Clase-2-Limites-(B)1

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Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 – Matemática I 
 
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DOCUMENTO DE CLASE 
 
Clase N°: 2 
 
1. Objetivo/s de la clase: 
• Estudiar el concepto central del análisis matemático (límite funcional). 
• Interpretar intuitivamente los conceptos de límites laterales y límites 
relacionados con el infinito. 
• Operar con infinitos. 
• Utilizar correctamente diferentes técnicas algebraicas para resolver 
ejercicios de límite de la indeterminación 
∞
∞
 . 
• Observar y analizar el comportamiento de la gráfica de una función 
aprovechando los medios tecnológicos al alcance (calculadoras, 
graficadoras, aplicaciones del celular, softwares) 
• Aplicar conocimientos de la escuela media a la resolución de ejercicios. 
• Realizar la lectura comprensiva del material brindado como así también de 
la bibliografía indicada y los links recomendados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Mapa conceptual de la clase: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
infinito 
 
 
 
 
Límite Funcional 
Operaciones con 
infinitos 
Indeterminación 
∞
∞
 
Limites de 
cocientes con 
funciones 
irracionales 
Límites de 
cocientes de 
funciones 
polinómicas Límites de 
cocientes con 
alguna 
función 
exponencial 
Límites de funciones 
polinómicas, 
exponenciales y 
logarítmicas 
Límites relacionados 
con el infinito 
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3. Desarrollo: 
 Límite funcional 
Límites laterales 
Definiciones coloquiales: 
• La expresión lim
 x → x0+
f(x) = L significa que cuando los valores de x se acercan a 
x0, cada vez más, por derecha en el eje horizontal, los valores de la imagen de la 
función f se aproximan a L en el eje vertical. 
Se lee: “límite de f para x tendiendo a x0 por derecha es igual a L” 
Gráfico: 
 
 
 
• La expresión lim
 x → 𝑥0−
f(x) = L significa que cuando los valores de x se acercan a 
x0, cada vez más, por izquierda en el eje horizontal, los valores de la imagen de la 
función f se aproximan a L en el eje vertical. 
Se lee: “límite de f para x tendiendo a x0 por izquierda es igual a L” 
Gráfico: 
 
 
 
f 
x0 
L 
x 
y 
f 
x0 
L 
x 
y 
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Aclaraciones: 
Si lim
 x → 𝑥0+
f(x) = L y lim
 x → 𝑥0−
f(x) = L podemos afirmar que lim
 x → 𝑥0
f(x) = L 
Si lim
 x → 𝑥0
f(x) = L podemos afirmar que lim
 x → 𝑥0+
f(x) = L y lim
 x → 𝑥0−
f(x) = L 
Si lim
 x → 𝑥0+
f(x) ≠ lim
 x → 𝑥0−
f(x) entonces no existe lim
 x → 𝑥0
f(x) = L 
 
Ejemplos: 
1) Hallar el límite para 𝑥 → 9 de f(x) = { √x − 9, si x ≥ 9
18 − 2x, si x < 9
 
Esta forma de definir una función nos indica que para calcular la imagen de un número 
que pertenece a su dominio, si éste es mayor o igual a 9 se calcula con la expresión 
irracional; y si éste es menor a 9 con la lineal. 
Dom f = ℝ 
 
Calculemos los límites laterales: 
lim
 x → 9+
f(x) = lim
 x → 9+
√𝑥 − 9 = 0 y lim
 x → 9−
f(x) = lim
 x → 9−
(18 − 2x) = 0 
Como los límites laterales son iguales, entonces existe el límite de f(x) para x → 9 y su 
valor coincide con el de los laterales, es decir, lim
 x → 9
f(x) = 0 
 
2) Hallar el límite para 𝑥 → 2 de f(x) = {
3 − x, si x ≥ 2
0 , si x < 2
 
Esta forma de definir una función nos indica que para calcular la imagen de un número 
que pertenece a su dominio, si es mayor o igual a 2 se calcula con la expresión lineal; y 
para números menores a 2, la imagen es 0. 
Dom f = ℝ 
 
Calculemos los límites laterales: 
lim
 x → 2+
f(x) = lim
 x → 2+
(3 − x) = 1 y lim
 x → 2−
f(x) = lim
 x → 2−
0 = 0 
 
Como los límites laterales no son iguales, entonces no existe el límite de f(x) para 
x → 2, y escribimos ∄ lim
 x → 2
f(x). 
 
9 
√𝑥 − 9 18 – 2x 
2 
3 - x 0 
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Límites relacionados con el infinito 
Definiciones coloquiales: 
• Límites infinitos 
 𝐥𝐢𝐦
 𝐱 → 𝒙𝟎
𝐟(𝐱) = +∞ significa que cuando los valores de x se acercan a x0 por izquierda y 
por derecha, los valores de la función son mayores a cualquier número real positivo 
(M>0). 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
 𝐱 → 𝒙𝟎
𝐟(𝐱) = −∞ significa que cuando los valores de x se acercan a x0 por izquierda y 
por derecha, los valores de la función son menores a cualquier número real negativo 
(M<0). 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
f 
x0 
M 
x 
y 
f 
x0 
M 
x 
y 
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𝐥𝐢𝐦
 𝐱 → 𝒙𝟎
𝐟(𝐱) = ∞ es una abreviatura que significa que los limites laterales para x 
tendiendo a x0 son infinitos de distinto signo. 
 
¡Atención! Según la bibliografía que utilices verás diferentes versiones. Por ejemplo, hay 
libros que reservan al infinito sin signo para indicar sólo al infinito positivo. 
¡¡¡Cuidado!!! Aquí no lo trabajamos de esa manera. 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
• Límites al infinito 
 𝐥𝐢𝐦
 𝐱 → +∞
𝐟(𝐱) = 𝐋 significa que cuando los valores de x son mayores a cualquier número 
real positivo (N>0), los valores de la función se acercan a L. 
 
Gráfico: 
 
 
 
f 
N 
x 
y 
x0 x 
y 
f 
L 
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𝐥𝐢𝐦
 𝐱 → −∞
𝐟(𝐱) = 𝐋 significa que cuando los valores de x son menores a cualquier número 
real negativo (N<0), los valores de la función se acercan a L. 
 
Gráfico: 
 
 
 
• Límites infinitos en el infinito 
 
𝐥𝐢𝐦
 𝐱 → +∞
𝐟(𝐱) = + ∞ significa que cuando los valores de x son mayores a cualquier 
número real positivo (N>0) , los valores de la función son mayores a cualquier 
número real positivo (M>0). 
 
Gráfico: 
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
 𝐱 → +∞
𝐟(𝐱) = − ∞ significa que cuando los valores de x son mayores a cualquier 
número real positivo (N>0) , los valores de la función son menores a cualquier 
número real negativo (M<0). 
 
 
Gráfico: 
 
 
N 
x 
y 
L 
M 
N 
f 
 
M 
N 
f 
f 
x 
x 
y 
y 
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𝐥𝐢𝐦
 𝐱 → −∞
𝐟(𝐱) = + ∞ significa que cuando los valores de x son menores a cualquier 
número real negativo (N<0), los valores de la función son mayores a cualquier 
número real positivo (M>0). 
 
Gráfico: 
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
 𝐱 → −∞
𝐟(𝐱) = − ∞ significa que cuando los valores de x son menores a cualquier 
número real negativo (N<0), los valores de la función son menores a cualquier 
número real negativo (M<0). 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
El álgebra de límites que vimos en la primera clase es válida para estos límites siempre 
que no se presente alguna de las siguientes formas indeterminadas: 
 
→∞
→∞
 
→0
→0
 (→ +∞) + (→ −∞) (→ 0) ∙ (→ ∞) 
 
 (→ 1)→∞ (→ +∞)→0 (→ 0+)→0 
 
M 
x 
y 
N 
f 
x 
y 
N 
M 
f 
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A saber: 
 
→∞
→∞
 simboliza un cociente de funciones en el cual tanto el numerador como el 
denominador tienden a ∞. 
 
→0
→0
 simboliza un cociente de funciones en el cual tanto el numerador como el 
denominador tienden a 0. 
Si bien ya la vimos en la primera clase ahora veremos ejercicios de esta forma que pueden 
tener resultado infinito. 
 (→ +∞) + (→ −∞) simboliza una suma de funciones en la cual uno de los términos 
tiende a +∞ y el otro tiende a −∞ . Comúnmente llamada “∞ − ∞”. 
 (→ 0) ∙ (→∞) simboliza un producto de funciones en el cual uno de los factores tiende 
a cero y el otro a infinito. 
 (→ 1)→∞ simboliza una potencia en la cual la función de la base tiende a 1 y la del 
exponente tiende a infinito. 
 (→ +∞)→0 simboliza una potencia en la cual la función de la base tiende a más infinito 
y la del exponente tiende a cero. 
 (→ 0+)→0 simboliza una potencia en la cual la función de la base tiende a cero (por 
números mayores a 0) y la del exponente tiende a cero. 
 
Para poder calcular el límite de una forma indeterminada recurrimos a artificios 
algebraicos. 
 
Operaciones con el infinito: 
No siempre que nos aparezca el infinito es una forma indeterminada. En varias 
situaciones podremos hallar los límites directamente, porque pueden tratarse de formas 
con resultado determinado, como, por ejemplo: 
 
k
→∞
= 0 
→+∞
k
= +∞ (con k > 0) 
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k
→0+
= +∞ (con k > 0) 
k
→0−
= −∞ (con k > 0) 
 +∞ + ∞ = +∞ −∞ − ∞ = −∞ 
 +∞ ± k = +∞ −∞ ± k = −∞ 
 k ∙ (+∞) = +∞ (con k > 0) +∞ ∙ (−∞) = −∞ 
 (+∞)k = +∞ (con k > 0) (+∞)k = 0 (con k < 0) 
 (+∞)+∞ = +∞ (k)+∞ = 0 (con 0 < k < 1) 
 (k)+∞ = +∞ (con k > 1) 
 
Ejemplos: 
lim
𝑥→0
1
𝑥2
= +∞ pues en el denominador siempre tendremos un número positivo 
próximo al cero, ya sea que nos acerquemos por los mayores o por los menores al cero. 
Utilizamos 
k
→0+
= +∞ (con k = 1 > 0) 
 lim
𝑥→0
1
𝑥
= ∞ pues en el denominador siempre tendremos un número positivo si nos 
acercamos por los mayores al cero, y un número negativo si nos acercamos por los 
menores al cero. Utilizamos 
k
→0+
= +∞ (con k > 0) y 
1
→0−
= −∞ (con k > 0). 
Como los límites laterales son infinitos de distinto signo la respuesta es el infinito sin 
signo (explicado en límites infinitos). 
 
Límites de funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas 
• Límites de funciones polinómicas: 
 
✓ lim
𝑥→+∞
𝑃(𝑥) = lim
𝑥→+∞
𝑎𝑛 ∙ 𝑥
𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ lim
𝑥→+∞
𝑥𝑛 = 𝑎𝑛 ⋅ (+∞)
𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ (+∞) 
 
✓ lim
𝑥→−∞
𝑃(𝑥) = lim
𝑥→−∞
𝑎𝑛 ∙ 𝑥
𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ lim
𝑥→−∞
𝑥𝑛 = 𝑎𝑛 ⋅ (−∞)
𝑛 
 
 (an es el coeficiente principal del polinomio y n el grado del mismo) 
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Podríamos justificar estos pasos en general, pero para hacerlo más sencillo sólo 
vamos a ver dos ejemplos para que entiendas como se llega a estos resultados. 
Preguntale a tu profesor si van a profundizar el desarrollo en forma simbólica. 
 
Ejemplo: 
Calcular lim
𝑥→+∞
(3𝑥5 − 2𝑥4 − 8) 
 P(x) = 3𝑥5 − 2𝑥4 − 8 𝑎𝑛 = 3 𝑛 = 5 
 
El primer paso consiste en extraer como si fuera un factor común a la x con el mayor 
exponente que encuentres. Luego de hacer las simplificaciones correspondientes se aplica 
la propiedad del límite de un producto y finalmente se calculan ambos límites. 
Siempre tendrás de resultado al coeficiente principal multiplicado por un infinito que 
dependiendo de su signo y del exponente (grado del polinomio) será positivo o negativo. 
 
 lim
𝑥→+∞
(3𝑥5 − 2𝑥4 − 8) = lim
𝑥→+∞
[𝑥5 ∙ (
3𝑥5
𝑥5
−
2𝑥4
𝑥5
−
8
𝑥5
)] = lim
𝑥→+∞
[𝑥5 ∙ (3 −
2
𝑥
−
8
𝑥5
)] = 
 lim
𝑥→+∞
𝑥5 ∙ lim
𝑥→+∞
(3 −
2
𝑥
−
8
𝑥5
) = (+∞) ∙ 3 = +∞ 
 
Otro ejemplo: 
Calcular lim
𝑥→−∞
(3𝑥4 − 2𝑥3 − 8) 
 P(x) = 3𝑥4 − 2𝑥3 − 8 𝑎𝑛 = 3 𝑛 = 4 
lim
𝑥→−∞
(3𝑥4 − 2𝑥3 − 8) = lim
𝑥→−∞
[𝑥4 ∙ (
3𝑥4
𝑥4
−
2𝑥3
𝑥4
−
8
𝑥4
)] = lim
𝑥→−∞
[𝑥4 ∙ (3 −
2
𝑥
−
8
𝑥4
)] = 
 lim
𝑥→−∞
𝑥4 ∙ lim
𝑥→−∞
(3 −
2
𝑥
−
8
𝑥4
) = (+∞) ∙ 3 = +∞ 
 
 
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• Límites de la función exponencial para 𝒙 → +∞ y para 𝒙 → −∞ 
 f ∶ ℝ ⟶ ℝ+/ f(x) = ax con a > 0 y a ≠ 1 
Para poder entender estos límites es conveniente que repases algunas características de 
este tipo de funciones. En el material complementario de esta clase las encontrarás. 
Es importantísimo mirar con detenimiento y no apresurarse en responder. El resultado del 
límite depende del número que se encuentra en la base. Es decir, existen dos 
posibilidades: a > 1 ó 0 < a < 1. 
Veamos: 
Si a > 1 entonces lim
x→+∞
ax = +∞ y lim
x→−∞
ax = 0 
Si recuerdas la gráfica te será más fácil tener presente estos resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si 0 < a < 1 entonces lim
x→+∞
ax = 0 y lim
x→−∞
ax = +∞ 
Si recuerdas la gráfica te será más fácil tener presente estos resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
f(x) = ax, con a > 1 
x 
y 
f(x) = ax, con 0 < a < 1 
1 
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Ejemplos: 
 lim
x→+∞
2𝑥 = +∞ pues 𝑥 → +∞ y la base de la potencia es 2 (mayor a 1). 
 lim
x→+∞
(
1
2
 )𝑥 = 0 pues 𝑥 → +∞ y la base de la potencia es 
𝟏
𝟐
 (positivo menor a 1). 
 lim
x→+∞
𝑒𝑥 = +∞ pues 𝑥 → +∞ y la base de la potencia es el número e (mayor a 1). 
 lim
x→−∞
𝑒𝑥 = 0 pues 𝑥 → −∞ y la base de la potencia es el número e (mayor a 1). 
 lim
x→−∞
(
1
2
 )𝑥 = +∞ pues 𝑥 → −∞ y la base de la potencia es 
𝟏
𝟐
 (positivo menor a 1). 
 
• Límites de la función logarítmica para 𝒙 → +∞ 
 
 f ∶ ℝ+ ⟶ ℝ / f(x) = log𝑎 𝑥 con a > 0 y a ≠ 1 
 
Para poder entender estos límites es conveniente que repases algunas características de 
este tipo de funciones. 
Es importantísimo mirar con detenimiento y no apresurarse en responder. El resultado del 
límite depende del número que se encuentra en la base (número a). Es decir, existen dos 
posibilidades: a > 1 ó 0 < a < 1. 
 
Veamos: 
Si a > 1 entonces lim
x→+∞
log𝑎 𝑥 = +∞ 
No tenemos la posibilidad de calcular el límite al menos infinito pues el dominio de la 
función logarítmica es el conjunto de los números reales positivos. 
Si recuerdas la gráfica te será más fácil tener presente estos resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
f(x) = log a x, con a > 1 
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Si 0 < a < 1 entonces lim
x→+∞
log𝑎 𝑥 = −∞ 
Si recuerdas la gráfica te será más fácil tener presente estos resultados. 
 
 
 
 
 
 f(x) = log a x, con 0 < a < 1 
 
 
 
Ejemplos: 
 lim
x→+∞
log2 𝑥 = +∞ pues la base del logaritmo es 2 que es mayor a 1. 
 lim
x→+∞
log1
2
𝑥 = −∞ pues la base del logaritmo es 
𝟏
𝟐
 que es positivo menor a 1. 
 lim
x→+∞
ln 𝑥 = +∞ pues la base del logaritmo es el número e que es mayor a 1. 
 
Indeterminación 
∞
∞
 
Analizaremos tres casos de límites: 
 
➢ Límites de cociente de funciones polinómicas: 
Te encontrarás con varias formas de calcular estos límites. 
 
Algunos dividen todos los términos de los polinomios del numerador y del 
denominador por la potencia de x de mayor grado que aparezca en la fracción. 
 
Otros dividen todos los términos de los polinomios del numerador y del denominador 
por la potencia de xde mayor grado del denominador. 
 
 
 
x 
y 
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Vamos a trabajar con una diferente a las que mencionamos, pero podés usar la que 
prefieras. De ésta es que en realidad provienen las otras. Se utiliza un procedimiento 
similar a lo que viste en límite de funciones polinómicas. 
 
Ejemplo: 
 lim
𝑥→−∞
 
−3𝑥3+2𝑥2−1
7𝑥2−4𝑥+3
= lim
𝑥→−∞
𝑥3∙(−3+
2
𝑥
−
1
𝑥3
)
𝑥2∙(7−
4
𝑥
+
3
𝑥2
)
= lim
𝑥→−∞
𝑥3
𝑥2
 ∙ lim
𝑥→−∞
−3+
2
𝑥
−
1
𝑥3
7−
4
𝑥
+
3
𝑥2
= 
 lim
𝑥→−∞
𝑥 ∙ lim
𝑥→−∞
−3+
2
𝑥
−
1
𝑥3
7−
4
𝑥
+
3
𝑥2
= (−∞) ∙ (−
3
7
 ) = +∞ 
Más ejemplos trabajados y hasta una propiedad bien interesante podés encontrar en el 
material complementario de la clase. 
 
➢ Límites de cociente con funciones irracionales: 
También te encontrarás con varias formas de calcular estos límites. 
Te pueden aparecer raíces con cualquier índice, pero siempre es conveniente que 
recuerdes la propiedad: √𝑥2 = |𝑥| 
Ejemplo: 
 lim
𝑥→−∞
√𝑥2+𝑥
𝑥
= lim
𝑥→−∞
√𝑥2 ∙ (1 + 
1
𝑥 
)
𝑥
= lim
𝑥→−∞
√𝑥2 ∙ √(1 + 
1
𝑥
 )
𝑥
=
lim
𝑥→−∞
|𝑥| ∙ √(1 + 
1
𝑥
 )
𝑥
= lim
𝑥→−∞
−𝑥 ∙ √(1 + 
1
𝑥
 )
𝑥
= lim
𝑥→−∞
−𝑥 ∙ √(1 + 
1
𝑥
 )
𝑥
=
lim
𝑥→−∞
− √(1 + 
1
𝑥
 ) = −1 
 
En la resolución aparte de la propiedad de módulo indicada, utilizamos que 
 |𝑥| = −𝑥 cuando x es un número negativo. 
 
 
 
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➢ Límites de cociente con alguna función exponencial: 
Como ocurre con los ejercicios anteriores hay varias formas de resolución. 
Una de ellas consiste en extraer la potencia que tiende a más infinito como si fuera factor 
común, recordando las propiedades de la potenciación. 
 Ejemplo: 
 lim
𝑥→+∞
4𝑥−4−𝑥
4𝑥+4−𝑥
= lim
𝑥→+∞
4𝑥(1−4−2𝑥)
4𝑥(1+4−2𝑥)
= lim
𝑥→+∞
4𝑥(1−4−2𝑥)
4𝑥(1+4−2𝑥)
= lim
𝑥→+∞
1−4−2𝑥
1+4−2𝑥
= 1 
Utilizamos “factor común” 4x , propiedades de la potenciación (4-x : 4x = 4-2x) , 
simplificación y el hecho de que 4-2x tiende a 0 cuando x tiende a más infinito. 
 
Finalmente te dejo una pregunta para pensar: 
¿A cuánto tendería un límite que presentara alguna de estas dos formas?, ¿por qué? 
 lim
𝑥→+∞
𝑒𝑥
𝑃(𝑥)
 y lim
𝑥→+∞
𝑃(𝑥)
𝑒𝑥
 
_____________________________________________________ 
Esta fue nuestra segunda clase teórica. Volvé a leerla con atención y profundidad. 
Y luego a trabajar con las actividades… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f913.svg
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f913.svg
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f913.svg
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Noto_Emoji_Oreo_1f913.svg
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
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4. Bibliografía: 
[1] STEWART, JAMES (1999), Cálculo – Conceptos y Contextos, México – 
Thomson Editions 
[2] RUTENBERG, E., AVERNA, C., GALARDO, O. (2005), Nociones de 
Cálculo, Buenos Aires – Ed. Prometeo, 3ª ed. 
[3] AVERNA, C.; RUTENBERG, E. (2007), Nociones de Cálculo, Tomos 1 y 2, 
Buenos Aires – Ed. Prometeo, 4ª edición 
 
5. Actividad pedagógica: 
Pueden trabajar con los siguientes ejercicios del Trabajo práctico de límites: 
 3), 7), 11). 
De los cuales son ejercicios obligatorios: 
3) a, b, h, j, l 
7) a, c, e, h 
11) b, e 
 
Ayuda con el 3) h): 
 lim
𝑥→0+
ln ( 
1
𝑥
 ) = +∞ 
pues 
1
x
→ +∞ cuando 𝑥 → 0+ y el límite del logaritmo natural (base e) en el +∞ es +∞. 
Podés guiarte con la gráfica de ln x. 
 
Cuanto más a la derecha mirás, la gráfica de ln x más arriba se va. 
 
Los ejercicios 3) a), c), 7) e), j) y 11) a) c) los tenés resueltos en la explicación del 
desarrollo de la teoría. 
 
ln x 
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TRABAJO PRÁCTICO: LIMITES 
1) Demostrar que el límite indicado es correcto utilizando la definición. 
Hallar  en función de . 
 
a) 142)(3xlim
4x
=+
→
 c) 14x)(9lim
2x
=−
→
 
b) 115)(6xlim
1x
=+
→
 d) 51)2x(lim
3x
−=+−
→
 
 
2) Caso 1: Ausencia de Indeterminación: 
 
a) 
5
x 2
3x 8
lim
x 4→
− +
+
 g) ( )
x 2
1-xlim x
→
 
b) 
64xx
1x
lim
2
3
1x −+
−
→
 h) 1)ln(xlim
3x
+
→
 
c) 
22x
125x
lim
3
5
0x +
−
→
 i)
2
x 0
(x 5) (x 1)
lim
2 cosx→
+ +

 
d) 
2x
2
x 3
x 2x 3
lim
x 1→
 − −
 
+ 
 j)
2
x 3
3 x
lim
x 1→
−
+
 
e) 
38x
12x
lim
0x −
−
→
 k)
1t sentcos
5t cos 3tsen
lim
3
2
2
π
t ++
++
→
 
f) 
2
e1
lim
t
0t
+
→
 l)
1x 6
x cos-x 3
0x x cosx-
cos(5x)-sen(4x)
lim
+
→






+ 
 
3) Caso 2: Límites laterales: 
a) 
x
1
lim
0x→
 c)
20x x
1
lim
→
 e)
|5x|
5-x
lim
5x −→
 
b) 
3x
5
lim
3x −→
 d) xlnlim
+→0x
 f)
4x
13x
lim
4x −
−
→
 
 
 g)
2x-
1
lim
-2x +→
 h) 





+→ x
1
ln
0x
lim i) xe
1
-0x
lim
→
 
 
 j) x
3
0x
lim 3
+→
 k)
x
1
0x 5
1
lim
-






→
 l)
x
x
0x
lim
→
 
 
 
 
 
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2400 – Matemática I 
 
Página 19 de 33 
 
4) Caso 3: Indeterminación →
→
( 0)
( 0)
: 
a) 
158xx
65xx
lim
2
2
3x +−
+−
→
 f)
2
x
1
2
2
3x 32xx
34xx
lim
+
→ 






−−
+−
 
b) 
2xx
1512x3x
lim
2
2
1x −+
−+
→
 g) 
ax
ax
lim
33
ax −
−
→
 
c) 
8x
4x
lim
3
2
2x −
−
→
 h) 
1x
21x x
1-x
lim
+
→






−1
 
d) 
12x7xx
45xx
lim
23
2
4x +−
+−
→
 i)
t
xt)(x
lim
33
0t
−+
→
 
e) 234
23
2x 8x2xx
812x6xx
lim
−+
−+−
→
 
 
5) Caso 4: Indeterminación →
→
( 0)
( 0)
 (irracionales): 
 a) 
x2
4x
lim
4x −
−
→
 f) 
9x
16x
lim
0x +−
+−
→ 3
4
 
 b)
3x
3x
lim
3x −
−
→
 g)
23 −+→ 21x x
1-x
 lim 
 c) 
2x
3x
lim
0x −+→ 4
 h)
2x
4x
lim
2
2x −
−
+→
 
 d)
2x
2x
lim
2
2x −
−
→
 i) 
1-x
x
lim
2
1x
23 −+
→
 
 e) 
x
x2x2
lim
0x
+−−
→
 j) 
1
2
−
−
+→ x
xx
1x
lim 
 
6) Caso 5: Indeterminación →
→
( 0)
( 0)
(trigonométricos), para utilizar: 
 
 00)(1
f(x)
f(x) sen
→→=
→
xcuandoxfsi lim
0x
 
 
 
0
0)(1
f(x)
f(x) sen
xxcuandoxfsi →→=
→
 lim
0xx
 
 
a) 
x
(4x) sen
 lim
0x→
 f) 
20x x
1- xcos
 lim
→
 
 
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Página 20 de 33 
 
b) 
x
 xtan
 lim
0x→
 g)
x
x sen
2
2
23x-x
32x-x 






+
+
→
 lim
0x
 
c) 
6-x-x
6)-x-(x sen
2
2
 lim
3x→
 h)
x senx
x sen-x
+→
 lim
0x
 
d) 
3x
(5x) sen2
 lim
0x→
 i)
x-
x) -sen(x cos3



 lim
x→
 
e) 
sen(5x)
x) tan(2lim
0x→
 j)
x
(x) sen
 lim
0x +→
 
 k) 
( )
( )2
42
−
−
→ xsen
xtg
2x
lim l)
)cos1
2
x
x
−→0x
lim 
 
7) Caso 6: Indeterminación →
→
( )
( )
: 
 a) 
4x
6x3x
lim
2
x +
+
+→
 g) 
14x
23x
lim
2
x −
+
+→
 
b) 
12x
8xx
lim
5
35
x +
+
+→
 h) 
2
2x 1
2 3x 6
2x
5x 10
lim
x 1
+
−
→+
 +
 
− 
 
c) 
52xx
2x
lim
3x −+
−
+→
 i) 
x
x
2x 1
lim
5x 2→+
− 
 
+ 
 
d) 
7x
10xx
lim
35
x +
+
−→
 j) xx
xx
x 44
44
lim
−
−
+→ +
−
 
e) 
x
xx
lim
2
x
+
−→
 k) 
4 82
3 462
x 1x6x
3xx513x
lim
++
−++−
+→
 
f) 
3x25x
5x3x
lim
x −+
+−
+→
 l)
x
x
1
1
37
73
+
−
+→0x
lim 
 
8) Caso 7: Indeterminación  → + + → −( ) ( ) : 
 a) 3
x 1
3 1
lim
x 1x 1→
 
− 
−− 
 e) ( )
x
lim 2x x 4
→+
− + 
b) 2
x 1
3 2
lim
x 1 x 1+→
 
− 
− − 
 f) ( )2
x
lim x 3x x
→+
+ − 
c) 
2 3
2
x 2
x 1 x x 2
lim
x 2 x 2x+→
 + + −
− 
− − 
 g) ( )
x
lim x 1 x
→+
+ − 
d) ( )2
x
lim x x 2
→+
− + 
 
 
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2400 – Matemática I 
 
Página 21 de 33 
 
 
9) Caso 8: Indeterminación ( )
→
→
( )
1 para utilizar: 
 
 +→+→=





+
+→
xcuandoxfsie )(
f(x)
x f(x)
1
1lim 
 ( ) 00)( →→=+
→
xcuandoxfsief(x)
1
0x
f(x)1lim 
 
a) 
x
x x
1
1lim 





−
+→
 e) ( )x
3
0x
2x1lim −
→
 
b) 
x
x 22x
12x
lim 





+
+
+→
 f) x
2
0x
x) sen1(lim +
→
 
c) 
12x
x 5x3
5x1
lim
−
+→






+
+
 g) 
x
1
0x 33x
32x
lim 





+
+
→
 
d) 
2x
x 3x
1x
lim
+
+→






+
−
 h) ( )x
3
2
0x
x1lim +
→
 
 
 i) ( )x
7
0x
sen(5x)1lim +
→
 j) ( ) x+
→
+ 2x
3
0x
senx1lim 
 
 k) ( )sen(x)
2
0x
(x)tg31lim +
→
 l) ( )tg(x)
1
0x
5sen(4x)1lim +
→
 
 
 
10) Caso 9: Indeterminaciones varias: 
a) 





+→ x
1
sinx lim
x
 d)
8x
3x7
lim
3
8x −
−+
→
 
b) xcotx lim
x 0→
 e)  
x
lim x ln(x 1) lnx
→+
 + − 
c) 
x tan-1
x cos -x sen
lim
4

→x
 f)
x
x)ln(1
lim
0x
+
→
 
 
11) Caso 10: Límite de funciones por tramos: 
 
a) Hallar el límite para 𝑥→2 de 




−
=
2xsi,0
2xsi,x3
f(x) 
 
b) Hallar el límite para 𝑥→0 de 




+
=
0xsi,x
0xsi,2x
f(x)
3
 
 
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2400 – Matemática I 
 
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c) Hallar el límite para 𝑥→9 de 



−
−
=
9xsi,2x18
9xsi,9x
f(x) 
 
d) Hallar el límite para 𝑥→1 de 




=

−
−
=
1xsi,5
1xsi,
1x
33x
f(x) 
 
e) Hallar el límite para 𝑥→0 y 𝑥→3 de 





−
−
−
=
3xsi,x4
3x0si,1x
0xsi,12x
f(x) 2 
12) Si 
x5x7
xx3
)x(f
−
+
= , hallar: 
 
a) ( )xflim
x +→
 b) ( )xflim
x −→
 c) ( )xflim
0x →
 
 
13) ¿Existe 
x
xcos1
lim
2
0x
−
→
? 
14) Hallar las ecuaciones de las asíntotas de las siguientes funciones: 
 
a) ( )
3 2
2
3x 9x 12
f x
2x 2x 4
+ −
=
+ −
 g) ( )
x
f x
4x 2
=
+
 
b) ( )
3 2
2
2x 6x 8
f x
3x 9x 6
+ −
=
+ +
 h) ( ) ( )= +f x ln x 3 
c) ( )
2
3 2
2x 4x 6
f x
3x 12x 3x 12
+ −
=
+ − −
 i) 
4x
sen(3x)
(x) f = 
d) ( )
3 2
2
x 2x 5x 20
f x
x 4
+ + +
=
−
 j) ( ) x 5f x e− += 
e) ( ) 2
2x
f x
x 1
=
+
 
f) ( )
22x 4x 6
f x
3x 6
− + +
=
+
 
 
15) Hallar una función que tenga como asíntota horizontal a la recta 𝑦 = 2, 
y como asíntotas verticales a 𝑥 = 5 y a x = 4. 
16) Deducir la ecuación de una función, cuya A.O. sea y 2x 5= + y su A.V. 
sea x 2= 
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APLICACIONES ECONÓMICAS 
 
17) El costo de fabricar una cierta cinta de video es C(x) 20000 5x= + , donde 
x es el número de cintas fabricadas. El Costo promedio por cinta, denotado 
por C(x)o 𝐶𝑚𝑒(𝑥) se encuentra dividiendo C(x) entre x. Encontrar: 
 
a) C(1000) 
b) (10000)C 
c) (x)Clim
100000x→
 
d) 
x
lim C(x)
→+
 
 
18) La Demanda de un artículo viene dada por la fórmula 
3000
p
3q 4
=
+
. Si la 
cantidad demandada crece indefinidamente, ¿a cuánto tiende el Ingreso? 
 
19) Los costos variables por unidad de un determinado producto ascienden 
a $35.Los costos fijos anuales ascienden a $125.000. Encontrar a qué valor 
tiende el Costo medio cuando el número de unidades tiende a infinito. 
 
20) La función Costo medio está dada por ( )
q
1206q
 qC
+
= , donde q es la 
cantidad de artículos producidos: 
 a) Determinar el costo fijo y el precio de costo unitario. 
 b) ¿Cuál es el significado de la pendiente del 𝐶𝑇.? 
 c) ¿A cuánto tiende el Costo total cuando 𝑞 se acerca a 5? 
 
21) Un negocio vende un determinado artículo en $40 pesos la unidad y se 
estima un costo fijo en $300. Con estos datos: 
 a) Escribir las funciones de Ingreso y de Costo total sabiendo que 
 ambas coinciden en 𝑞 = 20. 
 b) Encontrar el o los valores de q para que el negocio sea rentable. 
 c) Si q aumenta indefinidamente, ¿en qué valor se estabiliza el Beneficio 
 medio? 
 
 
 
 
 
 
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RESPUESTAS 
1) a)  = 
3
 b)  = 
6
 c)  = 
4
 d)  = 
2
 
2) a) 
3
44
− b) 0 c) -6 d) 0 e) 
3
3
 f) 1 g) 
2
1 h) ln 4 i) 
2
25 j) 0 
 k) 3 l) ∄ 
 
3) a)  b)  c) + d) - e) ∄ f) g)+h) + i) 0 j) + 
 k) + l) 1 
4) a) 
2
1
− b) 6 c) 
3
1 d) 
4
3 e) 0 f) 
3
7
2
1






 g) 3 a2 h)
4
1 i) 3 x2 
 
5) a) -4 b) 
6
3
 c) 12 d) 
4
2
 e) 
2
2
− f) 
4
3 g) 2 h) + i)
2
1 j)0 
 
6)a) 4 b) 1 c) 1 d) 0 e) 
5
2 f) -
2
1 g) 
2
3 h) 0 i) -1 j)0
 k) 4 l) 0 
 
7) a) + b) 
2
1 c) 0 d) + e) -1 f) 
5
3 g) 
4
3
 h) 1 i) 0 j) 1 k) 
7
8
 l) 1 
 
8) a) -1 b) + c) + d) 0 e) + f) 
2
3 g) 0 
9) a) 1−e b) 2
1
−
e c) 5
4
−
e d) 
4−e e) 
6−e f) 2e g) 3
1
−
e h) 1 
 i) 35e 
j) 3e k) 6e l) 20e 
 
10) a) 1 b) 1 c) 
2
2
− d) 
72
1
e) 1 f) 1 
11) a)  b)  c) 0 d) 3 e) -1 y  
 
12) a) 2 b) 
6
1
 c)  13)  
14) a) A.O.:𝑦 =
3
2
𝑥 + 3 g) A.H.:
1
y
2
= ; A.V.:
2
1
x −= 
 b) A.V.: 𝑥 = −1; A.O.:𝑦 =
2
3
𝑥. h) A.V.:𝑥 = −3 
 c) A.V.: x 1 ; x 4= − = − ; A.H.:𝑦 = 0 i) A.H.:𝑦 = 0 
 d) A.V.:𝑥 = −2; 𝑥 = 2 ; A.O.:𝑦 = 𝑥 + 2 j) A.H.:𝑦 = 0, 𝑠𝑖 𝑥 → +∞ 
 e) A.H.:𝑦 = 0. 
 f) A.V.:𝑥 = −2 ; A.O.:𝑦 = −
2
3
𝑥 +
8
3
 
 
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2400 – MatemáticaI 
 
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15) Ejemplo: 
( )( )4x5x
1x2
y
2
−−
+
= 
 
16) Ejemplo: 
1
y 2x 5
x 2
= + +
−
y sacando común denominador resulta:
22x x 9
y
x 2
+ −
=
−
 
 
APLICACIONES ECONOMICAS: 
 
17) a) 25 b) 7 c) 5,2 d) 5 
 
18) 1000 
 
19) 35 
 
20)a) cf: 120 precio de costo unitario: 6 b) Es el precio de costo unitario c) 
150 
 
21) a) I(q) = 40 q C(q) = 300 + 25 q b) q > 20 c) 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Material complementario de la clase: 
 
Aquí encontrarás ejercicios resueltos que te servirán para trabajar con los de la 
guía y enriquecerte mucho más: 
 
 LIMITE DE FUNCIONES 
 
INDETERMINACIÓN 
(→∞)
(→∞)
 
 
Ejercicio 1: lim
𝑥→+∞
3𝑥2−5𝑥+1
𝑥2−2𝑥
=
(→∞)
(→∞)
 
Dividiendo al polinomio numerador y al polinomio denominador por la 𝑥 de mayor 
exponente, tenemos: 
 
= lim
𝑥→+∞
3𝑥2 − 5𝑥 + 1
𝑥2
𝑥2 − 2𝑥
𝑥2
 = lim
𝑥→+∞
3
𝑥2
𝑥2
− 5
𝑥
𝑥2
+
1
𝑥2
𝑥2
𝑥2
−
2
𝑥2
= 
 
Simplificando: 
= lim
𝑥→+∞
3
𝑥2
𝑥2
− 5
𝑥
𝑥2
+
1
𝑥2
𝑥2
𝑥2
−
2
𝑥2
= lim
𝑥→+∞
3 −
5
𝑥 +
1
𝑥2
1 −
2
𝑥2
= 
 
Sabiendo que: 𝑠í 𝑥 → +∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 
1
𝑥
→ 0, nos queda: 
 
lim
𝑥→+∞
3 −
5
𝑥
+
1
𝑥2
1 −
2
𝑥2
=
3 − (→ 0) + (→ 0)
1 − (→ 0)
 = 3 
 
∴ lim
𝑥→+∞
3𝑥2 − 5𝑥 + 1
𝑥2 − 2𝑥
= 3 
 
Ejercicio 2: lim
𝑥→+∞
𝑥+1
𝑥2+1
=
(→∞)
(→∞)
 
 
Dividiendo al polinomio numerador y al polinomio denominador por la 𝑥 de mayor 
exponente, tenemos: 
 
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= lim
𝑥→+∞
𝑥 + 1
𝑥2
𝑥2 + 1
𝑥2
 = lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑥2
+
1
𝑥2
𝑥2
𝑥2
+
1
𝑥2
= 
Simplificando: 
 
= lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑥2
+
1
𝑥2
𝑥2
𝑥2
+
1
𝑥2
 = lim
𝑥→+∞
1
𝑥 +
1
𝑥2
1 +
1
𝑥2
= 
 
Sabiendo que: 𝑠í 𝑥 → +∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 
1
𝑥
→ 0, nos queda: 
 
lim
𝑥→+∞
1
𝑥 +
1
𝑥2
1 +
1
𝑥2
=
(→ 0) + (→ 0)
1 + (→ 0)
= 
(→ 0)
1
 = 0 
∴ lim
𝑥→+∞
𝑥 + 1
𝑥2 + 1
= 0 
 
Ejercicio 3: lim
𝑥→+∞
(3𝑥3+1).(5𝑥+3)
(2𝑥2−1).(𝑥+1)
=
(→∞)
(→∞)
 
 
Aplicando propiedad distributiva, tanto en el numerador como en el denominador, 
tenemos: 
 
= lim
𝑥→+∞
15𝑥4 + 9𝑥3 + 5𝑥 + 3
2𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 1
 
 
Dividiendo al polinomio numerador y al polinomio denominador por la 𝑥 de mayor 
exponente, tenemos: 
= lim
𝑥→+∞
15𝑥4 + 9𝑥3 + 5𝑥 + 3
𝑥4
2𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 1
𝑥4
 = lim
𝑥→+∞
15
𝑥4
𝑥4
+ 9
𝑥3
𝑥4
+ 5
𝑥
𝑥4
+
3
𝑥4
2
𝑥3
𝑥4
+ 2
𝑥2
𝑥4
−
𝑥
𝑥4
−
1
𝑥4
= 
 
Simplificando: 
= lim
𝑥→+∞
15 +
9
𝑥 +
5
𝑥3
+
3
𝑥4
2
𝑥 +
2
𝑥2
−
1
𝑥3
−
1
𝑥4
= 
Sabiendo que: 𝑠í 𝑥 → +∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 
1
𝑥
→ 0, nos queda: 
 
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lim
𝑥→+∞
15 +
9
𝑥 +
5
𝑥3
+
3
𝑥4
2
𝑥 +
2
𝑥2
−
1
𝑥3
−
1
𝑥4
=
15 + (→ 0) + (→ 0) + (→ 0)
(→ 0) + (→ 0) − (→ 0) − (→ 0)
=
15
(→ 0)
 = +∞ 
∴ lim
𝑥→+∞
(3𝑥3 + 1). (5𝑥 + 3)
(2𝑥2 − 1). (𝑥 + 1)
= +∞ 
Siempre que se trate de una expresión racional fraccionaria de la forma 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
, para los 
cuales 𝑃(𝑥) → ∞ 𝑦 𝑄(𝑥) → ∞ 𝑠í 𝑥 → ∞, entonces se demuestra que sí: 
 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝑎𝑛. 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1. 𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2. 𝑥
𝑛−2 + ⋯ + 𝑎0
𝑏𝑚. 𝑥𝑚 + 𝑏𝑚−1. 𝑥𝑚−1 + 𝑏𝑚−2. 𝑥𝑚−2 + ⋯ + 𝑏0
 
 
Siendo: 𝑛 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑚 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄(𝑥), entonces resulta: 
 
lim
𝑥→∞
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= {
𝑎𝑛
𝑏𝑚
 𝑠í 𝑔𝑟 𝑃(𝑥) = 𝑔𝑟 𝑄(𝑥) → 𝑛 = 𝑚
0 𝑠í 𝑔𝑟 𝑃(𝑥) < 𝑔𝑟 𝑄(𝑥) → 𝑛 < 𝑚
∞ 𝑠í 𝑔𝑟 𝑃(𝑥) > 𝑄(𝑥) → 𝑛 > 𝑚 
 
 
Ejercicio 4: lim
𝑥→+∞
2𝑥2−5+ √𝑥4−3𝑥+1
2
𝑥−1+ √4𝑥6+3𝑥−2
3 =
(→∞)
(→∞)
 
Si sacamos factor común dentro de cada raíz tenemos: 
 
lim
𝑥→+∞
2𝑥2 − 5 + √𝑥4 (1 −
3
𝑥3
+
1
𝑥4
) 
2
𝑥 − 1 + √𝑥6 (4 +
3
𝑥5
−
2
𝑥6
)
3
= 
Aplicando la propiedad distributiva de la radicación: 
 
= lim
𝑥→+∞
2𝑥2 − 5 + √𝑥4. √1 −
3
𝑥3
+
1
𝑥4
 
𝑥 − 1 + √𝑥6
3
. √4 +
3
𝑥5
−
2
𝑥6
3
 
 
Simplificando las raíces y dividiendo todos los términos por 𝑥2: 
 
= lim
𝑥→+∞
2 −
5
𝑥2
+ 1 . √1 −
3
𝑥3
+
1
𝑥4
 
1
𝑥 −
1
𝑥2
+ 1. √4 +
3
𝑥5
−
2
𝑥6
3
 
=
2 + √1
√4
3 =
3
√4
3 .
√2
3
√2
3 = 
3. √2
3
√8
3 = 
3
2
. √2
3
 
 
∴ lim
𝑥→+∞
2𝑥2 − 5 + √𝑥4 − 3𝑥 + 1
2
𝑥 − 1 + √4𝑥6 + 3𝑥 − 2
3 =
3
2
. √2
3
 
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Otra forma de resolver el ejercicio: 
Dividimos numerador y denominador por la 𝑥 de mayor exponente: 
 
 = lim
𝑥→+∞
2𝑥2 − 5 + √𝑥4 − 3𝑥 + 1
2
𝑥2
𝑥 − 1 + √4𝑥6 + 3𝑥 − 2
3
𝑥2
 = lim
𝑥→+∞
2
𝑥2
𝑥2
−
5
𝑥2
+
√𝑥4 − 3𝑥 + 1
2
𝑥2
𝑥
𝑥2
−
1
𝑥2
+
√4𝑥6 + 3𝑥 − 2
3
𝑥2
 
Simplificando, e introduciendo 𝑥2 dentro de ambas raíces (tanto en el numerador, como 
en el denominador) 
 
NOTA: para ingresar 𝑥2 dentro de ambas raíces, debemos multiplicar al exponente por el 
índice de estas: 
 
= lim
𝑥→+∞
2 −
5
𝑥2
+ √
𝑥4 − 3𝑥 + 1
𝑥4
2
1
𝑥 −
1
𝑥2
+ √
4𝑥6 + 3𝑥 − 2
𝑥6
3
 = lim
𝑥→+∞
2 −
5
𝑥2
+ √
𝑥4
𝑥4
− 3
𝑥
𝑥4
+
1
𝑥4
2
1
𝑥 −
1
𝑥2
+ √4
𝑥6
𝑥6
+ 3
𝑥
𝑥6
−
2
𝑥6
3
 
 
Simplificando dentro de ambas raíces, tenemos: 
 
= lim
𝑥→+∞
2 −
5
𝑥2
+ √1 −
3
𝑥3
+
1
𝑥4
2
1
𝑥 −
1
𝑥2
+ √4 +
3
𝑥5
−
2
𝑥6
3
= 
 
Sabiendo que: 𝑠í 𝑥 → +∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 
1
𝑥
→ 0, nos queda: 
 
lim
𝑥→+∞
2 −
5
𝑥2
+ √1 −
3
𝑥3
+
1
𝑥4
2
1
𝑥 −
1
𝑥2
+ √4 +
3
𝑥5
−
2
𝑥6
3
=
2 − (→ 0) + √1 − (→ 0) + (→ 0)
2
(→ 0) − (→ 0) + √4 + (→ 0) − (→ 0)
3
 
= 
2 + 1
√4
3 = 
3
√4
3 .
√2
3
√2
3 = 
3. √2
3
√8
3 = 
3
2
. √2
3
 
 
∴ lim
𝑥→+∞
2𝑥2 − 5 + √𝑥4 − 3𝑥 + 1
2
𝑥 − 1 + √4𝑥6 + 3𝑥 − 2
3 =
3
2
. √2
3
 
 
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Para resolver el ejemplo siguiente, debemos conocer algunas características de las 
funciones exponenciales: 
 𝑓: 𝑅 → 𝑅+ / 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1 
Además: 
a) Dom 𝑓(𝑥) = 𝑅 
b) Img 𝑓(𝑥) = (0, +∞) 
c) Son funciones continuas. 
d) Como 𝑎0 = 1, la función siempre pasa por el par ordenado (0,1) 
e) El eje 𝑥 es Asíntota Horizontal, sí 𝑎 ≻ 1 
f) Siempre son cóncavas (concavidad positiva) 
Si 𝑎 > 1 
g) lim
𝑥→+∞
𝑎𝑥 = + ∞ 𝑦 lim
𝑥→−∞
𝑎𝑥 = 0 
Si 0 < 𝑎 < 1 
h) lim
𝑥→+∞
𝑎𝑥 = 0 𝑦 lim
𝑥→−∞
𝑎𝑥 = +∞ 
Sí consideramos a la base “𝑎” de la función exponencial igual al número “𝑒”, entonces, 
una gráfica aproximada será de la forma: 
 
 
 
Es importante destacar que las funciones exponenciales tendrán gráficas similares a las 
que se muestran arriba. 
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Ejercicio 5: lim
𝑥→+∞
4𝑒𝑥−2𝑒−𝑥
7𝑒𝑥+21𝑒−𝑥
 
De lo visto arriba, sí x→ +∞ → 𝑒𝑥 → +∞ 𝑦 𝑠í 𝑥 → +∞ → 𝑒−𝑥 → 0 obtenemos: 
lim
𝑥→+∞
4𝑒𝑥 − 2𝑒−𝑥
7𝑒𝑥 + 21𝑒−𝑥
= 
(→ +∞)
(→ +∞)
 
 
Sacando factor común 2𝑒𝑥en el numerador y 7𝑒𝑥 en el denominador y aplicando 
propiedades de la potenciación, tenemos: 
𝑥𝑎 . 𝑥𝑏 = 𝑥𝑎+𝑏 𝑦 𝑥𝑎 ∶ 𝑥𝑏 = 𝑥𝑎−𝑏 
lim
𝑥→+∞
2𝑒𝑥(2 − 𝑒−2𝑥)
7𝑒𝑥(1 + 3𝑒−2𝑥)
 
Simplificando 𝑒𝑥 en el numerador y en el denominador, tenemos: 
lim
𝑥→+∞
2𝑒𝑥(2 − 𝑒−2𝑥)
7𝑒𝑥(1 + 3𝑒−2𝑥)
 
Evaluando nuevamente el límite, y sabiendo que sí 𝑥 → +∞ → 𝑒−2𝑥 → 0 
 
lim
𝑥→+∞
2𝑒𝑥(2 − 𝑒−2𝑥)
7𝑒𝑥(1 + 3𝑒−2𝑥)
=
2(2 − (0))
7(1 + (0))
=
4
7
 
 
∴ lim
𝑥→+∞
4𝑒𝑥 − 2𝑒−𝑥
7𝑒𝑥 + 21𝑒−𝑥
=
4
7
 
 
Ejercicio 6: Dado el grafico, calcular los limites indicados: 
 
 
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Respuestas: 
1. lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = − ∞ 
2. lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = 
En este caso tenemos que analizar los límites laterales(por derecha y por izquierda): 
 
lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = {
lim
𝑥→− 1+
𝑓(𝑥) = +∞
lim
𝑥→−1−
𝑓(𝑥) = −∞
 
3. lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = −∞ 
4. lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = +∞ 
5. lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞ 
• Hallar el lim
𝑥→4
𝑓(𝑥), sí 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < 4
 
𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4
 
 
Vamos a calcular limites laterales: 
𝐿+ = lim
𝑥→4+
𝑥2 = 16 𝑦 L− = lim
𝑥→4−
𝑥 + 3 = 7 
Se observa que los límites laterales son distintos, entonces concluimos que el límite para 
𝑥 tendiendo a 4, no existe. 
 
Ejercicio 7: Dado el grafico, calcular los siguientes límites: 
 
 
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1. lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) 2. lim
𝑥→−2
 𝑓(𝑥) 3. lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) 
4. lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 5. lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) 
 
Respuestas: 
1. lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 0 
2. lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) = { 
lim
𝑥→−2+
𝑓(𝑥) = +∞
lim
𝑥→−2−
𝑓(𝑥) = +∞
 Luego, límite tiende a más infinito. 
3. lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = 1 
4. lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = − ∞ 
5. lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = { 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 3
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 2
 
Vemos que los limites laterales son distintos, en este caso, no hay límite. 
______________________________________________________________________ 
 
 
No te olvides de consultar fuentes bibliográficas, material de soporte virtual en internet, 
utilizar diferentes aplicaciones del celular y la calculadora. 
En particular te recomendamos los siguientes links: 
• S.Schmidt et al. “Práctica del curso Cálculo Diferencial e Integral. 
Selección de ejercicios”. Revista digital, Matemática, Educación e 
Internet: 
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/practicas/A-
Practicas-CDI-I-2019.pdf 
 
• PERMANENT CITATION Aori Nevo 
“Limits: A Graphical and Numerical Approach” 
Wolfram Demostrations Project Published: December 20 2011 
https://demonstrations.wolfram.com/LimitsAGraphicalAndNumericalAp
proach/ 
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/practicas/A-Practicas-CDI-I-2019.pdf
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/practicas/A-Practicas-CDI-I-2019.pdf
https://demonstrations.wolfram.com/LimitsAGraphicalAndNumericalApproach/
https://demonstrations.wolfram.com/LimitsAGraphicalAndNumericalApproach/