Leccion_11

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Primitivas e integral indefinida.
Tema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas
e impropias.
José M. Salazar
Noviembre de 2016
Primitivas e integral indefinida.
Tema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas e
impropias.
Lección 11. Cálculo de primitivas.
Lección 12. Integral de Riemann y sus aplicaciones.
Primitivas e integral indefinida.
Índice
1 Primitivas e integral indefinida.
Introducción, primeras definiciones y propiedades.
Tabla de integrales indefinidas.
Técnicas de integración.
Primitivas e integral indefinida.
Ejemplo introductorio
Ejemplo
Se lanza un objeto hacia arriba con velocidad de 6 m/s desde una
altura de 8 m. ¿Cuál es la función que expresa la altura h en
función del tiempo t, h(t)?
La función h(t) obedece a la ecuación h′′(t) = −9.8 m/s2.
Además, h(0) = 8 y h′(0) = 6.
h′(t) =
∫
h′′(t) dt = −9.8t + C1
h′(0) = 6
}
⇒ C1 = 6
h(t) =
∫
(−9.8t + 6) dt = −9.82 t
2 + 6t + C2
h(0) = 8
}
⇒ C2 = 8
En consecuencia, h(t) = −9.82 t
2 + 6t + 8.
Primitivas e integral indefinida.
Integral indefinida
Definición (Primitiva)
Una función F (x) es primitiva de f (x) si F ′(x) = f (x) para todo x
del dominio de f .
Observación
Si F1(x) es primitiva de f (x) en I , entonces F2(x) lo es si y sólo si
F2(x) = F1(x) + C ∀x ∈ I con C constante.
Definición (Integral indefinida)
Dada la función f (x), llamamos integral indefinida de f (x) al
conjunto de todas sus primitivas. Se denota
∫
f (x) dx = F (x) + C ,
donde C es una constante arbitraria y F (x) es una primitiva
cualquiera de f (x).
Primitivas e integral indefinida.
Propiedades
Propiedades∫
(f (x) + g(x)) dx =
∫
f (x) dx +
∫
g(x) dx .∫
af (x) dx = a
∫
f (x) dx .
Observación
No toda función f definida en I admite primitivas, aunque śı lo
hará de ser continua en el intervalo (se verá más adelante).
Primitivas e integral indefinida.
Tabla de integrales indefinidas
Ejemplos (Integrales indefinidas)
G (x) + C =
∫
G ′(x) dx
1.
f (x)n+1
n + 1
+ C =
∫
f (x)nf ′(x) dx .
2. ln f (x) + C =
∫
f ′(x)
f (x)
dx .
3. loga f (x) + C =
∫
f ′(x)
f (x)
loga e dx .
4. af (x) + C =
∫
af (x)f ′(x) ln a dx .
5. ef (x) + C =
∫
ef (x)f ′(x) dx .
Primitivas e integral indefinida.
Tabla de integrales indefinidas
Ejemplos (Integrales indefinidas)
6. sen f (x) + C =
∫
cos(f (x))f ′(x) dx .
7. cos f (x) + C =
∫
− sen(f (x))f ′(x) dx .
8. tg f (x) + C =
∫
f ′(x)
cos2 f (x)
dx .
9. cotg f (x) + C =
∫
− f
′(x)
sen2 f (x)
dx .
10. sec f (x) + C =
∫
f ′(x) sec(f (x)) tg(f (x)) dx .
Primitivas e integral indefinida.
Tabla de integrales indefinidas
Ejemplos (Integrales indefinidas)
11. cosec f (x) + C =
∫
−f ′(x) cosec(f (x)) cotg(f (x)) dx .
12. arcsen f (x) + C =
∫
f ′(x)√
1− f (x)2
dx .
13. arccos f (x) + C =
∫
−f ′(x)√
1− f (x)2
dx .
14. arctg f (x) + C =
∫
f ′(x)
1 + f (x)2
dx .
15. arccotg f (x) + C =
∫
−f ′(x)
1 + f (x)2
dx .
Primitivas e integral indefinida.
Integración por sustitución e integración por partes
Proposición (Integración por sustitución)
Sea f (x) continua en I1. Si x = g(t), con g(t) definida en I2,
g(I2) ⊂ I1, y g ′(t) continua, entonces:∫
f (x) dx =
∫
f (g(t))g ′(t) dt
Proposición (Integración por partes)
Sean f (x) y g(x) con derivadas continuas en un intervalo I .
Entonces: ∫
f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x) dx
Escrito de modo abreviado,
∫
u dv = u · v −
∫
v du.
Primitivas e integral indefinida.
Técnicas de integración
Técnicas de integración
Integrales racionales.∫
P(x)
Q(x)
dx con P(x) y Q(x) polinomios.
Técnica: descomposición en fracciones simples.
Integrales trigonométricas.∫
senmx cos nx dx ,
∫
senmx sen nx dx ,
∫
cosmx cos nx dx∫
senm x cosn x dx
Técnica: utilizando identidades trigonométricas.∫
R(sen x , cos x) dx
Técnica: cambios de variable que reduce la integral a una
racional.
Primitivas e integral indefinida.
Técnicas de integración
Técnicas de integración
Integrales irracionales.∫
R(ax) dx con a > 0.∫
R
(
x ,
(
ax + b
cx + d
)m/n
, . . . ,
(
ax + b
cx + d
)r/s)
dx∫
R(x ,
√
x2 + a2) dx .∫
R(x ,
√
x2 − a2) dx .∫
R(x ,
√
a2 − x2) dx .
Técnica: cambios de variable. En las dos primeras se reduce la
integral a una racional y, en el resto, a trigonométricas.
Primitivas e integral indefinida.
Integrales no expresables con funciones elementales
Observación
Aunque toda función f continua en I admite una primitiva F , ésta
no siempre es expresable en términos de funciones elementales.
Algunos ejemplos:∫
e−x
2
dx ,
∫
sen x
x
dx ,
∫
1
ln x
dx
	Primitivas e integral indefinida.
	Introducción, primeras definiciones y propiedades.
	Tabla de integrales indefinidas.
	Técnicas de integración.