Ejercicios-Resueltos-de-Factorizacion-de-Polinomios-Pagina-Educativa

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Factorización por Factor Común o 
Agrupación de Términos 
 
1. Factorizar y dar como respuesta uno de los factores 
primos de: 
      a b x y z a b x 2y 2z       
a) a b b) x y z  c) a b 
d) x y z  e) 2x y z  
 
Resolución: 
 Extrayendo el factor común “  a b ” 
  a b x y z x 2y 2z      
    a b 2x y z   
 Luego un factor será: a+b Rpta. 
 
2. Factorizar e indicar la suma de coeficientes de los 
factores primos: 
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
x x y x y x y x y x y xy y       
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 5 e) 6 
 
Resolución: 
 Agrupando convenientemente: 
 
 
 
Nos piden la suma de coeficientes de sus factores: 
 
Coef. de factores 1 1 1 1 1 1       6 Rpta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Indicar el número de factores primos en: 
           
2 2
3 x y x y 3 x y x y x x y x y       
 
a) 3 b) 2 c) 1 
d) 4 e) 5 
 
Resolución: 
 Acomodando antes que todo: 
           
   
3 x y x y x y 3 x y x y x y
x x y x y
      
  
 
 Extrayendo factor común    x y x y  
 
       x y x y 3 x y 3 x y x        
 
   x y x y 3x 3y 3x 3y x      
 
    x y x y x 6y    
 
Luego el número de factores primos será: 3 Rpta. 
 
4. Factorizar e indicar un factor primo de: 
   2 2 2 2a b c b c a   
a) a b b) 
2
c ab c) 
2
a c 
d) 
2
c b e) 
2
c ab 
 
Resolución: 
Aplicando la propiedad distributiva de la 
multiplicación y factorizando: 
   
   
2 2 2 2
2
2
ab ac bc a b
ab b a c a b
a b ab c
  
  
 
 
 Luego un factor primo será: 
2
 c ab  Rpta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
x x y x y x y x y x y xy y      
       6 4 2 2 4 6x x y x y x y x y x y y x y      
 Extrayendo factor común : x y
  6 4 2 2 4 6x y x x y x y y   
     4 2 2 4 2 2x y x x y y x y     
    2 2 4 4x y x y x y  
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5. Factorizar: 
           a 3 a 2 a 1 a 1 a 2 a 1        
E indicar el número de factores: 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 6 e) 7 
 
Resolución: 
 Extraemos factor común:  a 1 
        
        
a 1 a 3 a 2 a 2 1
a 1 a 3 a 2 a 3
     
    
 
 
 Extraemos factor común:  a 3 
      
     
a 1 a 3 a 2 1
a 1 a 3 a 1
   
  
 
   2a 1 a 3   
Luego el número de factores será: 3 Rpta. 
 
Factorización por Identidades 
 
1. Factorizar:    
7 5
x x n 9x x n   
Indicando el número de factores primos: 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
Resolución: 
 Extrayendo factor común: “  
5
x n x ” 
         5 2 5
D. de cuadrados
x n x x 9 x n x x 3 x 3      
 Luego presenta 4 factores primos Rpta. 
 
2. Factorizar e indicar la suma de coeficientes de sus 
factores primos en: 
   
2 2
ax by ay bx   
a) 2 b) 4 c) 6 
d) 7 e) 9 
 
Resolución: 
 Desarrollando los binomios: 
 
2 2 2 2 2 2 2 2
a x 2abxy b y a y 2abxy b x     
 
   2 2 2 2 2 2a x y b x y   
 
   2 2 2 2x y a b  
 
 Por lo tanto: 
Coef. de los factores 1 1 1 1     4 Rpta. 
 
3. Factorizar:      2 2 2 2 4 436x 25y x 4y x y   , 
indicando el número de factores primos: 
a) 1 b) 2 c) 4 
d) 6 e) 7 
 
 
 
Resolución: 
 Observemos que en cada paréntesis existe diferencia 
de cuadrados: 
         
222 22 2 2 2
6x 5y x 2y x y
             
           2 2 2 26x 5y 6x 5y x 2y x 2y x y x y     
 
En el último factor aún se puede aplicar diferencia 
de cuadrados: 
             2 26x 5y 6x 5y x 2y x 2y x y x y x y      
 
Por lo tanto el número de factores primos será: 
 7 Rpta. 
 
4. Factorizar e indicar la alternativa que no es un factor 
primo en: 
7 3 4 4 3 7
x c x c x c   
a) x c b) x c d) 
2 2
x y 
d) 
2 2
x xc c  e) 
2 2
x xc c  
 
 
Resolución: 
 Agrupando para extraer factor común: 
 
7 3 4 4 3 7
x c x c x c   
 
   4 3 3 4 3 3x x c c c x   
 
   3 3 4 4x c x c  
 
 Luego el primer factor por suma de cubos y por 
diferencia de cuadrados el segundo factor: 
 
       2 2 2 2 2 2x c x xc c x c x c     
 
         2 2 2 2x c x xc c x c x c x c      
 Luego uno de los factores será: 
2 2
 x xc c   Rpta. 
 
5. Hallar la suma de coeficientes de un factor primo en: 
3 2 2 3 2 2
a a a b b ab b     
a) 1 b) 0 c) 4 
d) 5 e) 6 
 
Resolución: 
 Agrupando convenientemente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 En el último factor podemos aplicar diferencia de 
cuadrados: 
     a b 1 a b a b    
 Luego la suma de coeficientes de un factor primo 
será: 0 Rpta. 
3 2 2 3 2 2
a a a b b ab b    
   2 2a a 1 b b b a 1    
   2 2a b 1 a b  
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Factorización por Aspa Simple 
 
1. Factorizar: 
2
x 10x 21  y dar como respuesta la 
suma de factores primos: 
a) 2x 10 b) 2x 10 c) x 5 
c) x 5 e) 2x 5 
 
Resolución: 
 Aplicando aspa simple: 
 
 
 
Por consiguiente :    
2
x 10x 21 x 7 x 3     
 
 Entonces: 
 
   F. P. x 7 x 3     2x 10  Rpta. 
 
2. Factorizar el factor primo mónico en: 
2
3x 4x 15  
a) 3x 5 b) 3x 5 c) x 3 
d) x 3 e) x 2 
 
Resolución: 
 Aplicando aspa simple: 
 
 
Por consiguiente :    
2
3x 4x 15 3x 5 x 3     
Entonces el factor mónico será : x 3  Rpta. 
 
3. Hallar uno de los factores primos en: 
2 2
a b 3a 3b 2ab 28     
a) a b 7  b) a b 4  c) a b 7  
d) a b 4  e) a 2b 7  
 
Resolución: 
 Agrupando convenientemente: 
 
   
2 2
2
a 2ab b 3a 3b 28
a b 3 a b 28
    
   
 
 
 
 
 Luego tomando los factores en forma horizontal 
tendremos:    a b 7 a b 4    
 
 Entonces uno de los factores será: 
 a b 7   Rpta. 
 
4. Hallar el número de factores primos en: 
6 3
8x 7x 1  
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
Resolución: 
 Por aspa simple: 
 
Por consiguiente: 
   6 3 3 38x 7x 1 8x 1 x 1     
 
       6 3 2 28x 7x 1 2x 1 4x 2x 1 x 1 x x 1        
 
Entonces el número de factores primos será: 
 4 Rpta. 
 
5. Hallar la suma de factores primos de: 
   4 2x 1 x 1 6    
a) 
2
2x 4x 3  b) 
2
2x 4x 3  c) 
2
2x 3 
d) 
2
x 2x 4  e) 
2
x 1 
 
Resolución: 
 Por aspa simple: 
 
 
 
De modo que: 
       4 2 2 2x 1 x 1 6 x 1 3 x 1 2              
 
    2 24 2x 1 x 1 6 x 2x 1 3 x 2x 1 2                
 
    2 24 2x 1 x 1 6 x 2x 4 x 2x 1               
 
Por consiguiente: 
   2 2Factores primos x 2x 4 x 2x 1      
 
Factores primos 
2
 2x 4x 3   Rpta. 
 
Factorización por Aspa Doble 
1. Factorizar: 
2 2
3x 4xy y 4x 2y 1     y dar como 
respuesta la suma de coeficientes de uno de los factores 
primos: 
a) 2 b) 4 c) 5 
d) 6 e) 8 
 
2
x 10x 21 
x
x
7
3
7x 
3x
10x
2
3x 4x 15 
3x
x
5
3
5x 
9x
4x
 a b
 a b
7
4
 7 a b 
 4 a b 
 3 a b
6 3
8x 7x 1 
3
8x
3
x
1
1
x 
3
8x
3
7x
   4 2x 1 x 1 6   
 2x 1 3
2
 
 
 
2
2
2
 3 x 1
2 x 1
 x 1

 
 
2
x 1
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Resolución: 
Aplicando en criterio del aspa doble: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Coef. de unode los factores 5 Rpta. 
 
2. Factorizar y dar uno de los factores primos en: 
2 2
9x 11xy 2y 26x 5y 3     
a) x y 3  b) 9x 2y 1  c) 9x 2y 1  
d)x y 3  e) x y 3  
 
Resolución: 
 Aplicando el criterio del aspa doble: 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces: 
   2 29x 11xy 2y 26x 5y 3 9x 2y 1 x y 3          
Luego, un factor será: x y 3   Rpta. 
 
3. Factorizar y dar como respuesta un coeficiente 
cuadrático de uno de los factores primos: 
4 2 2 2
6x 5x y y 17x 6y 5     
a) 2 b) 4 c) 5 
d) 6 e) 7 
 
Resolución: 
 Aplicando el criterio del aspa doble: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Un coeficiente de un factor será  2 Rpta. 
 
4. Hallar uno de los factores en: 
2 2
20x 22xy 6y 33x 17y 7     
a) 5x 3y b) 3x 4y 
c) 4x 2y 1  d) 4x 2y 1  
e) x 3y 
 
Resolución: 
 Aplicando el criterio del aspa doble: 
 
 
 
 
 
 
Entonces: 
   2 220x 22xy 6y 33x 17y 7 5x 3y 7 4x 2y 1          
Luego, un factor será: 4x 2y 1   Rpta. 
 
5. Hallar la suma de coeficientes de un factor primo en: 
2 2
30x 2xy 4y 47x 12y 7     
a) 2 b) 5 c) 6 
d) 9 e) 14 
 
Resolución: 
 Aplicando el criterio del aspa doble: 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces: 
   2 230x 2xy 4y 47x 12y 7 6x 2y 1 5x 2y 7          
Luego: 
La suma de coeficientes de un factor será: 14 Rpta. 
 
Factorización por Aspa Doble Especial 
1. Factorizar: 
4 3 2
5x 22x 21x 16x 6    y dar un 
coeficiente cuadrático la suma de los coeficientes 
lineales de los factores primos: 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 6 
 
Resolución: 
 Aplicando el aspa simple inicial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Luego formando el nuevo polinomio con: 
2 2 2
21x 13x 8x  
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
3x 4xy y 4x 2y 1    
3x
x
y 1
1y
Veamos también : x 3x 4x 
2 2
30x 2xy 4y 47x 12y 7    
6x
5x
2y 1
7
   Veamos también : 5x 42x 47x 
2y
Entonces :
   2 23x 4xy y 4x 2y 1 3x y 1 x y 1         
Luego :
2 2
9x 11xy 2y 26x 5y 3    
9x
x
2y 1
3y
Veamos también : x 27x 26x  
4 2 2 2
6x 5x y y 17x 6y 5    
2
3x
2
2x
y 1
5
2 2 2
Veamos también : 2x 15x 17x 
Entonces :
   4 2 2 2 2 26x 5x y y 17x 6y 5 3x y 1 2x y 5         
Luego :
y
2 2
20x 22xy 6y 33x 17y 7    
5x
4x
3y 7
12y
   Veamos también : 28x 5x 33x    
4 3 2
5x 22x 21x 16x 6   
2
5x
2
x
3
2
2
13x
4 3 2
5x 22x 8x 16x 6   
2
5x
2
x
3
2
2x
4x
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Entonces: 
   4 3 2 2 25x 22x 21x 16x 6 5x 2x 3 x 4x 2         
Luego: 
La suma de los coeficientes lineales: 2 4  6 Rpta. 
 
2. Indicar el número de factores primos de: 
8 4 2
x 5x 6x 5   
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
Resolución: 
Será necesario completar el polinomio: 
8 6 4 2
x 0x 5x 6x 5    
 Aplicando el aspa simple inicial: 
 
 
 
 
 
 
 
 Luego formando el nuevo polinomio con: 
 4 4 45x 4x x     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego: 
El número de factores primos será: 3 Rpta. 
 
3. Factorizar: 
4 3 2
x 2x x 4x 4    y dar la suma de 
factores primos lineales. 
a) x 3 b) 2x 3 c) x 3 
d) 2x 3 e) 3x 3 
 
Resolución: 
 Aplicando el aspa simple inicial: 
 
 
 
 
 
 
 
 Luego formando el nuevo polinomio con: 
2 2 2
x 4x 3x   
 
 
 
 
 
 
 Copiando los factores en forma horizontal: 
Entonces: 
 
 
 
Luego: 
La suma de factores lineales será: 
   x 2 x 1    2x 3  Rpta. 
 
Factorización por Divisores Binomios 
1. Factorizar e indicar la suma de coeficientes del factor 
lineal en: 
  3 2F x x 6x 15x 14    
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 11 
 
Resolución: 
 Calculo de los posibles ceros: 1; 2; 7; 14    
Probamos: x 2  
        
3 2
F 2 2 6 2 15 2 14        
  F 2 8 24 30 14 0       , se anula: 
Entonces tendrá un factor  x 2 
Determinación del otro factor por la regla de Ruffini: 
 
 
 
 
 
 
 Entonces: 
     2F x x 2 x 4x 7    
Luego: 
Suma de coeficientes del factor lineal: 3 Rpta. 
 
2. Hallar el factor primo lineal en: 
  3 2H x x 2x 6x 3    
a) x 2 b) x 3 c) x 1 
d) x 2 e) x 3 
 
Resolución: 
 Cálculo de los posibles ceros: 1; 3  
 Probamos: x 1  
        
3 2
H 1 1 2 1 6 1 3        
 
  H 1 1 2 6 3 0       , se anula: 
 Entonces tendrá un factor:  x 1 
 Determinación del otro factor por la regla de Ruffini: 
 
 
 
 
 
 Entonces: 
     2H x x 1 x 3x 3    
Luego: 
El factor lineal será: x 1  Rpta. 
8 6 4 2
x 0x 5x 6x 5   
4
x 5
1
4
4x
4
x
4 3 2
x 2x x 4x 4   
2
x 2
2
2
4x
2
x
4 3 2
x 2x 3x 4x 4   
2
x 2
2
3x
x
2
x
   4 3 2 2 2x 2x x 4x 4 x 3x 2 x x 2        
     2x 2 x 1 x x 2    
8 6 4 2
x 0x x 6x 5   
4
x 5
1
2
x
2
x
4
x
   8 4 2 4 2 4 2x 5x 6x 5 x x 5 x x 1       
     8 4 2 4 2 2 2x 5x 6x 5 x x 5 x x 1 x x 1         
ARGAND
1 6 15 14
2 2 8 14
1 4 7 0
    
 Q x
1 2 6 3
1 1 3 3
1 3 3 0
  
 
 
 Q x
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3. Indicar el factor cuadrático en:  
3
M x x x 6   
a) 
2
x 2 b) 
2
x 2x 3  c) 
2
x 2x 3  
d) 
2
x x 3  e) 
2
x x 
 
Resolución: 
 Calculo de los posibles ceros: 1; 2; 3; 6    
 Para: x 2      
3
M 2 2 2 6   
  M 2 8 2 6 0    , se anula: 
 Entonces tendrá un factor:  x 2 
Determinación del otro factor por la regla de Ruffini: 
 
 
 
 
 
 
Entonces:      2M x x 2 x 2x 3    
 El factor cuadrático será:  
2
 x 2x 3   Rpta. 
 
4. Hallar la suma de factores primos en: 
  4 3 2T x x 6x 5x 42x 40     
a) 2x 6 b) 4x 6 c) 2x 6 
d) 4x 6 e) 4x 3 
 
Resolución: 
 Calculo de los posibles ceros: 1; 2; 4 ; 5;       
 Para: x 1 
        
3 24
T 1 1 6 1 5 1 42 1 40     
  T 1 1 6 5 42 40 0      , se anula 
 Entonces tendrá un factor:  x 1 
 Para: x 2 
          
4 3 2
T 2 2 6 2 5 2 42 2 40     
 T 2 16 48 20 84 40 0      se anula también 
 Entonces tendrá un factor:  x 2 
 Determinación del otro factor por la regla de Ruffini: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces: 
         T x x 1 x 2 x 4 x 5     
Luego: 
La suma de factores primos será: 
       x 1 x 2 x 4 x 5        4x 6  
Rpta. 
 
 
 
 
 
5. Indicar el número de factores primos en: 
  5 4 3 2C m m 5m 7m m 8m 4      
a) 3 b) 5 c) 10 
d) 15 e) 18 
 
Resolución: 
 Calculo de los posibles ceros: 1; 2; 4   
 Para: x 1 
          
4 3 25
C 1 1 5 1 7 1 1 8 1 4     
  C 1 1 5 7 1 8 4 0       , se anula 
 Entonces tendrá un factor:  x 1 
 Para: x 2  
           5 4 3 2C 2 2 5 2 7 2 2 8 2 4           
  C 2 32 80 56 4 16 4 0         , se anula 
 Entonces tendrá un factor:  x 2 
Para: x 1  
           5 4 3 2C 1 1 5 1 7 1 1 8 1 4           
 C 1 1 5 7 1 8 4 0         , se anula 
 Entonces tendrá un factor:  x 1 
 Determinación del otro factor por la regla de Ruffini: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Entonces: 
           C x x 1 x 2 x 1 x 1 x 2      
       2 2C x x 1 x 2 x 1    
Luego: 
El número de factores primos es: 3 Rpta. 
 
 
 
1 0 1 6
2 2 4 6
1 2 3 0
 

 Q x
1 6 5 42 40
1 1 7 2 40
1 7 2 40 0
2 2 18 40
1 9 20 0
4 4 20
1 5 0
 
 


   
 Q x
1 5 7 1 8 4
1 1 6 13 12 4
1 6 13 12 4 0
2 2 8 10 4
1 4 5 2 0
1 1 3 2
1 3 2 0
1 1 2
1 2 0
  

     
    
   
 Q x
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