CLASE-MÓDULO-DE-RAÍCES-3-MEDIO-PDF

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LICEO BICENTENARIO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 “MARY GRAHAM” PROFESORA: MARÍA ISABEL ESPINOZA SILVA 
 VILLA ALEMANA MARÍA JOSÉ BERGER PÉREZ 
 NIVEL: 3º MEDIO 
1 
 
GUIA DE RAÍCES 
Nombre:_________________________________________________Curso:______Fecha:________ 
Objetivo: - Adquirir concepto de raíces n-ésimas. 
 - Establecer relaciones entre raíces y potencias. 
- Calcular raíces n-ésimas. 
 Habilidad: - Establecer relaciones entre potencias y raíces, además con las propiedades. 
- Argumentar y comunicar utilizando lenguaje matemático en la resolución de ejercicios. 
- Resolver problemas, analiza diversas expresiones y y plantea estrategias de resolución. 
Instrucciones: Resuelve esta guía sin usar calculadora. 
 
Definición: Una raíz es una potencia de exponente racional, es decir: 
 √𝒂
 𝒏
 = (𝒂)
𝟏
𝒏
, con n  0 
 Ejemplo √𝟖 
𝟑
 = 𝟖 
En la expresión √𝒂
 𝒏
 n es el índice de la raíz 
 a es la cantidad subradical 
 √ es el símbolo que indica la radicación 
Cuando calculamos raíces, estamos obteniendo la base de la potencia, por lo tanto, podemos decir que la 
radicación es la operación inversa de la potenciación. 
Ejemplos: 
1) √16 
2
 para calcular la raíz cuadrada de 16 nos preguntamos: ¿qué número al elevarlo al cuadrado 
da como resultado 16?... La respuesta es 4 porque 42 = 16 
2) 3 125− para calcular la raíz cúbica de 125 nos preguntamos: ¿qué número al elevarlo al cubo da 
como resultado − 125?... La respuesta es − 5 porque (− 5)3 = −125 
3) 
4
81 para calcular la raíz cuarta de 81 nos preguntamos: ¿qué número al elevarlo a cuatro da 
como resultado 81?... La respuesta es 3 porque 34 = 81 
4) 5 32 para calcular la raíz quinta de 32 nos preguntamos: ¿qué número al elevarlo a cinco da como 
resultado 32?... La respuesta es 2 porque 25 = 32 
 
Observación: 
i) En las raíces cuadradas el índice 2 no se escribe: √𝒂 
𝟐
 = √𝒂 
Ejemplo: √𝟐𝟓 
𝟐
 = √𝟐𝟓 = 5 
 
 
ii) La cantidad subradical negativa, sólo tiene solución en los números reales cuando el 
índice de la raíz es impar. 
Ejemplo: √−𝟖
𝟑
 = −𝟐 porque (− 2)3 = − 8 ⇒ √−𝟖 
𝟑
= −𝟐 
 
1
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 LICEO BICENTENARIO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 “MARY GRAHAM” PROFESORA: MARÍA ISABEL ESPINOZA SILVA 
 VILLA ALEMANA MARÍA JOSÉ BERGER PÉREZ 
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iii) Si la cantidad subradical es negativa, y el índice de la raíz es par, la solución es un 
número complejo, porque todo número negativo al elevarlo a un exponente par es 
positivo. 
 Ejemplo: 
 Si calculas 32 = 9 
  √𝟗 =  3 
 (−3)2 = 9 
 
iv) Luego las raíces de índice par tienen 2 soluciones: 
- La positiva, es la raíz principal o aritmética. √𝟗 = 3 
- La negativa es la raíz secundaria. √𝟗 = −3 
Para efecto de cálculo, sólo se considera la positiva. 
 
 Ejemplo: 
 1) √𝟑𝟔 + 5 = 2) 5√𝟒𝟗 − √𝟏𝟔 = 
 6 + 5 = 11 5 ∙ 7 − 4 
 35 − 𝟒 = 31 
 
v) Como te explique anteriormente, no existe ningún número real que al elevarlo a un 
exponente par tenga una solución negativa, pero en los números complejos sí. 
 Ejemplo: 
1) √−𝟐𝟓 = 𝟓𝒊 2) √−𝟖𝟏 
𝟒
 = 3i 
 Más adelante trabajaran con el conjunto de los números complejos, por ahora sólo deben saber 
 que existe. 
Ejercicios: 
Calcula las siguientes raíces: 
1) 4 = __________________________ 
2) 49 = __________________________ 
3) 64 = __________________________ 
4) 81 = __________________________ 
5) 121 = __________________________ 
6) 169 = __________________________ 
7) 400 = __________________________ 
8) √−27 
3
 = __________________________ 
9) √−32 
5
 = __________________________ 
10) 
3
64 = __________________________ 
11) 
3
216− = ________________________ 
12) 
3
8 = __________________________ 
13) 
3
512− = __________________________ 
14) 
3
1000 = __________________________ 
15) 
4
16 = __________________________ 
16) 
4
256 = __________________________ 
17) 
4
625 = __________________________ 
18) 
4
10000 = __________________________ 
19) 
5
243− = __________________________ 
20) 
7
128 = __________________________ 
 
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Adición de raíces: hay 2 formas de resolver una adición con raíces, 
i) Extraer todas las raíces y después operarlas de acuerdo a los signos. Ejemplo: 
1) √𝟏𝟎𝟎 − √𝟐𝟓 + √𝟏𝟔 = 
 10 − 5 + 4 = 9 
 
2) √𝟒𝟗 + √𝟔𝟒 
𝟑
 − √𝟏𝟔 
𝟒
 + 3 = 
 7 + 4 − 2 + 3 = 12 
 
3) 𝟓√𝟏𝟔 − √𝟑𝟐 
𝟓
 + 2√𝟐𝟕 
𝟑
 = 
 5 ∙ 4 − 2 + 2 ∙ 3 = 
 20 − 2 + 6 = 24 
 
ii) Cuando hay distintas raíces que no se pueden extraer, entonces se reducen como términos 
semejantes. Ejemplo: 
 
1) √𝟓 − 𝟐√𝟑 + 𝟔√𝟐 − 𝟓√𝟑 + 𝟒√𝟓 = 
 
 5√𝟓 − 7√𝟑 + 𝟔√𝟐 
 
 
 
2) 𝟏𝟑√𝟔 
𝟑
 − 𝟒√𝟐 
𝟑
 + 3√𝟕 − 𝟏𝟎√𝟔 
𝟑
 + 3√𝟐𝟑
 + 5√𝟕 + 15 = 
 
 3√𝟔 
𝟑
 − √𝟐 
𝟑
 + 𝟖√𝟕 + 15 
 
3) 2√𝟑 
𝟒
 + √𝟕 – 𝟑 = 2√𝟑 
𝟒
 + √𝟕 – 𝟑 como no hay términos semejantes, la expresión 
 queda igual. 
Ejercicios 
Calcula las siguientes adiciones de raíces: 
1) 36 + 144 + 25 = _________________________________________________________ 
2) 100 + 
4
81 + 
6
64 − 49 = __________________________________________________ 
3) 
3
1000 + 
4
16 − 
5
32 = _______________________________________________________ 
4) 
8
256 − 
9
512 + 
10
1024 = ______________________________________________________ 
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5) 196 + 225 − 400 − 625 = __________________________________________________ 
6) 6√7 − 2√2 + 7√2 − 5√7 = ______________________________________________________ 
7) √3 + 5√6 + √2 − 3√3 + 2√6 − √2 = ______________________________________________ 
8) 3√11 + 4√5 
3
 − 4√2 
3
 + √11 + 3√2 
3
 = _______________________________________________ 
9) 3√25 + 4√8 
3
 − 7√5 
3
 − √144 − 7√5 
3
 = __________________________________________ 
10) 8√10 
4
 − 2√9 + √6 
4
 − 4√10 
4
 + 2√100 − 5√6 
4
 = ___________________________________ 
 
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES 
 
Objetivo: Adquirir las propiedades de las raíces, establecer relaciones y aplicarlas en la resolución de 
ejercicios. 
 
Como ya sabes la radicación es la operación inversa de la potenciación, por lo tanto, todas las 
propiedades de las potencias son aplicables a las raíces. 
i) Raíz de la unidad √𝟏
 𝒏
 = 1,  n  0 
Ejemplo: √𝟏 
𝟓
 = 1 
ii) Raíz de cero √𝟎
𝒏
 = 𝟎, n > 0 
 Ejemplo: √𝟎 
𝟑
 = 0 
 
iii) Multiplicación de raíces de igual índice: Se conserva el índice de la raíz y se multiplican las 
cantidades subradicales, es decir: 
 
 √𝒂
 𝒏
∙ √𝒃
𝒏
= √𝒂 ∙ 𝒃
𝒏 , a, b  I𝐑𝟎+ si n es par ᴧ a, b  IR si n es impar 
Ejemplos: 
1) √𝟑 ∙ √𝟏𝟐 = √𝟑 ∙ 𝟏𝟐 = √𝟑𝟔 = 𝟔 
2) √𝟐𝟓
 𝟑
 ∙ √𝟓
 𝟑
 = √𝟐𝟓 ∙ 𝟓 
𝟑
 = √𝟏𝟐𝟓
 𝟑
 = 𝟓 
3) √𝟐𝒎
 𝟖
 ∙ √𝟖𝒎𝟐
𝟖
 ∙ √𝟏𝟔𝒎𝟓
 𝟖
 = √𝟐 ∙ 𝟖 ∙ 𝟏𝟔𝒎 ∙ 𝒎𝟐 ∙ 𝒎𝟓 
𝟖
 = √𝟐𝟓𝟔𝒎𝟖
 𝟖
 = 𝟐𝒎 
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Como puedes observar en estos ejemplos cada una de las raíces son irracionales, por lo tanto no 
las podemos resolver sin ayuda de una calculadora, pero al aplicar la propiedad la podemos 
calcular. 
 
Ejercicios: 
Resuelve las siguientes multiplicaciones de raíces aplicando la propiedad: 
1) 2 ∙ 32 = √2 ∙ 32 _______ = √64 = 8 . 
2) 5 ∙ 20 = ___________________= ______________ = ________________ 
3) 2 ∙ 72 = ___________________= ______________ = ________________ 
4) 3 ∙ 27 = ___________________= ______________ = ________________ 
5) 
3
2 ∙ 
3
4 = ___________________= ______________ = ________________ 
6) 
3
3 ∙ 
3
72 = ___________________= ______________ = ________________ 
7) 
4
8 ∙ 
4
32 = ___________________= ______________ = ________________ 
8) 
5
4 ∙ 
5
8 = ___________________= ______________ = ________________ 
9) 
6
4 ∙ 
6
16 = ___________________= ______________ = ________________ 
10) 
7
4 ∙ 
7 32 = ___________________= ______________ = ________________ 
 
iv) División de raíces de igual índice: Se conserva el índice de la raíz y se dividen las cantidades 
subradicales, es decir: 
 
√𝒂
 𝒏
∶ √𝒃
𝒏
= √𝒂: 𝒃
𝒏 con a > 0  b > 0  𝒃 ≠ 𝟎 
 
 
 √𝒂
𝒏
√𝒃
𝒏 = √
𝒂
𝒃
𝒏
 
 
Ejemplos: 
1) √𝟓𝟎 ∶ √𝟐 = √𝟓𝟎 ∶ 𝟐 = √𝟐𝟓 = 𝟓 
 
2) √𝟐𝟒
 𝟑
∶ √𝟑
 𝟑
 = √𝟐𝟒 ∶ 𝟑 
𝟑
= √𝟖
 𝟑
 = 𝟐 
3) 
 √𝟓𝟏𝟐
𝟒
√𝟐
𝟒 = √
𝟓𝟏𝟐
𝟐
𝟒
 = √𝟐𝟓𝟔
𝟒
 = 𝟒 
La misma propiedad puede presentarse de 
estas 2 formas 
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Ejercicios: 
Resuelve las siguientes divisiones de raíces aplicando la propiedad: 
1) 72 : 2 = √72 ∶ 2 = √36 = 6 . 
2) 98 : 2 = ___________________= ______________ = ________________ 
3) 5 96 : 
5
3 = ___________________= ______________ = ________________ 
4) 
√75
√3
 = ___________________= ______________ = ________________ 
5) 
 √48
4
√3
4 = ___________________= ______________ = ________________ 
6) 5 486 : 
5
2 = _________________= ______________ = ________________ 
7) 
√507
√3 
 = ___________________= ______________ = ________________ 
8) 
 √320
6
√5
6 = ___________________= ______________ = ________________ 
 
v) Raíz elevada a un exponente: Transformas la raíz en potencia de exponente fraccionario. 
 ( √𝒂
 𝒏
)
𝒎
= (𝒂)
𝒎
𝒏 = √𝒂𝒎
 𝒏
 
 
 Como consecuencia de esta propiedad podemos afirmar que 
 ( √𝒂
 𝒏
)
𝒏
= 𝒂
𝒏
𝒏 = 𝒂 
 
Ejemplos: 
1) ( √𝟓𝒂
𝟑 
)
𝟏𝟐
= (𝟓𝒂)
𝟏𝟐
𝟑 = (𝟓𝒂)𝟒 = 𝟔𝟐𝟓𝒂𝟒 
2) (√𝟐𝒙𝒚)
𝟐
= (𝟐𝒙𝒚)
𝟐
𝟐 = 𝟐𝒙𝒚 
3) ( √𝟕𝒙𝟐𝒚𝒛𝟒
𝟔 
)
𝟏𝟖
= (𝟕𝒙𝟐𝒚𝒛𝟒)
𝟏𝟖
𝟔 = (𝟕𝒙𝟐𝒚𝒛𝟒)𝟑 = 𝟑𝟒𝟑 𝒙𝟔𝒚𝟑𝒛𝟏𝟐 
4) √𝟏𝟔𝒑𝟔𝒒𝟏𝟎 = 𝟒 𝒑
𝟔
𝟐 𝒒
𝟏𝟎
𝟐 = 𝟒 𝒑𝟑 𝒒𝟓 
 
Ejercicios: 
Resuelve los siguientes ejercicios de raíces aplicando la propiedad: 
1) ( √12
4 
)
8
 = 12
8
4 = 122 = 144 . 
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2) (√11𝑥𝑦5)
4
= ___________________= ______________ = ________________ 
3) ( √10𝑎2𝑏𝑐4
5 
)
20
=__________________= ______________ = ________________ 
4) √𝑝8𝑞12𝑟6 = ___________________= ______________ = ________________ 
5) ( √8𝑚4𝑛3𝑝4𝑞
3 
)
9
=__________________= ______________ = ________________ 
6) √64𝑝20𝑞16𝑟8 = ___________________= ______________ = ________________ 
7) ( √3𝑎3𝑏𝑐2
5 
)
5
= __________________= ______________ = ________________ 
 
8) √2𝑝18𝑞2𝑟10𝑠2 =___________________= ______________ = ________________ 
 
vi) Raíz de un producto o Descomposición de raíces 
La cantidad subradical de una raíz se puede descomponer en factores, (como lo observaste en los 
ejercicios anteriores), donde uno de ellos debe ser una potencia elevada al mismo índice de la raíz 
o un múltiplo de él. 
 
 √𝒂
 𝒏
 = √ 𝒃𝒏 ∙ 𝒄𝒎
 𝒏
 , 𝒎 < 𝒏 
  √𝒂
 𝒏
 = 𝒃 √𝒄𝒎
 𝒏
 
Ejemplos: 
1) √𝟓𝟎 = √𝟐𝟓 ∙ 𝟐 = 𝟓√𝟐 
2) √𝟕𝟐𝒙𝟕 = √𝟑𝟔 ∙ 𝟐𝒙𝟔𝒙 = 𝟔𝒙𝟑√𝟐𝒙 
3) 𝟐√𝟓𝟒𝒂𝟔𝒃𝟐𝟏
𝟑
 = 𝟐√𝟐𝟕 ∙ 𝟐𝒂𝟔𝒃𝟐𝟏
𝟑
 = 𝟐 ∙ 𝟑𝒂𝟐𝒃𝟕 √𝟐
𝟑
 = 𝟔𝒂𝟐𝒃𝟕 √𝟐
𝟑
 
4) √𝟖𝟎𝒂𝟏𝟓𝒃𝟖
𝟒
 = √𝟏𝟔 ∙ 𝟓𝒂𝟏𝟐𝒂𝟑𝒃𝟖 
𝟒
 = 𝟐𝒂𝟑𝒃𝟐 √𝟓𝒂𝟑 
𝟒
 
5) √𝟑𝟐𝒎𝟕𝒏𝟏𝟑𝒑𝟓
𝟓
= 𝟐𝒑√𝒎𝟓𝒎𝟐𝒏𝟏𝟎𝒏𝟑
𝟓
= 𝟐𝒎𝒏𝟐𝒑√𝒎𝟐𝒏𝟑
𝟓
 
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Ejercicios: 
Resuelve los siguientes ejercicios de raíces aplicando la propiedad: 
1) √20 = √4 ∙ 5 = 2√5 . 
2) √150𝑎2 = _______________ = __________ = _________. 
3) 5√384𝒛𝟏𝟐
3
 = 5√64 ∙ 6𝒛𝟏𝟐 
3
 = 5 ∙ 4𝒛𝟔 √6 
3
 = 20𝒛𝟔 √6 
3
 . 
4) √24𝑎9𝑏3
3
 = _______________ = __________ = _________. 
5) √𝑝3𝑞12𝑟5 = _______________ = __________ = _________. 
6) 6√324𝑢8𝑣9
4
 = _______________ = __________ = _________. 
7) √40𝑎15𝑏12
3
 = _______________ = __________ = _________. 
8) 2√54𝑎6𝑏21
3
 = _______________ = __________ = _________. 
9) 4 √108𝑝6𝑞8𝑟18 =_______________ = __________ = _________. 
 
 
vii) Raíz de la raíz: Cuando se tiene una raíz dentro de otra raíz, se multiplican los índices de las 
raíces, es decir: 
 √ √𝒂
𝒎𝒏
= √𝒂
𝒏∙𝒎 
Ejemplos: 
 
1) √√𝟔𝟒
𝟑
= √𝟔𝟒 
𝟑 ∙ 𝟐
 = √𝟔𝟒 
𝟔
 = 𝟐 
2) √√𝟔𝟐𝟓 = √𝟔𝟐𝟓 
𝟐 ∙ 𝟐
 = √𝟔𝟐𝟓 
𝟒
= 𝟓 
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3) 
√√√√𝒏𝟔𝟒 = √𝒏𝟔𝟒 
𝟏𝟔
 = 𝒏𝟒 
 
4) √√√𝟐
𝟒𝟑
= √𝟐 
𝟑∙𝟒∙𝟐
 = √𝟐 𝟐𝟒 
5) 𝟓 √√(𝒏 − 𝟐)𝟖
𝟒
 = 𝟓√(𝒏 − 𝟐)𝟖
𝟖
= 𝟓(𝒏 − 𝟐) = 𝟓𝒏 − 𝟏𝟎 
 
Ejercicios: 
Resuelve los siguientes ejercicios de raíces aplicando la propiedad: 
1) √√729
3
 = ___________________= ______________ = ________________ 
2) √√16𝑚2
6
1
3
 = ___________________= ______________ = ________________ 
3) √√𝑎24𝑏36
43
 = __________________= ______________ = _________________ 
4) √√√8 = ___________________= ______________ = ________________ 
5) 5√√4096
43
 = ___________________= ______________ = ________________ 
6) 6√√𝑥 + 5
4
 = ___________________= ______________ = ________________ 
7) √√(2𝑎 − 1)6
3
 = ___________________= ______________ = ________________ 
8) √√(𝒙 + 𝟑)𝟖 = ___________________= ______________ = ________________ 
 
 
 
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Felicitaciones por tu excelente trabajo 
 
viii) Introducción de un coeficiente dentro de una raíz 
Para introducir un coeficiente dentro de una raíz, se eleva el coeficiente al índice de la raíz, es 
decir: 
 
 𝒃 √𝒂
𝒏
= √𝒃𝒏𝒂
𝒏
 
Ejemplos: 
1) 𝟑√𝟐 = √𝟗 ∙ 𝟐 = √𝟏𝟖 
2) 𝟐√𝟖
𝟑
= √𝟖 ∙ 𝟖
𝟑
 = √𝟔𝟒
𝟑
= 𝟒 
3) 𝒂√𝒂
𝟑
 = √𝒂𝟑 ∙ 𝒂𝟑 = √𝒂𝟒 𝟑 
4) √𝟐√𝟐√𝟐 = √𝟐𝟐 ∙ 𝟐 √𝟐 
𝟒
 = √𝟖 √𝟐 
𝟒
 = √𝟔𝟒 ∙ 𝟐 
𝟖
 = √𝟏𝟐𝟖 
𝟖
 
5) (𝒂 + 𝒃)√
𝟏
𝒂𝟐−𝒃𝟐
= √
(𝒂+𝒃)𝟐
𝒂𝟐−𝒃𝟐
 = √
(𝒂+𝒃)𝟐
(𝒂+𝒃)(𝒂−𝒃)
 = √
(𝒂+𝒃)
(𝒂−𝒃)
 
Ejercicios: 
Resuelve los siguientes ejercicios de raíces aplicando la propiedad: 
1) 5√3 = ___________________= ______________ = ________________ 
2) 2𝑚√𝑚√𝑚 = ___________________= ______________ = ________________ 
3) √𝑥 √𝑦2
3
 = __________________= ______________ = _________________ 
4) 𝑏 √
𝑎
𝑏
 = ___________________= ______________ = ________________ 
5) √𝑎 √𝑏
𝑚𝑛
 = ___________________= ______________ = ________________ 
6) √3√8
3
 ∶ √√2
3
= _________________= ______________ = ________________ 
7) √𝑥 𝑦4 √𝑥6𝑦3
33
 = ___________________= ______________ = ________________