La Integral

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Facultad de Ciencias Exactas y Naturales – Universidad Nacional de Catamarca 
Cátedra: Análisis Matemático 1 – Matemática 1 - Matemática Apuntes Teóricos 
 
Docente: Lic. José E. Nieva 
JTP: Lic. Pablo Konverski Página 82 
 
UNIDAD V LA INTEGRAL 
 
 
Palabras claves 
Antiderivada. Técnicas de integración. Integral definida. Teorema fundamental del cálculo. 
Teorema del valor medio del cálculo integral. 
 
 
 5.1 INTEGRAL INDEFINIDA (Antiderivada) 
 
Los conceptos y técnicas del cálculo infinitesimal son el resultado de una larga línea de 
desarrollo matemático que se extiende casi ininterrumpidamente desde la antigüedad hasta 
actualidad por todos aquellos que contribuyeron en un modo u otro. Sobre todo, los logros de 
Isaac Newton (1643-1727) en la ampliación y unificación de la gama de procesos y de Gottfried 
W. Leibniz (1646-1716) en la conexión de estos con un nuevo cálculo y nuevas operaciones 
analíticas. 
Leibnitz interesado fundamentalmente por el problema de la cuadratura del círculo, consiguió 
vincular el problema de la cuadratura con el de la construcción tangente. Si bien, el proceso de 
integración (cuadratura), es a primera vista de un carácter bastante diferente al problema de 
encontrar la tangente a una curva. 
 
 Comenzaremos el desarrollo definiendo la integral indefinida como el proceso inverso al de 
derivación. Esto es, cualquier función 𝐹(x) tal que su derivada coincide con otra función 𝑓(x), 
se denomina función primitiva de 𝑓. 
 
 
Definición 5.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si conocemos la velocidad de una partícula como función del tiempo, se puede a partir de esta 
conocer la posición de la partícula en cualquier tiempo. Un ecologista que sepa la tasa a la que 
los peces de la especie Prochilodus Platensis (Sábalo) absorbe cierto contaminante químico de 
un río, puede conocer la cantidad exacta de peces contaminados. En cada uno de los casos 
mencionados el dato (lo conocido) es la derivada (tasa de cambio) y el problema es hallar su 
función primitiva. 
 
 
 
Ejemplo : Determinar la primitiva de la función f(x)= -3x. 
Solución: En virtud de la definición anterior la primitiva F de la función cumple que 
 
 𝐹′(𝑥)=f(𝑥) 
entonces 
 𝐹(𝑥)=-
3
2
𝑥2, ya que 𝐹′(𝑥)=-3x=f(𝑥) 
 
 
Primitiva de una función: Sea 𝑓:[a, b]→I una función cualquiera continua, se llama función 
primitiva de 𝑓 a otra función 𝐹(𝑥) cuya derivada sea 𝑓(𝑥) en dicho intervalo. Es decir, 
 
𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 de [a, b]. 
O en notación de Leibniz 
 
𝑑𝐹
𝑑𝑥
 = 𝑓(𝑥) . 
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Sin embargo, notemos que la función 𝐹(𝑥)=-
3
2
𝑥2 + 3 también resulta ser primitiva de f ya que 
verifica que 
 𝐹´(𝑥)=-3x=f(𝑥) 
 
Entonces decimos que existen infinitas primitivas para la función f(x) =-3x. 
 ● 
 
Teorema 5.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La gráfica de las primitivas 𝐹(𝑥)+ C (donde C es cualquier valor real), representa una familia 
de curvas que tan solo difieren en el punto de corte con el eje de las ordenadas y, en la figura 
abajo se muestra esto 
 
 
 
 
 Familia de parábolas del tipo 2𝑥2 − 2𝑥 + 𝐶, donde únicamente difieren en corte al eje coordenado y.
 
 
 
Ejemplo : Determinar la primitiva única de la función f(x)= 𝑒−𝑥 que satisface F(0)= -1 
Solución: Ya que la derivada de −𝑒−𝑥 coincide con f(x), entonces de acuerdo con el T.5.1 las 
primitivas son: 
 
 F(x)= −𝑒−𝑥 + C 
 
Ahora bien, la condición F(0)=-1 determina un valor único de C. Luego, 
 
 F(0)= −𝑒−0 + C = -1 
 
Las primitivas de una función difieren por una constante: Sea 𝐹(𝑥) una primitiva de la función 𝑓, 
entonces cualquier otra función de la forma 
 
 𝐹(𝑥)+ C 
es también primitiva de 𝑓. 
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Para satisfacer la igualdad anterior, C debe ser cero, a saber: 
 
 −1 + C = -1  C=0. 
Finalmente, la primitiva buscada es: 
 
 F(x)= −𝑒−𝑥 . 
 
 
Toda integral indefinida de la función 𝑓(𝑥) es una primitiva de esta. 
 
 
Definición 5.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo : Calcule la integral indefinida ∫ 2𝑥3 𝑑𝑥. 
Solución: Sabemos que el proceso de integración indefinida consta en hallar la primitiva de la 
función 2𝑥3, entonces notemos que: 
 
 
luego 
 ∫ 2𝑥3 𝑑𝑥 = 
1
2
𝑥4+ C 
 ● 
 
 De ahora en adelante no se distinguirá más entre la función primitiva y la integral indefinida. 
 
 
 
 5.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 
 
Así como con en el cálculo derivada es conveniente construir reglas para hallar las mismas de 
manera más inmediatas, es que es conveniente establecer un conjunto de reglas de integración 
que faciliten su cálculo. Por ejemplo, para la función potencial: 
 
 f(x) = 𝑎𝑥𝑛 
 
donde a y n son cualquier real siempre que 𝑛 ≠ −1. Entonces, la primitiva debe ser tal que: 
 
 =axn 
 
Por último, la solución de la integral indefinida para una función potencial es 
 
 siempre que n . 
3434 2
2
1
4 xx
dx
d
 xx
dx
d
=





=
( ) 111 1
11
−++ +
+
=





+
)(nn x n
n
a
x
n
a
dx
d
C
n
x
adxax
n
n +
+
=
+
1
1
1−
Integral indefinida: Se define integral indefinida de 𝑓(𝑥) al conjunto formado por todas las 
primitivas de 𝑓 y su notación es 
 
 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + C 
 
donde C es una constante arbitraria. 
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A continuación, damos algunas de las reglas fundamentales de integración. 
 
 
Teoremas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 5.2. Múltiplo constante 
 
 ∫ 𝑐 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 
 
Teorema 5.3. Regla de la suma y diferencia de funciones 
 
 ∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 
 
Teorema 5.4. Regla de linealidad 
 
 ∫[𝑎. 𝑓(𝑥) + 𝑏. 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑏 ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 
 
Teorema 5.5. Regla de la constante 
 
 ∫ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 
 
Teorema 5.6. Regla de la potencia 
 
 ∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶 ,𝑛 ≠ −1 
 
Teorema 5.7. Reglas de las funciones trigonométricas 
 
 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 
 
 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
 
 ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶 
 
Teorema 5.8. Integración de 
x
1 . 
 
 ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶. 
 
Teorema 5.9. Integración de la función exponencial natural 
 
 ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 
 
Teorema 5.10. Integración de la función exponencial ebx (b1) 
 
 ∫ 𝑒𝑏𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑏
𝑒𝑏𝑥 + 𝐶 
 
Teorema 5.11. Integración de la función exponencial ax 
 
 ∫ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑙𝑛𝑎
𝑎𝑥 + 𝐶 
 
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Ejemplo : Calcular la integral indefinida . 
Solución: Teniendo en cuenta los teoremas 5.2, 5.3 y 5.4, tenemos 
 
= 
 
 por el teorema 5.6, hallamos 
 
 = 4 
 
 simplificando encontramos finalmente 
 
 = . 
 ● 
 
 
Las técnicas de integración significan una importante economía de esfuerzo en el cálculo. Sin 
embargo, existen funciones que es necesariorealizar reducciones previas a la aplicación de la 
respectiva técnica de integración. 
 
 
Ejemplo : Calcular . 
Solución: En el integrando consta del producto de funciones elementales, de modo que para 
aplicar alguna de las reglas de integración, debemos primeramente eliminar el producto, es 
decir 
 
 f(x) = 
 
como primer paso reescribimos al factor como una potencia y luego lo distribuimos en el 
paréntesis. Ahora la integral toma la forma 
 
 
 
y se encuentra en condiciones de ser resuelta por la aplicación directa de los teoremas 5.2 y 5.6, 
a saber 
 
 = = 
 
 = 
 
 ● 
 
 
 
( ) +−− dxxxx 4854 23
( ) +−− dxxxx 4854 23
  +−− dxdxxdxxdxx 4854 23 
( ) +−− dxxxx 4854 23 Cx
xxx
++−− 4
2
8
3
5
4
234
( ) +−− dxxxx 4854 23 Cxxxx ++−− 44
3
5 234
( ) − dx x.x1
( ) ( ) =−=− 2
1
11 x xxx
x
 







− dx .xx 2
3
2
1
 







− dx .xx 2
3
2
1
dx xdx x  − 2
3
2
1
C
xx
+−
2
5
2
3
2
5
2
3
 







− dx .xx 2
3
2
1
Cxx +− 2
5
2
3
5
2
3
2
2
3
2
1
xx − 
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Ejemplo : Una cierta función F tiene por pendiente de su tangente en cada pto. (x,y) a su grafica, 
a la función f= . Asumiendo que, F pasa por el punto (-1,1). Determine la función F. 
Solución: Como la pendiente de la tangente en cada punto (x,y) significa que = , 
luego 
 
 
 
 
Para encontrar la curva que pasa por el punto (-1,1), procedemos como sigue: 
 
 F(-1)= 1  , 
 
resolviendo hallamos que C= . Luego, la curva buscada es 
 
 y = . 
 
 
 
● 
 
 
 
Ejemplo : Supongamos una nave espacial se mueve con una velocidad v(t), sabiendo que su 
aceleración varía con el tiempo de la forma a(t) =1+ . Determine la forma funcional de v(t). 
Solución: De la mecánica elemental sabemos que la aceleración y la velocidad de un objeto están 
relacionadas por la derivada, es decir 
 
 a(t)=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 . 
 
O sea que, la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Entonces, el 
problema se reduce en hallar la primitiva de la función a(t), luego 
 
 = 
 
escribiendo la raíz como una potencia, obtenemos 
12 2 −x
)(xF  12 2 −x
( )dxxdxxFxF   −== 12)()( 2
CxxCxx +−=+−= 33
3
2
3
1
2.
( ) ( ) 111
3
2 3
=+−−− C
3
2
3
2
3
2 3 +− xx
3 t
= dt tatv )()(  − dt t )( 31
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= t - + C. 
 
Por lo tanto v(t) = t - + C y esta indeterminada sólo por una constante. 
● 
 
 
 
Ejemplo : Los frenos de un automóvil producen una desaceleración constante de 6 m/s2. Si el 
automóvil viaja a 30 m/s. ¿ Qué trayecto recorrerá antes de detenerse completamente?. 
Solución: Sea a(t), v(t) y s(t), respectivamente, la aceleración, la velocidad y el desplazamiento 
del automóvil t segundos después de aplicar los frenos. Asumiremos que en el momento que se 
aplican los frenos, s(0) = 0. Asimismo, la velocidad es 30 en ese momento, luego v(0)=30. Luego 
 
= 6dt− (el signo menos es porque desacelera) 
 
 = 
16t C− + , con 𝑣(0) = 30 𝐶1 = 30 
 
 = -6t + 30. 
 
De forma analoga 
𝑠(𝑡) = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 = ∫(−6𝑡 + 30)𝑑𝑡 = −6
𝑡2
2
+ 30𝑡 + 𝐶2 
 
Como 𝑠(0) = 0  𝐶2=0 
2( ) 3 30s t t t= − + 
 
 
Finalmente, el automóvil se detiene cuando su velocidad es cero. Resolviendo la ecuación 
 
v(t) =0 
 
se tiene -6t + 30 =0, o sea t =5s. Luego, el espacio que recorre durante ese tiempo es: 
 
 s(5)=-6.5 + 30 .5 =120 m. 
● 
 
 
Las técnicas de integración vistas hasta aquí, se denominan técnicas de integración directa. Para 
resolver integrales indefinidas de funciones compuestas deberemos hacer uso del siguiente 
teorema: 
 
 
Teorema 5.12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dttdttv  −= 3
1
)( 3
4
4
3
t
3 4
4
3
t
= dt tatv )()(
Método de sustitución para integrales indefinidas: 
𝑆𝑒𝑎 (𝑓𝑜𝑔) y g funciones diferenciales en el intervalo I. Entonces, 
 
 ∫ 𝑓[𝑔(𝑢)] 𝑔´(𝑢)𝑑𝑢 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , con 𝑥𝑔(𝑢) 
 
Aquí puede ser cualquier función que esté definida y posea una derivada continua en I. 
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Ejemplo : Haciendo uso del teorema anterior determine las primitivas de las funciones 
siguientes: (𝑎) 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) 𝑦 (𝑏) 𝐹(𝑥) = √1 − 𝑥
3
 
Solución: El método de sustitución o cambio de variable se aplica del modo siguiente: 
 
 
(a) En la integral ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡)𝑑𝑡, haremos el siguiente cambio de variable (sustitución) 
 
 𝑢(𝑡) = 2𝜋𝑡 , esto implica el calculo de 𝑑𝑢= 𝑢´(𝑡). 𝑑𝑡 = 2𝜋 𝑑𝑡. 
 
Luego sustituimos en la integral, a saber 
 
 ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢).
𝑑𝑢
2𝜋
 o bien 
1
2𝜋
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢). 𝑑𝑢 
 
 Por Integración directa es −cos (𝑢) 
 Finalmente, 
 
 ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡)𝑑𝑡 = −
𝟏
𝟐𝝅
cos(2𝜋𝑡) + 𝐶 
 
 
 
(b) En la integral ∫ √1 − 𝑥
𝟑
 𝑑𝑥, haremos el siguiente cambio de variable (sustitución) 
 
 𝑢(𝑥) = 1 − 𝑥 , esto implica el calculo de 𝑑𝑢= 𝑢´(𝑥). 𝑑𝑥 = − 𝑑𝑥. 
 
Luego sustituimos en la integral, a saber 
 
 ∫ √1 − 𝑥
𝟑
 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢
𝟑
 (−𝑑𝑢) o bien − ∫ 𝑢
1
3⁄ . 𝑑𝑢 
 
 Por Integración directa es 
𝑢
4
3⁄
4
3
 
 Finalmente, 
 
 ∫ √1 − 𝑥
𝟑
 𝑑𝑥 = −
3
4
√(1 − 𝑥)43
+ 𝐶 
 
 
 
 
5.3 SUMAS DE RIEMANN (Integral definida). 
 
El concepto intuitivo de área de una región con fronteras curvas encuentra su formulación 
matemática precisa en el proceso de integración. Asimismo, muchos otros conceptos 
relacionados en la geometría y en la física requieren también de la integración. 
Consideremos el área de una región acotada por la izquierda y por derecha mediante las líneas 
verticales x =a y x =b, debajo por el eje coordenado x y arriba por la curva y=f(x) (figura bajo) 
 
 
 
 
 
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 y 
 y =f(x) 
 
 
 
 
 
 a b x 
 
 
 
La idea consiste en aproximar el área por medio de las sumas de las superficies de los rectángulos 
comprendidos entre la curva y el eje x, veamos esto en la siguiente figura. 
 
 
 área en exceso área por defecto 
 
 
 
 
 
 a b 
 xi 
 
 
Para esto se divide el intervalo (a, b) en n partes (pequeñas), no necesariamente de la misma 
longitud, las cuales llamamos subintervalos. En cada punto de división se traza una línea 
vertical, hasta dar con la curva. Así queda definida las porciones de área divididas en n 
rectángulos. El i-ésimo rectángulo de la figura tiene por base de longitud xi =xi – xi-1 y por 
altura el valor f(𝑥𝑖
∗) (donde 𝑥𝑖
∗ es un valor arbitrario perteneciente al i-ésimo subintervalo) ,luego la superficie de dicho rectángulo será 
 
 Ai = altura x base= f(𝑥𝑖
∗). xi 
 
Ahora efectuemos las sumas de las superficies de todos los rectángulos (n=6 áreas para el caso 
de la figura) que cubren el intervalo [a,b], esto es 
 
Área (aproximada)  𝑆𝑛= A1 + A2 + ... + An =f( ). x1 + f( ). x2 + ... + f(xn). xn 
 
La expresión anterior da una estimación del área buscada, ya que como se ve en la figura existen 
errores por exceso y defecto (o sea, si corresponden a rectángulos circunscritos o inscritos). El 
área estimada será cada vez más precisa si aumentamos el número de rectángulos que cubren 
la superficie. 
 
 
 
Fue Georg F. Riemann (1826-1866) quién le dio la formulación moderna a esta idea, es decir, es 
plausible intuitivamente que las sumas 𝑆𝑛 debe tender a un límite conforme el número n de 
intervalos crece indefinidamente y al mismo tiempo la longitud del máximo subintervalo tiende 
a cero. Esto implicaría que el valor del límite de las sumas de Riemann es independiente de la 
partición realizada del intervalo [a,b] y los valores escogidos para cada subintervalo. 
 
 
*
ix
*
1x *
2x
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Definición 5.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La definición de integral como el límite de una suma condujo a G. W. Leibniz a expresar la 
integral mediante el símbolo ∫. 
 
 
Definición 5.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la expresión 
 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
𝑓(𝑥) se denomina integrando, en tanto que el intervalo [a, b] se llama intervalo de integración y 
sus valores extremos a y b se llaman límite inferior y superior de integración respectivamente. 
 
 
 
Sumas de Riemann: Sea f: [a,b]→R continua (no necesariamente positiva) para todo x[a,b]. 
Entonces 
 
1. Se realiza una partición del intervalo [a,b] en un conjunto cualquiera de puntos {xo, x1, ....., 
xn } tales que 
 
 a = xo < x1 < x2 < ...< xn-1 < xn = b 
 
y se designa por P a esta partición. Para i = 1, 2,.., n la longitud del subintervalo i-ésimo es 
xi =xi – xi-1. La mayor de esas longitudes se llama la norma de la partición P, y se designa 
por P , es decir 
 ‖𝑃‖ = 𝑚á𝑥𝑖=1,2,...,𝑛{𝛥𝑥𝑖} 
 
2: Se elige arbitrariamente un número 𝑥𝑖
∗ ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Seguidamente evaluamos la función f 
en cada número 𝑥𝑖
∗, e. d. 
 f(𝑥𝑖
∗) con i= 1,2,…,n 
 
3: Se construye la sumatoria 
 
 𝑆𝑛= f( ). x1 + f( ). x2 + ... + f( ). xi= ∑ 𝑓(𝑥𝑖
∗).𝑛
𝑖=1 𝛥𝑥𝑖 
 
Ésta última expresión es conocida como las sumas de Riemann asociada a f. 
*
1x *
2x *
ix
Integral definida: 
Sea 𝑓: [a, b]→ [c, d] continua en [a, b], decimos que 𝑓 es integrable en [a, b] si existe el límite 
 
 𝑙í𝑚
‖𝑝‖→0
∑ 𝑓(𝑥𝑖
∗)𝛥𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 =∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
Este límite se llama la integral definida de 𝑓 de a hasta b. 
 
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Teorema 5.13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La integral definida posee propiedades algebraicas importantes, tales como: 
 
 
 Teorema 5.14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 
Este teorema provee una conexión entre la integral definida de una función 𝑓 y su primitiva 𝐹 
, a saber. 
 
Teorema 5.15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propiedades algebraicas de la integral definida: Sean 𝑓, g funciones integrables en [a, b]. 
Entonces se cumple que 
 
 1. ∫ 𝑘𝑓 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 para todo real k. 
 
 2. ∫ (𝑓 + 𝑔) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝑔 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. 
 
 3. Si m  f(x) M para todo x [a, b], entonces: m.(b -a)  ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 M.(b-a) 
 
 4. Si f(x)  g(x) para todo x [a, b], entonces ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. 
 
 5. f es integrable en [a, b], y |∫ 𝑓𝑑𝑥
𝑏
𝑎
| ≤ ∫ |𝑓|𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. 
 
6. Para todo número c (a, b) es ∫ 𝑓𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ ∫ 𝑓𝑑𝑥
𝑏
𝑐
, si sólo si f es 
integrable en [a, c] y [c, b]. 
Teorema fundamental del cálculo: Toda función primitiva 𝐹(𝑥) de una función dada 𝑓(𝑥), 
continua en un intervalo continua en un intervalo [a, b], puede ser representada en la 
forma 
 𝐹(𝑥) = 𝐶 + ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢
𝑥
𝑎
, 
 
donde a y C son constantes. Recíprocamente, para cualesquiera valores de a y C, esta 
expresión representa siempre una función primitiva. 
La existencia de Integrales definidas: 
Las funciones continuas y acotadas son integrables. Esto es, si una función 𝑓 es continua en 
un intervalo [a, b], excepto tal vez en un numero finito de puntos, su integral definida en [a, b] 
existe. 
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El teorema anterior muestra que la integral indefinida, esto es, la integral con un límite superior 
variable x, de una función 𝑓(𝑥), es una solución de determinar una función 𝐹(𝑥) que cumple 
con: 
 
𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
Llamado el problema de la inversión de la derivación. Asimismo, la constante C asegura la noción 
de integral indefinida de modo que incluya toda las funciones primitivas. Asimismo, el teorema 
nos permite establecer la relación entre la integral definida y su función primitiva. 
 
 
 
Teorema 5.16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Realicemos unos ejemplos de aplicación de este "poderoso" teorema. 
 
Ejemplo : Resolver la integral definida
2
2
1
3
4x x dx
x
 
+ − 
 
 . 
Solución: De acuerdo con el teorema 5.16 lo primero para resolver esta integral es encontrar su 
primitiva, entonces aplicando las reglas de integración tenemos 
 
 
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
3 1
4 4 3x x dx x dx xdx dx
x x
 
+ − = + − 
 
    
2 2
3 2
2
1
1 1
4 3ln
3 2
x x
x= + − 
 
el próximo paso es evaluar la primitiva en los límites de integración, es decir 
 
 
 
( ) ( ) ( )
2 22 3 2
22
1
1 1 1
3 3 2 2
3
4 4 3ln
3 2
4 1
2 1 2 1 3 ln 2 ln1
3 2
x x
x x dx x
x
 
+ − = + − 
 
= − + − − −

 
 
resolviendo las operaciones aritméticas indicadas, hallamos 
 
 = 8.75 
 ● 
dx 
x
xx 





−+
2
1
2 3
4
2do teorema fundamental del cálculo: Sea 𝑓(𝑥) una función integrable en el intervalo [a, b], y 
sea 𝐹(𝑥) cualquier primitiva de 𝑓. Entonces 
 
 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
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Ejemplo : Resolver 
Solución: Primeramente, hallemos la primitiva, 
 
 = 
 = 
 
ahora evaluemos la primitiva en los correspondientes límites de integración 
 
 = 
 = . 
 ● 
 
 
5.5 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
Definición 5.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo : Calcule el área bajo la curva f(x) =4x5 + 5x4 en el intervalo . 
Solución: Es aconsejable primero dibujar la región de integración. Entonces realizamos la 
gráfica de f(x) en el intervalo dado 
 
 
 
 


−
0
dx )xcosx(


−
0
dx )xcosx( dx xcosdx x 
 
−
0 0









−
0
2
2
senx
x


−
0
dx )xcosx(








−−








−

0
2
0
2
22
sensen


−
0
dx )xcosx(
2
2






− 0
4
5
,
Área como integral: Sea 𝑓:[a, b]→I continua y positiva (es decir, 𝑓(x)  0) en dicho intervalo. 
Entonces la superficie determinada por la curva y = f (x), el eje x, las rectas x =a y x =b está 
dada por la integral definida de f en [a, b], es decir 
 
 Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
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La función f es positiva (f(x)>0) en el intervalo dado, luego el área demandada es igual a la 
siguiente integral definida 
 =
b
a
dx)x(fÁrea = 
 
La resolvemos utilizando el teorema 5.16, es decir 
 
 
 
 Área= = 
 
 Área= 0.509 
 ● 
 
 
 
 
 
Es importante señalar que en el caso de que como mencionamos anteriormente la función no 
sea siempre positiva en el intervalo de integración, se deberá escribir la integral en forma 
conveniente para evitar calculos de áreas negativas, empleando la propiedad 6 del teorema 
5.11. 
 
 
 
Ejemplo : Calcule el área bajo la curva f(t) =10.cos(+t) en el intervalo . 
Solución: La región de integración resulta ser: 
 
 
 
 
 
 
 0 /2  
 
 
 
 
 
 
dx)xx(− +
0
4
5
45 54
0
4
5
56
3
2
−






+ xx














−+





−−
56
4
5
4
5
3
2
0
 ,0
+A
−A
Observación: Si el integrando 𝑓(𝑥) es positivo en el intervalo [a, b], puede inmediatamente 
identificarse ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 con el área. Sin embargo, la integral de 𝑓 está definida analíticamente 
como el límite de las sumas 𝑆𝑛 independiente de cualquier suposición acerca del signo de la 
función. Si 𝑓(x) es negativa en todo o parte del intervalo, el único efecto es de hacer los 
correspondientes factores 𝑓(𝑥𝑖
∗) en la suma negativos en vez de positivos. A la región acotada 
por la parte de la curva debajo del eje x se asignará entonces un área negativa. Debido a que 
esto se contrapone a la definición natural de un área definida positiva, se deberán tomar los 
recaudos en el cálculo para considerar esto. 
 
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La gráfica muestra que la función en el intervalo (0,
𝜋
2
) es negativa (f(x)<0), en tanto que en el 
intervalo(
𝜋
2
, 𝜋) , es positiva (f(x)>0). Si hiceramos caso omiso a esto y procedemos a integrar en 
forma directa sobre el intervalo entero, tenemos 
 
 =
b
a
dx)x(fÁrea 
 
la primitiva de f se determina haciendo uso del T 5.10 y aplicando el 2do teorema fundamental 
del cálculo T 5.16, encontramos que 
 
= 10 [sen(2) - sen() ] 
Área = 0 ? 
 
¿Cómo puede resultar nula el área sin ser f(x) nula en todo el intervalo?. La repuesta es que, 
como f(x) cambia de signo en x= entonces las áreas de las subregiones y resultan ser 
iguales en valor absoluto pero de signos opuestos, entonces el área total resulta 
 
 Área = + = 0 
 
Luego, para evitar esto dividimos la región de integración en dos partes y por tanto debemos 
realizar dos cálculos por separados. 
 
 
 
 Área = + .= 
 Área = 
 
 Área = 10 + 10 
 Área =10 + 10 (1) = 20 
 
Finalmente el área = 20. 
● 
 
 
 
Ejemplo: Halle el área bajo la curva h(t) = 2- para 0 t  4 . Realice la gráfica de la región. 
Solución: El área solicitada es: 
 = , 
 
la primera integral se resuelve en forma directa 
 
 
 


+=
0
10 dt )tcos(
Área  +=
0
10 t)sen( 
2
 −A +A
−A +A
−A +A 



+++
2
dt )tcos( dt )tcos( 1010
2
0
 t)sen( 10 )t(sen 



+++=
2
2
0
10
( ) sensen −




 
2
3
( ) 










 
−
2
3
2 sensen
1−


+=
0
10 dt )tcos(
2−t
( ) dt tÁrea  −−=
4
0
22 dttdt   −−
4
0
4
0
22
( ) 804222
4
0
4
0
=−== tdt 
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Ahora bien, para resolver la segunda integral debemos tener en cuenta que 
 
 
 luego tenemos 
 
= 
 
 Por lo tanto = -[- (-2) + 2] = 4. 
 
 Finalmente, el área total es 
 = 8 - 4 = 4 
 
Como vemos en la gráfica (fig. abajo), la región de integración corresponde a un triángulo. Luego, 
podemos calcular su área recurriendo a la geometría en donde se define la superficie de un 
triángulo como: 
 
Superficie triángulo =
𝑏𝑎𝑠𝑒 . 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
 
 
 
 
 
 2 h(t) 
 
 
 0 4 
 
 
Entonces, aplicando la fórmula anterior a nuestro problema tenemos 
 
 
 
que es el mismo resultado que obtuvimos por el método de integración definida. 
 
 
●
 
 
 
 



−
−−
=−
422
202
2
t ) si (t
t) si (t
t
 
 −+−−
4
2
2
0
22 ) dt(t) dt(t
4
2
2
2
0
2
2
2
2
2 







−+







−− t
t
t
t
dt t −
4
0
2
( ) dt tÁrea  −−=
4
0
22
4
2
24
2
==
 .alturabase
Área