DERIVADAS PARCIALES y DERIVADAS DIRECCIONALES

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ANALISIS MATEMATICO II-MATEMATICA II 
PROF. Y LIC EN FÍSICA-PROF. Y LIC. EN QUIMICA PROF: DR. RAUL G. ORTEGA 
Año 2022: “Las Malvinas son Argentinas” 
 
 1 
UNIDAD 3 
 
DERIVADAS PARCIALES 
 
Introducción 
Cuando trabajamos con funciones de una sola variable y=f(x) la derivada de y 
con respecto a la variable x se define como 
 
 
x
xfxxf
dx
dy
x

−+
= →
)()(
lim 0 
 
y se interpretaba geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la curva en 
el punto de interés. 
 
La Derivada Parcial 
 
 De un modo similar se puede definir la derivada para cuando tenemos funciones 
de mas de una variable independiente, aunque en este caso abandonamos el concepto de 
la derivada ordinaria, es decir la derivada con respecto a una única variable 
independiente. Es así que si tenemos una función de dos variables z=f(x,y), en un 
primer orden de derivación, aparecen dos derivadas posibles con respecto a cada 
variable independiente. Como hay dos variables independientes, hay dos derivadas 
posibles en el primer orden y reciben el nombre de derivadas parciales con respecto a la 
variable de interés. 
 
 Para una función z=f(x,y) la derivada parcial con respecto a x es 
 
 
x
yxfyxxf
x
z
x

−+
=


→
);();(
lim 0 
 
y la derivada parcial con respecto a y es 
 
 
y
yxfyyxf
y
z
y

−+
=


→
);();(
lim 0 
 
siempre que cada uno de estos límites existan. 
 
 Debemos notar un par de cosas. Cuando se trata de derivadas parciales no 
escribimos la letra “d” usada para la notación de las derivadas ordinarias; sino la letra 
griega “ ”; la cual aparece siempre que se practique una derivación parcial. 
 Además, si observamos los límites definidos en este caso en la derivación parcial 
con respecto a “x” o con respecto a “y”, nos damos cuenta que solo se incrementa la 
variable con respecto a la cual se deriva; mientras que la otra permanece sin cambios. 
 
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Teniendo esto en mente podemos establecer un modo práctico sobre como realizar la 
diferenciación o la derivada parcial. 
 
PARA REALIZAR LA DERIVADA PARCIAL DE UNA FUNCIÓN DE DOS O 
MAS VARIABLES SE APLICAN LAS MISMAS REGLAS DE DERIVACIÓN 
QUE PARA FUNCIONES DE UNA VARIABLE A LA VARIABLE CON 
RESPECTO A LA CUAL SE DERIVA, MIENTRAS QUE LA/S OTRA/S SE 
COMPORTA/N COMO CONSTANTES. 
 
Ejemplo: 
Dada la función z = 4x3y2 – 4x2 + y6 + 1 
 
(a) Encontrar 
x
z


 
 
Entonces 
 xyxxyx
x
z
812002.43.4 2222 −=++−=


 
 
Se observa que en el primer término y2 permanece sin cambios como una constante ya 
que acompaña a x2 en un producto. Solo se deriva la x. Pero en el tercer término y6 no 
esta multiplicado por ninguna x, entonces es una constante para la derivación respecto 
de x, sabemos que la derivada de una constante es cero; al igual que en el último 
término. 
 
(b) Encontrar 
y
z


 
 
5353 680602.4 yyxyyx
y
z
+=++−=


 
 
Notación de la Derivada Parcial 
 
 Las derivadas parciales 
x
z


; 
y
z


 también se pueden denotar con un subíndice 
que indique la variable con respecto a la cual se deriva; es decir 
 
 xx fz
x
z
==


 yy fz
y
z
==


 
 
Ejemplo: 
 Sea f(x,y) = x5y10 cos (xy2); encontrar fx , fy 
 
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Si observamos la función vemos que tenemos que aplicar la regla del producto para la 
derivación, además de la regla de la cadena para derivar el coseno con su argumento. 
 
fx= 5x4y10cos(xy2) + x5.0.cos(xy2) + x5y10.(-sen(xy2)).y2= 
 
fx= 5x4y10.cos(xy2) – x5y12.sen(xy2) 
 
 
fy= 0.y10.cos(xy2) + x5.10y9.cos(xy2) + x5y10.(-sen(xy2).2xy 
 
fy= 10x5y9.cos(xy2) – 2x6y11.sen(xy2) 
 
 
 
Interpretación Geométrica de la Derivada Parcial 
 
 Si tenemos la función z=f(x,y) y queremos encontrar 
x
z


; sabemos ya que la 
variable “y” se comporta como constante. Digamos que y=b . 
 La función z=f(x,y) representa una superficie en R3. Mientras que y=b representa 
un plano que corta al eje y en el punto b, y que es paralelo al plano xz. La intersección 
de la superficie dada por f(x,y) y el plano y=b , es una curva. En consecuencia si 
aplicamos la definición de la derivada parcial considerando el valor constante de la 
variable “y” tenemos 
 
 
x
bxfbxxf
x
z
x

−+
=


→
);();(
lim 0 
 
el cual se ve que se reduce al cálculo del límite para una función de una variable f(x;b); 
por ello esta derivada se puede interpretar de la misma forma que para funciones de una 
sola variable independiente. O sea sobre la curva intersección se pueden identificar los 
puntos correspondientes a f(x,b) y );( bxxf + los cuales se pueden unir por una recta 
llamada la recta secante, cuya pendiente será 
 
 
x
bxfbxxf

−+ );();(
 
 
al tomar el límite cuando el incremento x tiende a cero el punto );( bxxf + se 
desplaza sobre la curva intersección hasta aproximarse infinitesimalmente al punto 
f(x;b). En esta situación la recta secante se vuelve una recta tangente; entonces al aplicar 
el límite obtenemos la pendiente de la recta tangente al punto f(x,b). En conclusión la 
derivada parcial con respecto a “x’ nos da la pendiente de la recta tangente en la 
 
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dirección del eje x en el punto f(x;b); o bien la razón de cambio de la función en la 
dirección de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Del mismo modo se puede interpretar 
y
z


; pero en este caso adoptamos x constante, por 
ejemplo x=a; con lo cual se calcula 
 
z=f(x,y) 
Plano y=b 
f(x,b) 
f(x x+ ,b) 
Recta 
Tangente 
Recta 
Secante 
(x,b) 
(x x+ ,b) 
z 
x 
y 
 
Curva 
Intersección 
 
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y
yafyyaf
y
z
y

−+
=


→
);();(
lim 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y Plano x=a 
f(a,y) f(a,y y+ ) 
(a,y) (a,y y+ ) 
Curva 
Intersección 
z 
z=f(x,y) 
Recta 
Tangente 
Recta 
Secante 
 
 
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Entonces 
y
z


es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto f(a;y) en la 
dirección del eje y ; o bien la razón de cambio de la función en la dirección de la 
variable y. 
 
 De hecho cualquiera de las derivadas parciales siempre nos indicaran en que 
medida la función está cambiando. Si la función se mantiene constante o sin cambios 
obtendremos una derivada cero. La utilidad general de la derivación parcial es que nos 
permite estudiar los cambios que sufre nuestra función, aunque “limitados a las 
direcciones de los ejes coordenados”. 
 
Funciones de Tres o más Variables 
 
 Si tenemos una función con tres variables independientes w=f(x,y,z); tendremos 
tres derivadas parciales de primer orden 
 
 
z
w
y
w
x
w






 
 
Cada una de ellas se calcula aplicando las reglas de derivación para la variable respecto 
a la cual se deriva y manteniendo constantes las otras dos. 
 
Ejemplo: 
 
 Sea 
22
22
zy
zx
w
+
−
= . Calcular 
z
w


 
 
Como la función es un cociente de funciones, aplicamos la derivada de un cociente. 
 
 
2
''
'
v
uvvu
w
v
u
w
−
== 
 
entonces 
222
2222
)(
2).())(2(zy
zzxzyz
z
w
+
−−+−
=


 
 
222
22
222
3232
)(
)(2
)(
2222
zy
yxz
zy
zzxzzy
z
w
+
+
−=
+
+−−−
=


 
 
Ejemplo 2: 
 Si ysenxetyxF t 6.4cos),,( 3−= 
 
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Encontrar sus derivadas parciales de primer orden. 
 
 ysenxsenetyxF t
x 6.44),,( 3−−= aquí solamente hemos derivado el término 
coseno ya que es el única que contiene la variable x. 
 
 yxetyxF t
y 6cos.4cos6),,( 3−= aquí solamente se deriva la función seno ya que 
es la única que contiene la variable respecto a la cual se deriva. 
 
 ysenxetyxF t
t 6.4cos3),,( 3 −−= aquí solamente hemos derivado la función 
esponencial ya que es la única que tiene la variable t con respecto a la cual se deriva. 
 
 
 
 
Derivadas de Orden Superior y Mixtas 
 
 Las derivadas de z=f(x,y) en primer orden son 
y
z
x
z




; ; las cuales son a su 
vez funciones de las variables “x’ e “y’. Y como son funciones se puede continuar el 
proceso de derivación; a sea calcular las derivadas parciales de segundo orden, y si 
derivamos sucesivamente obtenemos derivadas de tercer orden, cuarto orden, etc. 
 
 Observemos el proceso si partimos de las derivadas de primer orden de la 
función z=f(x,y) 
 
 
x
z


 
y
z


 
 
podemos volver a derivar respecto a la misma variable; entonces tendremos 
 
 
2
2
x
z
x
z
x 

=









 
2
2
y
z
y
z
y 

=









 
 
Esto se lee “derivada segunda de “z” respecto a “x” dos veces”; o respectivamente 
“derivada segunda de “z” respecto de “y” dos veces”. Debe tenerse especial cuidado 
sobre la ubicación de los exponentes, en este caso el número 2 (observar la notación en 
el numerador y en el denominador). 
 
Si intentamos derivar nuevamente las derivadas obtenidas encontramos derivadas de 
tercer orden. 
 
 
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3
3
2
2
x
z
x
z
x 

=









 
3
3
2
2
y
z
y
z
y 

=











 
 
Se lee, para la primera, derivada tercera de z respecto a x tres veces. 
 
Pero hasta ahora solo hemos derivado respecto a la misma variable; pero tambien es 
posible cruzar las variables. Si tomo 
x
z


 y la derivamos con respecto a la variable “y”, 
tenemos: 
 
 
xy
z
x
z
y 

=








 2
 
 
esta es una derivada mixta y se lee “derivada segunda de z con respecto de “x” y de “y”. 
Notar que en este tipo de notación en el denominador se lee de derecha a izquierda, o 
sea la derivada de la derecha es la que se realiza primera. 
 
La otra derivada cruzada o mixta sería 
 
 
yx
z
y
z
x 

=








 2
 
 
se lee derivada segunda de z con respecto a “y” y “x”. 
 
En forma alternativa se puede utilizar la notación con subíndices, los cuales a diferencia 
de la notación anterior, se lee de izquierda a derecha denotando así el orden en que se 
realizan las derivadas. 
 
 xxf
x
z
=


2
2
 yyf
y
z
=


2
2
 
 
 xyf
xy
z
=

 2
 yxf
yx
z
=

 2
 
 
 
Ejemplo: 
Para la función f = x2y2 – y3 + 3x4 + 5 
 
Encontrar fxx ; fxxx ; fyy ; fyyy ; fyx . 
 
Tenemos entonces 
 
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 fx = 2xy2 + 12x3 fy = 2x2y – 3y2 
 
 fxx = 2y2 + 36x2 fyy = 2x2 – 6y 
 
 fxxx = 72x fyyy = -6 
 
para la derivada mixta hacemos 
 
( ) xyyyx
xy
f
x
432 22 =−


=









=fyx 
 
se puede tambien verificar que 
 
 xy
xy
f
4
2
=


 
 
 
Observando resultado del ejemplo precedente se puede enunciar un importante teorema 
referido a la igualdad de las derivadas mixtas. 
 
Igualdad de las Derivadas Cruzadas o Mixtas 
 
Teorema: Si f=f(x,y) es una función continua con fx ; fy ; fxy ; fyx continuas en algún 
conjunto abierto del dominio de f entonces se verifica que 
 
 fxy = fyx 
 
o bien en la notación de Leibnitz 
 
 
yx
f
xy
f


=

 22
 
 
 
DERIVADAS DIRECCIONALES 
 
Gradiente de Una Función 
 
 Existe un operador diferencial vectorial llamado operador de Hamilton o 
también operador “nabla” ( ). Su forma en dos y tres dimensiones es: 
 
 
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k
z
j
y
i
x
j
y
i
x
ˆˆˆ
ˆˆ


+


+


=


+


=
 
 
o bien 
 












=










=
zyx
yx
;;
;
 
 
Este operador es un vector y puede actuar sobre una función en diferentes operaciones. 
Puede hacerlo como un producto ordinario, como un producto escalar o como un 
producto vectorial. 
 La operación en la cual actúa sobre un campo escalar como un producto 
ordinario se llama el gradiente. 
 
 Si z=f(x,y) es una función diferenciable su gradiente es 
 
 j
y
f
i
x
f
yxf ˆˆ),(


+


= 
 Si nuestra función diferenciable es w=f(x,y,z) su gradiente es 
 
 k
z
f
j
y
f
i
x
f
zyxf ˆˆˆ),,(


+


+


= 
 
Actualmente es equivalente escribir gradff = . 
 
Ejemplo: Dada f(x,y,z)=xy2 + 3x2 – z3 encontrar el gradiente de la función en el punto 
x0=(2;-1;4). 
 
kzjxyixyzyxf ˆ3ˆ2ˆ)6(),,( 22 −++= 
 
evaluando el gradiente en el punto dado encontramos 
 
)48;4;13(ˆ48ˆ4ˆ13);;( 000 −−=−−= kjizyxf 
 
 
Generalización de la Derivación Parcial 
 
 
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 Las derivadas parciales 
y
z
x
z




; nos permiten conocer la razón de cambio de la 
función ó la pendiente de la recta tangente a la traza o curva de la intersección de la 
superficie z=f(x,y) con planos verticales paralelos a los ejes de coordenadas, según la 
variable respecto a la cual se derive. Según vimos en la interpretación geométrica de la 
derivada parcial estamos limitados a conocer el cambio de la función en la dirección, 
solamente, de los ejes coordenados. 
 Pero si queremos conocer la razón de cambio en cualquier dirección arbitraria que 
no sea la de los ejes coordenados, necesitamos introducir el concepto de la derivada 
direccional, donde la dirección en la cual queremos saber como cambia la función se 
determina por un vector unitario u . 
 
Derivada Direccional: Sea u un vector unitario (modulo uno) en el plano xy en 
cualquier dirección arbitraria. Sea z=f(x,y) una función diferenciable, la derivada de la 
función f en la dirección del vector u se define como 
 
 ( )
t
xfutxf
x
u
f
t
)()(
lim 00
00
−+
=


→
 
 
donde t es el incremento. 
 
Prestemos atención a que ( )0x
u
f


 se lee: derivada de la función f en la dirección del 
vector u evaluada en el punto x0. 
 
 
Interpretación Geométrica de la Derivada Direccional 
 
 Consideremos una superficie z=f(x,y) y un vector arbitrario u cuyo origen esta 
en el punto x0. Consideremos que el vector u está contenido en un plano perpendicular 
al plano xy . Este plano que contiene al vector se intercepta con la superficie z=f(x,y) y 
determina una traza o curva C sobre la cual interpretamos la derivada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 12La derivada direccional es la razón de cambio de la función en la dirección del vector 
unitario u ; o dicho de otro modo, se interpreta como la pendiente de la recta tangente a 
la superficie z=f(x,y) para el punto x0 en la dirección dada por u. 
 
Calculo de la Derivada Direccional 
 
 Calcular la derivada direccional es muy difícil para algunas funciones si tenemos 
que aplicar la definición con el límite. Pero hay otra forma, que usaremos de ahora en 
más, para calcular la derivada direccional usando el gradiente, para lo cual solo 
necesitamos saber calcular derivadas parciales. 
 
Teorema: Si z=f(x,y) es un función diferenciable y u es un vector unitario entonces la 
derivada direccional ( )0x
u
f


 está dada por : 
 
 ( ) ( ) uxfx
u
f 
=


00 
 
ó en una notación más actual 
 
 uxgradfxfDu

= )()( 00 
 
z=f(x,y) 
Recta 
Secante 
Recta 
Tangente 
x0 
x0+tu 
f (x0) 
f(x0+tu) 
  
u 
 x 
 y 
z 
Curva C 
 
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Ejemplo: Encontrar la derivada direccional de f(x,y)=2x2y3 + 6xy en el punto x0=(1;1) 
en la dirección del vector unitario que forma con el eje x el ángulo 
6

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las componentes del vector u son 
 
 cos.ux

= 
 
 senuy .

= 
 
dado que por definición el vector u tiene módulo uno el calculo de las componentes se 
reduce a calcular un coseno y un seno del ángulo dado 
 
 
2
3
6
cos ==

x

 
 
 
2
1
6
==

seny

 
 
calculamos ahora el gradiente de la función 
 
 
 ( )xyxyxy
y
f
x
f
yxf 66;64;),( 223 ++=









= 
 
evaluado el gradiente en el punto de interés tenemos 
 ( ) )12;10(0 = xf 
 
entonces la derivada direccional es 
 
 ( ) ( ) uxfx
u
f 
=


00 
u 
x 
y 
 
 
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 14 
 
 ( ) ( ) 635
2
1
.12
2
3
.10
2
1
;
2
3
12;100 +=+=








=


x
u
f
 
 
MATRIZ JACOBIANA 
 
 La matriz que contiene todas las derivadas parciales de primer orden para una 
función mn RRf →: se llama la matriz jacobiana de la función f. 
 Esta matriz es de tipo mxn y se estructura con las derivadas respecto a la misma 
función por cada fila (es decir las derivadas de la primera función en la primara fila, las 
de la segunda en la segunda fila y así sucesivamente); y las derivadas respecto a la 
misma variable se ordenan por cada columna. 
 Si tenemos una función de tres variables como la siguiente 
 
 





=
),,(
),,(
),,(
2
1
zyxF
zyxF
zyxF 
 
vemos que la función es 
23: RRF → ; por lo que su matriz jacobiana es de tipo 2x3; y 
tiene la siguiente estructura. 
 
 
























=
z
F
y
F
x
F
z
F
y
F
x
F
zyxF
22121
111
),,(' 
 
 Si la matriz es cuadrada se puede calcular su determinante y este recibe el 
nombre del determinante jacobiano. 
 
Ejemplo: 
 Para la función 





=





=
2
1
.
cos.
),(
F
F
senr
r
rF


 . Encontrar la matriz 
jacobiana y si es posible el determinante jacobiano de la misma. 
 
 Al clasificar la función, nos damos cuenta que la matriz es 2x2, por lo cual se 
podrá calcular su determinante. La matriz es: 
 
 




 −
=




















=




cos.
.cos
),('
22
11
rsen
senr
F
r
F
F
r
F
rF 
 
ANALISIS MATEMATICO II-MATEMATICA II 
PROF. Y LIC EN FÍSICA-PROF. Y LIC. EN QUIMICA PROF: DR. RAUL G. ORTEGA 
Año 2022: “Las Malvinas son Argentinas” 
 
 15 
y el determinante jacobiano es 
 
 rsenrr
rsen
senr
F =+=
−
= 


22 .cos.
cos.
.cos
'det 
 
el resultado es 
 
detF’=r 
 
ya que se sabe que 1cos 22 =+  sen . 
 
 
REGLA DE LA CADENA 
 
La regla de la cadena para funciones de una variable establece que si y=f(u) es una 
función diferenciable de u ; y además u=g(x) es una función diferenciable de x; 
entonces la derivada de la función compuesta es: 
 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
 
Para una función compuesta de dos variables z=f(u,v) en donde u=g(x,y) y 
v=h(x,y) ; se puede esperar dos fórmulas análogas; ya que es posible calcular derivadas 
parciales respecto de ‘x’ y de ‘y’ . Veamos entonces la regla de la cadena para funciones 
compuestas de dos variables. 
 
Si z=f(u,v) es una función diferenciable en un conjunto abierto de su dominio y 
las funciones u=g(x,y) ; v=h(x,y) tienen primeras derivadas parciales continuas; 
entonces: 
 
 
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z




+




=


.. 
 
 
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z




+




=


.. 
 
Ejemplo: Dada la función z = u2 – v3 siendo u= e2x-3y ; v= sen (x2 – y2) encontrar 
 
 
y
z
x
z




; 
 
 
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PROF. Y LIC EN FÍSICA-PROF. Y LIC. EN QUIMICA PROF: DR. RAUL G. ORTEGA 
Año 2022: “Las Malvinas son Argentinas” 
 
 16 
 
Aplicamos las fórmulas antes vistas calculando las derivadas 
 
 
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z




+




=


.. 
 
 ( ) ( )=−−+=

 − )cos(2)3(2.2 22232 yxxveu
x
z yx 
 
 ( )22232 cos6.4 yxxveu
x
z yx −−=

 −
 
 
resta aún reemplazar u y v por las expresiones en (x,y) antes dadas. 
La otra derivada será 
 
 
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z




+




=


.. 
 ( ) ( ) =−−−−=

 − 22232 cos.23)3.(2 yxyveu
y
z yx 
 
 ( )22232 cos.6.6 yxyveu
y
z yx −+−=

 −
 
 
También en este resultado resta reemplazar las funciones u y v. 
 
Caso Especial 
 
 Si z=f(u,v) es diferenciable y u=g(t) ; v=h(t) son funciones diferenciables de una 
sola variable t ; entonces la derivada de la función compueta es una derivada ordinaria ; 
dada por: 
 
 
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
..


+


= 
 
Generalizaciones 
 
 Podemos extender la regla de la cadena para funciones con cualquier número de 
variables. 
 Si z=f(u1 ; u2 ; u3 ; ........; un) y a su vez cada una de las variables u1 ; u2 ; u3 ; 
......; un son funciones de variables x1 ; x2 ; x3 ; .......; xk ; entonces las derivadas de la 
función compuesta están dadas por: 
 
 
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PROF. Y LIC EN FÍSICA-PROF. Y LIC. EN QUIMICA PROF: DR. RAUL G. ORTEGA 
Año 2022: “Las Malvinas son Argentinas” 
 
 17 
 
i
n
niii x
u
u
z
x
u
u
z
x
u
u
z
x
z




++




+




=


.............. 2
2
1
1
 
 
en donde i=1,2,3,....,k. 
 
De la misma manera si cada una de las funciones ui , son funciones de una sola variable 
“t”, entonces la derivada de la función compuesta es : 
 
 
dt
du
u
z
dt
du
u
z
dt
du
u
z
dt
dz n
n
.............. 2
2
1
1 

++


+


= 
 
Ejemplo: 
 Dada la función r = x2 + y2z3 donde x=uvest 
 y=u2 - v2 + st2 
 z=sen (uvst) 
 
encontrar 
s
r


. 
 
De acuerdo a lo que hemos estudiado tendremos 
 
 
s
z
z
r
s
y
y
r
s
x
x
r
s
r




+




+




=


... 
 
 ( ) ( ))cos(3)(2.2 2223 uvstuvtzytyztuvex
s
r st ++=


 
 
para completar el resultado reemplazar x,y,z por sus expresiones en u,v,s,t. 
 
Ejemplo: 
 Siendo z=u2v3w4 para u=t2 
 v=5t – 8 
 w=t3 + t 
 
Determinar dz/dt. 
 
Aplicando la regla de la cadena 
 
 
dt
dw
w
z
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
...


+


+


= 
 
 
ANALISIS MATEMATICO II-MATEMATICA II 
PROF. Y LIC EN FÍSICA-PROF. Y LIC. EN QUIMICA PROF: DR. RAUL G. ORTEGA 
Año 2022: “Las Malvinas son Argentinas” 
 
 18 
 )13(4)5(3)2(2233242243 +++= twvuwvutwuv
dt
dz
 
 
para completar el resultado debemos reemplazar u,v,w por sus expresiones dadas de 
modo tal que obtengamos una función solamente de la variable t. Dejamos el resultado 
expresado de la manera anterior ya que se pueden visualizar rápidamente cada una de 
las derivadas realizadas. 
 
 
 La regla de la cadena se puede generalizar para funciones de cualquier número 
de variables. Se lleva a cabo con la utilización de matrices. 
 
 Teorema de la Regla de la Cadena: Sean mn RRf →: y pm RRg →: ; 
funciones diferenciables donde el dominio de g coincide con la imagen de f; entonces: 
 
“Si f es continuamente diferenciable en un punto x de su dominio y g es continuamente 
diferenciable en y=f(x), entonces la función compuesta gof=g(f) es también 
continuamente diferenciable en x.” 
 
Este enunciado es formalmente la regla de la cadena. La derivada de la función 
compuesta es 
 
 [gof(x)]’ =g’(f).f’(x) 
 
Básicamente es la misma fórmula que para funciones de una sola variable, pero cuando 
las funciones dependen de varias variables, g’ es una matriz pxm y f’ una matriz mxn. 
Entonces 
 
 
[gof]’=
xn
mmm
n
n
xfym
ppp
m
m
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
y
g
y
g
y
g
y
g
y
g
y
g
y
g
y
g
y
g


















































































=
..
.....
.....
..
..
.
..
.....
.....
..
..
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
)(21
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
 
 
Realizando convenientemente el producto de las matrices se pueden encontrar las 
derivadas de la función compuesta. 
 
Ejemplo: 
 
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Año 2022: “Las Malvinas son Argentinas” 
 
 19 
 Sean 





=






 +
=

r
xy
yx
yxf
2
),(
22
 22: RRf → 
 
 





=





=
y
x
senr
r
rg



.
cos.
),( 22: RRg → 
 
Como buscamos la derivada de la función compuesta 
 
 (gof)’= g’(f).f’ 
 
entonces construimos las matrices jacobianas 
 
 








































=
y
f
x
f
y
f
x
f
g
r
g
g
r
g
gof
22
11
22
11
.)'(

 
 
¿Qué estructura tiene entonces la matriz (gof)’? 
 
Como g es función de ( ),r y f es función de (x,y); al realizar la composición gof=g(f) , 
la función compuesta depende solo de (x,y). Entonces las derivadas de la función 
compuesta son derivadas respecto a las variables (x,y). Así: 
 
 =




















y
g
x
g
y
g
x
g
22
11








































y
f
x
f
y
f
x
f
g
r
g
g
r
g
22
11
22
11
.

 
 
Realizando el producto de las matrices obtenemos las derivadas. 
 
 
x
fg
x
f
r
g
x
g




+




=


2.. 1111

 
 
 
 
y
fg
y
f
r
g
y
g




+




=


2.. 1111

 
 
estas dos derivadas corresponden a las dos derivadas de la primera fila de la matriz 
compuesta, que se obtienen por multiplicar la primera fila de g’(f) por las dos columnas 
de f’. 
 
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PROF. Y LIC EN FÍSICA-PROF. Y LIC. EN QUIMICA PROF: DR. RAUL G. ORTEGA 
Año 2022: “Las Malvinas son Argentinas” 
 
 20 
 
 
x
fg
x
f
r
g
x
g




+




=


2.. 2122

 
 
 
y
fg
y
f
r
g
y
g




+




=


2.. 2122

 
 
estas dos derivadas corresponden a las dos derivadas de la segunda fila de la matriz 
compuesta, que se obtienen por multiplicar la segunda fila de g’(f) por las dos columnas 
de f’. 
 
Para completar el ejercicio se deben realizar cada una de las derivadas obtenidas. 
 
 
Referencias Bibliográficas 
 
-Dennis Zill. Cálculo con Geometría Analítica. International Thomson Editores. 1997 
Cap. 16: Calculo Diferencial de Funciones de Varias Variables 
 
-Gerald Bradley, Karl Smith. Cálculo de Varias Variables. Ed. Prentice Hall. 1998. 
Cap. 12: Derivadas Parciales. 
 
-Earl Swokowski. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamericana. 
1989. 
Cap. 15: Funciones Vectoriales. 
 
-R. Willianson , R. Crowell, H. Trotter. Cálculo de Funciones Vectoriales. Ed. 
Prentice Hall International. 1972. 
 
-N. Piskunov. Calculo Diferencial e Integral. Ed. Montaner y Simon. Barcelona. 1973.