08cap6

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Caṕıtulo 6
Funciones trigonométricas
6.1. Definiciones y fórmulas elementales
Consideremos la circunferencia unitaria de ecuación x2 + y2 = 1 en el plano cartesiano.
Denotemos por A al punto de coordenadas (1, 0). A cada número real α le asignamos un
punto P (α) en la circunferencia unitaria, de la siguiente manera:
1. Si α > 0, medimos sobre la circunferencia unitaria, a partir del punto A y en senti-
do contrario a los punteros del reloj, la longitud α. El punto final de esta medición
será P (α).
2. Si α = 0, le corresponde P (α) = A = (1, 0).
3. Si α < 0, se mide a partir de A la longitud |α| en el sentido de los punteros del reloj.
140
Caṕıtulo 6: Funciones trigonométricas Resumen de contenidos
α > 0 α < 0
6.2. Funciones trigonométricas
Sea α un número real y P (α) = (x, y), entonces se define:
seno α = sin α = y cosecante α = csc α =
1
y
, y 6= 0
coseno α = cos α = x secante α = sec α =
1
x
, x 6= 0
tangente α = tan α =
y
x
, x 6= 0 cotangente α = ctg α = x
y
, y 6= 0
Observación: Para una mayor agilidad de lenguaje, se dirá que α está en determinado
cuadrante, cuando P (α) esté en dicho cuadrante.
6.3. Valores principales de las F.T.
0 6 α 6 π
2
α Cuadrante P (α) cos α sin α tan α
0 (1, 0) 1 0 0
π
6
I
(√
3
2
, 1
2
) √
3
2
1
2
√
3
3
π
4
I
(√
2
2
,
√
2
2
) √
2
2
√
2
2
1
π
3
I
(
1
2
,
√
3
2
)
1
2
√
3
2
√
3
π
2
(0, 1) 0 1 No existe
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π
2
< α 6 π
α Cuadrante P (α) cos α sin α tan α
2π
3
II
(
−1
2
,
√
3
2
)
−1
2
√
3
2
−
√
3
3π
4
II
(
−
√
2
2
,
√
2
2
)
−
√
2
2
√
2
2
−1
5π
6
II
(
−
√
3
2
, 1
2
)
−
√
3
2
1
2
−
√
3
3
π (−1, 0) −1 0 0
π < α 6 3π
2
α Cuadrante P (α) cos α sin α tan α
0 (1, 0) 1 0 0
7π
6
III
(
−
√
3
2
,−1
2
)
−
√
3
2
−1
2
√
3
3
5π
4
III
(
−
√
2
2
,−
√
2
2
)
−
√
2
2
−
√
2
2
1
4π
3
III
(
−1
2
,−
√
3
2
)
−1
2
−
√
3
2
√
3
3π
2
(0, 1) 0 1 No existe
3π
2
< α < 2π
α Cuadrante P (α) cos α sin α tan α
5π
3
IV
(
1
2
,−
√
3
2
)
1
2
−
√
3
2
−
√
3
7π
4
IV
(√
2
2
,−
√
2
2
) √
2
2
−
√
2
2
−1
11π
6
IV
(√
3
2
,−1
2
) √
3
2
−1
2
−
√
3
3
2π (1, 0) 1 0 0
6.4. Signos de las funciones trigonométricas
Cuadrante en que está P (α) sin α cos α tan α
I + + +
II + − −
III − − +
IV − + −
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Nota: Una función f es periódica si existe un real positivo p tal que f(x + p) = f(x), para
todo x en Dom(f). El número real p más pequeño, si existe, se llama periodo de f .
6.5. Propiedades de algunas funciones trigonométricas
A continuación se revisan con más detalle, 3 de las 6 funciones trigonométricas:
6.5.1. La función seno
sen : R −→ R
x 7−→ sen x
Su dominio es R, y su recorrido es [−1, 1]. Su gráfica (parcial) es
Gráfico de y = sin x
Principales propiedades y caracteŕısticas de la función seno
Intersecciones con los ejes coordenados:
Eje X: los puntos de abscisa 0, ±π, ±2π, ±3π, etc.
Eje Y : el punto (0, 0)
No es inyectiva ni sobreyectiva.
La función seno es impar, es decir, sin(−x) = − sin(x)
Intervalo(s) de crecimiento: Es creciente en los intervalos]
−π
2
,
π
2
[
,
]
3π
2
,
5π
2
[
, etc.
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Intervalo(s) de decrecimiento: Es decreciente en los intervalos]
−3π
2
,−π
2
[
,
]
π
2
,
3π
2
[
, etc.
Periodicidad: Esta función es periódica, de periodo 2π, ya que 2π es el menor número
real que cumple:
sin(x + 2π) = sin x para todo x ∈ R
En general: sen (x + 2kπ) = sen x, k ∈ Z.
6.5.2. La función coseno
cos : R −→ R
x 7−→ cos x
Su dominio es R y su recorrido es [−1, 1]. Su gráfica (parcial) es
Gráfico de y = cos x
Principales propiedades y caracteŕısticas de la función coseno
Intersecciones con los ejes coordenados:
Eje X: Los puntos de abscisa 0, ±π
2
, ±3π
2
, etc.
Eje Y : el punto (0, 1)
No es inyectiva ni sobreyectiva.
La función coseno es par, es decir, cos(−x) = cos(x)
Intervalo(s) de crecimiento: Es creciente en los intervalos ]− π, 0[ , ]π, 2π[, etc.
Intervalo(s) de decrecimiento: Es decreciente en los intervalos ]− 2π,−π[ , ]0, π[, etc.
Periodicidad: Esta función es periódica, de periodo 2π, ya que 2π es el menor número
real que cumple:
cos(x + 2π) = sin x para todo x ∈ R
En general: cos (x + 2kπ) = cos x, k ∈ Z.
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6.5.3. La función tangente
tan : D −→ R
x 7−→ tan(x)
Su dominio es D = R \ {π
2
+ kπ, k Z}, y su recorrido es R. Su gráfica (parcial) es
Gráfico de y = tan x
Principales propiedades y caracteŕısticas de la función tangente
Intersecciones con los ejes coordenados:
Eje X: Los puntos de abscisa 0, ±π, ±2π, ±3π, etc.
Eje Y : El punto (0, 0).
No es inyectiva.
Es sobreyectiva.
La función tangente es impar, es decir, tan(−x) = − tan(x)
Intervalo(s) de crecimiento: Es creciente en los intervalos
]
−3π
2
,−π
2
[
,
]
−π
2
, π
2
[
, etc.
Intervalo(s) de decrecimiento: En ningún intervalo es decreciente.
Periodicidad: Esta función es periódica, de periodo π, ya que π es el menor número
real que cumple:
tan(x + π) = tan x para todo x ∈ D
En general: tan (x + kπ) = tan x, k ∈ Z.
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6.6. Identidades básicas de las funciones trigonométri-
cas
1. tan x =
sin x
cos x
, cot x =
cos x
sin x
2. sec x =
1
cos x
, csc x =
1
sin x
3. cot x =
1
tan x
, tan x =
1
cot x
4. (sin x)2 + (cos x)2 = sin 2x + cos2 x = 1
5. 1 + tan 2x = sec 2x
6. 1 + ctg 2x = csc 2x
6.7. Fórmulas de Reducción
Usaremos FT para designar cualquiera de las 6 funciones trigonométricas y coFT su respec-
tiva cofunción (la cofunción del sin es cos, de la tan es cot y de la sec es la csc).
1. FT(α± π
2
) = ±coFT(α).
2. FT(α± 3π
2
) = ±coFT(α).
3. FT(α± π) = ±FT(α).
4. FT(α± 2π) = ±FT(α).
Observación: El signo depende del cuadrante donde este situado P (α± π
2
), P (α± 3π
2
), P (α±π)
y viene dado por la tabla de los signos de tabla de la sección 6.4.
6.8. Gráficas de funciones asociadas a las funciones
seno y coseno
Recordar que las funciones asociadas a y = sin x e y = cos x son:
y = A sin(Bx + C) e y = A cos(Bx + C)
La idea es obtener, a partir de los gráficos conocidos de las funciones y = sin x e y = cos x,
los gráficos de sus funciones asociadas.
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1. Gráficos de y = A sinx e y = A cosx.
Los gráficos de estas funciones se obtienen simplemente por un estiramiento vertical
(cuando |A| > 1) o una contracción vertical (cuando |A| < 1) de las gráficas básicas.
Recordar que cuando A < 0, se debe hacer una reflexión en torno al eje de las X.
En este caso, el periodo de las funciones relacionadas se mantiene (2π) y su recorrido es
amplificado por |A|. Este factor representa la máxima desviación de la gráfica respecto
al eje X y recibe el nombre de amplitud.
2. Gráficos de y = A sinBx e y = A cosBx, con B > 0. (∗)
La amplitud de esta funciones relacionadas es |A| y su periodo es 2π
B
.
Cuando 0 < B < 1, la curva básica se estira horizontalmente y cuando B > 1 se
contrae horizontalmente.
Gráfico de y = 3 sin(2x) a partir del gráfico de y = 3 sin(x)
3. Gráficos de y = A sin(Bx + C) e y = A cos(Bx + C), con B > 0.
La amplitud de esta funciones relacionadas es |A| y su periodo es 2π
B
.
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Estas curvas tienen una traslación horizontal, con respecto a (∗) (llamada cambio de
fase) iguala:∣∣∣∣CB
∣∣∣∣ unidades hacia la derecha cuando CB < 0.
C
B
unidades hacia la izquierda cuando
C
B
> 0.
Gráfico de y = 3 sin(2x + 2) a partir del gráfico de y = 3 sin(2x)
Notas:
1. En general, para obtener el gráfico de y = A sin(Bx + C), a partir del gráfico de
y = sin x, se procede de la siguiente manera:
Del gráfico de y = sin x se obtiene, por cambio de amplitud, el gráfico de
y = A sin x
Del gráfico de y = A sin x se obtiene, por cambio de peŕıodo, el gráfico de
y = A sin(Bx)
Del gráfico de y = A sin(Bx) se obtiene, por cambio de fase, el gráfico de
y = A sin(Bx + C) = A sin(B(x + C/A))
2. Del mismo modo se procede para obtener el gráfico de y = A cos(Bx +C), a partir del
gráfico de y = cos x.
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Ejemplo: Para obtener el gráfico de y = 3 cos(2x− π), se procede de la siguiente manera:
Paso 1: Graficar y = cos x:
Gráfico de y = cos x
Paso 2: Graficar y = 3 cos x. Para ello, se cambia la amplitud de la función anterior. La
amplitud de y = 3 cos x es igual a 3.
Gráfico de y = 3 cos x
Paso 3: Graficar y = 3 cos(2x). Para ello, se modifica el peŕıodo de la función anterior. El
peŕıodo de y = 3 cos(2x) es igual a 2π
B
= π.
Gráfico de y = 3 cos(2x)
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Paso 4: Graficar y = 3 cos(2x − pi). Para ello, se aplica el cambio de fase a la función
anterior. El cambio de fase es igual a C
B
= π/2.
Gráfico de y = 3 cos(2x− π)
6.9. Funciones trigonométricas inversas.
6.9.1. Definiciones
Si x = sin y entonces y = arcsin x es la relación inversa. En general:
1. sin y1 = x1, (−1 6 x1 6 1) =⇒ arcsin x1 = (−1)ny1 + nπ, n ∈ Z.
2. cos y1 = x1, (−1 6 x1 6 1) =⇒ arc cos x1 = (−1)ny1 + 2nπ, n ∈ Z.
3. tan y1 = x1, (x1 ∈ R) =⇒ arctan x1 = y1 + nπ, n ∈ Z.
Con el fin de que las relaciones trigonométricas inversas sean funciones se restringen los
dominios del siguiente modo:
sin : [−π
2
, π
2
] −→ [−1, 1].
cos : [0, π] −→ [−1, 1].
tan : ]− π
2
, π
2
[ −→ R.
es decir,
−π
2
6 arcsin x 6 π
2
.
0 6 arc cos x 6 π.
−π
2
< arctan x < π
2
.
Por lo tanto, las funciones trigonométricas inversas están definidas por:
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arcsin : [−1, 1] −→ [−π
2
, π
2
]
x −→ y = arcsin x
arc cos : [−1, 1] −→ [0, π]
x −→ y = arc cos x
arctan : R −→ ]− π
2
, π
2
[
x −→ y = arctan x
y=arcsin x y=arccos x y=arctan x
6.9.2. Propiedades
y = arcsin x ⇐⇒ sin y = x
y = arc cos x ⇐⇒ cos y = x
y = arctan x ⇐⇒ tan y = x
sin(arcsin(x)) = x, para −1 6 x 6 1.
arcsin(sin(x)) = x, para −π/2 6 x 6 π/2.
cos(arc cos(x)) = x, para −1 6 x 6 1.
arc cos(cos(x)) = x, para 0 6 x 6 π.
tan(arctan(x)) = x, para x en R
arctan(tan(x)) = x, para −π/2 < x < π/2.
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6.10. Ejemplos
1. Usando las identidades básicas de las funciones trigonométricas, simplificar la siguiente
expresión:
sec(x) + tan(x)
sec(x) + tan(x)− cos(x)
Solución
sec(x) + tan(x)
sec(x) + tan(x)− cos(x)
=
1
cos(x)
+ sin(x)
cos(x)
1
cos(x)
+ sin(x)
cos(x)
− cos(x)
=
1+sin(x)
cos(x)
1+sin(x)−cos2(x)
cos(x)
=
1 + sin(x)
1 + sin(x)− cos2(x)
=
1 + sin(x)
1− cos2(x)︸ ︷︷ ︸+ sin(x)
=
1 + sin(x)
sin2(x)︸ ︷︷ ︸+ sin(x)
=
1 + sin(x)
sin(x)[1 + sin(x)]
=
1
sin(x)
= csc(x)
2. Expresar en función de sin A, cada una de la 5 funciones trigonométricas de A.
Solución:
csc A =
1
sin A
sin2 A + cos2 A = 1 ⇒ cos A = ±
√
1− sin2 A
sec A =
1
cos A
⇒ sec A = ± 1√
1− sin2 A
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Caṕıtulo 6: Funciones trigonométricas Ejemplos
tan A =
sin A
cos A
⇒ tan A = ± sin A√
1− sin2 A
cot A =
cos A
sin A
⇒ cot A = ±
√
1− sin2 A
sin A
3. Sabiendo que tan α = 1
2
y sin α < 0, determinar los valores de las restantes 5 funciones
trigonométricas.
Solución.
Como tan α > 0, α puede estar en el primer o tercer cuadrante, además como
sin α < 0 , α puede estar en el tercer o cuarto cuadrante.
Por lo tanto, α está en el tercer cuadrante.
Ahora bien.
a) cot α =
1
tan α
= 2.
b) De la relación 1 + tan2 α = sec2 α
se tiene sec α = ±
√
1 + tan2 α = ±
√
1 + 1
4
= ±
√
5
2
.
y como α está en el tercer cuadrante: sec α = −
√
5
2
c) cos α =
1
sec α
= − 2√
5
.
d) De la relación 1 + cot2 α = csc2 α
Se tiene csc α = ±
√
1 + cot2 α = ±
√
1 + 22 = ±
√
5 y como α está en el tercer
cuadrante: csc α = −
√
5.
e) sin α =
1
csc α
= − 1√
5
.
4. Dado que tan α = 2,05 y cos α < 0, encontrar α sabiendo que 0 < α < 2π.
Solución:
Como tan α > 0 y cos α < 0, α está en el tercer cuadrante. Usando la calculadora, se
tiene que α = arctan 2,05 = 1,117 rad.
Por lo tanto, α = π + 1,117 = 4,258 rad
5. Sabiendo que tan(x) = 3 y sin(x) < 0. Calcular el valor de:
sin(x)[cos(x) + sec(x)]
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Caṕıtulo 6: Funciones trigonométricas Ejemplos
Solución: Como tan(x) es positivo, el punto terminal del arco de longitud x, P (x), se
encuentra en el primer o tercer cuadrante.
Como sin(x) es negativo, el punto terminal del arco de longitud x, P (x), se encuentra
en el tercer o cuarto cuadrante.
Por lo tanto, P (x) se encuentra en el tercer cuadrante (∗).
Ahora bien:
sec(x) = ±
√
1 + tan2(x) = ±
√
1 + 32 = ±
√
10. Por (∗), sec(x) = −
√
10
cos(x) =
1
sec(x)
=
1
−
√
10
= −
√
10
10
sin(x) = ±
√
1− cos2(x) = ±
√
1− 1
10
= ±
√
9
10
= ± 3√
10
.
Por (∗), sin(x) = − 3√
10
Por lo tanto:
sin(x)[cos(x) + sec(x)] = − 3√
10
[
−
√
10
10
−
√
10
]
= − 3√
10
[
−11
√
10
10
]
=
33
10
6. Usando las fórmulas de reducción, escribir en términos de x las siguientes expresiones:
a) csc(3π
2
+ x) b) tan(π + x) c) − cos(π
2
+ x)
Solución:
a) csc(3π
2
+ x) = − sec(x)
b) tan(π + x) = tan(x)
c) − cos(π
2
+ x) = −[− sin(x)] = sin(x)
7. En el siguiente gráfico:
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Caṕıtulo 6: Funciones trigonométricas Ejemplos
El punto Q tiene coordenadas (2, 3). La recta que pasa por el origen intersecta al circulo
trigonométrico en el punto P . El arco AP mide x. Determinar todas las funciones
trigonométricas de x.
Solución: El primer objetivo es encontrar las coordenadas del punto P , pues sus
coordenadas son (cos x, sin x).
Para ello, encontremos la ecuación de la recta L que pasa por el origen (0, 0) y Q =
(2, 3). Se tiene que mL =
3
2
. Luego la ecuación de L es y = 3
2
x.
Para encontrar las coordenadas de P , se deben buscar los puntos de intersección entre
L y el circulo trigonométrico. Para ello se resuelve el siguiente sistema:
x2 + y2 = 1
y = 3
2
x
Resolviendo este sistema se obtiene que P =
(
2√
13
,
3√
13
)
Por lo tanto:
sin(x) =
3√
13
cos(x) =
2√
13
tan(x) =
sin(x)
cos(x)
=
3
2
csc(x) =
1
sin(x)
=
√
13
3
sec(x) =
1
cos(x)
=
√
13
2
cot(x) =
1
tan(x)
=
2
3
8. Encontrar todos los valores de x, entre 0 y 2π tales que:
2 cos(2x) + 0,5 = 0,2
Solución:
2 cos(2x) + 0,5 = 0,2
2 cos(2x) = 0,2− 0,5
2 cos(2x) = −0,3
cos(2x) = −0,3
2
= −0,15
2x = arc cos(−0,15)
2x = 1,72; / 2π − 1,72 ≈ 4,56; / 2π + 1,72 ≈ 8,00 / 4π − 1,72 ≈ 10,84
x ≈ 0,86; / 2,28; / 4,00 / 5,42
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9. Establecer la amplitud, periodo, cambio de fase y obtener un esbozo de su gráfico,
para cada una de las siguientes funciones asociadas a las funciones sen y cos: a)
y =
1
2
sin
(
x
2
)
b) y = −3
4
sin(2x + 4π)
Solución:
a) Amplitud= |A| = 1
2
, Periodo=
2π
B
=
2π
1/2
= 4, No tiene cambio de fase.
b) Amplitud= |A| = | − 3
4
| = 3
4
, Periodo=
2π
B
=
2π
2
= π, Cambio de fase =
C
B
=
4π
2
= 2π
Gráfico de y = −3
4
sin(2x + 4π) Gráfico de y =1
2
sin
(
x
2
)
10. Dada la ecuación tan x = x. Se pide:
a) Comprobar que x = 1,43π es, aproximadamente, una ráız.
b) Verificar que si a es una ráız, −a también los es.
c) Graficar en un mismo sistema de coordenadas las funciones y = tan x e y = x. De
este gráfico, obtener otras ráıces.
Solución:
a) tan 1,43π = tan 4,49 = 4,47.
b) Si a es una ráız de la ecuación, entonces tan a = a. Ahora bien, tan(a) = a ⇒
− tan a = −a ⇒ tan(−a) = −a. Por lo tanto −a también es ráız.
c) El gráfico es:
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Caṕıtulo 6: Funciones trigonométricas Ejemplos
Por inspección del gráfico se obtiene que, por ejemplo, x = 0 y x = 7,75 son otras
ráıces.
11. El siguiente gráfico corresponde a una función del tipo y = f(x) = a sin(bx + c):
a) Por inspección del gráfico determinar su amplitud, peŕıodo y desplazamiento de
fase. Fundamentar detalladamente los valores encontrados.
b) En base a los valores encontrados, proponer una fórmula para y = f(x).
Solución:
a) Amplitud: Claramente la amplitud es 3.
Peŕıodo: Como el gráfico entre 0 y 2 se repite, el peŕıodo de esta función es 2.
Cambio de fase: Observando el gráfico se deduce que el cambio de fase es 1
(a la derecha o la izquierda).
b) Como la amplitud es 3, se tiene que a = 3.
Como peŕıodo=
2π
b
= 2, se tiene que b = π
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Caṕıtulo 6: Funciones trigonométricas Ejemplos
Como cambio de fase=
c
b
=
c
π
= 1. se tiene que c = π
Por lo tanto la función graficada es: y = f(x) = 3 sin(πx + π)
12. La marea en una playa subió a media noche. El nivel del agua durante la marea alta fue
de 9.9 pies, más tarde, en la marea baja, fue de 0,1 pies. Suponiendo que la siguiente
marea alta fuera exactamente 12 horas después y que la altura del agua está dada por
una curva de seno o coseno. Hallar una función del tipo
y = g(x) = A cos(Bt) + C
para modelar el nivel del agua como función del tiempo.
Solución:
En el modelo propuesto, A es la amplitud, 2π
B
es el periodo y C indica el corrimiento
vertical.
Primero se determina la amplitud y el periodo y luego se hará un esquema del enunciado
para poder determinar la función que se pide.
Amplitud= A =
Valor maximo− Valor minimo
2
=
9,9− 0,1
2
= 4,9
Periodo =
2π
B
⇒ B = 2π
12
=
π
6
Luego, sin considerar aún el término C, la función (parcial) es:
y = 4,9 cos
(
π
6
t
)
cuyo gráfico es:
Como el punto más bajo de esta curva es −4,9 y la curva buscada debe tener un mı́nimo
de 0,1, se tiene que el término C debe ser igual a 5. Por lo tanto, la función que modela
el nivel del agua en función del tiempo es:
y = g(t) = 4,9 cos
(
π
6
t
)
+ 5
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Caṕıtulo 6: Funciones trigonométricas Ejemplos
cuyo gráfico es:
13. En cierta ciudad la función que representa (aproximadamente) la temperatura prome-
dio en la semana x de un año viene dada por:
y = T (x) = 15 sin
(πx
24
)
+ 5
donde y está expresado en grados Celcius y x vaŕıa entre 1 y 48.
Nota: En esta situación se asume que todo mes tiene 4 semanas.
a) Determinar, aproximadamente, la temperatura promedio en la tercera semana de
Mayo.
b) ¿En qué semana la temperatura promedio es máxima?. ¿Cuál es esta temperatura
máxima?
c) Determinar, en caso que existan, las semanas en las cuales la temperatura pro-
medio es de 10◦C.
d) Determinar, en caso que existan, las semanas en las cuales la temperatura pro-
medio es de 25◦C.
Solución:
a) La tercera semana de Mayo corresponde a x = 19.
Por lo tanto, la temperatura promedio de esta semana es:
y = T (19) = 15 sin
(
π · 19
24
)
+ 5 ≈ 14,13142143
Luego, la temperatura promedio en la tercera semana de Mayo es aproximada-
mente de 14◦C.
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Caṕıtulo 6: Funciones trigonométricas Ejemplos
b) La temperatura promedio es máxima cuando sin
(πx
24
)
es máxima, esto es máximo
cuando
πx
24
=
π
2
, de donde x = 12. Luego, la temperatura promedio es máxima
en la semana 12, es decir, la última semana del mes de Marzo, y como
y = T (12) = 15 sin
(
π · 12
24
)
+ 5 = 20
el valor de esta temperatura máxima es 20◦C.
c) Sea x la semana en la cual la temperatura promedio es de 10◦C, luego:
15 sin
(π · x
24
)
+ 5 = 10
15 sin
(π · x
24
)
= 5
sin
(π · x
24
)
=
1
3
π · x
24
= arcsin
(
1
3
)
π · x
24
= 0,34 // π − 0,34 = 2,8
x = 2,6 // 21,4
Por lo tanto, la temperatura promedio es de 10◦C en las semanas 2 y 21 (aproxi-
madamente).
d) Sea x la semana en la cual la temperatura promedio es de 25◦C, luego:
15 sin
(π · x
24
)
+ 5 = 25
15 sin
(π · x
24
)
= 20
sin
(π · x
24
)
=
4
3
> 1
Como el rango de la función sin es el intervalo [−1, 1], esta ecuación no tiene
solución, y por lo tanto no existe una semana en la cual la temperatura promedio
sea de 25◦C.
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Caṕıtulo 6: Funciones trigonométricas Ejercicios
6.11. Ejercicios
1. Sea k un número entero, determinar el valor de sin(kπ) y cos(kπ).
2. Determinar los valores de las seis F.T. para los siguientes valores de x : π
2
, 3π, 5π
2
, y
−11π
2
3. Determinar, sin usar calculadora, el signo de la siguiente expresión:
sin 2 · sin 15 · csc(−π
8
)
csc (−23π
8
) · tan (−2, 2) · cot(9π
7
)
4. Escribir todas las funciones trigonométricas en términos de la función tangente.
5. Escribir la expresión
sin α + tan α
sec α + 1
en función únicamente de sin α.
6. Comprobar que la longitud de una cuerda (de la circunferencia unitaria) cuyo arco
tiene longitud x viene dada por
√
2− 2 cos x.
Sugerencia: En la circunferencia unitaria (ver figura siguiente), considerar los puntos
A = (1, 0) y P (x) = (cos x, sin x)
7. En la figura anterior, P = P (x) = (cos x, sin x). AR y BT son tangentes a la circunfe-
rencia unitaria.
a) ¿Qué segmentos corresponden a cos x y sin x?
b) Comprobar que tan x = AR (Sugerencia: Usar triángulos semejantes).
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Caṕıtulo 6: Funciones trigonométricas Ejercicios
c) Verificar que cot x = BS
d) ¿Qué relación se puede obtener al comparar las áreas del triángulo OAP , del
sector circular OAP y del triángulo OAR?
8. Determinar el valor de las restantes funciones trigonométricas si:
a) tan α = −1
3
, α en el segundo cuadrante.
b) sin α = 5
13
, tan α < 0
9. a) Obtener el gráfico de la función y = f(x) = sin x− cos x
b) Usando el gráfico encontrado de f(x) obtener de manera aproximada:
Rec(f)
Las soluciones principales (es decir que están entre 0 y 2π) de la ecuación
trigonométrica sin x = cos x.
10. Establecer la amplitud y el periodo de
a) y = 5 cos 3x
b) y = −1
2
sin(2πx)
11. Establecer la amplitud, periodo y cambio de fase de
a) y = 3 cos(πx + π/2)
b) y = 3,5 sin(π
2
(x− 0,5))
12. El espesor, x, de la capa de ozono se puede modelar por la expresión:
ln I0 − ln I = k x sec α
donde:
I0 es la intensidad de una particular longitud de onda de luz solar antes de que
llegue a la atmósfera
I es la intensidad de la misma longitud de onda después de pasar por una capa
de ozono de xcm de espesor
k es la constante de absorción de ozono para esa longitud de onda
α es el ángulo agudo que la luz solar hace con la vertical
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Caṕıtulo 6: Funciones trigonométricas Ejercicios
Suponer que para una longitud de onda de 3055 · 10−8cm se tiene que: k = 1,88, I0/I
mide 1,72 y α = 12◦. Determinar el espesor de la capa de ozono (aproximado a 2
decimales).
13. El bombeo cardiaco consta de una fase sistólica, en la cual la sangre sale del ventŕıculo
izquierdo hacia la aorta, y de una fase diastólica, durante la que el corazón se relaja.
En ocasiones, la función cuya gráfica se muestra a continuación sirve para hacer un
modelo de un ciclo completo de este proceso. Para un individuo en particular, la fasesistólica dura 1
4
de segundo y tiene un volumen máximo de 8 litros por minuto (l/min).
Hallar a y b.
-
6
t (segundos)
y (l/min)
Fase
sistólica
Fase
diastólica
0.25
y = a sin bt
14. Para una persona en reposo la velocidad v, en litros por segundo, del aire que fluye en
un ciclo respiratorio es
v = 0,85 sin
(
πt
3
)
donde t se mide en segundos.
a) Graficar la función e indicar la porción del gráfico que corresponde a la situación
planteada.
b) ¿Cuál es la velocidad para el tiempo cero?.
c) ¿Para qué valor de t la velocidad es de 0, 425 l/seg?.
d) ¿En qué instante la velocidad es máxima?.
e) ¿Cuál es el valor de esa velocidad máxima?.
f ) ¿Cuál es la duración del ciclo respiratorio?.
15. En cierto d́ıa de primavera con 12 horas de luz diurna, la intensidad luminosa I toma
su máximo valor de 510 caloŕıas/cm2 al mediod́ıa. Si t = 0 corresponde a la salida del
sol, hallar un modelo del tipo I = a sin bt que se ajuste a esta información.
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Caṕıtulo 6: Funciones trigonométricas Ejercicios
6.12. Respuestas a los ejercicios
1. sin(kπ) = 0 para k ∈ Z, cos(kπ) = (−1)k para k ∈ Z
2. : sin cos tan csc sec cotan
π/2 1 0 ∃/ 1 ∃/ 0
3π 0 −1 0 ∃/ −1 ∃/
5π/2 1 0 ∃/ 1 ∃/ 0
−11π/2 −1 0 ∃/ −1 ∃/ 0
3. La expresión es positiva
4. sin A = ± tan A√
1 + tan2 A
, csc A = ±
√
1 + tan2 A
tan A
, cos A = ± 1√
1 + tan2 A
,
sec A = ±
√
1 + tan2 A, cot A =
1
tan A
5. sin α
6. Calcular la distancia entre A y P.
7. a) sin x = CP , cos x = OC
c) cot x =
OC
PC
. Como 4OCP ∼ 4SBD, se tiene que OC
PC
=
BS
OB
=
BS
1
= BS.
Por lo tanto, cot x = BS
8. a) sin α =
1√
10
, cos α = − 3√
10
, etc.
9. . a) .
Gráfico de y = sin x− cos x
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Caṕıtulo 6: Funciones trigonométricas Ejercicios
10. a) Amplitud: 5, Periodo: 2π/3
11. a) Amplitud: 3, Periodo: 2, Cambio de fase: 1/2 a la izquierda
12. 0,28cm
13. a = 8, b = 4π
14. a) .
Gráfico de v = 0,85 sin(πt
3
) Gráfico de acuerdo a la situación
b) 0
c) t = 0,42seg, t = 2, 58seg
d) t = 1, 5seg
e) 0,85 l/seg.
f ) 3seg.
15. I = 510 sin(πt/24)
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