Clase-4--Continuidad

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DOCUMENTO DE CLASE 
 
Clase N°4: Continuidad 
 
 
1. Objetivo/s de la clase: 
Estudio de la continuidad de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) y sus aplicaciones a las Ciencias 
Económicas. 
2. Mapa conceptual de la clase: 
 
 
 
3. Desarrollo: 
Funciones Continuas 
 
Cuando empezó a desarrollarse el Cálculo, la mayor parte de las funciones con las que 
se trabajaban eran continuas, y por lo tanto no se sentía la necesidad de penetrar en el 
significado exacto de continuidad. Fue ya entrado el siglo XVIII que se presentaron 
algunas funciones discontinuas en conexión con distintas clases de problemas físicos. 
En particular, los trabajos de J.B.J. Fourier (1758-1830) sobre la Teoría del calor, 
obligaron a los matemáticos de principios de siglo XIX a examinar cuidadosamente el 
significado de los conceptos de función y continuidad. 
A pesar de que el significado de la palabra "continuo" parece intuitivamente claro, pero 
no es fácil imaginarse cuál sería una buena definición de esta idea. 
FUNCIONES 
CONTINUAS TEOREMAS APLICACIÓN 
DISCONTINUAS CLASIFICACIÓN 
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Por ejemplo, las siguientes funciones son continuas en todo su dominio, ya que 
podemos dibujar el gráfico de dichas funciones sin levantar el lápiz, trazando una línea 
continua. 
• 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 
 
• ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 
 
• 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 
 
Antes de dar la definición de continuidad de una función en un punto, veremos el 
comportamiento de algunas funciones que no son continuas. 
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Ejemplos: 
1) Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función definida por: 
𝑓(𝑥) = {𝑥
2 − 4
−𝑥 + 2
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
𝑠𝑖 𝑥 < 0
 
Su gráfica es: 
 
En este caso la función 𝑓(𝑥) no se puede graficar en forma continua, y vemos que el 
problema está en 𝑥 = 0, ¿qué pasa en 𝑥 = 0? 
𝑓(𝑥) está definida en 𝑥 = 0 pues 𝑓(0) = −4, pero no existe lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) ya que 
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = −4 y lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = 2 (límites laterales son distintos), lo que genera un corte 
en el gráfico. 
2) Sea 𝑦 = 𝑔(𝑥) una función definida por: 𝑔(𝑥) =
1
𝑥−1
, con 𝑥 ≠ 1. 
Su gráfica es: 
 
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Otro caso donde la gráfica no se puede trazar en forma continua, en este caso la función 
𝑔(𝑥) no está definida en 𝑥 = 1 (∄𝑓(1)) y además el lim
𝑥→1
𝑔(𝑥) = ∞, lo que genera una 
asíntota vertical. 
3) Ahora consideremos la función 𝑦 = ℎ(𝑥) definida como: 
ℎ(𝑥) = {
𝑥
3
𝑥3
𝑠𝑖 𝑥 > 1
𝑠𝑖 𝑥 = 1
𝑠𝑖 𝑥 < 1
 
Su representación gráfica es: 
 
En este caso, la función ℎ(𝑥), casi se puede trazar en forma continua, el problema está 
en el imagen de 𝑥 = 1, que está desplazada más arriba de la curva. 
La función ℎ(𝑥) está definida en 𝑥 = 1, ya que ℎ(1) = 3, y además lim
𝑥→1
ℎ(𝑥) existe y es 
igual a 1, pero ℎ(1) ≠ lim
𝑥→1
ℎ(𝑥). 
Puede observarse que las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥), presentan 
“saltos” en los puntos en los que no está definida la función o en los puntos, en los que 
aun cuando la función está definida, el límite de la función en ese punto no existe, o su 
valor es diferente al que toma la función en ese punto. Luego, debemos establecer 
condiciones bajo las cuales se sepa con certeza cuándo una función es continua. 
 
 
 
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Continuidad en un punto 
De los ejemplos anteriores podemos establecer las condiciones que deben cumplirse 
para que una función sea continua. 
Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) será continua en 𝑥 = 𝑐 si se cumplen las tres condiciones 
siguientes: 
(i) Existe imagen en 𝑥 = 𝑐. En símbolos: ∃𝑓(𝑐) (c pertenece al dominio de 𝑓). 
(ii) Existe límite de la función cuando 𝑥 tiende a 𝑐. En símbolos: ∃ lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥). 
(iii) El límite de la función en el punto 𝑐 coincide con la imagen en 𝑐, es decir, que 
los resultados anteriores son iguales. En símbolos: 𝑓(𝑐) = lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥). 
 
Ejemplos: analizar la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado. 
➢ 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 en 𝑐 = −1 
Veamos si cumple las condiciones de continuidad. 
Probemos que existe imagen en 𝑐 = −1 
𝑓(−1) = (−1)2 + 3(−1) 
𝑓(−1) = 1 − 3 
𝑓(−1) = −2 
Entonces 𝑓(𝑥) tiene imagen en 𝑐 = −1 
∴ ∃𝑓(−1) 
nota: ∴ significa “por lo tanto”, ∃ significa “existe”. 
Probemos que existe límite en dicho punto 
lim
𝑥→−1
(𝑥2 + 2𝑥) = (−1)2 + 3(−1) 
lim
𝑥→−1
(𝑥2 + 2𝑥) = −2 
Entonces 𝑓(𝑥) tiene límite en 𝑐 = −1 
∴ ∃ lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) 
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Notamos que la función en el punto es igual a límite 
𝑓(−1) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑓(𝑥) 
−2 = −2 
∴ 𝑓(−1) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑓(𝑥) 
Como se cumplen con todas las condiciones anteriores, decimos que 𝑓(𝑥) es continua 
en 𝑐 = −1. 
➢ 𝑔(𝑥) =
𝑥2−9
𝑥−3
 en 𝑐 = 3 
Veamos si cumple las condiciones de continuidad. 
¿existe imagen en 𝑐 = 3? 
Vemos que el dominio de 𝑔(𝑥) no contiene a 3 porque anula el denominador. 
Por lo tanto no tiene imagen en 𝑐 = 3 
∴ ∄𝑔(3) 
Ya podemos afirmar que 𝑔(𝑥) es no es continua en 𝑐 = 3 por no cumplir la primera 
condición. 
Las tres condiciones de continuidad quedan resumidas en la tercera. Damos, entonces, 
siguiente definición: 
Decimos que 𝑦 = 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 𝑐 si y solo si lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 
 
Discontinuidades en un punto 
En caso de que la función no cumpla con alguna de las condiciones de continuidad en c 
diremos que dicha función es discontinua en 𝑐. 
Definición: Una función es discontinua en 𝑥 = 𝑐 si no es continua en 𝑥 = 𝑐 
 
Clasificación de discontinuidades 
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función discontinua en 𝑥 = 𝑐, entonces: 
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(i) 𝑓 es discontinua evitable en 𝑥 = 𝑐 ⟺ ∃lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 
(ii) 𝑓 es discontinua esencial con salto finito en 𝑥 = 𝑐 ⟺ {
∃ lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝐿+
∃ lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = 𝐿−
𝐿+ ≠ 𝐿−
 
(iii) 𝑓 es discontinua esencial con salto infinito en 𝑥 = 𝑐 ⟺ 
lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = ±∞ ∨ lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = ±∞ 
Ejemplos: 
1) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−4
𝑥−2
, en 𝑥 = 2 
➢ Como ∄𝑓(2) ya podemos decir que 𝑓(𝑥) es discontinua, pero para poder clasificar 
la discontinuidad debemos calcular el límite. 
➢ lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2
𝑥2−4
𝑥−2
= lim
𝑥→2
(𝑥−2)(𝑥+2)
𝑥−2
= lim
𝑥→2
(𝑥 + 2) = 4 
∴ ∃ lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 4 
𝑓(𝑥) tiene límite finito, pero no tiene imagen en 𝑥 = 2 entonces es discontinua evitable 
en 𝑥 = 2. 
Grafiquemos la función. 
 
¿Qué significa que sea discontinua evitable? 
Si observamos el gráfico, en el punto donde analizamos la discontinuidad hay “un punto 
vacío”, “un agujero”. A este tipo de discontinuidad se le dice evitable porque la función 
se puede redefinir de manera que sea continua en el punto. Para ello, le otorgamos a la 
imagen en el punto el valor obtenido en el límite. 
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Nuestra función redefinida es: 
𝑓∗(𝑥) = {
𝑓(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 𝑐
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑐 
En nuestro ejemplo, le otorgamos a la imagen el valor 4. Así, nuestra función redefinida 
es: 
𝑓∗(𝑥) = {
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 2
4 𝑠𝑖 𝑥 = 2
 
Ahora la nueva función 𝑓∗(𝑥) es continua en 𝑥 = 2, ya que: 
𝑓∗(2) = lim
𝑥→2
𝑓∗(𝑥) = 4 
2) 𝑔(𝑥) =
|𝑥−2|
𝑥−2
, en 𝑥 = 2 
• Como ∄𝑔(2) ya podemos decir que 𝑔(𝑥) es discontinua, pero para poder clasificar 
la discontinuidad debemos calcular el límite. 
• Veamos el límite: lim
𝑥→2
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→2
|𝑥−2|
𝑥−2
. Analicemos los límites laterales: 
{
lim
𝑥→2−
|𝑥 − 2|
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2−
−(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
=lim
𝑥→2−
(−1) = −1
lim
𝑥→2+
|𝑥 − 2|
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2+
𝑥 − 2
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2+
(1) = 1
 
los limites laterales son distintos y finitos, entonces 
∄ lim
𝑥→2
𝑔(𝑥) 
𝑓(𝑥) es discontinua esencial con salto finito en 𝑥 = 2. 
El gráfico de la función es: 
 
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3) ℎ(𝑥) =
𝑥−3
𝑥−2
, en 𝑥 = 2 
Como ∄ℎ(2) ya podemos decir que ℎ(𝑥) es discontinua, pero para poder clasificar la 
discontinuidad debemos calcular el límite. 
Veamos el límite: lim
𝑥→2
ℎ(𝑥) = lim
𝑥→2
𝑥−3
𝑥−2
. Analicemos los límites laterales: 
{
lim
𝑥→2−
𝑥 − 3
𝑥 − 2
= −∞
lim
𝑥→2+
𝑥 − 3
𝑥 − 2
= +∞
 
Como los límites laterales son infinitos, entonces 
∄ lim
𝑥→2
ℎ(𝑥) 
𝑓(𝑥) es discontinua esencial con salto infinito en 𝑥 = 2 
El gráfico de la función es: 
 
4) Decidir si la siguiente función es continua, en caso contrario clasificar la 
discontinuidad. 
𝑓 (𝑥) = {
𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 < −2
𝑥2 − 6 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 < 2
6
𝑥 − 5
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
 
En este ejemplo tenemos una función definida por tramos, los primeros dos tramos son 
continuos por ser tramos de funciones polinómicas En el último tramo (𝑥 ≥ 2) es una 
función racional donde 𝑥 = 5 no pertenece en el dominio. 
Por lo tanto, los valores donde debemos analizar la continuidad son en 𝑥 = −2, 𝑥 = 2 
(donde cambia el tramo la función) y en 𝑥 = 5. 
En 𝑥 = −2 
• ∄𝑓(−2) 
• lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥), debemos calcular los límites laterales 
{
lim
𝑥→−2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−2−
(𝑥 + 4) = 2
lim
𝑥→−2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−2+
(𝑥2 − 6) = −2
 
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Como no existe imagen y los límites laterales son distintos y finitos, entonces 𝑓(𝑥) es 
discontinua esencial con salto finito en 𝑥 = −2 
En 𝑥 = 2 
• Como 𝑥 = 2 corresponde al tercer tramo: 
𝑓(2) =
6
(2) − 5
=
6
−3
= −2 
Entonces 𝑓(2) = −2. 
• lim
𝑥→2
𝑓(𝑥), debemos calcular los límites laterales 
{
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
(𝑥2 − 6) = −2
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2+
6
𝑥−5
= −2
 
Los límites laterales son iguales, entonces ∃ lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = −2 
Como la imagen coincide con el límite, es decir, 𝑓(2) = lim
𝑥→2
𝑓(𝑥), entonces 𝑓(𝑥) es 
continua en 𝑥 = 2. 
En 𝑥 = 5 
• ∄𝑓(5) 
• lim
𝑥→5
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→5
6
𝑥−5
=
6
5−5
=
6
0
= ∞ 
Como no existe imagen y el límite es infinito, entonces 𝑓(𝑥) es discontinua esencial con 
salto infinito en 𝑥 = 5 
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En resumen 𝑓(𝑥) es continua en todo su dominio, y discontinua esencial con salto finito 
en 𝑥 = −2 y con salto infinito en 𝑥 = 5. 
5) Determinar los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua. Graficar la 
función. 
𝑓(𝑥) = {
𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑎
2
𝑏𝑥 + 2𝑏
si 𝑥 < 3
si 𝑥 = 3
si 𝑥 > 3
 
La función 𝑓(𝑥) debe ser continua, por lo tanto, debe cumplir con la condiciones de 
continuidad. 
Observamos que la función está definida por tramos de funciones continuas, entonces si 
existe discontinuidad será en 𝑥 = 3. 
• Primera condición de continuidad 
Buscando la existencia de la imagen de la función en el punto, resulta que 𝑓(3) = 2. 
• Segunda y tercera condiciones de continuidad 
El límite debe existir y debe ser igual a la imagen de la función en el punto 𝑥 = 3. Para 
ello calculamos los límites laterales: 
lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3−
(𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑎) = 𝑎32 + 2𝑏3 + 𝑎 = 9𝑎 + 6𝑏 + 𝑎 = 10𝑎 + 6𝑏. 
Entonces 
lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = 10𝑎 + 6𝑏 
lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3+
(𝑏𝑥 + 2𝑏) = 𝑏3 + 2𝑏 = 5𝑏. Entonces 
lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = 5𝑏 
Ahora se debe cumplir que los límites laterales deben ser iguales a la imagen. Es decir, 
tienen que ser iguales a 2 
lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = 5𝑏 = 2 
5𝑏 = 2 ⇒ 𝑏 =
2
5
 
lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = 10𝑎 + 6𝑏 = 2 
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10𝑎 + 6𝑏 = 2 ⇒ 10𝑎 + 6
2
5
= 2 ⇒ 𝑎 = −
1
25
 
Entonces: 
❖ 𝑓(𝑥) = {
−
1
25
𝑥2 +
4
5
𝑥 −
1
25
2
2
5
𝑥 +
4
5
𝑠𝑖 𝑥 < 3
𝑠𝑖 𝑥 = 3
𝑠𝑖 𝑥 > 3
 
Graficamos la función y observamos la continuidad. 
 
 
Álgebra de funciones continuas 
(1) Si 𝑘 es una constante y 𝑓(𝑥) es una función continua en c, entonces 𝑘 ⋅ 𝑓(𝑥) es 
continua en 𝑐. 
(2) Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son funciones continuas en 𝑐, entonces 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) es continua en 
𝑐. 
(3) Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son funciones continuas en 𝑐, entonces 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) es continua en 
𝑐. 
(4) Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son funciones continuas en 𝑐 y 𝑔(𝑐) ≠ 0, entonces 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 es continua 
en 𝑐. 
 
Continuidad de algunas funciones 
• Toda función polinómica es continua en (−∞,+∞) = ℝ. 
Justificación: 
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La función 𝑔(𝑥) = 𝑥 es continua en cualquier 𝑐 ∈ ℝ, ya que 𝑔(𝑐) = lim
𝑥→𝑐
𝑥 = 𝑐. 
Luego la función ℎ(𝑥) = 𝑥2 = 𝑥 ⋅ 𝑥 es continua en cualquier 𝑐 ∈ ℝ, por ser producto 
de funciones continuas. 
En general 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑚 es continua en cualquier 𝑐 ∈ ℝ, cualquiera sea 𝑚 ∈ ℕ. 
La función constante 𝑡(𝑥) = 𝑘 es continua en cualquier 𝑐 ∈ ℝ, ya que 𝑡(𝑐) = lim
𝑥→𝑐
𝑘 =
𝑘. 
Luego la función 𝑞(𝑥) = 𝑘 ⋅ 𝑥𝑚 es continua en cualquier 𝑐 ∈ ℝ, para cualquier 𝑚 ∈ ℕ 
y para cualquier 𝑘 ∈ ℝ, por ser producto de funciones continuas. 
Por lo tanto, cualquier polinomio: 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2 +⋯…… .+𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
es una función continua en cualquier 𝑐 ∈ ℝ, por ser suma de funciones continuas del 
tipo 𝑞(𝑥) = 𝑘 ⋅ 𝑥𝑚 
• Toda función racional y logarítmica es continua en su dominio. 
• Toda función exponencial es continua en (−∞,+∞) = ℝ. 
• La función 𝑠𝑒𝑛𝑜 es continua en (−∞,+∞) = ℝ. 
• La función 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 es continua en (−∞,+∞) = ℝ. 
 
Continuidad en un intervalo cerrado 
Damos algunas definiciones 
(1) 𝑓(𝑥) es continua por derecha en 𝑥 = 𝑐 si y solo si lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 
(2) 𝑓(𝑥) es continua por izquierda en 𝑥 = 𝑐 si y solo si lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 
(3) 𝑓(𝑥) es continua en [𝑎, 𝑏] si y sólo si: 
(i) 𝑓(𝑥) es continua en todo punto 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 
(ii) 𝑓(𝑥) es continua por derecha en 𝑎 
(iii) 𝑓(𝑥) es continua por izquierda en 𝑏 
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Ejemplo: analizar si la función 𝑓(𝑥) es continua en el intervalo [1; 3]. 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 1
2𝑥 − 1 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 3
−
1
2
𝑥 + 8 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
 
Veamos si cumple las condiciones de continuidad en un intervalo. 
• ¿𝑓(𝑥) es continua en (1; 3)? 
Como 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 en (1; 3) y es una función polinomica, entonces es continua en 
todos sus puntos. 
∴ 𝑓(𝑥) es continua en (1; 3) 
• ¿𝑓(𝑥) es continua por derecha en 𝑥 = 1? 
∃ 𝑓(1), 𝑓(1) = 2 ∙ 1 − 1 = 1 
∃ lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
(2𝑥 − 1) = 1 
Entonces, lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 𝑓(1) 
∴ 𝑓(𝑥) es continua por derecha en 𝑥 = 1 
• ¿𝑓(𝑥) es continua por izquierda en 𝑥 = 3? 
∃ 𝑓(3), 𝑓(3) = −
1
2
∙ 3 + 8 =
13
2
 
∃ lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3−
(2𝑥 − 1) = 5 
Como son distintos, lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(3), entonces: 
𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 es continua por izquierda en 𝑥 = 3 
Por lo tanto 𝑓(𝑥) es no es continua en [1; 3]. 
Vemos en el gráfico como la función presenta “un agujero” al final del intervalo [1; 3] y 
es lo que hace que pierda la continuidad en el intervalo. 
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Teoremas sobre funciones continuas 
Teorema de Weierstrass 
Si 𝑓(𝑥) es continua en el intervalo [𝑎, 𝑏], entonces 𝑓(𝑥) tiene un máximo y mínimo 
absoluto en [𝑎; 𝑏]. Es decir, existen puntos 𝑐 y 𝑑 en [𝑎; 𝑏] tales que: 
𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑑), para todo 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]. 
 
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Teorema de Bolzano 
Si 𝑓(𝑥)es continua en [𝑎, 𝑏] y verifica que 𝑓(𝑎) ⋅ 𝑓(𝑏) < 0 (es decir, 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏) 
tienen signos distintos: uno positivo y el oro negativo), entonces existe un valor 𝑐 ∈
(𝑎, 𝑏) tal que 𝑓(𝑐) = 0 
Este valor 𝑐 es una raíz de 𝑓(𝑥) 
Interpretación gráfica: Si se cumplen las condiciones (hipótesis) del teorema de 
Bolzano (es decir: 𝑓(𝑥) es continua en [𝑎, 𝑏] y 𝑓(𝑎) ⋅ 𝑓(𝑏) < 0), la curva de la función 
debe atravesar al 𝑒𝑗𝑒 𝑥, entre 𝑎 y 𝑏, al menos una vez. 
 
Consecuencias del teorema de Bolzano 
• Búsqueda de raíces de una función 
Utilizando este teorema, dada una función 𝑓(𝑥) continua, podemos encontrar una raíz 𝑟 
en forma aproximada siguiendo un conjunto de pasos (algoritmo): 
1) Teniendo dos números 𝑎1 y 𝑏1 que verifiquen que 𝑓(𝑎1) y 𝑓(𝑏1) tengan signos 
distintos, sabemos que la raíz 𝑟 ∈ (𝑎1, 𝑏1). Calculamos el valor medio entre 𝑎1 y 
𝑏1: 𝑝1 =
𝑎1+𝑏1
2
. 
2) (i) Si 𝑓(𝑎1) y 𝑓(𝑝1) tienen signos iguales, llamamos 𝑎2 = 𝑝1 y 𝑏2 = 𝑏1 
(ii) Si 𝑓(𝑎1) y 𝑓(𝑝1) tienen signos distintos, llamamos 𝑎2 = 𝑎1 y 𝑏2 = 𝑝1 
Luego la raíz 𝑟 ∈ (𝑎2, 𝑏2). Calculamos el valor medio entre 𝑎2 y 𝑏2: 𝑝2 =
𝑎2+𝑏2
2
 
3) Repetimos el paso anterior. 
(i) Si 𝑓(𝑎2) y 𝑓(𝑝2) tienen signos iguales, llamamos 𝑎3 = 𝑝2 y 𝑏3 = 𝑏2 
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(ii) Si 𝑓(𝑎2) y 𝑓(𝑝2) tienen signos distintos, llamamos 𝑎3 = 𝑎2 y 𝑏3 = 𝑝2 
Luego la raíz 𝑟 ∈ (𝑎3, 𝑏3). Calculamos el valor medio entre 𝑎3 y 𝑏3: 𝑝3 =
𝑎3+𝑏3
2
 
Repitiendo el procedimiento obtenemos 𝑝4, 𝑝5, 𝑝6, 𝑝7, etc 
4) En general. Teniendo los valores 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 tales que 𝑓(𝑎𝑛) y 𝑓(𝑏𝑛) tienen signos 
distintos, sabemos que la raíz 𝑟 ∈ (𝑎𝑛, 𝑏𝑛). Calculamos el valor medio entre 𝑎𝑛 y 
𝑏𝑛: 𝑝𝑛 =
𝑎𝑛+𝑏𝑛
2
 y 
(i) Si 𝑓(𝑎𝑛) y 𝑓(𝑝𝑛) tienen signos iguales, llamamos 𝑎𝑛+1 = 𝑝𝑛 y 𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛 
(ii) Si 𝑓(𝑎𝑛) y 𝑓(𝑝𝑛) tienen signos distintos, llamamos 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛+1 = 𝑝𝑛 
Luego la raíz 𝑟 ∈ (𝑎𝑛+1, 𝑏𝑛+1). Calculamos así 𝑝𝑛+1 =
𝑎𝑛+1+𝑏𝑛+1
2
 
Este procedimiento se repite tantas veces como haga falta hasta encontrar la 
aproximación a la raíz 𝑟 deseada. Tener en cuenta que en cada paso la distancia entre 
los valores 𝑎𝑖 y 𝑏𝑖 se reduce a la mitad. Como la raíz 𝑟 está entre estos valores, luego de 
un número 𝑛 de pasos, la distancia entre 𝑟 y el último 𝑝𝑛 calculado es menor que la 
distancia original entre 𝑎1 y 𝑏1 dividido 2
𝑛. 
El ultimo valor de 𝑝𝑛 obtenido será una aproximación de la raíz buscada. Mientras más 
pasos realicemos, mejor será la aproximación. 
Ejemplos: 
1) Hallar la raíz de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥 + 1 que se encuentra en el intervalo 
[0; 1] con una aproximación de dos decimales. 
Calculamos 𝑓(0) = 1 > 0 y 𝑓(1) = 1 − 4 + 1 = −2 < 0 
Luego, por ser una función continua que verifica que 𝑓(0) y 𝑓(1) tienen signos 
distintos, el teorema de Bolzano asegura que debe existir 𝑟 ∈ (0; 1) tal que 𝑓(𝑟) = 0. 
Aplicamos el procedimiento: 
1) Teniendo en cuenta que 𝑎1 = 0 y 𝑏1 = 1, obtenemos 𝑝1 =
0+1
2
=
1
2
= 0,5. 
Calculamos ahora 𝑓(0,5) = 0,53 − 4(0,5) + 1 = −0,875 < 0 
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2) Como 𝑓(0) y 𝑓(0,5) tienen signos distintos, llamamos 𝑎2 = 0 y 𝑏2 = 0,5. Sabemos 
que la raíz 𝑟 ∈ (0 ; 0,5). Calculamos 𝑝2 =
0+0,5
2
= 0,25 y obtenemos 𝑓(0,25) =
0,015625 > 0 
3) Como 𝑓(0) y 𝑓(0,25) tienen signos iguales, llamamos 𝑎3 = 0,25 y 𝑏3 = 0,5. 
Sabemos que la raíz 𝑟 ∈ (0,25 ; 0,5). Calculamos 𝑝3 =
0,25+0,5
2
= 0,375 y obtenemos 
𝑓(0,375) = −0,447265 > 0 
Armamos un cuadro 
𝑎𝑖 𝑏𝑖 𝑝𝑖 𝑓(𝑎𝑖) 𝑓(𝑏𝑖) 𝑓(𝑝𝑖) 
0 1 0,5 1 −2 −0,875 
0 0,5 0,25 1 −0,875 0,015625 
0,25 0,5 0,375 0,015625 −0,875 −0,447265 
0,25 0,375 0,3125 0,015625 −0,447265 −0,219482 
0,25 0,3125 0,28125 0,015625 −0,219482 −0,102752 
0,25 0,28125 0,265625 0,015625 −0,102752 −0,043758 
0,25 0,265625 0,2578125 0,015625 −0,043758 −0,0141139 
0,25 0,2578125 0,2539063 0,015625 −0,0141139 0,0007439 
Sabemos que la raíz 𝑟 ∈ (0,25 ; 0,2578125). Podemos decir que la raíz es 
aproximadamente 0,25, es decir, 𝑟 ≅ 0,25 
2) Determinar, aplicando el teorema de Bolzano, un valor de 𝑥 para el cual se corten 
las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 y 𝑔(𝑥) = 𝑒−𝑥, con una aproximación de 
dos decimales. 
Vemos que 𝑓(𝑥) es continua en ℝ por ser una función polinómica y 𝑔(𝑥) también por 
ser función exponencial, ahora para resolver el problema igualamos las funciones para 
encontrar la intersección: 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
Igualando a cero nos queda 
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)⏟ 
ℎ(𝑥)
= 0 
llamamos ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 
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Al resolver la ecuación ℎ(𝑥) = 0 estamos buscando las raíces de ℎ. Encontrar las raíces 
de ℎ es encontrar los valores de 𝑥 que verifican que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Gráficamente, las 
curva de ℎ(𝑥) corta al 𝑒𝑗𝑒 𝑥 en los valores donde las curvas de 𝑓(𝑥) y de 𝑔(𝑥) se 
cortan. 
Tenemos ℎ(𝑥) = 0 
𝑥 − 1 − 𝑒−𝑥⏟ 
ℎ(𝑥)
= 0 
Como ℎ(𝑥) es continua por ser resta de funciones continuas, podemos aplicar el 
teorema de Bolzano encontrando un intervalo donde las imágenes de los extremos sean 
de signo diferente. 
Para esto armamos una tabla de valores 
 
𝑥 −1 0 1 2 3 4 
ℎ(𝑥) −4,71828 −2 −0,3678 0,8646 1,9502 2,9816 
 
↖↗
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 
Se observa en la tabla que ℎ(1) = −0,3678 y ℎ(2) = 0,8646. Como las imágenes 
tienen signos distintos en los extremos del intervalo [1 ; 2], por el teorema de Bolzano, 
debe existir un valor 𝑐 ∈ (1 ; 2) que cumpla que ℎ(𝑐) = 0. 
Ahora vamos a encontrar el valor de 𝑐 con una aproximación de dos decimales. 
Armamos la tabla 
𝑥 1,0 … 1,5 … 2,0 
ℎ(𝑥) −0,3678 0,2768 0,8646 
Tenemos que 𝑐 ∈ (1,0 ; 1,5). Luego armamos la tabla 
𝑥 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 
ℎ(𝑥) −0,3678 −0,2328 −0,1011 0,0274 0,1534 0,2768 
Tenemos que 𝑐 ∈ (1,2 ; 1,3) Ya tenemos una aproximación de un decimal. De la misma 
manera encontramos una aproximación de dos decimales, para ellos armamos la tabla 
𝑥 1,20 … 1,25 … 1,30 
ℎ(𝑥) −0,1011 −0,0365 0,0274 
Tenemos que 𝑐 ∈ (1,25 ; 1,30). Luego armamos la tabla 
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𝑥 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 
ℎ(𝑥) −0,0365 −0,0236 −0,0108 0,0019 0,0147 0,0274 
Tenemos que 𝑐 ∈ (1,27 ; 1,28). Ya tenemos una aproximación de dos decimales como 
pedía el ejercicio. Para elegir el valor de 𝑐 más cercano a la raíz, nos fijamos la imagen 
más cercana a 0 en valor absoluto. Entonces, el valor de 𝑐 buscado es 1,28 
Respuesta: un valor de 𝑥 para el cual se cortan las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥 −
1 y 𝑔(𝑥) = 𝑒−𝑥, con una aproximación de dos decimales, es 𝑥 ≅ 1,28 
 
• Búsqueda de intervalos de positividad/negatividad de una función 
Si 𝑓(𝑥) es continua y no tiene ninguna raíz en el intervalo (𝑎, 𝑏), es decir, ∀𝑥 ∈
(𝑎, 𝑏): 𝑓(𝑥) ≠ 0, entonces bastará conocer el valor de la función en un punto cualquiera 
del intervalo, para saber si el intervalo es de positividad o de negatividad. 
O sea, si calculamos 𝑓(𝑐) para algún valor 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), tenemos que 
Si 𝑓(𝑐) > 0 ⟹ ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏): 𝑓(𝑥) > 0 
Si 𝑓(𝑐) < 0 ⟹ ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏): 𝑓(𝑥) < 0 
En efecto: 
Si 𝑓(𝑐) > 0 y existiera un 𝑝 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓(𝑝) < 0, por el teorema de Bolzano, 
debería existir una raíz entre 𝑐 y 𝑝. Es decir, debería existir una raíz entre 𝑎 y 𝑏, pero 
esto contradice lo supuesto de que no existen raíces entre 𝑎 y 𝑏. Luego en todo el 
intervalo se mantendrá la condición de que 𝑓(𝑥) > 0. 
Análogamente, si 𝑓(𝑐) < 0 y existiera un 𝑝 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓(𝑝) > 0, por el teorema 
de Bolzano, debería existir una raíz entre 𝑐 y 𝑝. Es decir, debería existiruna raíz entre 𝑎 
y 𝑏, pero esto contradice lo supuesto de que no existen raíces entre 𝑎 y 𝑏. Luego en todo 
el intervalo se mantendrá la condición de que 𝑓(𝑥) < 0. 
Entonces, si 𝑓(𝑥) es una función continua, y 𝑥1, 𝑥2 son dos raíces consecutivas de 
𝑓(𝑥) entonces (𝑥1 , 𝑥2) es un intervalo de positividad o de negatividad. 
 
Ejemplo: Dada la función 𝑓:ℝ → ℝ / 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥, hallar los intervalos de 
positividad y negatividad 
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Es una función continua por ser un polinomio. 
Si sacamos factor común: 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥2 + 𝑥 − 2) y resolvemos la cuadrática obtenemos 
todas las raíces de la función: 𝑥1 = 0 ; 𝑥2 = 1 ; 𝑥3 = −2 
La función factorizada queda: 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) 
De acuerdo con lo visto, entre dos raíces consecutivas la función se mantiene positiva o 
negativa, con lo que basta estudiar los signos de la función en los intervalos: 
(−∞;−2) , (−2; 0) , (0; 1) , (1; +∞) 
Elegimos entonces un punto de cada intervalo 
Como 𝑓(−3) = −12 < 0, entonces ∀𝑥 ∈ (−∞;−2): 𝑓(𝑥) < 0 
Como 𝑓(−1) = 2 > 0, entonces ∀𝑥 ∈ (−2; 0): 𝑓(𝑥) > 0 
Como 𝑓(0.5) = −0.625 < 0, entonces ∀𝑥 ∈ (0; 1): 𝑓(𝑥) < 0 
Como 𝑓(2) = 8 > 0, entonces ∀𝑥 ∈ (1;+∞): 𝑓(𝑥) > 0 
También se podría construir el siguiente cuadro: 
(−∞;−2) −2 (−2; 0) 0 (0; 1) 1 (1;+∞) 
𝑓(−3) = −12 0 𝑓(−1) = 2 0 𝑓(0.5) = −0.6 0 𝑓(2) = 8 
Negativo Positivo Negativo Positivo 
Luego el conjunto de positividad es 𝐶+ = (−2; 0) ∪ (1;+∞) y el conjunto de 
negatividad 𝐶− = (−∞;−2) ∪ (0; 1) 
 
Teorema del valor intermedio 
Si 𝑓(𝑥) es continua en [𝑎, 𝑏] y, se verifica que 𝑓(𝑎) < 𝑘 < 𝑓(𝑏) o 𝑓(𝑎) > 𝑘 > 𝑓(𝑏), 
entonces existe un valor 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓(𝑐) = 𝑘 
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Observación. Consideremos la función 𝑓(𝑥) en el intervalo [0; 2] 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 1 si 𝑥 ∈ [0; 1)
−2𝑥 +
5
2
si 𝑥 ∈ [1; 2]
 
Cuyo gráfico es 
 
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Se observa que la función 𝑓(𝑥) es discontinua en el intervalo [0; 2], pues el lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) no 
existe. Se tiene que 𝑓(0) = 1 y 𝑓(2) = −
3
2
. 
Si se toma un valor 𝑘 tal que 
1
2
< 𝑘 < 1, no existe ningún valor 𝑐 ∈ (0,2), tal que 
𝑓(𝑐) = 𝑘, pues la función nunca toma valores entre 
1
2
 y 1. Si se trazara una recta con 
ecuación 𝑦 =
3
4
 nunca intersecaría a la función 𝑓(𝑥). 
De aquí que la condición de continuidad en el intervalo es indispensable para que se 
cumpla el teorema. 
 
Ejemplo: Comprobar si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 − 2 cumple las hipótesis del teorema del valor 
intermedio en [0; 4] si 𝑘 = 2. De ser así, calcular el valor de 𝑥 = 𝑐 que verifica la tesis. 
• 𝑓(𝑥) es una función continua en [0; 4] por ser polinómica. 
• Como 
𝑓(0) = 02 + 3 ⋅ 0 − 2 = −2 
𝑓(4) = 42 + 3 ⋅ 4 − 2 = 26 
Se cumple que 𝑓(0) < 2 < 𝑓(4) 
Es decir, 𝑓(𝑥) cumple con las hipótesis del teorema del valor intermedio. Entonces debe 
existir un valor 𝑐 ∈ (0,4) tal que 𝑓(𝑐) = 2 
Encontremos el valor de 𝑐 
𝑓(𝑐) = 2 
𝑐2 + 3𝑐 − 2 = 2 
𝑐2 + 3𝑐 − 4 = 0 
Resolviendo la ecuación cuadrática en 𝑐, obtenemos: 𝑐1 = 1 y 𝑐2 = −4 
Como −4 no pertenece al intervalo (0,4), la solución es 𝑐 = 1. 
 
Teorema de las dos funciones 
Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) es continua en [𝑎, 𝑏] y, 𝑓(𝑎) > 𝑔(𝑎) y 𝑓(𝑏) < 𝑔(𝑏), entonces existe un 
𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓(𝑐) = 𝑔(𝑐) 
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Interpretación gráfica: Si se cumplen las condiciones (hipótesis) del teorema, las curvas 
de las funciones se cortan, al menos una vez, entre 𝑎 y 𝑏. 
 
Aplicación Económica 
La producción de un artículo (en miles) de una determinada máquina, 𝑡 horas después 
de encenderla, está dada por la función 
𝑓(𝑡) = { 𝑡
2 𝑠𝑖 𝑡 < 4
−4𝑡 + 32 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 4
 
a) ¿Cuándo se apaga la máquina? 
b) Explicar por qué la producción debe ser 9000 en algún momento entre 𝑡 = 1 y 𝑡 =
5. 
Respuesta: 
a) Para saber cuándo la máquina se apaga tendría que calcular cuando deja de producir, 
es decir, 𝑓(𝑡) = 0. 
Si 𝑥 < 4, entonces 𝑡2 = 0, entonces 𝑡 = 0, que es cuando se enciende la máquina. 
Si 𝑥 ≥ 4, entonces −4𝑡 + 32 = 0 de dónde 𝑡 =
−32
−4
. Es decir 𝑡 = 8 
Por lo tanto, la máquina se apaga 8 horas después de encenderse. 
b) Para probar esta afirmación, primero veamos que 𝑓 es continua es [0; 8]. 
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Analicemos la continuidad en 𝑡 = 4 
{
lim
𝑡→4−
𝑓(𝑡) = lim
𝑡→4−
𝑡2 = 16 
lim
𝑡→4+
𝑓(𝑡) = lim
𝑡→4+
(−4𝑡 + 32) = 16
 
Luego lim
𝑡→4
𝑓(𝑡) = 16. Como 𝑓(4) = 16, entonces 𝑓 es continua en 𝑡 = 4 
Como la 𝑓 es una función a tramos y cada tramo es una función polinómica, continua en 
ℝ, entonces 𝑓 es continua en [0; 8] 
Nos piden que expliquemos por qué la producción debe ser 9 mil unidades en algún 
momento entre 𝑡 = 1 y 𝑡 = 5. Sabemos que 𝑓(1) = 1 y 𝑓(5) = 12. Tomando 𝑘 = 9, se 
cumple que 𝑓(1) < 9 < 𝑓(5). Como 𝑓 es continua en [0; 8], también es continua en 
[1; 5] 
Por lo tanto, se cumplen con las hipótesis del teorema del valor intermedio. Entonces 
debe existe un valor 𝑐 ∈ (1,5) tal que 𝑓(𝑐) = 9. 
Queda probado que es seguro que la producción es de 9000 artículos en algún momento 
entre 𝑡 = 1 y 𝑡 = 5 
4. Bibliografía: 
[5] cap. 9, 10; [6] cap. 2; [9] cap.6; [12] cap. 6. 
[5] LIAL, M.; HUNGERFORD, T. (2000). Matemáticas para Administración y Economía. 
México. Prentice-Hall; 6ª ed. 
[6] LEITHOLD, LOUIS (1998). EC7 - El Cálculo. México. Oxford University Press; 7ª ed. 
[9] RUTENBERG, E., AVERNA, C., GALARDO, O. (2005), Nociones de Cálculo, Buenos 
Aires – Ed. Prometeo, 3ª ed. 
[12] AVERNA, C.; RUTENBERG, E. (2007), Nociones de Cálculo, Tomos 1 y 2, Buenos 
Aires – Ed. Prometeo, 4ª edición 
5. Actividad pedagógica: 
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Trabajo Práctico: Continuidad 
(∎) Ejercicios Obligatorios 
1) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones, clasificar las discontinuidades en 
cada caso. 
 a) 𝑓(𝑥) = −3𝑥3 ∎ g) 𝑓(𝑥) = {
-x + 4 si x < 2
3 si x = 2
−
1
2
𝑥 + 3 si x > 2
 
 b) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥+1
 h) 𝑓(𝑥) = {
 − 𝑥2 − 1 si x<1
 2 si x=1
(𝑥 − 1)2 − 2 si x>1
 
 ∎ c) 𝑓(𝑥) =
𝑥2+1
𝑥−1
 i) 𝑓 (𝑥) = {
−3 𝑠𝑖 𝑥 < −1
𝑥2 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1
−5
𝑥−6
𝑠𝑖 𝑥 > 1
 
 d) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2−9
 j) 𝑓(𝑥) =
|𝑥+3|
𝑥+3
 
 e) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥
 k) 𝑓 (𝑥) = 
𝑥−|𝑥|
𝑥
 
 ∎ f) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥2−25
 ∎ l) 𝑓 (𝑥) = {
𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3
−𝑥 + 5 𝑠𝑖 𝑥 > 3
 
2) Determinar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones, redefinirlas, si 
fuera posible, para que resulten continuas: 
∎ a)𝑓(𝑥) =
𝑥−2
𝑥(𝑥2−4)
 b) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
√𝑥2+1−1
 c) 𝑓(𝑥) =
𝐶𝑜𝑠(𝑥)−1
𝑥(𝑥−1)
 
3) Hallar los valores de 𝑎 y 𝑏 ∈ ℝ, para que la función sea continua en todo ℝ. 
 ∎ a) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = { 
𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 2
𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 5
 −𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5
 
b) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = {
𝑎 𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑎 𝑠𝑖 𝑥 < 3
 2 𝑠𝑖 𝑥 = 3 
 𝑏𝑥 + 2𝑏 𝑠𝑖 𝑥 > 3
 
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c) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 < 3
 5 𝑠𝑖 𝑥 = 3 
𝑥2 + 3𝑎𝑥 + 4𝑏 𝑠𝑖 𝑥 > 3
 
d) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = {
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 𝑠𝑖 𝑥 > 2
 3 𝑠𝑖 𝑥 = 2 
 
1
2𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 < 2
 
4) ¿Es 𝑓(𝑥) continua en el intervalo cerrado [0; 1] ? 
 𝑓(𝑥) = {
1
𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 > 0
0, 𝑠𝑖 𝑥 = 0
 
∎ 5) ¿Es 𝑓(𝑥) continua en el intervalo cerrado [0; 1]?, y ¿en [1; 2]? 
 𝑓(𝑥) = {
2𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑥 − 1, 𝑥 > 1
 
∎ 6) Dada 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 7𝑥 − 10, evaluar: 
 a) 𝑓(1) 𝑦 𝑓(2). 
 b) Probar que 𝑓(𝑥) se anula para algún valor comprendido entre 1 𝑦 2. 
 c) Calcular ese valor con dos decimales de precisión. 
7) Aplicando el teorema de Bolzano hallar al menos una intersección de las siguientes 
funciones. (con tres decimales). Graficar las funciones. 
∎ a) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 1 
b) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)2 − 2 𝑔(𝑥) = −ln|x + 3| 
8) a) ¿La función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 en [−1; 3] cumple la hipótesis del teorema del valor 
intermedio para 𝑘 = 3?, 
b) ¿y la función 𝑔(𝑥) =
2
2−𝑥
 en [0; 3] para 𝑘 = −1? 
En los casos afirmativos, calcular el valor de c. 
9) Justificar que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 + 2 toma el valor 𝜋 en el intervalo (1, 2). 
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∎10) Justificar que la ecuación: 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0 tiene al menos una solución en el intervalo 
(0, 𝜋). 
11) Justificar que la ecuación: 𝑒−𝑥 + 2 = 𝑥 tiene al menos una solución real. 
12) Comprobar si 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 2) cumple la hipótesis del valor intermedio en [3; 11] 
correspondiente a 𝑘 = 1, de ser asi, calcular el valor de 𝑥 = 𝑐. 
∎ 13) Justificar si: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2 𝑦 𝑔(𝑥) = 2𝑥 , cumplen la hipótesis del 
teorema de las dos funciones en [1; 2]. 
∎ 14) Sea la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 − 3𝑥 + 1 , aproximar con error menor a 0,01 un cero 
de 𝑓(𝑥) en el intervalo [−2; 0]. 
15) Dadas las siguientes funciones hallar, sin resolver desigualdades: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ; 𝐶0 ; 𝐶
+
(𝑓) y 
𝐶−(𝑓). 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥2(2𝑥 + 1) b)𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2)(5𝑥 + 1)(𝑥 − 7) 
 c) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥+1(𝑥 + 3) d) 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛(2𝑥 + 3) 
16) Analizar si las siguientes funciones verifican la hipótesis del teorema de Bolzano en los 
intervalos indicados: 
 a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 3 en [0; 2] ∎ b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +
1
𝑥
+ 3 en [−1; 3] 
17) Dadas 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 14𝑥2 − 8𝑥 + 5 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 12𝑥 + 5, ¿Cumple la 
hipótesis del teorema de las dos funciones en [1; 2]? En caso afirmativo hallar un valor de c que 
verifique la tesis. 𝑥 ∈ [1; 2] 
18) Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 4 y 𝑔(𝑥) = 4𝑥 − 5, 
a) Verificar que no se cumple la hipótesis del teorema de las dos funciones en [1; 4] 
b) Verificar que existe un 𝑐 ∈ [1; 4] tal que 𝑓(𝑐) = 𝑔(𝑐) ¿Cuánto vale 𝑐? 
¿Por qué puede suceder esto? 
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APLICACIONES ECONÓMICAS 
19) La función Oferta está dada por la función: Q (𝑝) = 𝑒p −1 donde p es el precio del bien, y q 
la cantidad ofertada, en decenas de miles. La función Demanda está dada por la función: 
𝑄(𝑝) = 7 − 𝑙𝑛(𝑝 + 1), donde p es el precio del bien, y q la cantidad demandada, en decenas de 
miles. 
Usando el teorema de Bolzano halla el precio y la cantidad de equilibrio. 
RESPUESTAS 
1) a) Es un polinomio, por tanto, es continua para todo su dominio. 
a) En 𝑥 = −1 Discontinuidad evitable. 
b) En 𝑥 = 1 Discontinua, No evitable con salto infinito. 
c) En 𝑥 = −1 Discontinua No evitable, con salto finito 
d) En 𝑥 = 3; 𝑥 = −3 Discontinua, No evitable con salto infinito. 
e) En 𝑥 = 0 Discontinua, No evitable con salto infinito. 
f) En 𝑥 = −5; 𝑥 = 5 Discontinua, No evitable con salto infinito. 
g) En 𝑥 = 2 Discontinua evitable 
h) En 𝑥 = 1 Discontinua Evitable. 
i) En 𝑥 = 6 Discontinua No evitable, con salto infinito 
j) En 𝑥 = −3 Discontinua No evitable, con salto finito 
k) En 𝑥 = 0 Discontinua No evitable, con salto finito. 
l) En 𝑥 = 3 Discontinua No evitable, con salto finito. 
2) a) 𝑥1 = 0 ; No es posible redefinir, 𝑥2 = 2 es posible redefinir, 𝑥3 = −2, no es posible. 
 b) 𝑥 = 0 , es posible redefinir c) 𝑥1 = 0, es posible redefinir; 𝑥2 = 1, no es posible. 
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3) a) 𝑎 = −2; 𝑏 = 5 b) 𝑎 = −
1
25
 ; 𝑏 =
2
5
 c) 𝑎 = −4; 𝑏 = 8 d) 𝑎 = −1; 𝑏 = 4 
4) No, no es continua en 𝑥 = 0 
5) Es continua en [0,1]. No es continua en [1; 2] (no lo es en 1) 
6) a) 𝑓(1) = −4 𝑓(2) = 8 b) Por el Teorema de Bolzano c)1,46 
7) a) (0; 1); (1,545; 4,688); (− 0,825; 0,438); (4,567; 96,255) 
b) (−4,314;−0,273); (−1,6859;−0,273). 
8) a) si, 𝑐 = 1 ; b) No 
9) Teorema del valor intermedio 
10) Por el teorema de Bolzano 
11) Por el teorema de Bolzano 
12) Si, 𝑐 = 5 
13) No se cumple 
14) 𝑐 = −0,77 
15) a) 𝐷𝑓 = 𝑅 , 𝐶0 = {−
1
2
; 0} , 𝐶+ = (−
1
2
; 0)⋃(0;+∞) , 𝐶− = (−∞;−
1
2
) 
 b) 𝐷𝑓 = 𝑅 , 𝐶0 = {−
1
5
;
2
3
; 7} , 𝐶+ = (−
1
5
;
2
3
) ∪ (7;+∞) , 𝐶− = (−∞;−
1
5
) ∪ (
2
3
; 7) 
 c) 𝐷𝑓 = 𝑅 , 𝐶0 = {−3} , 𝐶
+ = (−3;+∞) , 𝐶− = (−∞;−3) 
 d) 𝐷𝑓 = (−
3
2
; +∞) , 𝐶0 = {−1} , 𝐶
+ = (−1;+∞) , 𝐶− = (−
3
2
; −1) 
16) a) Si b) No 
17) 𝑐 =
4
3
 
18) 𝑐 = 3 . El recíproco no es válido. 
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19) 𝑝 = 2,7372 𝑞 = 56814 
6. Material complementario de la clase: 
Aquí encontraras ejercicios resueltos que te servirán para trabajar con los de la guía y 
enriquecerte un poco más. 
 
Ejercicio 1: Indicar en las siguientes funciones, los puntos donde la función es 
discontinua. 
 
 
 
 
 
a) Sea 𝑦 = −
4
𝑥
 
Vemos que al reemplazar por 𝑥 = 0 encontramos que la función no tiene imagen en ese 
punto (∄𝑓(0)), por lo tanto, no se cumple la primera de las de las tres condiciones de 
continuidad luego, la función en el punto 𝑥 = 0 es discontinua. 
b) Sea y =
2−x
x−3
 
Como es una expresión fraccionaria analizamos el denominador. 
Igualamos el denominador a 0. Por lo tanto 
𝑥 − 3 = 0 
Despejamos la variable 
 𝑥 = 3 
Significa que el denominador se hace 0 en 𝑥 = 3 
Entonces la función es continua para todos los valores de 𝑥 menos en 𝑥 = 3, punto 
donde la función es discontinua. Podemos escribir el dominio así: 𝐷𝑓 = ℝ− {3} 
Para clasificarla debemos trabajar con los limites laterales alrededor de la variable que 
encontramos que hace cero el denominador que es 3 
Recordando que una función es continua en 𝑥 = 𝑐 de su dominio, si cumple con: 
• Existe la imagen ∶ 𝑓(𝑐) 
• Existe el limite: lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 
• Ambos resultados son iguales: 𝑓(𝑐) = lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 
En caso de que no cumpla alguna de las condiciones anteriores se dice que la 
función es discontinua en 𝑥 = 𝑐. 
 
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Por lo tanto, podemos decir que 𝑥 = 𝑎 = 3 
lim
𝑥→3
2 − 𝑥
𝑥 − 3
=
2 − 3
0 
=
−1
0
= ∞ 
Por lo tanto, la discontinuidad es no evitable de segunda especie con salto infinito. 
➢ 𝑦 =
4
𝑥2−4
 
En este caso es 𝑥2 − 4 = 0 
Donde despejando 𝑥 nos queda 𝑥2 = 4 
Y despejando la potencia nos queda |𝑥| = √4 por lo tanto el resultado es que 𝑥 = 2 o 
𝑥 = −2 
Por lo tanto, esta función es discontinua en esos dos puntos 
➢ 𝑦 =
𝑥
𝑥2+1
 
Igualamos a cero la función del denominador 𝑥2 + 1 = 0 
𝑥2 = −1 
Por ende |𝑥| = √−1 
En consecuencia, no tengo ningún valor ni positivo ni negativo qué de 0 
Entonces esta función no tiene ningún valor que haga el denominador 0 e implica que es 
continua desde menos infinito a más infinito, es decir en ℝ. 
➢ 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
𝑥2−4𝑥−5
 
La función que está en el denominador es una cuadrática por lo tanto tengo que buscar 
las raíces, que son los puntos dondese hace cero la función, aplicando la formula 
resolutiva 
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
donde las raíces son 𝑥1;2 =
−(−4)±√(−4)2−4(1)(−5)
2(1)
 
de los cálculos queda que 𝑥 =
4±√36
2
 donde surge que las raíces de la función son: 𝑥 =
−1 y en 𝑥 = 5 
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Vemos que pasa en 𝑥 = −1 
lim
𝑥→−1
𝑥 − 1
𝑥2 − 4𝑥 − 5
=
−2
0
= ∞ 
Implica que la función en ese punto es discontinua. La discontinuidad cuando el límite 
da por resultado infinito es esencial de segunda especie con salto infinito. 
Ejercicio 2: Determinar el punto de discontinuidad de la siguiente función y redefinirla 
si fuera posible para que la misma resulte continua. 
𝑓(𝑥) =
𝑥 − 2
𝑥 (𝑥2 − 4)
 
Primero resolvemos para qué valores donde el denominador se hace 0 
Para ello: 𝑥 (𝑥2 − 4) = 0 implica que: 𝑥 = 0 o 𝑥2 − 4 = 0 
Despejando este último producto resulta que: 𝑥 = −2 o 𝑥 = 2 
Por lo que resulta que tiene tres raíces donde hacer el análisis, en: 
𝑥 = 0, 𝑥 = 2 y en 𝑥 = −2 
en 𝑥 = 0 
a) Compruebo que exista la imagen 
𝑓(0) =
0−2
0 (0−4)
=
−2
0
 no es un resultado lógico para la imagen, no existe 
b) Compruebo los limites laterales 
lim
𝑥→0
𝑥−2
𝑥 (𝑥2−4)
=
−2
0
= ∞, implica que la función no se puede redefinir para 𝑥 = 0 porque 
la discontinuidad es no evitable y para ser redefinida debe ser descontinua evitable. 
en 𝑥 = 2 
a) Compruebo que exista la imagen 
𝑓(2) =
2−2
2 (4−4)
=
0
0
, no es un resultado lógico para la imagen, no existe 
b) Compruebo los limites laterales 
lim
𝑥→2
𝑥−2
𝑥 (𝑥2−4)
=
0
0
 es una indeterminación que tengo que resolver 
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Indeterminación 
→0
→0
 del límite tendiendo a un número finito la resuelvo aplicando algún 
caso de factoreo, entonces aplico diferencia de cuadrados 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥 − 2
𝑥( 𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
 
Lo cual me permite simplificar y queda: 
lim
𝑥→2
1
𝑥 (𝑥+2)
 reemplazando 𝑥 por 2 queda 
1
2 (2+2)
=
1
8
 
Este resultado es el mismo tanto a la derecha como a la izquierda de 𝑥 = 2 
Por lo tanto, los limites laterales son iguales y no existe la imagen los que genera una 
discontinuidad evitable, lo que significa que en 𝑥 = 2 podemos redefinir la función y 
hacerla continua, para eso la imagen en 𝑓(2) debería ser igual a 
1
8
 . 
La nueva función es: 
𝑓∗(𝑥) =
1
𝑥 (𝑥 + 2)
 
en 𝑥 = −2 
a) Compruebo que exista la imagen 
𝑓(−2) =
−2−2
−2 (4−4)
=
−4
0
 no es un resultado lógico para la imagen, no existe 
b) Compruebo los limites laterales 
lim
𝑥→−2
𝑥−2
𝑥 (𝑥2−4)
=
−4
0
= ∞, implica que la función no se puede redefinir para 𝑥 = −2 
Porque la discontinuidad es no evitable y para ser redefinida debe ser 
discontinua evitable. 
Ejercicio 3: Determinar el punto de discontinuidad de la siguiente función y redefinirla 
si fuera posible para que la misma resulte continua. 
𝑓(𝑥) =
𝑥2
√𝑥2 + 1 − 1
 
Primero resolvemos para qué valores el denominador se hace 0 
√𝑥2 + 1 − 1 = 0 
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√𝑥2 + 1 = 1 
𝑥2 + 1 = 12 
𝑥2 = 1 − 1 
|𝑥| = √0 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 
Entonces: 
a) Compruebo que exista la imagen 
𝑓(0) =
0
0
 no es un resultado lógico para la imagen, no existe (∄𝑓(0)). 
b) Compruebo los limites laterales 
lim
𝑥→0
𝑥2
√𝑥2+1−1
=
0
0
 implica que tengo que resolver la indeterminación y para poder 
resolverlo trabajo con el conjugado de la raíz, quedando 
lim
𝑥→0
𝑥2
(√𝑥2+1−1)
(√𝑥2+1+1)
(√𝑥2+1+1)
 = lim
𝑥→0
𝑥2 (√𝑥2+ 1+1)
𝑥2+ 1−1
= lim
𝑥→0
 (√𝑥2 + 1 + 1) = 2 
Como los limites laterales dan 𝑥 = 2, implica que para redefinir la función y hacerla 
continua la imagen 𝑦 = 2 y de esta forma cumple con las condiciones de continuidad, 
quedando la nueva función: 
𝑓∗(𝑥) = {
𝑥2
√𝑥2 + 1 − 1
𝑥 ≠ 0
2 𝑥 = 0
 
Ejercicio 4: Averiguar los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua. 
𝑓(𝑥) = {
𝑎𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 1
𝑏 𝑠𝑖 𝑥 = 1 
−2𝑥 + 9 𝑠𝑖 𝑥 > 1
 
Sabemos que 𝑓(𝑥) es continua en todo su dominio (𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥) = ℝ), por lo tanto, es 
continua en 𝑥 = 1 y entonces cumple: 
• ∃𝑓(1) 
• ∃ lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) 
• 𝑓(1) = lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) 
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Ahora planteando las tres condiciones nos queda determinada las ecuaciones necesarias 
para encontrar los valores de 𝑎 y 𝑏 correspondientes para que la función sea continua. 
1) 𝑓(1) = 𝑏 
2) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) ⇒ {
lim
𝑥→1−
𝑎𝑥 = 𝑎 
lim
𝑥→1+
(−2𝑥 + 9) = 7
 
Por lo tantolim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 7 y como el límite es único, entonces: lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) ⇒ lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) =
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥), quedando: 
𝑎 = 7 
Por la tercera condición sabemos que: 𝑓(1) = lim
𝑥→1
𝑓(𝑥), entonces: 
𝑏 = 7 
Ahora que determinamos los valores de 𝑎 y 𝑏, la función buscada es: 
𝑓(𝑥) = {
7𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 1
7 𝑠𝑖 𝑥 = 1
−2𝑥 + 9 𝑠𝑖 𝑥 > 1
 
Ejercicio 5: Determinar los valores de 𝑎 y 𝑏 que pertenecen a los números reales para 
que la función sea continua en toda su extensión 
𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 1
𝑎𝑥 + 𝑏
−𝑥
𝑠𝑖 𝑥 < 2
𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 5
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5
 
Estudiamos la función en los puntos 𝑥 = 2 y 𝑥 = 5 
Las condicione de continuidad se cumple en toda la extensión de los números reales, es 
decir desde −∞ a +∞, porque si no se cumplieran no podemos despejar las incógnitas 
𝑎 y 𝑏 
Por lo tanto, tengo imagen de la función en todos los puntos y los límites laterales son 
iguales, especialmente en los puntos donde cambia de tramo la función, entonces: 
Para 𝑥 = 2 
1ro. 𝑓(2) = 𝑥 − 1 = 2 − 1 = 1 
2do. lim
𝑥→2−
(𝑥 − 1) =1 
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lim
𝑥→2+
(𝑎𝑥 + 𝑏) = 2 𝑎 + 𝑏 ⇒ lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) ⇒ 2 𝑎 + 𝑏 = 1 
Para 𝑥 = 5 
1ro. 𝑓(5) = −𝑥 = −5 
2do. lim
𝑥→5−
(𝑎𝑥 + 𝑏) = 5 𝑎 + 𝑏 
 lim
𝑥→5+
(−𝑥) = −5 ⇒ lim
𝑥→5−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→5+
𝑓(𝑥) ⇒ 5 𝑎 + 𝑏 = −5 
Queda determinado un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas que se puede resolver 
por sustitución, igualación, reducción o determinantes. 
{
2 𝑎 + 𝑏 = 1
5 𝑎 + 𝑏 = −5
 
Utilizando el método de sustitución para resolver el sistema, nos queda: 
Despejamos de la primera ecuación la variable 𝑎: 2 𝑎 = 1– 𝑏 ⇒ 𝑎 =
1
2
− 
𝑏
2
 
Reemplazando en la segunda ecuación: 5 ∙ [
1
2
−
𝑏
2
] + 𝑏 = −5 despejando y resolviendo 
queda que: 
𝑎 = −2 y 𝑏 = 5 
Entonces la función nos queda: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 1 
−2 𝑥 + 5 
−𝑥 
 
Ejercicio 6: Dada la 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 7𝑥–10, calcular 
a) 𝑓(1) y 𝑓(2) 
𝑓(1) = 2(13) − 3(1)2 + 7(1)– 10 = −4 
𝑓(2) = 2(2)3 − 3(2)2 + 7(2)– 10 = 8 
b) Probar que 𝑓(𝑥) se anula en algún valor comprendido entre 1 y 2, y calcularlo 
con dos decimales de precisión. 
𝑥 1 2 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 
𝑓(𝑥) −4 8 −3,268 −2,46 −1,576 −1,34 0,5 
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𝑥 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 
𝑓(𝑥) −0,48 −0,34 −0,33 −0,17 −0,03 −0,02 0,16 
Respuesta: la función es continua en [1,2] y además 𝑓(1) ⋅ 𝑓(2) < 0, por lo tanto, 
cumple con las hipótesis del teorema de Bolzano entonces puedo asegurar que 𝑓(𝑥) se 
anula en algún valor comprendido entre 1 y 2, en este caso se anula en 𝑥 ≅ 1,46, por lo 
que el par ordenado sería el punto 𝑃 = (1,46; 0). 
Ejercicio 7: Aplicando el Teorema de Bolzano hallar la intersección de las funciones, 
con una aproximación de tres decimales 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 1 ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)–𝑔(𝑥) 
ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 − (𝑥3 + 1) = 𝑒𝑥 − 𝑥3 − 1 
la función ℎ(𝑥) es continua en ℝ por ser suma de funciones continuas en ℝ. 
𝑥 0 1 2 1,1 1,2 1,3 1,4 
ℎ(𝑥) 0 0,71 −1,66 0,673 0,582 0,472 0,296 
Como ℎ(1) ⋅ ℎ(2) < 0,entonces se anula en algún punto interior, lo buscamos con una 
aproximación de 3 decimales. 
𝑥 1,5 1,6 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 
ℎ(𝑥) 0,107 −0,16 0,015 0,060 0,037 0,013 −0,013 
𝑥 1,541 1,542 1,543 1,544 1,545 1,546 
ℎ(𝑥) 0,01 0,009 0,005 0,002 0,001 −0,002 
𝑓(1.545) = 𝑒1.545 = 4,688 
𝑔(1.545) = (1.545)3 + 1 = 4,688 
Entonces determinan el punto en común: 𝑃 = (1,545 ; 4,688). 
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Ejercicio 8: Analizar si las siguientes funciones verifican la hipótesis del Teorema de 
Bolzano en los intervalos indicados. 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 3, en [0; 2] 
reemplazo en la función por los valores 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2 
𝑓(0) = 03 + 2(0)2 − (0) − 3 = − 3 
𝑓(2) = 23 + 2(2)2 − (2) − 3 = 9 
Respuesta: Como 𝑓(𝑥) es continua en ℝ, por ser una función polinómica, en particular 
es continua en [0; 2] y en ese intervalo hay un cambio de signos lo que significa que se 
cumple el Teorema de Bolzano. 
Ejercicio 9: Analizar en la siguiente función si se cumple el Teorema de Bolzano en el 
intervalo dado. 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 +
1
𝑥 
+ 3, en [−1,3] 
Reemplazamos por los valores dados para 𝑥 
𝑓(0) = (0)2 +
1
0
+ 3 → ∄𝑓(0) 
∴ 𝑓(𝑥) no es continua en 𝑥 = 0 
Respuesta: Como 𝑓(𝑥) no es continua en 𝑥 = 0 y 0 ∈ [−1,3], entonces 𝑓(𝑥) no es 
continua en [−1,3], significa que no se cumple la Hipótesis del Teorema de Bolzano. 
Ejercicio 10: Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 4 y 𝑔(𝑥) = 4𝑥 − 5 
Verificar que existe un punto 𝑐 que pertenece a [1,4] tal que 𝑓(𝑐) = 𝑔(𝑐). Averiguar 
cuánto vale 𝑐. 
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)–𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 4 − (4𝑥 − 5) = 𝑥2 − 2𝑥 + 4 − 4𝑥 + 5 ⇒ 
ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 
Valores de 𝑥 ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 
1 (1)2 − 6(1) + 9 =4 
2 (2)2 − 6(2) + 9 = 1 
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3 (3)2 − 6(3) + 9 = 0 
4 (4)2 − 6(4) + 9 = 1 
Interpretando el resultado es en 𝑥 = 3 el valor de 𝑥 donde ambas funciones se cortan, 
por lo tanto, valen lo mismo. 
𝑓(3) = (3)2 − 2(3) + 4 = 7 
𝐺(3) = 4(3) − 5 = 7 
Por lo tanto, es en el punto 𝑃 = (3; 7) el punto donde se cortan ambas funciones y por 
ende la intersección de ambas funciones. 
Ejercicio 11: En la siguiente función determinar el dominio, las raíces y los intervalos 
donde la función es positiva y donde es negativa 
𝑓(𝑥) = 𝑥2(2𝑥 + 1) 
1. El dominio son los valores que puede tomar la función, y en este caso, le puedo 
dar todos los valores positivos y todos los valores negativos que desee, por lo 
tanto, el dominio son todos los números reales, o sea (−∞ ,+∞) 
2. Para sacar los valores de 𝑥 donde se encuentren las raíces, son aquellos valores 
de 𝑥 donde la función corta el 𝑒𝑗𝑒 𝑥. Para ello debemos igualar a 0 la función. 
𝑥2(2𝑥 + 1) = 0 para que esto se dé, significa que uno de los dos factores debe ser 
igual a 0 
por lo tanto 𝑥2 = 0 ∨ (2𝑥 + 1) = 0 de donde 2𝑥 = −1 ⇒ 𝑥 = −
1
2
 
Por lo tanto, tengo 2 raíces: 𝑥 = 0 y 𝑥 = −
1
2
 
Esto determina tres intervalos y necesito determinar en cuáles de ellos la función es 
negativa y en cuales es positivo. 
Los intervalos que quedan determinados son (−∞,−
1
2
 ), (− 
1
2
, 0) y (0, +∞) 
En cada uno de dichos intervalos elijo un valor cualquiera al azar, dentro de cada 
intervalo: 
a) 𝑓(−1) = (−1)2 ∙ (2(−1) + 1) = −1 
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Como el resultado es negativo se deduce que en todo el intervalo de (−∞,−
1
2
 ), la 
función es negativa, o sea, su grafico va a estar dado por debajo del 𝑒𝑗𝑒 𝑥 
b) 𝑓 (−
1
4
 ) = (−
1
4
)
2
⋅ (2 (−
1
4
) + 1) =
1
16
 
Como el resultado es positivo se entiende que en todo el intervalo de (−
1
2
, 0) la 
función es positiva y por ende su grafico va a estar dibujado por sobre el 𝑒𝑗𝑒 𝑥. 
c) 𝑓(1) = (1)2 ⋅ (2(1) + 1) = 3 
También en este tramo el resultado es positivo en todo el intervalo (0, +∞) por lo 
que se entiende que la función es positiva por lo que está representada por sobre el 
𝑒𝑗𝑒 𝑥. 
Por ende, el intervalo de negatividad de la función es (−∞,−
1
2
), y los intervalos de 
positividad (−
1
2
, 0) ∪ (0,+∞). 
Ejercicio 12: En la siguiente función determinar el dominio, las raíces y los intervalos 
donde la función es positiva y donde es negativa 
𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2)(5𝑥 + 1)(𝑥 − 7) buscamos las raíces igualando cada factor a 0 
3𝑥–2 = 0 5𝑥 + 1 = 0 𝑥– 7 = 0 
𝑥 =
2
3
 𝑥 = −
1
5
 𝑥 = 7 
Estas raíces determinan cuatro sectores: (−∞,−
1
5
 ), de (−
1
5
,
2
3
) , ( 
2
3
 ,7) y (7, +∞) y 
elijo al azar un valor para x que pertenezca a cada intervalo. 
a) 𝑓(−1) = (3𝑥 − 2)(5𝑥 + 1)(𝑥 − 7) = −160 
Como el resultado es negativo se deduce que en todo el intervalo de (−∞,−
1
5
 ), la 
función es negativa, o sea, su grafico va a estar dado por debajo del 𝑒𝑗𝑒 𝑥. 
b) 𝑓(0) = (3𝑥 − 2)(5𝑥 + 1)(𝑥 − 7) = (−2)(1)(−7) = 14 
Como el resultado es positivo se entiende que en todo el intervalo de (−
1
5
,
2
3
) la función 
es positiva y por ende su grafico va a estar dibujado por sobre el 𝑒𝑗𝑒 𝑥. 
c) 𝑓(2) = (3𝑥 − 2)(5𝑥 + 1)(𝑥 − 7) = −220 
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Como el resultado es negativo se deduce que en todo el intervalo de (
2
3
, 7) , la función 
es negativa, o sea, su grafico va a estar dado por debajo del 𝑒𝑗𝑒 𝑥. 
d) 𝑓(8) = (3𝑥 − 2)(5𝑥 + 1)(𝑥 − 7) = 902 
Como el resultado es positivo se entiende que en todo el intervalo de (7, +∞) la función 
es positiva y por ende su grafico va a estar dibujado por sobre el 𝑒𝑗𝑒 𝑥. 
Por ende, el intervalo de negatividad de la función es: 
(−∞,−
1
5
 ) ∪ (
2
3
, 7) 
y el intervalo de positividad: 
(− 
1
5
,
2
3
) ∪ (7, +∞) 
Ejercicio 13: Determinar si la siguiente función es continua o no. 
𝑓(𝑥) = 0{
𝑥3 − 8
𝑥2 − 4
𝑠𝑖 𝑥 ≠ ±2
0 𝑠𝑖 𝑥 = 2
1 𝑠𝑖 𝑥 = −2
 
entonces analizamos en 𝑥 = 2 
la imagen es 𝑓(2) = 0 
lim
𝑥→2
𝑥3 − 8
𝑥2 − 4
= lim
𝑥→2
(𝑥 − 2) (𝑥2 + 2𝑥 + 4)
(𝑥 − 2) (𝑥 + 2)
= 
= lim
𝑥→2
 (𝑥2 + 2𝑥 + 4) 
 (𝑥 + 2)
=
 (4 + 4 + 4) 
 (2 + 2)
=
12
4
= 3 
Implica que la imagen no es igual al límite, implica que es una discontinuidad evitable 
en 𝑥 = 2, y evitable significa que lo puedo solucionar, o sea, convertir la función en 
continua, y para ello redefino la función, haciendo que la imagen valga 3, es decir, 
𝑓(2) = 3. Al redefinir la función hago que la imagen tome el valor del límite. 
Analizo en 𝑥 = −2 
La imagen en 𝑓(−2) = 1 
lim
𝑥→−2
𝑥3 − 8
𝑥2 − 4
= lim
𝑥→−2
(𝑥 − 2) (𝑥2 + 2𝑥 + 4)
(𝑥 − 2) (𝑥 + 2)
= 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 – Matemática 1 
 
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= lim
𝑥→−2
 (𝑥2 + 2𝑥 + 4) 
 (𝑥 + 2)
=
16
0
 = ∞ 
En este punto es discontinua, dado que falla en la segunda condición, ya que tiene 
imagen, pero no tiene límite. Por lo tanto, la discontinuidad es no evitable de segunda 
especie con salto infinito. No la puedo redefinir. 
Ejercicio 14: Analizar la continuidad de 𝑓(𝑥) =
𝑥2 −9
𝑥+3
 
En este caso 𝑥 ≠ −3 porque hace 0 el denominador. 
Entonces estudio la continuidad en 𝑥 = −3 
1ro) 𝑓(−3) =
0
0
 , no existe, no es un resultado lógico de imagen, debe ser un número 
2do) lim
𝑥→−3
𝑥2 −9
𝑥+3
= −6 
Como en este caso falla por la primera condición que es no tener imagen, pero existe el 
límite, la función es discontinua evitable, por lo que la función en continua en: 
ℝ − {3} 
 
No te olvides de consultar fuente bibliográfica, material de soporte virtual en internet, 
utilizar diferentes aplicaciones en el celular y la calculadora. 
En particular te recomendamos los siguientes link. 
➢ Continuidad y limites laterales. 
− https://www.youtube.com/watch?v=Lg9fOAgpkOw&list=PLOa7j0qx0jgM7
HkBk1H7J1a4RAm3WC6_w&index=5 
➢ Discontinuidad evitable. 
− https://www.youtube.com/watch?v=WDC2U40ItFw&list=PLOa7j0qx0jgM7HkBk1H7J1a4RAm3WC6_w&index=7 
➢ Continuidad de una función. 
− https://www.youtube.com/watch?v=VvILwqxWG8g 
− https://www.youtube.com/watch?v=lBNB7mPC8YU 
➢ Función a trozos discontinuidad. 
− https://www.youtube.com/watch?v=3AP6OodY1W8&list=PLOa7j0qx0jgM
7HkBk1H7J1a4RAm3WC6_w&index=9 
https://www.youtube.com/watch?v=Lg9fOAgpkOw&list=PLOa7j0qx0jgM7HkBk1H7J1a4RAm3WC6_w&index=5
https://www.youtube.com/watch?v=Lg9fOAgpkOw&list=PLOa7j0qx0jgM7HkBk1H7J1a4RAm3WC6_w&index=5
https://www.youtube.com/watch?v=WDC2U40ItFw&list=PLOa7j0qx0jgM7HkBk1H7J1a4RAm3WC6_w&index=7
https://www.youtube.com/watch?v=WDC2U40ItFw&list=PLOa7j0qx0jgM7HkBk1H7J1a4RAm3WC6_w&index=7
https://www.youtube.com/watch?v=VvILwqxWG8g
https://www.youtube.com/watch?v=lBNB7mPC8YU
https://www.youtube.com/watch?v=3AP6OodY1W8&list=PLOa7j0qx0jgM7HkBk1H7J1a4RAm3WC6_w&index=9
https://www.youtube.com/watch?v=3AP6OodY1W8&list=PLOa7j0qx0jgM7HkBk1H7J1a4RAm3WC6_w&index=9
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 – Matemática 1 
 
Página 44 de 44 
 
− https://www.youtube.com/watch?v=N4BG7SW6gZw&list=PLOa7j0qx0jgM
7HkBk1H7J1a4RAm3WC6_w&index=10 
➢ Teorema de Weierstrass 
− https://www.youtube.com/watch?v=Ih4xpmCgo3g&list=PLi6axBOFf4wFj-
b1kwU9bYA6bIrd2I9KM&index=5 
➢ Teorema de Bolzano y ecuaciones 
− https://www.youtube.com/watch?v=nPVje80gxYc&list=PLDEF436D4207D
1633 
− https://www.youtube.com/watch?v=ZMN-N5ETglc&list=PLi6axBOFf4wFj-
b1kwU9bYA6bIrd2I9KM 
➢ Teorema de Valor Intermedio de funciones continuas 
− https://www.youtube.com/watch?v=TA6w4p8MDzM&list=PLi6axBOFf4w
Fj-b1kwU9bYA6bIrd2I9KM&index=6 
Algunas Aplicaciones para celular: 
➢ Photomath 
➢ MalMath 
➢ Grapher 
➢ Mathematics 
➢ Grapher Free 
➢ Desmos 
https://www.youtube.com/watch?v=N4BG7SW6gZw&list=PLOa7j0qx0jgM7HkBk1H7J1a4RAm3WC6_w&index=10
https://www.youtube.com/watch?v=N4BG7SW6gZw&list=PLOa7j0qx0jgM7HkBk1H7J1a4RAm3WC6_w&index=10
https://www.youtube.com/watch?v=Ih4xpmCgo3g&list=PLi6axBOFf4wFj-b1kwU9bYA6bIrd2I9KM&index=5
https://www.youtube.com/watch?v=Ih4xpmCgo3g&list=PLi6axBOFf4wFj-b1kwU9bYA6bIrd2I9KM&index=5
https://www.youtube.com/watch?v=nPVje80gxYc&list=PLDEF436D4207D1633
https://www.youtube.com/watch?v=nPVje80gxYc&list=PLDEF436D4207D1633
https://www.youtube.com/watch?v=ZMN-N5ETglc&list=PLi6axBOFf4wFj-b1kwU9bYA6bIrd2I9KM
https://www.youtube.com/watch?v=ZMN-N5ETglc&list=PLi6axBOFf4wFj-b1kwU9bYA6bIrd2I9KM
https://www.youtube.com/watch?v=TA6w4p8MDzM&list=PLi6axBOFf4wFj-b1kwU9bYA6bIrd2I9KM&index=6
https://www.youtube.com/watch?v=TA6w4p8MDzM&list=PLi6axBOFf4wFj-b1kwU9bYA6bIrd2I9KM&index=6