Funciones reales - catálogo de funciones

Vista previa del material en texto

Funciones Reales 
Catálogo de funciones básicas
UNEXPO - Matemática I
Prof. Roberto Morillo
Funciones Reales – Definiciones Básicas 
En la clase anterior, se hizo un estudio sistematizado de las cónicas y su representación gráfica. En este estudio se detallara la
definición de función como herramienta de modelaje de situaciones del entorno así como también se indicarán las condiciones para que
una expresión algebraica pueda ser definida como tal.
UNEXPO - Matemática I
Definición:
Una función está conformada como una triada de objetos (𝑋, 𝑌, 𝑓), donde 𝑿 e 𝒀 son dos conjuntos y f es la regla que hace corresponder
a cada elemento de 𝑿 un único elemento de 𝒀.
El conjunto 𝑿, se denomina Dominio de la función y al conjunto 𝒀, se le denomina conjunto de llegada o Rango.
Comúnmente se escribe de la siguiente forma
𝑓: 𝑋 → 𝑌
Se lee, la función 𝒇 de 𝑋 en Y
Para denotar que un elemento 𝑥 de 𝑋, le corresponde un elemento 𝑦 de 𝑌,
se utiliza la notación
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Lo cual se lee, como “𝑦 es la imagen de 𝑥 por medio de 𝑓”.
𝑋 𝑌
𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
UNEXPO - Matemática I
Funciones Reales – Definiciones Básicas 
En la definición anterior, se desprende algo realmente característico y representativo “Cada elemento del conjunto dominio, debe tener
una única imagen en el conjunto de llegada (Rango)
Dominio:
Corresponde a todos aquellos valores pertenecientes al conjunto de salida, que permiten que la relación 𝑦 = 𝑓(𝑥) este bien definida. En
otras palabras, son todos aquellos valores que permiten la relación 𝑓 no este indeterminada. Matemáticamente hablando
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝑋: 𝑦 = 𝑓 𝑥 este bien definido
Rango:
Corresponde a todos aquellos valores pertenecientes al conjunto de llegada que están relacionados con al menos un elemento del
conjunto de salida, es decir, aquellos valores 𝑦 ∈ 𝑌 que se obtienen después de evaluar algún valor 𝑥 en la relación. Matemáticamente
𝑅𝑔𝑜 𝑓 𝑥 : 𝑦 ∈ 𝑌: 𝑦 = 𝑓 𝑥 ∈ 𝑌, para algún 𝑥 ∈ 𝑋
UNEXPO - Matemática I
Funciones Reales – Definiciones Básicas 
Debido a que estamos haciendo alusión a funciones reales, consideraremos a los conjuntos 𝑋 𝑒 𝑌 como subconjuntos de ℝ, es decir,
𝑋 ⊆ ℝ y 𝑌 ⊆ ℝ, debido a esto, cuando 𝑋 = 𝑌 = ℝ, diremos que estamos ante la presencia de funciones de ℝ en ℝ.
Decimos que las funciones de estudio a la cual haremos alusión en este estudio son reales, porque este es el conjunto sobre el cual se
hará el estudio de dominio y rango, y su grafico estará representado en ℝ2
Definición:
Una función real de variable real, es una función cuyo dominio y rango son subconjuntos de ℝ. Se denota como
𝑓: 𝑋 ⊆ ℝ → 𝑌 ⊆ ℝ
Y de manera más sencilla la denotamos como
𝑦 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑋
De acá en adelante, nos interesa saber de qué manera se define el subconjunto de ℝ tanto para el dominio como rango de una relación
funcional, es importante para esto, el manejo de nociones de algebra y factorización de expresiones.
UNEXPO - Matemática I
Si 𝑦 = 𝑓 𝑥 representa una función, nos interesa saber de qué forma esta fórmula está bien definida y por ende el o los valores que
hacen que no esté bien definida.
Tanto el dominio como el rango juegan un papel fundamental para visualizar gráficamente la función en el plano cartesiano.
𝑦
𝒙
𝒂 𝒃Dominio
R
an
go
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Note que el DOMINIO de la función está
relacionado con el eje “𝑥” y el RANGO está
relacionado con el eje “𝑦”.
𝒇(𝒂)
𝒇(𝒃)
El GRÁFICO O LA GRÁFICA de la función 𝑓: 𝑋 → ℝ,
es la gráfica de la ecuación: 𝑦 = 𝑓(𝑥) .
Matemáticamente
𝐺 = 𝑥, 𝑓 𝑥 ∈ ℝ2: 𝑥 ∈ 𝑋
Funciones Reales – Definiciones Básicas 
UNEXPO - Matemática I
Funciones Reales – Calculo de Dominio
El cálculo de dominio de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), puede ser considerado como el conjunto de valores cuyas condiciones permiten la
expresión siempre ente bien definida. Haremos un estudio detallado por casos.
CASO I: FUNCIONES POLINÓMICAS
En este caso, cualquier función que 
posea la forma 
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥
𝑛
𝑓:ℝ → ℝ
Tiene como dominio ℝ, es decir, está 
definido para cualquier número que se 
encuentre definido en la recta numérica
Ejemplos particulares:
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Función Afín 
(Recta)
Función 
Cuadrática
CASO II: FUNCIONES EXPONENCIALES –
LOGARÍTMICAS
Estas poseen la forma
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥,
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1
𝑓:ℝ → ℝ+
Tiene como dominio 
ℝ, es decir, está 
definido para 
cualquier número que 
se encuentre definido 
en la recta numérica
Estas poseen la forma
𝑓(𝑥) = logax, 
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1
𝑓:ℝ+ → ℝ
Tiene como dominio 
únicamente los reales 
positivos, es decir, 
está definido solo 
para los valores que 
sean mayores que 
cero.
CASO IV: FUNCIONES CON RAÍCES
Tienen la forma 
𝑦 = 𝑛 𝑥
𝑓:ℝ+ → ℝ+
Si el índice de la raíz 
es par, debemos 
garantizar que la 
cantidad sub radical 
sea siempre positivo.
Es decir, el dominio de 
este tipo de funciones 
corresponderá a la 
solución de la 
inecuación 𝑥 ≥ 0
𝑓:ℝ → ℝ
Si el índice de la raíz 
es impar, la cantidad 
sub radical está 
definida siempre, es 
decir, no existe 
ninguna restricción.
NOTA:
Uno de los miembros que define la inecuación 
del dominio de una función de este tipo, está 
dada la cantidad sub radical
Índice de 
la Raíz
Cantidad 
sub radical
CASO III: FUNCIONES COCIENTES
Para el cálculo del dominio de este tipo de 
funciones se debe garantizar que el 
denominador sea distinto de cero
UNEXPO - Matemática I
Funciones Reales – Calculo de Dominio
Ejemplos:
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
𝑓 𝑥 =
2
𝑥 − 1
𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3 ℎ 𝑥 =
5𝑥 + 1
3𝑥 + 5
𝑓 𝑥 =
2
𝑥 − 1
Por ser una función cociente, nos interesa 
garantizar que el denominador sea distinto de 
cero.
Luego, 
𝑥 − 1 ≠ 0 ⇔ 𝑥 ≠ 1
De donde se desprende
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ 1
Escrito de otra manera
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 = ℝ − 1
𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3
Por ser una función con un radical, debido a que 
el índice de la raíz es par, debemos garantizar 
que la cantidad sub radical sea mayor o igual a 
cero.
Luego, 
𝑥 − 3 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≥ 3
De donde se desprende
𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑥 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ 3
Escrito de otra manera
𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑥 = [3,∞)
ℎ 𝑥 =
5𝑥 + 1
3𝑥 + 5
Por ser una función cociente, nos interesa 
garantizar que el denominador sea mayor que 
cero.
Luego, 
3𝑥 + 5 > 0 ⇔ 𝑥 > −
5
3
De donde se desprende
𝐷𝑜𝑚 ℎ 𝑥 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > −
5
3
Escrito de otra manera
𝐷𝑜𝑚 ℎ 𝑥 = −
5
3
,∞
Funciones Reales
Las funciones reales pueden ser clasificadas según sea el tipo de grafico que posea en el plano cartesiano. Es importante destacar, que
no toda curva representada en el plano cartesiano es una función, para conocer y entender cuáles curvas del plano son una función se
establece el siguiente criterio geométrico:
UNA CURVA EN EL PLANO ES EL GRAFICO DE UNA FUNCIÓN SI Y SOLO SI TODA RECTA VERTICAL CORTA A LA CURVA A LO SUMO EN UN PUNTO.
A continuación, se mostrará algunas curvas en el plano y se indicará cual representa una función
𝑦 A
𝒙
𝑦 B
𝒙
𝑦 C
𝒙
Note que la única que es función, es la (c), debido a que cualquier línea vertical, corta solo una vez la línea que define el grafico de la
función.
UNEXPO - Matemática I
Funciones Reales
Para graficar una función real, lo primero que debe hacerse es estudiar el dominio y puntos de interés como puntos de cortes con los
ejes cartesianos, evaluación de algunos valores del dominio, preferiblemente los centrales (más cercanos al punto origen O).
EJEMPLO
HALLE EL DOMINIO DE LA FUNCIÓN 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙
Y HAGA UN ESBOZO DE SU GRAFICO EN EL PLANO CARTESIANO. INDIQUE EL RANGO.
𝑦
2
1
-2 -1 1 2 𝒙
SOLUCIÓN:
Debido a que la función es de la forma racional, debemos 
garantizar que el denominador no sea cero.
Luego
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 = ℝ– 0
Para graficar, usaremos los valores centrales para
𝑥: {−2,−1, 0, 1, 2}
𝒙 −2 −1
−
1
2
1
2
1 2
𝑓(𝑥)
−
1
2
−1 −2 2 1 1
2
Estos valores se hallaron evaluandocada 
valor de x elegido del dominio
.
.
.
Observe que la gráfica se 
encuentra definido de igual 
forma que el dominio, es decir, 
las respuestas que se obtienen 
por medio de 𝑓 para el dominio, 
corresponde exactamente al 
mismo conjunto del dominio, es 
decir, 
𝑅𝑔𝑜 𝑓 𝑥 = ℝ– 0
UNEXPO - Matemática I
Funciones Reales – Breve catálogo de funciones
A continuación presentaremos las funciones elementales más importantes
FUNCIÓN CONSTANTE
𝑦
𝑘
O 𝒙
Su fórmula es
𝑓 𝑥 = 𝑘, ∀ 𝑘 ∈ ℝ
ES UNA RECTA PARALELA AL EJE X
𝑫𝒐𝒎:ℝ, 𝑹𝒈𝒐: {𝒌}
FUNCIÓN LINEAL
𝑦
𝑏
O 𝒙
Su fórmula es
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, 𝑚 ≠ 0
SI 𝒎 > 𝟎, ES CRECIENTE
SI 𝒎 < 𝟎, ES DECRECIENTE
𝑫𝒐𝒎:ℝ, 𝑹𝒈𝒐:ℝ
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
𝑦
O 𝒙
FUNCIÓN PARTE ENTERA
𝑦
O 𝒙
Su fórmula es
𝑓 𝑥 = 𝑥 = 
−𝑥, 𝑥 < 0
𝑥, 𝑥 ≥ 0
𝑫𝒐𝒎:ℝ, 𝑹𝒈𝒐:ℝ+ ∪ 𝟎 = [𝟎,∞)
Su fórmula es
𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑛, 𝑠𝑖 𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1
𝑛 es un entero
𝑫𝒐𝒎:ℝ, 𝑹𝒈𝒐: ℤ
UNEXPO - Matemática I
Funciones Reales – Breve catálogo de funciones
FUNCIÓN POTENCIA
𝑦 A
𝑘
O 𝒙
Su fórmula es
𝑓 𝑥 = 𝑥𝛼 , ∀ 𝛼 ∈ ℝ
SU ESTUDIO SE DIVIDE EN CASOS
a. Si 𝜶 = 𝟎, 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟎 = 𝟏
(FUNCIÓN CONSTANTE)
b. Si 𝜶 = 𝟏, 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟏 = 𝒙
(FUNCIÓN IDENTIDAD DE ℝ)
c. Si 𝜶 = 𝟐, 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
(FUNCIÓN CUADRÁTICA)
d. Si 𝜶 = 𝟑, 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑
(FUNCIÓN CÚBICA)
𝑦 B
O 𝒙
𝑦 C
O 𝒙
𝑦 D
O 𝒙
𝑫𝒐𝒎:ℝ, 𝑹𝒈𝒐: {𝟏}
𝑫𝒐𝒎:ℝ, 𝑹𝒈𝒐:ℝ
𝑫𝒐𝒎:ℝ, 𝑹𝒈𝒐:ℝ
𝑫𝒐𝒎:ℝ, 𝑹𝒈𝒐: 𝟎,∞
UNEXPO - Matemática I
Funciones Reales – Breve catálogo de funciones
FUNCIÓN POTENCIA
Su fórmula es
𝑓 𝑥 = 𝑥
1
𝛼 , ∀ 𝛼 ∈ ℤ+ − {1}
SU ESTUDIO SE DIVIDE EN CASOS
a. Si 𝜶 es par
(FUNCIÓN RAÍZ DE ÍNDICE PAR)
b. Si 𝜶 es impar
(FUNCIÓN RAÍZ DE ÍNDICE IMPAR)
𝑦 A
O 𝒙
𝛼 = 2
Raíz Cuadrada
𝑫𝒐𝒎: 𝟎,∞ , 𝑹𝒈𝒐: 𝟎,∞
𝑦 B
O 𝒙
𝛼 = 3
Raíz Cúbica
𝑫𝒐𝒎:ℝ, 𝑹𝒈𝒐:ℝ
NOTA IMPORTANTE:
Toda función raíz con índice par tiene la forma expresada en A, y toda función raíz con índice 
impar tiene la forma expresada en B
UNEXPO - Matemática I
Funciones Reales – Breve catálogo de funciones
FUNCIÓN POTENCIA
Su fórmula es
𝑓 𝑥 = 𝑥−𝛼 , ∀ 𝛼 ∈ ℤ+
SU ESTUDIO SE DIVIDE EN CASOS
a. Si 𝜶 es par
(FUNCIÓN RECIPROCA PAR)
b. Si 𝜶 es impar
(FUNCIÓN RECIPROCA IMPAR)
𝑦 A
O
𝒙
𝛼 = 2
𝑫𝒐𝒎:ℝ − {𝟎}, 𝑹𝒈𝒐: (𝟎,∞)
𝑦 B
O 𝒙
𝛼 = 1
𝑫𝒐𝒎:ℝ − 𝟎 , 𝑹𝒈𝒐:ℝ − {𝟎}
NOTA IMPORTANTE:
Toda función RECIPROCA PAR tiene la forma expresada en A, y toda función RECIPROCA IMPAR tiene 
la forma expresada en B
UNEXPO - Matemática I
Funciones Reales – Breve catálogo de funciones
FUNCIÓN TRANSCENDENTES
Denomínanos así a todo tipo de
funciones que no se obtienen
mediante manipulación algebraica.
Funciones Exponenciales
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙, 𝒂 ∈ ℝ+
Si 𝒂 ∈ (𝟎, 𝟏), la función es DECRECIENTE
𝑦 A
O 𝒙
𝑫𝒐𝒎:ℝ, 𝑹𝒈𝒐: (𝟎,∞)
Funciones Exponenciales
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙, 𝒂 ∈ ℝ+
Si 𝒂 > 𝟏, la función es CRECIENTE
𝑦 B
O 𝒙
Punto característico de esta función,
es que corta el eje y en la ordenada
𝑦 = 1 cuando la abscisa 𝑥 = 0
LOS GRÁFICOS REPRESENTADOS EN A Y B
RESPECTIVAMENTE, CORRESPONDEN A LA
FORMA MÁS SIMPLE DE ESTAS FUNCIONES
𝑫𝒐𝒎:ℝ, 𝑹𝒈𝒐: (𝟎,∞)
UNEXPO - Matemática I
Funciones Reales – Breve catálogo de funciones
FUNCIÓN TRANSCENDENTES
Funciones Logarítmicas 
𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙, 𝒂 ∈ ℝ
+
Si 𝒂 ∈ (𝟎, 𝟏), la función es DECRECIENTE
𝑦 B
O 𝒙
𝑫𝒐𝒎: (𝟎,∞), 𝑹𝒈𝒐: ℝ
Funciones Logarítmicas
𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙, 𝒂 ∈ ℝ
+
Si 𝒂 > 𝟏, la función es CRECIENTE
𝑦 A
O 𝒙
𝑫𝒐𝒎: : (𝟎,∞), 𝑹𝒈𝒐: ℝ
Punto característico de esta función,
es que corta el eje x en la abscisa
𝑥 = 1 cuando ordenada la y = 0
LOS GRÁFICOS REPRESENTADOS EN A Y B
RESPECTIVAMENTE, CORRESPONDEN A LA
FORMA MÁS SIMPLE DE ESTAS FUNCIONES
UNEXPO - Matemática I