Prepa Transformada de Fourier II

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Preparaduría: Transformadas de Fourier Parte II.
Javier Freites y Johan Diaz
Jun 2022
1. Transformada de Fourier y resolución sísmica
Observemos como cambia el ancho de la señal en tiempo cuando aumentamos el contenido
de frecuencias.
Figura 1: Serie de ondículas de fase 0, con su respectivo espectro de Amplitud.(Yilmaz, 2008)
Es necesario tener un gran contenido de frecuencias para aumentar la resolución temporal.
1
Figura 2: Ejemplo de resolución parte I.(Yilmaz, 2008)
Figura 3: Ejemplo de resolución parte II.(Yilmaz, 2008)
Observemos en esta figura como podemos resolver capas más delgadas cuando aumentamos
el contenido de frecuencias:
2
Figura 4: Lineas sísmicas con diferentes bandas de frecuencias.(Yilmaz, 2008)
2. Problemas
2.1. Calcular la Transformada de Fourier de G(t) = 1√
2πσ2
exp(− t22σ2 )
Graficamos
Figura 5: Gráfica de G(t).
3
Recordando la definición de la transformada de Fourier tendremos que:
FG(w) =
1√
2π
∫ ∞
−∞
G(t)e−iwtdt
Luego sustituyendo G(t)
FG(w) =
1√
2π
∫ ∞
−∞
1√
2πσ2
e(−
t2
2σ2
)e−iwtdt
FG(w) =
1√
2π
1√
2πσ2
∫ ∞
−∞
e(−
t2
2σ2
)e−iwtdt
FG(w) =
1√
2π
1√
2πσ2
∫ ∞
−∞
e(−
t2
2σ2
)e−iwtdt
FG(w) =
1
2πσ
∫ ∞
−∞
e(−
t2
2σ2
−iwt)dt
FG(w) =
1
2πσ
∫ ∞
−∞
e−(
t2+2σ2iwt
2σ2
)dt
FG(w) =
1
2πσ
∫ ∞
−∞
e−(
t2+2σ2iwt−(wσ2)2+(wσ2)2
2σ2
)dt
FG(w) =
1
2πσ
∫ ∞
−∞
e−(
t2+2σ2iwt−(w2σ4)
2σ2
)e−(
w2σ4
2σ2
)dt
FG(w) =
e−(
w2σ2
2
)
2πσ
∫ ∞
−∞
e−
(t+iwσ2)2
2σ2 dt
Hacemos un cambio de variable:
x = t+ iwσ2
dx = dt
4
FG(w) =
e−(
w2σ2
2
)
2πσ
∫ ∞
−∞
e−
x2
2σ2 dx (1)
Procedemos a resolver la integral
I =
∫ ∞
−∞
e−
x2
2σ2 dx
Primero, elevamos al cuadrado la integral, para ello la multiplicamos inteligentemente por ella
misma.
I2 =
∫ ∞
−∞
e−
x2
2σ2 dx.
∫ ∞
−∞
e−
y2
2σ2 dy
I2 =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
e−
(x2+y2)
2σ2 dxdy
Efectuamos un cambio de variable a coordenadas polares:
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
dxdy = rdrdθ
0 < r <∞
0 < θ < 2π
I2 =
∫ ∞
0
∫ 2π
0
e−
r2
2σ2 rdθdr
I2 = θ|2π0
∫ ∞
0
e−
r2
2σ2 rdr
I2 = 2π
∫ ∞
0
e−
r2
2σ2 rdr
Hacemos cambio de variable:
u = − r
2
2σ2
5
du = −2rdr
2σ2
⇒ −σ2du = rdr
I2 = 2π
∫ −∞
0
eu(−σ2du)
I2 = −2πσ2
∫ −∞
0
eudu
I2 = −2πσ2eu|−∞0 = −2πσ2(e−∞ − e0) = −2πσ2(0− 1)
I2 = 2πσ2
I =
√
2πσ2
I =
√
2πσ
Luego sustituyendo en la ecuación 1:
FG(w) =
e−(
w2σ2
2
)
2πσ
√
2πσ
FG(w) =
e−(
w2σ2
2
)
√
2π
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2.2. Demuestre que si una señal es impar y real su transformada de
Fourier es imaginaria pura e impar
Sea f(t) =∈ L2(−∞,∞)impar/f(−t) = −f(t)
Queremos demostrar que Ff (w) es imaginaria pura e impar
Por definición:
Ff(t)(w) =
1√
2π
∫ ∞
−∞
f(t)e−iwtdt
Luego, reescribiendo e−iwt como:
e−iwt = cos(wt)− i sin(wt)
y Sustituyendo:
Ff(t)(w) =
1√
2π
∫ ∞
−∞
f(t)(cos(wt)− i sin(wt))dt
Por linealidad de la integral separamos:
Ff(t)(w) =
1√
2π
∫ ∞
−∞
f(t) cos(wt)dt− i√
2π
∫ ∞
−∞
f(t) sin(wt)dt
Debido a que f(t) es impar y cos(wt) es par su multiplicación es una función impar, que al
integrarse en (−∞,∞) se anula:
1√
2π
∫ ∞
−∞
f(t) cos(wt)dt = 0
Ff(t)(w) = −
i√
2π
∫ ∞
−∞
f(t) sin(wt)dt
Luego, como f(t) es impar y sin(wt) es impar su multiplicación da como resultado una
función par, y al integrar su resultado es el doble de la integral en medio intervalo:
Ff(t)(w) = −2
i√
2π
∫ ∞
0
f(t) sin(wt)dt
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Reescribiendo:
Ff(t)(w) = −i
√
2
π
∫ ∞
0
f(t) sin(wt)dt
Recordando que la transformada de Fourier Seno es:
Fsf(t)(w) =
√
2
π
∫ ∞
0
f(t) sin(wt)dt
Entonces Ff(t)(w) = −iFsf(t)(w) la transformada de Fourier es imaginaria
Ahora estudiemos su pariedad:
Ff(t)(−w) = −i
√
2
π
∫ ∞
0
f(t) sin(−wt)dt
Como sin(−wt) es impar sin(−wt) = − sin(wt)
Ff(t)(−w) = −i(−1)
√
2
π
∫ ∞
0
f(t) sin(wt)dt = iFsf(t)(w)
Finalmente, como Ff(t)(−w) = iFsf(t)(w) = −Ff(t)(w)
Queda demostrado que si una función es real e impar en t, la transformada de Fourier es ima-
ginaria pura e impar.
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2.3. Obtenga la Transformada de Fourier del siguiente tren de deltas
Figura 6: Tren de δ planteado.
Observamos que tiene T = 4T0
Su expresión vendrá dada por:
h(t) =
∞∑
n=−∞
δ(t− (4n+ 2)T0)
Observe que este tren no presenta un delta centrado en 0 por lo que tendremos un caso pa-
recido al de tren de deltas impares. Por otro lado, podemos separar este delta en dos funciones
particulares:
h(t) = f(t)− g(t)
Donde:
f(t) =
∞∑
n=−∞
δ(t− 2nT0)
g(t) =
∞∑
n=−∞
δ(t− 4nT0)
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Cuyos gráficos son:
Figura 7: Gráfico de f(t) (A la izquierda) y g(t) (A la derecha).
Entonces, considerando la propiedad de la linealidad de la Transformada de Fourier:
Fh(t)(w) = Ff(t)(w)− Fg(t)(w)
Procedemos entonces a hallar las Series de Fourier exponenciales y posteriormente la trans-
formada de Fourier:
Para f(t):
αn =
1
2T0
∫ T0
−T0
δ(t− 2nT0)e−iwntdt
Al observar el intervalo de la gráfica solo se tiene la δ(x) por ende, nos queda que:
αn =
1
2To
∫ T0
−T0
δ(x)e−iwnxdx
Por las propiedades de la delta de Dirac tenemos que:
10
∫ T
2
−T
2
δ(t− to)e−iwntdt = e−iwnto
Por lo que:
αn =
e0
2T0
αn =
1
2T0
Nos queda entonces que la Serie de Fourier de f(t) será:
Sf(t) =
1
2to
∞∑
n=−∞
e
inπ
T0
t
Calculamos la transformada:
Ff(t)(w) =
1√
2π
∫ ∞
−∞
[
1
2T0
∞∑
n=−∞
e
i(nπ
T0
t)
]e−iwtdt
Ff(t)(w) =
√
2π
2T0
∞∑
n=−∞
1
2π
∫ ∞
−∞
e
−i(w−nπ
T0
t)
dt
Ff(t)(w) =
√
2π
2T0
∞∑
n=−∞
δ(w − nπ
T0
)
De manera análoga para g(t):
αn =
1
4t0
∫ 2T0
−2T0
δ(t− 4nT0)e−iwntdt
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Al observar el intervalo de la gráfica solo se tiene la δ(x) por ende, nos queda que:
αn =
1
4To
∫ 2T0
−2T0
δ(x)e−iwnxdx
Por las propiedades de la delta de Dirac tenemos que:
∫ T
2
−T
2
δ(t− to)e−iwntdt = e−iwnto
αn =
e0
4T0
αn =
1
4T0
Nos queda entonces que la Serie de Fourier de g(t) será:
Sg(t) =
1
4to
∞∑
n=−∞
e
i nπ
2T0
t
Calculamos la transformada:
Fg(t)(w) =
1√
2π
∫ ∞
−∞
[
1
4T0
∞∑
n=−∞
e
i( nπ
2T0
t)
]e−iwtdt
Fg(t)(w) =
√
2π
4T0
∞∑
n=−∞
1
2π
∫ ∞
−∞
e
−i(w− nπ
2T0
t)
dt
Fg(t)(w) =
√
2π
4T0
∞∑
n=−∞
δ(w − nπ
2T0
)
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h(t) =
√
2π
2T0
∞∑
n=−∞
δ(w − nπ
T0
)−
√
2π
4T0
∞∑
n=−∞
δ(w − nπ
2T0
)
Gráficamente resolvemos este ejercicio:
- =
Figura 8: Transformada de fourier de h(t).
Por lo tanto, la T.F. del tren de deltas total nos queda:
Fh(t)(w) =
√
2π
4T0
∞∑
n=−∞
(−1)nδ(w − nπ
2T0
)
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