Ejercicios Programación-1

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Programación
Ejercicios Obligatorios
1 - Primera parte
1.1 - Instrucciones secuenciales y estructuras alternativas
1. Dadas tres variables numéricas a, b y c, realizar el siguiente desplazamiento de valores:
Por ejemplo: Si a=1, b=2 y c=3, finalmente se debe devolver a=3, b=1 y c=2.
2. Dado un tiempo total en segundos, devolver su equivalente en horas, minutos y segundos. Por
ejemplo: Si el tiempo es de 34225 segundos, la cantidad de horas será 9, la de minutos será 30 y la
de segundos será 25.
3. Escribir una función que tome tres argumentos de entrada: base, altura y tipo. La función debe
calcular el área de un cuadrado si tipo=0, o el área de un triángulo si tipo=1.
4. Escribir una función que indique cuanto tiene que pagar una persona de luz dado su consumo y
nivel, considerando el cuadro tarifario de Calf:
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1.2 - Estructuras iterativas
1. Dado un número n como argumento de entrada, escribir una función que muestre por pantalla la
tabla de ese número.
2. Dados a y b naturales, devolver a elevado a la b (sin utilizar a^b) y la productoria de los números
que están entre 1 y b.
3. Dado n natural, sumar los números impares naturales menores que n, contar los pares y mostrar
un mensaje por pantalla indicando si los dos resultados hallados son múltiplos de 2.
4. Para todos los nros naturales menores a n, imprimir el nro al cuadrado si es par o el numero al cubo
si es impar.
1.3 - Arreglos
1. Elevar cada componente de un vector a la i-esima potencia, donde i es la posición (se puede utilizar
el operador ^).
2. Ordenar un vector de menor a mayor.
3. Dada una matriz A de n filas y m columnas, modificar sus componentes sumando a cada elemento
el valor del siguiente en la misma fila, a excepción del último, al cual se le restará un tercio de su
valor.
Ejemplo:
4. Dada una matriz A de dimensión n x m, generar un vector v en el que cada componente i-ésima de
v sea 1 si el elemento de mayor valor absoluto de la fila i-ésima de A se encuentra en su diagonal y
0 si no es así.
Ejemplo:
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2 - Segunda parte
2.1 - Búsqueda de Raíces
1. Escribir una función que encuentre una raíz a una f(x) para cada método visto en clase. La función
debe tener como argumentos de entrada a f(x), el número máximo de iteraciones N, y una tolerancia
deseada tol, además de el resto de los argumentos que requirea el método. La función debe retornar
el valor aproximado de la raíz p, y el error absoluto aproximado en esa iteración.
2. Modificar la función de bisección para que calcule internamente el número de iteraciones que
aseguran un error menor a la tolerancia.
3 - Resolución de Sistemas de ecuaciones
Para los ejercicios de métodos iterativos, la función debe aceptar como parámetros de entrada una
cantidad de iteraciones N, y una tolerancia tol. Los parámetros de salida serán la solución y el error
absoluto aproximado.
1. Programar una función que encuentre la solución a un sistema de ecuaciónes 𝐴× 𝑥 = 𝑏 por el
método de Jacobbi secuencial.
2. Programar una función que encuentre la solución a un sistema de ecuaciónes 𝐴× 𝑥 = 𝑏 por el
método de Jacobbi matricial.
3. Programar una función que encuentre la solución a un sistema de ecuaciónes 𝐴× 𝑥 = 𝑏 por el
método de Gauss-Seidel secuencial.
4. Programar una función que encuentre la solución a un sistema de ecuaciónes 𝐴× 𝑥 = 𝑏 por el
método de Gauss-Seidel matricial.
5. Programar el algoritmo de sustitución hacia atrás para un sistema ampliado ya triangulado.
6. Programar el método directo de Gauss sin pivoteo.
7. Programar el método directo de Gauss con pivoteo total.
3.1 - Interpolación y Regresión
1. Escribir una función que dado un vector y y un vector x, retorne una matriz con las diferencias
divididas para el método de interpolación de Newton.
2. Escribir una función que dados los vectores x e y, encuentre la interpolación en un punto p utilizando
el método de Newton y la función del ejercicio anterior para las diferencias divididas. Utilice el
polinomio de mayor orden posible.
3. Escribir una función que dados los vectores x e y, encuentre la interpolación en un punto p utilizando
el método de Lagrange. Utilice el polinomio de mayor orden posible.
4. Modificar los dos incisos anteriores pare que acepten un vector p, y devuelvan otro vector con la
interpolación en cada componente de p.
5. Escribir una función que, dados los vectores x e y, realice una regresión polinómica de grado n por
el método matricial. La función debe retornar los coeficientes de la regresión en un vector.
6. Escribir una función que utilizando la función del inciso anterior, retorne la estimación por la
regresión polinómica en todos los puntos de un vector p.
3.2 - Derivación numérica
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1. Dados un vector y y un valor h, sabiendo que y=f(x) para una serie de x equiespaciados por la
distancia h. Realice una función que encuentre la derivada aproximada para cada componente del
vector, utilizando operadores de orden 2.
2. Dada una función f(x) y un vector x y otro valor h, implemente una función que encuentre la
derivada primera de orden 2 de f(x) en cada componente de x, con paso h.
3. Calcule los errores absolutos de las aproximaciones a la derivada primera de orden 2 de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
en 𝑥 = 1, con ℎ = 2−𝑖, para 𝑖 = 1…60. Grafique los errores en función del ℎ, y encuentre el ℎ
óptimo. Es necesario configurar los ejes del gráfico en escala logarítmica.
4. Realice una función para encontrar la derivada aproximada a f(x) mejorada por la extrapolación
de Richardson. Como argumentos de entrada se requiere la función, el punto x donde derivar, el
paso innicial h, y la cantidad de iteraciones de Richardson n.
3.3 - Integración Numérica
1. Dados los vectores h e y, donde y=f(x) para valores de x equiespaciados por h, implemente una
función que encuentre el área aproximada bajo la curva f(x) por el método de trapecios.
2. Realice otra función para integrar por trapecios, pero ahora con parámetros de entrada y y x, donde
los x no estan equiespaciados.
3. Dados un vector y y un valor h, donde y=f(x) para x equiespaciado por h, implemente una función
que encuentre el área aproximada bajo la curva f(x) combinando los métodos de Simpson de
acuerdo con la cantidad de puntos. Si no pudiese realizar una combinación, debe utilizar trapecios.
4. Implemente una función que encuentre la integral aproximada a 𝑓(𝑥) por el método de trapecios.
Los argumentos de entrada serán la función f, los extremos de integración a y b, y la cantidad de
intervalos N.
5. Utilizando la función del ejercicio anterior, realice otra función que mejore la aproximación de la
integral utilizando Romberg. Necesitará como argumento de entrada la cantidad de iteraciones de
Romberg a realizar.
3.4 - Autovalores
1. Realice una función que implemente el método de la potencia para encontrar el autovalor de mayor
módulo a la matríz A.
2. Realice una función que implemente el método de la potencia inversa para encontrar un autovalor
cercano a q de una matriz A.
3. Realice una función que dada una matriz A, encuentre los rangos a los que pueden pertenecer sus
autovalores, mediante el uso del teorema de Gerschgorin.
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	Primera parte
	Instrucciones secuenciales y estructuras alternativas
	Estructuras iterativas
	Arreglos
	Segunda parte
	Búsqueda de Raíces
	Resolución de Sistemas de ecuaciones
	Interpolación y Regresión
	Derivación numérica
	Integración Numérica
	Autovalores