II-MEDIO-Guía-Matemática-N1-Raíces

Vista previa del material en texto

Departamento de Matemática 
Profesor Elías Figueroa Quiroz 
 
GUÍA DE AUTOAPRENDIZAJE N°1: RAÍCES: CÁLCULO Y PROPIEDADES 
Nombre:____________________________________________ Curso: II° Medio __ 
Objetivos de Aprendizaje: 
• Reconocer el concepto de raíces. 
• Calcular raíces utilizando su definición. 
• Reconocer y aplicar las propiedades de las raíces. 
• Realizar adiciones y sustracciones de raíces. 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática 
Profesor Elías Figueroa Quiroz 
PROPIEDADES DE LAS RÁICES 
1. Simplificación de índice y exponente. 
√𝒂𝒂𝒎
𝒂𝒏
= 𝒂
𝒂𝒎
𝒂𝒏 = 𝒂
𝒎
𝒏 = √𝒂𝒎
𝒏
 
“se mantiene la base y se simplifican el exponente como numerador y el índice como denominador” 
 
 Ejemplos: 
 
 
 
Ejercicios: 
 
 
 
 
 
2. Multiplicación (y División) de raíces de igual índice y exponente. 
√𝒂𝒎
𝒏
⋅ √𝒃𝒎
𝒏
= √(𝒂 ⋅ 𝒃)𝒎
𝒏
 
“se mantiene el índice y el exponente y se multiplican las bases” 
 
Ejemplos: 
 
 
 
De la misma forma ocurre con la división. 
√𝑎𝑚
𝑛
: √𝑏𝑚
𝑛
= √(𝑎: 𝑏)𝑚
𝑛
= √(
𝑎
𝑏
)
𝑚𝑛
 
“se mantiene el índice y el exponente y se dividen las bases” 
 
 Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
4 2
6 34 26 34 4 4 4= = =
9
9 33 35 5 5 125= = =
188 3 122
3228 6 5015 7
9 544
126 8
164 5 277 9
33 3 37 3 7 3 21 =  =
3 3 3 354 6 9 6 9=  = 
6
6
6
7 7
33
=
8
8
8
25 25
12 12
=
 
Departamento de Matemática 
Profesor Elías Figueroa Quiroz 
 
Ejercicios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Multiplicación (y División) de potencias de igual subradical e índice, pero distinto exponente. 
√𝒂𝒑
𝒏
⋅ √𝒂𝒎
𝒏
= √𝒂𝒑+𝒎
𝒏
 
“se mantienen el subradical y el índice y los exponentes se suman” 
 
 Ejemplos: 
 
 
 
De la misma forma ocurre con la división. 
√𝑎𝑝
𝑛
: √𝑎𝑚
𝑛
= √𝑎𝑝−𝑚
𝑛
 
“se mantienen el subradical y el índice y los exponentes se restan” 
 
 Ejemplos: 
 
 
 
8 83 9 7 4
5 52 15 77 10 11
4 44 12 3 37 13
9 916 5 7 6
8 83 : 9 7 : 4
5 53 : 15 77 10 : 11
44 96 : 12 3 378 : 39
9 916 : 5 7 : 6
3 4 3 4 75 5 5 5+ = =
4 5 4 11 4 5 11 4 16 42 2 2 2 2 16+ = = = =
15 4 15 4 115 : 5 5 5−= =
4 17 4 13 4 17 13 4 4 12 : 2 2 2 2 2−= = = =
 
Departamento de Matemática 
Profesor Elías Figueroa Quiroz 
 
Ejercicios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Multiplicación (y División) de potencias igual subradical, pero distinto índice y exponente. 
√𝒂𝒑
𝒏
⋅ √𝒂𝒎
𝒒
= √𝒂𝒏𝒎+𝒑𝒒
𝒏𝒒
 
“se mantienen el subradical, se mantiene como índice la multiplicación de ambos y para el exponente se 
suma la multplicación cruzada de los índices y exponentes de las raíces” 
 
 Ejemplos: 
 
 
 
De la misma forma ocurre con la división. 
√𝑎𝑝
𝑛
: √𝑎𝑚
𝑞
= √𝑎𝑛𝑚−𝑝𝑞
𝑛𝑞
 
“se mantienen el subradical, se mantiene como índice la multiplicación de ambos y para el exponente se 
resta la multplicación cruzada de los índices y exponentes de las raíces” 
 
 Ejemplos: 
 
8 84 64 4
2 95 5
63 38 8 9 98 112 2
6 74 43 3 5 57 32 2
5 29 98 8 86 63 3
18 47 78 : 8 3 35 22 : 2
9 39 915 : 15 16 134 46 : 6
22 55 57 : 7 12 63 36 : 6
6 6 64 : 4
5 56 22 : 2
3 4 3 4 3 2 18 33 3 2 65 5 5 5 5 125 +  = = = =
3 4 34 5 4 5 13 12 232 2 2 2  +  = =
3 4 3 4 3 2 6 13 3 2 65 : 5 5 5 5 5 − = = = =
3 4 34 5 4 5 13 12 172 : 2 2 2  − = =
 
Departamento de Matemática 
Profesor Elías Figueroa Quiroz 
 
Ejercicios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Composición de raíces. 
𝒃 √𝒂
𝒏
= √𝒂 ⋅ 𝒃𝒏
𝒏
 
“el número se ingresa a la raíz multiplicando al subradical y elevado al índice de la misma” 
 
 Ejemplos: 
 
 
Ejercicios: 
 
 
 
 
 
8 4 2 64 4
2 94 5 5
63 8 8 3 98 112 2
6 75 43 3 6 57 32 2
5 298 8 85 63 3
18 49 78 : 8 8 35 22 : 2
9 37 915 : 15 16 133 46 : 6
2 554 7 : 7 2 634 6 : 6
6 6 84 : 4
5 6 22 : 2
333 3 32 5 5 2 5 8 40=  =  =
444 4 43 10 10 3 10 81 810=  =  =
7 8 35 3
53 2 5 10
33 5 4 7
82 3 6 12
 
Departamento de Matemática 
Profesor Elías Figueroa Quiroz 
 
6. Raíz de una raíz. 
√ √𝒂
𝒏𝒎
= √𝒂
𝒎⋅𝒏
 
“se mantiene el subradical y se multiplican los índices” 
 
 Ejemplos: 
 
 
 
 
 
Ejercicios: 
 
 
 
 
 
7. Descomposición de raíces. 
√𝒂 ⋅ 𝒃𝒏
𝒏
 = 𝒃 √𝒂
𝒏
 
 
“el número subradical se descompone en dos factores, de manera que un factor sea una potencia con igual 
exponente que el índice de la raíz y así escribirlo fuera de la raíz sin el exponente” 
 
 Ejemplo: 
√40
3
= √5 ⋅ 8
3
= √5 ⋅ 23
3
= 2√5
3
 
Ejercicios: 
1) 8 = 2) 12 = 3) 27 = 4) 48 = 
5) 75 = 6) 80 = 7) 128 = 8) 216 = 
9) 45 = 10) 72 = 11) 112 = 12) 50 = 
13) 243 = 14) 176 = 15) 325 = 16) 343 = 
 
3 443 3 3 3 44 4 4 122 5 5 2 5 16 80 80 80=  =  = = =
3 2 3 63 3 3= =
3 5 6 3 5 6 90120 120 120 = =
5 8 3 6 16
8 3 74 9 4 52
3 33 7 62 8
3 9 34 2 32 7 10
 
Departamento de Matemática 
Profesor Elías Figueroa Quiroz 
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RAÍCES 
Caso 1 
Podemos sumar y restar radicales solamente cuando estos tengan el mismo índice y contengan una misma 
cantidad subradical o radicando. 
Ejemplo: 
Se pide realizar una operación combinada de suma y resta, lo cual podremos hacer ya que todos los términos 
tienen √2 
 
Caso 2 
¿Podremos sumar y restar radicales que tengan el mismo índice pero que tengan distintos radicandos? 
Ejemplo: 
Aquí también se pide realizar una operación combinada de suma y resta. Sin embargo, no será posible porque 
los tres radicales poseen el mismo índice (2) y sus cantidades subradicales o radicandos son diferentes, 
además de que son números primos y no se pueden factorizar . 
Pero, veamos otro ejemplo: 
 
Esta también es una operación combinada de sumas y restas de radicales que tienen el mismo índice (2) pero 
tienen distintas cantidades subradicales. Pero aquí hay una diferencia: los radicandos se pueden factorizar , 
de tal modo que: 
 
 
 
 
 Para quedar 
 
 
Ejercicios: 
1)√45 − √27 − √20 
2)√80 − 2√252 + 3√405 − 3√500 
3) √12 − √18 + √48 + √72 
4) √147 − √700 + √28 
5)√175 + √243 − √63 − 2√75 
6) √176 − √45 + √320 + √275 
 
¡ÉXITO! 
108 2 
54 2 
27 3 
9 3 
3 3 
1 
 
27 3 
9 3 
3 3 
1 
 
75 3 
25 5 
5 5 
1