ninguna Z es X. 
 El único caso en el que no hay inferencia es AA, Fig. 2, 
 Todas las Xs son Ys, ,0)1( =− yx ,xyx = 
 Todas las Zs son Ys, ,0)1( =− yz zzy = 
 xzxz = 
 00 =∴ . 
 2ª Clase - Cuando v es introducida por la solución de una ecuación. 
 Los casos legítimos directa o indirectamente10 determinables por las reglas 
aristotélicas son AE, Fig. 1; AA, AE, EA, Fig. 3; EA, Fig. 4. 
 Los casos legítimos no determinables así son EE, Fig. 1; EE, Fig. 2; EE, Fig. 3; 
EE, Fig. 4. 
 Ejemplo. AE, Fig. 1, y, por mutación de premisas, EA, Fig. 4. 
 Todas las Ys son Xs, ,0)1( =− xy vxy = (a) 
 
10 Decimos directa o indirectamente porque en algunos casos se requiere la mutación o conversión de las 
premisas. Así, AE (Fig. 1) es resoluble por Fesapo (Fig. 4) o por Ferio (Fig. 1). Aristóteles y sus 
seguidores rechazaban la cuarta figura por considerarla solamente una modificación de la primera, pero 
siendo ésta una mera cuestión de forma, cualquier esquema puede llamarse aristotélico. 
 33 
 Ninguna Z es Y, ,0=zy zy=0 
 vzx=0 
 ∴Algunas Xs no son Zs. 
 La razón por la cual no podemos interpretar 0=vzx como “Algunas Zs son no-
Xs” es que, por los propios términos de la primera ecuación (a), la interpretación de vx 
está fijada, como “Algunas Xs”; v es considerada como representativa de “Algunos” 
sólo con respecto a la clase X. 
 Para la razón de nuestro empleo de una solución de una de las ecuaciones 
primitivas, véanse las observaciones en (16) y (17). Si hubiésemos resuelto la segunda 
ecuación en lugar de la primera, habríamos tenido 
,0)1( =− yx 
yzv =− )1( , (a), 
 0)1)(1( =−− xzv , (b), 
∴Algunas no-Zs son Xs. 
 Aquí debe observarse que la segunda ecuación (a) fija el sentido de )1( zv − , 
como “Algunas no-Zs”. El sentido completo del resultado (b) es que todas las no-Zs que 
se encuentran en la clase Y se encuentran en la clase X, y es evidente que esto no podría 
haberse expresado de otra manera. 
 Ejemplo 2. AA, Fig. 3. 
 Todas las Ys son Xs, ,0)1( =− xy ,vxy = 
 Todas las Ys son Zs, ,0)1( =− zy )1(0 zy −= 
 )1(0 zvx −= 
 ∴Algunas Xs son Zs. 
 Si hubiésemos resuelto la segunda ecuación, habríamos tenido por resultado 
“Algunas Zs son Xs”. La forma de la ecuación final particulariza a qué Xs o a qué Zs se 
refieren, y esta observación es general. 
 Lo siguiente, EE, Fig. 1, y, por mutación, EE, Fig. 4, es un ejemplo de un caso 
legítimo no determinable por las reglasaristotélicas. 
 Ninguna Y es X, ,0=xy ,0 xy= 
 Ninguna Z es Y, ,0=zy )1( zvy −= 
 xzv )1(0 −= 
 ∴Algunas no-Zs no son Xs. 
 34 
 3ª Clase - Cuando v se encuentra en una de las ecuaciones pero no es introducida 
por solución. 
 Los casos legítimos determinables directa o indirectamente por las reglas 
aristotélicas son AI, EI, Fig. 1; AO, EI, OA, IE, Fig. 2; AI, AO, EI, EO, IA, IE, OA, OE, 
Fig. 3; IA, IE, Fig. 4. 
 Aquellos no determinables son OE, Fig. 1; EO, Fig. 4. 
 Los casos en los que no es posible ninguna inferencia son AO, EO, IA, IE, OA, 
Fig. 1; AI, EO, IA, OE, Fig. 2; OA, OE, AI, EI, AO, Fig. 4. 
 Ejemplo 1. AI, Fig. 1, y, por mutación, IA, Fig. 4. 
 Todas las Ys son Xs, ,0)1( =− xy 
 Algunas Zs son Ys, vyvz = 
 0)1( =− xvz 
 ∴Algunas Zs son Xs. 
 Ejemplo 2. AO, Fig. 2, y, por mutación, OA, Fig. 2. 
 Todas las Xs son Ys, ,0)1( =− yx ,xyx = 
 Algunas Zs no son Ys, ),1( yvvz −= )1( zvvy −= 
 )1( zvxvx −= 
 0=vxz 
 ∴Algunas Zs no son Xs. 
 La interpretación de vz como “Algunas Zs” está implicada, se observará, en la 
ecuación )1( yvvz −= considerada como representando la proposición “Algunas Zs no 
son Ys”. 
 Los casos no determinables por las reglas aristotélicas son OE, Fig. 1, y, por 
mutación, EO, Fig. 4. 
 Algunas Ys no son Xs, )1( xvvy −= 
 Ninguna Z es Y, zy=0 
 zxv )1(0 −= 
 ∴Algunas no-Xs no son Zs. 
 La ecuación de la primera premisa nos permite aquí interpretar )1( xv − , pero no 
nos permite interpretar vz. 
 De los casos en los que ninguna inferencia es posible, tomamos como ejemplos 
AO, Fig. 1, y, por mutación, OA, Fig. 4. 
 35 
 Todas las Ys son Xs, ,0)1( =− xy ,0)1( =− xy 
 Algunas Zs no son Ys, )1( yvvz −= (a) vyzv =− )1( 
 0)1)(1( =−− xzv (b) 
 00 = , 
ya que en este caso la ecuación auxiliar es 0)1( =− zv . 
 Prácticamente no es necesario llevar a cabo esta reducción, pero resulta 
satisfactorio hacerlo. La ecuación (a), se ve, define vz como “Algunas Zs”, pero no 
define )1( zv − , así que podríamos detenernos en el resultado de eliminación (b) y 
contentarnos con decir que no es interpretable en una relación entre las clases X y Z. 
 Como segundo ejemplo tomemos AI, Fig. 2, y, por mutación, IA, Fig. 2. 
 Todas las Xs son Ys, ,0)1( =− yx ,xyx = 
 Algunas Zs son Ys, ,vyvz = vzvy = 
 vxzvx = 
 0)1( =− xzv 
 00 = , 
en este caso siendo 0)1( =− zv la ecuación auxiliar. 
 En realidad en cualquier caso en esta clase, en donde ninguna inferencia es 
posible, el resultado de eliminación es reducible a la forma 00 = . Por lo tanto, no es 
necesario multiplicar los ejemplos. 
 4ª Clase - Cuando v entra en ambas ecuaciones. 
 Ninguna inferencia es posible en cualquiera de los casos, pero entre los casos 
ilegítimos existe una distinción que es peculiar a esta clase. Las dos divisiones son 
 1) Cuando el resultado de eliminación es reducible, por las ecuaciones 
auxiliares, a la forma 00 = . Los casos son II, OI, Fig. 1; II, OO, Fig. 2; II, IO, OI, OO, 
Fig. 3; II, IO, Fig. 4. 
 2) Cuando el resultado de eliminación no es reducible, por las ecuaciones 
auxiliares, a la forma 00 = . Los casos son IO, OO, Fig. 1; IO, OI, Fig. 2; OI, OO, Fig. 
4. 
 Como ejemplo del primer caso consideremos II, Fig. 3. 
 Algunas Xs son Ys, ,vyvx = ,vyvx = 
 Algunas Zs son Ys, ,'' yvzv = zvyv '' = 
 zvvxvv '' = 
 36 
 Ahora, las ecuaciones auxiliares ,0)1( =− xv 0)1(' =− zv , dan 
,vvx = '' vzv = . 
 Sustituyendo tenemos 
'' vvvv = 
00 =∴ . 
 Como ejemplo del segundo caso consideremos IO, Fig. 1. 
 Algunas Ys son Xs, ,vxvy = ,vxvy = 
 Algunas Zs no son Ys, ),1('' yvzv −= yvzv ')1(' =− 
 xvvzvv ')1(' =− 
 Ahora, siendo 0)1( =− xv , 0)1(' =− zv las ecuaciones auxiliares, lo anterior se 
reduce a 0'=vv . Es a ésta forma a la que son reducibles todos los casos similares. Su 
interpretación es que las clases v y 'v no tienen ningún miembro común, como resulta 
evidente. 
 Esta clasificación está basada puramente en distinciones matemáticas. Ahora 
vamos a investigar cuál es la división lógica a la que corresponde. 
 Los casos legítimos de la primera clase comprenden todos aquellos en los que, 
de dos premisas universales, puede sacarse una conclusión universal. Vemos que 
incluyen las premisas de barbara y celarent en la primera figura, de cesare y camestres 
en la segunda, y de bramantip y camenes en la cuarta. 
 Están incluidas las premisas de bramantip porque admiten una conclusión 
universal, aunque no en la misma figura. 
 Los casos legítimos de la segunda clase son aquellos en los que una conclusión 
particular sólo es deducible de dos premisas universales. 
 Los casos legítimos de la tercera clase son aquellos en los que una conclusión es 
deducible de dos premisas, una de las cuales es universal y la otra particular. 
 La cuarta clase no tiene casos legítimos. 
 De entre los casos en los que no es posible ninguna inferencia de ningún tipo, 
encontramos seis en la cuarta clase distinguibles de los otros por la circunstancia de que 
el resultado de eliminación no asume la forma 00 = . Los casos son 
, 
y otros tres más que se obtienen por mutación de premisas. 
 37 
 Podría suponerse que habríamos de encontrar alguna peculiaridad lógica para 
responder a la peculiaridad matemática que hemos notado, y en efecto existe una muy 
notable. Si examinamos cada par de premisas en el esquema de arriba, encontraremos 
que virtualmente no hay término medio, i. e., no hay ningún medio de comparación en 
ninguno de ellos. De esta forma, en el primer ejemplo, los individuos sobre los que se 
habla en la primera premisa se afirma que pertenecen a la clase Y, pero aquellos sobre 
los que se habla en la segunda premisa se afirma virtualmente que pertenecen a la clase 
no-Y, y no podemos, por medio de ninguna transformación o conversión legítima, 
alterar este estado de cosas. La comparación, empero, sí podrá hacerse con la clase Y en 
una premisa y con la clase no-Y en la otra. 
 Ahora, en cada caso además de los seis de arriba, encontraremos un término 
medio, ya sea expresado o implicado. He seleccionado dos de los casos más difíciles. 
 En AO, Fig. 1, a saber, 
Todas las Ys son Xs, 
Algunas Zs no son Ys, 
tenemos, por conversión negativa de la primera premisa, 
Todas las no-Xs son no-Ys, 
Algunas Zs no son Ys. 
Y ahora se ve que el término medio es no-Y. 
 De nuevo, en EO, Fig. 1, 
Ninguna Y es X, 
Algunas Zs no son Ys. 
Una conversión probada de la primera premisa (véase De la conversión de 
proposiciones) da 
Todas las Xs son no-Ys, 
Algunas Zs son no-Ys. 
Y el término medio, el verdadero medio de comparación, es claramente no-Y, aunque, 
como las no-Ys en una premisa pueden ser distintas a las no-Ys en otra, no puede 
sacarse ninguna conclusión. 
 La condición matemática en cuestión - la irreductibilidad de la ecuación final a 
la forma 00 = - representa adecuadamente, por tanto, la condición lógica de que no 
haya término medio, o medio de comparación común, en las premisas dadas. 
 No tengo conocimiento de que la distinción ocasionada por la presencia o 
ausencia de un término medio, en el estricto sentido entendido aquí, haya sido señalada 
 38 
por los lógicos. La distinción, aunque real y digna de atención, no es de ninguna manera 
obvia, y aquí habría pasado desapercibida si no hubiese sido por la peculiaridad de su 
expresión matemática. 
 Lo que parece ser novedoso en el caso anterior es la prueba de la existencia de 
combinaciones de premisas en las que no hay ningún medio de comparación en 
absoluto. Cuando tal medio de comparación, o verdadero término medio, existe, la 
condición de que su cuantificación en ambas premisas debe sobrepasar su cuantificación 
como un todo único ha sido hábil y claramente mostrada como necesaria para la 
inferencia legítima por el profesor DeMorgan (Cambridge Memoirs, Vol. VIII, parte 
3). E indudablemente éste es el verdadero principio del silogismo considerado desde el 
punto de vista de la aritmética. 
 He dicho antes que sería posible imponer condiciones de interpretación que 
restrinjan los resultados de este cálculo a las formas aristotélicas. Tales condiciones 
serían 
 1) Que convengamos en no interpretar las formas )1(),1( zvxv −− . 
 2) Que convengamos en rechazar toda interpretación en la que el orden de los 
términos viole la regla aristotélica. 
 O, en lugar de la segunda condición, podríamos convenir en que, una vez 
determinada la conclusión, el orden de las premisas sea cambiado, si es necesario, para 
hacer formal al silogismo. 
 Del carácter general del sistema es realmente claro que podría hacerse para 
representar cualquier esquema de lógica concebible al imponer las condiciones propias 
al caso contemplado. 
 Hemos encontrado, en una cierta clase de casos, que es necesario remplazar las 
dos ecuaciones expresivas de proposiciones universales por sus soluciones, y conviene 
señalar que habría sido admisible hacer esto en todos los casos,11 de tal forma que cada 
 
11 Puede resultar satisfactorio ilustrar esta declaración con un ejemplo. En Barbara tendríamos 
Todas las Ys son Xs, vxy = 
Todas las Zs son Ys, yvz '= 
 xvvz '= 
 ∴Todas las Zs son Xs. 
O podemos multiplicar la ecuación resultante por x−1 , lo que nos da 
0)1( =− xz , 
por lo tanto la misma conclusión “Todas las Zs son Xs”. 
 Pueden no resultar inapropiados algunos ejemplos adicionales de la aplicación del sistema de 
ecuaciones en el texto a la demostración de teoremas generales. 
 39 
 
 Sea y el término a ser eliminado y que x represente indiferentemente cualquiera de los otros 
símbolos. Entonces cada una de las ecuaciones de las premisas de cualquier silogismo dado puede 
ponerse bajo la forma 
0=+ bxay )(α 
si la premisa es afirmativa, y bajo la forma 
0)1( =−+ xbay )(β 
si es negativa, a y b siendo constantes o de la forma v± . Para probar esto a detalle, examinemos cada 
tipo de proposición haciendo que y sea, sucesivamente, sujeto y predicado. 
 A, Todas las Ys son Xs, 0=− vxy )(γ , 
 Todas las Xs son Ys, 0=− vyx )(δ , 
 E, Ninguna Y es X, 0=xy 
 Ninguna X es Y, 0)1( =−− xvy )(ε , 
 I, Algunas Xs son Ys, 
 Algunas Ys son Xs, 0=− vyvx )(ζ , 
 O, Algunas Ys no son Xs, 0)1( =−− xvvy )(η , 
 Algunas Xs no son Ys, )1( yvvx −= 
 0)1( =−−∴ xvvy )(θ . 
 Las ecuaciones afirmativas ),(),( δγ y )(ζ pertenecen a )(α , y las ecuaciones negativas 
),(),( ηε y )(θ a )(β . Puede verse que las dos últimas ecuaciones negativas son iguales, pero existe 
una diferencia de interpretación. En la primera 
=− )1( xv Algunas no-Xs, 
mientras que en la segunda 
0)1( =− xv . 
 La utilidad de las dos formas generales de referencia )(α y )(β aparecerá de la siguiente 
aplicación. 
 1) Una conclusión sacada de dos proposiciones afirmativas es por sí misma afirmativa. 
 Por )(α tenemos para las proposiciones dadas 
,0=+ bxay 
0'' =+ zbya , 
y eliminando 
0'' =− bxazab , 
que es de la forma )(α . Por lo tanto, si hay una conclusión, es afirmativa. 
 2) Una conclusión sacada de una proposición afirmativa y de una proposición negativa es 
negativa. 
 Por )(α y )(β tenemos para las proposiciones dadas 
0=+ bxay 
0)1('' =−+ zbya 
0)1('' =−−∴ zabbxa , 
que es de la forma )(β . Por lo tanto la conclusión, si hay, es negativa. 
 3) Una conclusión sacada de dos premisas negativas involucrará una negación (no-X, no-Z) 
tanto en el sujeto como en el predicado, y por tanto será inadmisible en el sistema aristotélico, aunque 
justa por sí misma. 
 Porque las premisas siendo 
,0)1( =−+ xbay 
0)1('' =−+ zbya , 
la conclusión será 
0)1(')1(' =−−− xbazab , 
que sólo es interpretable en una proposición que tiene una negación en cada término. 
 40 
caso de silogismo, sin excepción, pudiese haber sido tratado con ecuaciones 
comprendidas en las formas generales 
 vxy = o 0=− vxy A, 
 )1( xvy −= o 0=−+ vvxy E, 
 vxvy = 0=− vxvy I, 
 )1( xvvy −= 0=−+ vvxvy O. 
 Quizá el sistema que hemos venido empleado es mejor, al distinguir los casos en 
los que v sólo puede utilizarse, que aquellos en los que debe. Pero para la demostración 
de ciertas propiedades generales del Silogismo el sistema anterior es, por su simplicidad 
y por la mutua analogía de sus formas, muy conveniente. Lo aplicaremos al siguiente 
teorema.12 
 
 4) Tomando en cuenta únicamente aquellos silogismos en los que la conclusión es la más 
general que puede deducirse de las premisas - si, en un silogismo aristotélico, la premisa menor es 
cambiada en calidad (de afirmativa a negativa o de negativa a afirmativa) sea o no cambiada en 
cantidad -, ninguna conclusión será deducible en la misma figura. 
 Una proposición aristotélica no admite un término de la forma no-Z en el sujeto. Ahora, al 
cambiar la cantidad de la proposición menor de un silogismo, la transferimos de la forma general 
0=+ bzay 
a la forma general 
0)1('' =−+ zbya ; 
véase )(α y )(β o viceversa. Y por consiguiente, en la ecuación de la conclusión, habrá un cambio de z 
a z−1 , o viceversa. Pero esto es equivalente al cambio de Z en no-Z o de no-Z en Z. Ahora, el sujeto de 
la conclusión original debe haber involucrado una Z y no una no-Z, y por tanto el sujeto de la nueva 
conclusión involucrará una no-Z, y la conclusión no será admisible en las formas aristotélicas excepto por 
conversión, lo que haría necesario un cambio de Figura. 
 Las conclusiones de este cálculo siempre son las más generales que puedan sacarse, y por tanto 
la demostración anterior no debe suponerse que puede extenderse a un silogismo en el que se deduce una 
conclusión particular cuando es posible una universal. Éste es el caso sólo de bramantip, entre las formas 
aristotélicas, y por lo tanto la transformación de bramantip en camenes, y viceversa, es el caso de 
restricción contemplado en la declaración preliminar del teorema. 
 5) Si por la premisa menor de un silogismo aristotélico sustituimos su contradictoria, ninguna 
conclusión es deducible en la misma figura. 
 Aquí sólo es necesario examinar el caso de bramantip, estando todos los otros determinados por 
la última proposición. 
 Al cambiar la menor de bramantip a su contradictoria, tenemos AO, Fig. 4, y esto no admite 
ninguna inferencia legítima. 
 Por lo que el teorema es verdadero sin excepción. Muchos otros teoremas generales pueden 
probarse del mismo modo. 
12 Este elegante teorema me fue comunicado por el Rev. Charles Graves, Fellow y profesor de 
matemáticas en Trinity College, Dublín, a quien deseo expresar mi agradecido reconocimiento por su 
juicioso examen de la primera parte de este trabajo y por algunas nuevas aplicaciones del método. El 
siguiente ejemplo de reducción ad impossibile se encuentra entre ellas: 
 Modo a reducir: Baroko Todas las Xs son Ys, )1('1 xvy −=− 
 Algunas Zs no son Ys, )1( yvvz −= 
 Algunas Zs no son Xs, )1(' xvvvz −= 
 Modo reducido: Barbara Todas las Xs son Ys, )1('1 xvy −=− 
 41 
 Dadas las tres proposiciones de un silogismo, probar que sólo hay un orden en el 
que pueden ser legítimamente arregladas, y determinar tal orden. 
 Todas las formas dadas arriba para la expresión de proposiciones son casos 
particulares de la forma general 
0=++ cybxa . 
 Asumamos entonces, para las premisas del silogismo dado, las ecuaciones 
0=++ cybxa (18), 
0''' =++ yczba (19). 
Entonces, eliminando y, para la conclusión tendremos 
0'''' =−++ czbxbccaac (20). 
 Ahora, tomando ésta como una de nuestras premisas, y cualquiera de