Astronomia

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Gravedad
Un poco de historia
• Movimientos planetarios complejos
• Movimientos retrogrados
Un poco de historia
• Ya en el 400 a.C. Eudoxo desarrolla un modelo para explicar el movimiento planetario, con 
esferas concénctricas girando en ejes inclinados entre sí (hasta 27 esferas).
Un poco de historia
• Aristarco de Samos (310-230 a.C.) mide el tamaño del Sol, resultando ser mucho mayor que la 
Tierra. Propuso el primer modelo heliocéntrico del Universo... pero fue acusado de alterar el 
equilibrio del Universo. Hasta 18 siglos después no se volvió a hablar de heliocentrismo.
• Se siguen explicando los movimientos planetarios con circunferencias perfectas (p. ej. Hiparco) 
con ejes excéntricos, deferentes y epiciclos.
• Sistema de Ptolomeo (85 - 165 d.C.)
Un poco de historia
• Nicolas Copérnico: en 1543 se publica la obra en donde expone su modelo heliocéntrico
• El Sol es el centro del Universo y los planetas giran alrededor de él
• La Tierra gira sobre si misma y la Luna gira alrededor de la Tierra
• Explica los movimientos retrógrados de los planetas
Un poco de historia
• Tycho Brahe (1546-1601): se dedicó a medir posiciones de estrellas y planetas, catalogando cerca 
de 1000 estrellas.
• Ideó un sistema geocéntrico, con el Sol girando alrededor de la Tierra, pero el resto de los 
planetas, girando alrededor del Sol.
Un poco de historia
• Tycho Brahe legó sus datos a su discípulo Johannes Kepler (1571-1630).
• En 1609 publica sus tres leyes.
• Galileo (1564-1642) realiza sus descubrimientos (fases de Venus, lunas de Júpiter, manchas 
solares, estructuras lunares, apariencia extraña de Saturno, más estrellas,...)
• Isaac Newton (1642-1727): leyes del movimiento y ley de la gravitación universal.
Gravedad y Kepler
• Leyes de Kepler 
1.- Todos los planetas se mueven 
por órbitas elípticas, con el Sol en 
uno de los focos de la elipse.
2.- El radio vector de cada planeta 
recorre áreas iguales en tiempos 
iguales.
3.- Los cuadrados de los periodos 
de revolución de los planetas 
alrdedor del Sol son proporcionales 
a los cubos de los semiejes de sus 
órbitas elípticas.
• Las leyes de Kepler se deducen de la ley de gravitación de Newton. 
• La fuerza gravitatoria que ejerce la masa m1 sobre la masa m2 es:
 

F12 = −
Gm1m2
r12
2
u12
u12 =
r12
r12
r12 =
r2 −
r1 

F21 = −
Gm2m1
r21
2
u21
u21 =
r21
r21
r21 =
r1 −
r2
Gravedad y Kepler
Por lo tanto: 
que no es más que la tercera ley de Newton.
 

F12 = −

F21
Gravedad y Kepler
Ecuaciones del movimiento:
 
m1
r1 =

F12
m2
r2 =

F21 = −

F12
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⇒ m1
r1 + m2
r2 = 0⇒ m1
r1 + m2
r2 =
p1 +
p2 =

P = cte
Centro de masas y posición relativa:
 

R = m1
r1 + m2
r2
m1 + m2
 r = r1 −
r2
 
(m1 + m2 )
R = 0
r = r1 −
r2 =

F12
m1
+

F12
m2
=

F12
m1 + m2
m1m2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
µr =

F12
µ = m1m2
m1 + m2
≡ masa reducida
Gravedad y Kepler
El movimiento de dos cuerpos (aislados) corresponde al de un cuerpo libre situado en el CDM
cuya masa es la total
 +
El de un cuerpo de masa la masa reducida, sometido a la fuerza gravitatoria entre los dos cuerpos
Gravedad y Kepler
Así, sólo hemos de resolver:
 
µr =

F12 = −
Gm1m2
r12
2
u12
 
r = −G(m1 + m2 )
r2
u
Caso práctico (una masa mucho mayor que la otra - Sistema Solar):
Si m1>>m2 
 
µ = m1m2
m1 + m2
=
m2
1+ m2
m1
 m2
m1 + m2  m1
 
r = −Gm1
r2
u
Gravedad y Kepler
Este es un problema de fuerzas centrales, por tanto, la energía mecánica y el
momento angular de la partícula se conservan:
1. Potencial gravitatorio: 
2. Energía de m2:
3. Momento angular:
 

F(r ) = −

∇V (r )

F(r ) = −F(r)u
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⇒ F(r) = − ∂V (r)
∂r
⇒V (r) = −Gm1m2
r
 
E = 1
2
m2
r 2 − Gm1m2
r
 

L = m2
r × r
Gravedad y Kepler
Momento angular constante:
El plano de la órbita es constante, es decir, 
el movimiento siempre es en el mismo plano.
Coordenadas polares (r, θ)
 
L =

L = m2r
2 θ
E = 1
2
m2 r
2 +
1
2
m2r
2 θ 2 − Gm1m2
r
=
1
2
m2 r
2 +
L2
2m2r
2 −
Gm1m2
r
Gravedad y Kepler
Segunda ley de Kepler (ley de las áreas):
Cuando el ángulo cambia en dθ el radio vector r barre
un área
de manera que la velocidad aerolar o ritmo al que se 
barren áreas es
dA = 1
2
r2dθ
dA
dt
=
1
2
r2 dθ
dt
=
1
2
L
m2
= cte
La segunda ley de Kepler es la conservación del momento angular.
Gravedad y Kepler
Primera ley de Kepler (órbitas):
Renombremos 
Se define un potencial efectivo:
m2 = m m1 = M
 
L = mr2 θ
E = 1
2
mr2 + L
2
2mr2
−
GMm
r
k = −GMm
Vef =
L2
2mr2
+
k
r
E = T +Vef
Gravedad y Kepler
Primera ley de Kepler (órbitas):
Si L=0 la partícula cae en línea recta al
origen. Caida libre.
Si L≠0 el potencial tiene un mínimo en
r0 = −
L2
mk
 y Vef (r0 ) = −
mk2
2L2
Gravedad y Kepler
Primera ley de Kepler (órbitas):
a) E>0: partícula cuasi-libre, cuanta más energía, 
más puede acercarse al centro, pero nunca llega.
Se aleja indefinidamente.
b) E=0: como (a). Máximo acercamiento en 
c) E<0: Partícula ligada, atrapada gravitacionalmente.
Su distancia al centro cambia entre dos valores
mientras gira alrededor del mismo. 
d) E=Emin=
Su distancia al centro es constante = r0. Órbitas
circulares cerradas.
rmax = −
L2
2mk
=
L2
2m2MG
−
mk2
2L2
Gravedad y Kepler
Primera ley de Kepler (órbitas):
Gravedad y Kepler
Primera ley de Kepler (órbitas):
 
r = −GM
r2
u = k
mr2
u
Solución:
- resolvemos r(θ)=r(θ(t)):
 
mr = mr θ 2 + k
r2
mr2 θ = L
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⇒ r = L
2
m2r3
+
k
mr2
 
u = 1
r
 ⇒ du
dθ
= −
1
r2
dr
dθ
r = dr
dθ
θ = −r2 θ du
dθ
= −
L
m
du
dθ
r = d
r
dθ
θ = − L
m
d 2u
dθ 2
θ
⎫
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⇒
d 2u
dθ 2
+ u = − mk
L2
Gravedad y Kepler
d 2u
dθ 2
+ u = − mk
L2
u(θ) = 1
r
= −
mk
L2
+ Acos(θ −θ0 )
Que puede escribirse:
Y que es la ecuación de una CÓNICA.
2α  se llama latus rectum
ε  se llama excentricidad
α
r
= 1+ ε cos(θ −θ0 )
Primera ley de Kepler (órbitas):
Gravedad y Kepler
Primera ley de Kepler (órbitas):
Gravedad y Kepler
Primera ley de Kepler (órbitas):
α = − L
2
mk
ε = 1+ 2EL
2
mk2
Demostrarlo
Distancia mínima, rmin cuando θ=0: PERICENTRO.
 - Para un planeta alrededor del Sol, se llama PERIHELIO
 - Para un satélite alrededor de la Tierra, se llama PERIGEO
rmin =
α
1+ ε
Distancia máxim, rmax cuando θ=180: APOCENTRO.
 - Para un planeta alrededor del Sol, se llama AFELIO
 - Para un satélite alrededor de la Tierra, se llama APOGEO
rmax =
α
1− ε
Gravedad y Kepler
Primera ley de Kepler (órbitas):
CASOS:
Los valores de la excentricidad, y por tanto de la energía, determinan el tipo de órbita.
ε > 1 E > 0 hipérbola
ε = 1 E = 0 parábola
0 < ε < 1 Vmin < E < 0 elipse KEPLER
ε = 0 E = Vmin circunferencia
Gravedad y Kepler
Primera ley de Kepler (órbitas):
Gravedad y Kepler
Para movimiento planetario y satélites: ELIPSES
Semieje mayor:
Semieje menor:
Excentricidad:
a = α
1− ε 2
=
k
2E
= −
GMm
2E
b = α
1− ε 2
=
L
2m E
ε = 1− b2 / a2
Gravedad y Kepler
dA
dt
=
1
2
r2 dθ
dt
=
1
2
L
m
= cte
Tercera ley de Kepler: periodo orbital
Sea τ	
  el periodo orbital, es decir, el tiempo que tarda m en recorrer la órbita una vez. Integrando
dA/dt en un periodo debemos obtener el área de la elipse %ab:
dA
dt
dt
o
τ
∫ =
1
2
L
m
τ = πab = πa a −L
2
mk
τ = 2πa3/2 −m
k
=
2π
GM
a3/2
τ 2 = 4π
2
GM
a3
Gravedad y Kepler
Sistema Solar
El Sistema Solar está compuesto de:
• El Sol (99.85% de la masa)
• Ocho planetas (0.135% de la masa)
• Cometas
• Satélites de los planetas
• Planetas enanos 
• Objetos Kuiper 0.015% de la masa
• Asteroides
• Meteoroides
• Medio interplanetario
http://www2.jpl.nasa.gov/basics/bsf1-1.php
Sistema Solar
Sistema Solar
Datos planetarios
http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/
Sistema Solar
http://asa.usno.navy.mil/SecF/2012/Satellite_orbital_data_2012.txtDatos satélites naturales:
Datos planetas enanos:
Hay 5 planetas enanos: Ceres, Plutón, Haumea, Makemake, Eris.
http://www.windows2universe.org/our_solar_system/planets_table.html&lang=sp
Gravedad terrestre 
En la superficie de la Tierra, la fuerza gravitatoria sobre una masa m es:
y corresponde al peso, es decir:
Por tanto,
así, puede obtenerse la masa de la Tierra, MT=M⊕ = 5.96 × 1024 kg  tomando el radio medio
de la Tierra 6371 km. ¿Qué otra forma hay de estimar la masa de la Tierra?
F =
GMTm
RT
2
F = mg
g =
GMT
RT
2
Gravedad terrestre 
Energía potencial en la superficie terrestre:
Una partícula de masa m a una altura h sobre la superficie de la Tierra, tiene una energía 
potencial:
Así, la diferencia de potencial del cuerpo respecto del suelo es:
F =
GMTm
RT
2
 
V (h) = −
GMTm
RT + h
= −
GMT
RT
m 1
(1+ h / RT )
 −
GMT
RT
m(1− h / RT )
 −gmRT + gmh
V (h) −V (0) = gmh
Gravedad terrestre 
Velocidad de escape:
Es la velocidad necesaria para escapar indefinidamente de un campo gravitatorio.
Desde la superficie terrestre (r=RT):
E = 1
2
mv2 − GMTm
RT
= 0 (mínima energía para escapar)
→ v = 2GMT
RT
= 2gRT = 11.2 km/s
Campo gravitatorio 
Veamos como se pueden obtener las fuerzas gravitatorias que ejercen los cuerpos masivos en
cualquier punto del espacio.
Si tenemos un conjunto de partículas mj situadas cada una en , la energía potencial de una 
masa m, en , debido a todas las masas (j=1,N) será: 
ya que la masa m aparece como un factor común siempre, podemos definir el potencial 
gravitatorio (o energía potencial por unidad de masa) 
 
rj
 
r
 
V (r ) = −
Gmmj
r − rjj=1
N
∑
 Φ(
r )
 
V (r ) = mΦ(r )
Φ(r ) = −
Gmj
r − rjj=1
N
∑
Campo gravitatorio 
La aceleración de la partícula es:
como es independiente de la masa se puede definir el campo gravitatorio :
 
 m
r = −

∇V (r ) = −m

∇Φ(r )⇒ 

r = −

∇Φ(r )
 
g(r )
 
g(r ) = −

∇Φ(r )
Si la distribución de masa es continua, caracterizada por una densidad entonces ρ(
r )
 
Φ(r ) = − Gρ(
r ')
r − r 'V
∫ dr '
g(r ) = (
r '− r )G
r − r ' 3V
∫ ρ(r ')dr '
Campo gravitatorio 
Veamos un ejemplo sencillo con simetría esférica, es decir, 
Calculemos el potencial gravitatorio generado por una capa esférica de radio a y masa M en 
cualquier punto del espacio P. 
 
 ρ(
r ) = ρ(r)
El punto P situado a una distancia r0 del centro de la
capa esférica, “ve” que todos los puntos de un anillo 
centrado en el eje OP están a la misma distancia, r. Por 
tanto, el potencial gravitatorio en P debido a ese anillo 
será: 
dΦ = −G
r
(masa del anillo) = −G
r
(densidad superficial de masa × área del anillo)
= − G
r
M
4πa2
2πasinθ × adθ = −GM
2
sinθ
r
dθ
Poniendo r en función de r0 y : θ r = (r02 + a2 − 2r0acosθ)1/2
dΦ = −GM
2
sinθ
(r0
2 + a2 − 2ar0 cosθ)
1/2 dθ
Φ(r0 ) = −
GM
2
sinθ
(r0
2 + a2 − 2ar0 cosθ)
1/2 dθ
0
π
∫
= −
GM
2ar0
(r0 + a) − r0 − a⎡⎣ ⎤⎦
Hay dos casos, cuando P está dentro de la esfera y cuando está fuera:
El primero demuestra que el potencial gravitatorio de una distribución esférica de masa en un 
punto fuera del objeto es el mismo que el generado por una masa puntual situada en el centro del 
objeto.
El segundo demuestra que, dentro de una capa esférica, el potencial gravitatorio es constante, es 
decir, no hay fuerza gravitatoria.
Estos son los dos teoremas de Newton para capas esféricas de materia.
Campo gravitatorio 
• r0 ≥ a Φ(r0 ) = −
GM
r0
• r0 ≤ a Φ(r0 ) = −
GM
a 2 4 6 8 10
r
a
�1.0
�0.5
0.0
0.5
�
Campo gravitatorio 
Para sistemas con simetría esférica:
Φ(r) = −4πG 1
r
ρ(r ')r '2 dr '+ ρ(r ')r 'dr '
r
∞
∫
0
r
∫
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
 

F(r) = − dΦ
dr
u = −GM (r)
r2
u
M (r) = 4π ρ(r ')r '2 dr '
0
r
∫
Supongamos partículas en órbitas circulares. En este caso puede calcularse la velocidad circular
o de rotacion, 
 
vc
2 (r) = r dΦ
dr
= r

F = GM (r)
r
Y la velocidad de escape ve(r) = 2 Φ(r)
Campo gravitatorio 
EJEMPLOS:
1.- MASA PUNTUAL:
2.- ESFERA HOMOGÉNEA:
Φ(r) = −GM
r
; vc (r) =
GM
r
; ve =
2GM
r
M (r) = 4
3
πr3ρ; vc (r) =
4πGρ
3
r; ve(r) = CALCÚLESE
0 2 4 6 8 10r
0.5
1.0
1.5
2.0
vc
CONCLUSIÓN: 
MIDIENDO VELOCIDADES
SABREMOS LA DISTRIBUCIÓN
DE MASA
Medir velocidades: efecto Doppler
En astronomía se obtienen velocidades utilizando el efecto Doppler.
Medir velocidades: efecto Doppler
Hace falta una frecuencia conocida de referencia: líneas del hidrógeno, oxígeno, etc.
Medir velocidades: efecto Doppler
TRANSICIONES ATÓMICAS
Pesando galaxias
Pesando galaxias
Distribución de estrellas en el disco plano.
Φ(R) NO ES ESFÉRICO
Pesando galaxias
Φ(R)
Tiene simetría cilíndrica y aún puede calcularse las velocidades circulares esperadas de
estrellas rotando en el disco.
Pesando galaxias
Muy útil es una línea del hidrógeno neutro (HI) que emite a 21 cm (ondas de radio). Es
emitida por hidrógeno frío en galaxias espirales. Es muy abundante en el Universo (~80%).
Curvas de rotación de galaxias
Usando entonces la línea de 21cm pueden obtenerse las curvas de rotación (velocidades
circulares en función del radio de la galaxia) con mucha precisión (mejor que 3 km/s).
Curvas de rotación de galaxias
Curvas de rotación de galaxias
Se obtienen masas de entre 109 y 1012 masas solares (Via Láctea tiene 61011 
masas solares). Pero....
?
Falta algo en el modelo.
Curvas de rotación de galaxias
estrellas
gas
MATERIA OSCURA
La materia oscura en una galaxia representa entre un 50 y un 90% de la masa
total.
Curvas de rotación de galaxias
Curvas de rotación de galaxias
• Los halos de materia oscura son esféricamente simétricos con una densidad de masa.
• Las curvas de rotación proporcionaron la primera indicación de la existencia de
materia oscura en el Universo.
• Hay muchas más. Hoy en día se admite que en el Universo hay un 23% de materia oscura.