TP 3 - Raices - MCI I

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MCI I ///////////////////////////////////////////////////////////////////UNCo
Métodos para la búsqueda de Raíces
Ejercicios Propuestos
1) Explicar gráficamente cada uno de los métodos de búsqueda de
raíces.
2) Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝜋
𝑥
(1 − 𝑒−𝑥) − 1, en el intervalo [2; 4]:
a) ¿Cumple las condiciones necesarias para aplicar Bisección o
Falsa Posición?
b) Encontrar la raíz aproximada con 3 iteraciones del método de
Bisección, calculando el error relativo aproximado.
c) Encontrar la raíz aproximada con 3 iteraciones del método de
Falsa Posición, calculando el error relativo aproximado.
d) Considerando a 𝑥 = 2.982405673 como la raíz real, calcular
el Error absoluto verdadero para ambos casos.
e) ¿Cuántas iteraciones de Bisección aseguran un error
absoluto menor a 10−10?
3) Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥
3
3
− 2𝑥 − 2, en el intervalo [1.5; 3]:
a) Resolver tres iteraciones del método de Punto Fijo con
la función 𝑔(𝑥) = (6𝑥 + 6)
1
3 , calculando el error relativo
aproximado.
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b) Verifique que la función 𝑔(𝑥) cumple con las condiciones del
el teorema de Punto Fijo. ¿Qué puede asegurar con ello?
c) ¿Cuántas iteraciones de Punto Fijo aseguran un error
absoluto menor a 10−10 con esa 𝑔(𝑥)?
d) Elegir otra función 𝑔(𝑥) para este problema. ¿Cumple con el
teorema de Punto Fijo?
4) Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 1, y el punto de partida 𝑥0 = 0:
a) Encontrar la raíz aproximada con 3 iteraciones del método de
Newton-Raphson, calculando el error relativo aproximado.
b) Encontrar la raíz aproximada con 3 iteraciones del método de
la Secante, calculando el error relativo aproximado. Utilice
𝑥1 = 1.
c) Comente los problemas de convergencia que pueden tener
éstos métodos.
d) ¿Cómo puede hacer para converger a alguna de las otras
raíces de 𝑓(𝑥)?
5) Indique cómo se relacionan el orden de convergencia 𝛼 con la
constante de error asintótica 𝜆. ¿Cómo afecta cada una a la
velocidad de convergencia?¿Qué impacta más, un 𝜆 pequeño o un
𝛼 grande? Exprese el valor numérico del orden de convergencia
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para cada método.
6) Indique VERDADERO o FALSO, justificando su respuesta:
a) El método de Newton-Raphson suele converger más rápido
que el método de Bisección.
b) Si hay un único punto fijo para 𝑔(𝑥), entonces el método de
Punto Fijo converge.
c) El método de Newton-Raphson es un caso particular de
Punto Fijo, por lo que se pueden utilizar sus mismos criterios
de convergencia.
d) Para encontrar una aproximación a la raíz a 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥2 se
puede utilizar el método de Bisección.
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