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05 Números y operaciones aritméticas autor Alberto Carrillo Castrejón

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05. Números y operaciones aritméticas autor Alberto Carrillo Castrejónpdf
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UNIDAD I NÚMEROS Y OPERACIONES ARÍTMETICAS1Elaboró: Alberto Carrillo CastrejónUNIDAD I: NÚMEROS Y OPERACIONES ARITMÉTICASIntroducción: El concepto de número es considerado como fundamental dentro de lasmatemáticas, al grado tal que existe una rama dedicada especialmente a su estudio, es la Aritméticala cual a su vez es la base del Algebra. Puede decirse que la idea de número aparece desde que el hombre tiene necesidad de contar, es decir relacionar los objetos que le pertenecen con este concepto en su mente, por ello utiliza símbolos diversos para representarlos y así facilitar su manejo y comprensión. La herramienta básica de estas dos ramas de lasmatemáticasson los números, tanto en su concepto, como en su notación o simbolización.En esta primera unidad, recordaremos los diferentes conjuntos de números desde los naturales , enteros , racionales , irracionales y hasta llegar a los números realessobre los que descansan buena parte de lasmatemáticastradicionaleso elementales. Estudiaremos las operaciones, sus propiedades más importantes, la jerarquía de estas operaciones, su representación en la recta, en especial con los números racionalesen cuanto sus diversas formas de escribirlos (comofracción o cociente de dos enteros, expansión decimal periódica y en porcentajes), sus operaciones (suma, resta, producto y división), la resolución de algunos problemas de la vida cotidiana a través de los racionales, para concluir con los números reales,trabajando las leyes de los exponentes yradicales.LOS NÚMEROS NATURALESEl hombre en el momento que descubrela agricultura deja de ser nómada y se empieza a estableceren regiones de la tierra por periodos de tiempo relativamente largos, ello lo obliga de alguna manera a desarrollar su capacidad de abstracción, es decir en pensar en como poder contarprincipalmente lo que cosechao le pertenece, como losgranos,animales domésticos, etc.Se dice pues que los números naturales surgen en esas épocas y cada cultura los representa de muy variadas formas usando símbolos, en la actualidad se utilizan los símbolos que los árabes aportaron, de modo que se pueden escribir de la siguiente manera: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,Se puede observar que el cero no aparece como número natural, se aclara que esto no significa que no existiera desde estos tiempos solo que la cultura dominante durante muchos siglos después de cristo fue la occidental y en ella el cero no se consideraba como natural, es la razón por laque no aparece en muchos textos.Con estos números se pueden efectuar las operaciones básicas como la suma, el producto, la resta y la división.Las primeras propiedadesque los naturales tienen con respecto a las operaciones son las de cerraduray se cumplen para la suma y el producto, no así para la resta y la división.Propiedades de cerradura para la suma y el producto de los números naturales1.La suma de dos números naturales cualesquiera da como resultado un natural.
		
UNIDAD I NÚMEROS Y OPERACIONES ARÍTMETICAS2Elaboró: Alberto Carrillo Castrejón2.El producto de dos números naturales cualesquiera da como resultado un natural.Otras propiedades son la conmutatividad, la asociatividad y la distributiva.Si consideramos que las letras a b y c,representan a cualquier número natural, tenemos las siguientes propiedades escritas en forma verbaly en forma simbólica. Propiedades conmutativas3.El orden de los sumandos no altera la suma de números naturales.a b b a4.El orden de los factores no altera el producto de números naturales.a b b aPropiedades asociativas5.Para sumar tres o más números naturales no importa el orden.a b c a b c6.Para realizar el producto de tres o más números naturales no importa el orden.a b c a b cPropiedad distributiva7.El producto de un número natural con la suma de dos naturales es igual a la suma de los productos.a b c a b a cConstruyendo una fórmula para sumar los primeros números naturalesComo primer reto vamos a tratar de obtener alguna regla o fórmula que permita sumar los n primeros números naturales, es decir S n n1 2 3 4 5 6 7 8 ( 1)Para lograrlo consideremos casos particulares.1 21 2 31 2 3 41 2 3 4 51 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7 81 2 3 88 89 901 2 3 ( 2) ( 1)n n n S
		
UNIDAD I NÚMEROS Y OPERACIONES ARÍTMETICAS3Elaboró: Alberto Carrillo Castrejón¿Las sumas anteriores dan el mismo resultado, respectivamente que las siguientes?¿por qué?2 13 2 14 3 2 15 4 3 2 16 5 4 3 2 17 6 5 4 3 2 18 7 6 5 4 3 2 190 89 88 3 2 1n n n S( 1) ( 2) 3 2 1Ahora construye una fórmula para la última suma, en donde nes un número natural tan grande como quieras imaginar.Ayuda: Toma en cuenta que el orden de la suma no altera el resultado.n n n S( 1) ( 2) 3 2 11 2 3 ( 2) ( 1)n n n S2S¿Cómo queda tu fórmula? escríbela y compruébalapara casos particulares como n n n n n etc2, 3, 4, 5, 6, .¿Cuánto vale la suma del número 1 al 150? ____________________¿Cuánto vale la suma del número 1 al 1,500? ____________________¿Cuánto vale la suma del número 1 al 15,000?____________________¿Cuánto vale la suma del número 1 al 150,000?____________________¿Cuánto vale la suma del número 1 al 1,500,000?____________________LOS NÚMEROS ENTEROSAl restar dos números naturales el resultado no siempre da un natural, esto quiere decir que la operación resta no cumple con la propiedad de cerradura, por ello es necesario utilizar “nuevos” números que vienen a complementar los naturales para que se satisfaga la cerradura en la resta, así como en la suma y el producto.Dichos números se conocen como los Enteros, y son:  , 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,Represente en la recta los números enteros anteriores.0 
		
UNIDAD I NÚMEROS Y OPERACIONES ARÍTMETICAS4Elaboró: Alberto Carrillo CastrejónRegla de los signosProducto: x ; x ; x ; xDivisión: ;;;o bien;;;;Suma y resta: 527, 52523523 y 52527Jerarquía de las operaciones¿Cuál es el resultado correcto? de 5+4x3=5–4x3= 5x4+3=5x(–4)+3=1) Símbolos de agrupación: paréntesis, corchetes, llaves, etc.2) Potencias y exponentes.3) Producto y división4) Suma y restaEn caso de que aparezcan dos operaciones de igual jerarquía en forma seguida, se procede de izquierda a derecha.Operaciones con números enterosPropiedades de la suma, resta y productoSi a b y c,representan a tres números enteros cualesquiera a b y c  ,Se cumple lo siguiente:( ) ( )0 ()0 ()()(1)1() (a b a bab a b b aa b c a b ca a a a a aab ba a bc ab ca a a a b c ab ac)Actividad1: Realiza lassiguientes operaciones respetando la jerarquía.121) 4 2 3 2) 9 4 2 3) 5 2 4) 2 3 2 5 83
		
UNIDAD I NÚMEROS Y OPERACIONES ARÍTMETICAS5Elaboró: Alberto Carrillo Castrejón2322 3 2 5 8125) (4 2)( 3) 6) ( 9 4) 2 7) (5 ) 2 4)3 9 2(5 2)Orden de los números enterosAl comparar dos o más números es muy importante saber quien es mayor que ( )o bien menor que ( ).Se dice que un número aes menor que un número b, si ase encuentra a la izquierda de ben la recta numérica y se escribe como: a b“aes menor que b” o de manera equivalente, bes mayor que a, si bse encuentra a la derecha de aen la recta numérica y se escribe como: b a“bes mayor que a”.a bActividad 2:Completa escribiendo el símbolo correcto o3 7 8 3 -2 5 -4 -2 -5 -8-2 4 0 2 0 -2 5 -3 1 6LOS NÚMEROS RACIONALES (FRACCIONARIOS)Uno de los principales problemas que tienen los números enteros es que no cumplen por completo la propiedad de cerradura en la operación división, por ello es necesario “ampliar”a más números
que se conocen como Racionaleso fraccionarios, estos abarcan a los anteriores y aparecen las fracciones de la unidad.2 1 112 2 2; 3 1 1 113 3 3 3; 4 1 1 1 114 4 4 4 4; 8 4 424 4 4Los números Racionales o también llamados Fraccionarios vienen a complementar a los enteros, para que la propiedad de cerradura en la división se cumpla para estos nuevos números. Se definen de la siguiente manera:, , 0ax tal que x donde a y b son enteros con bbAlgunos números Racionales aparecen a continuación.6 3 4 2 1 1 1 1 2 3 4 7 5 6, 2 , , , , , , ,0, , , , , , , 3,3 3 5 3 3 4 5 2 2 2 2 3 2 2  12121314ab
		
UNIDAD I NÚMEROS Y OPERACIONES ARÍTMETICAS6Elaboró: Alberto Carrillo CastrejónActividad 3:Dibujalos números anteriores en la recta numérica.Los racionales abarcan como se dijo anteriormente a los enteros y los naturales,lo anterior se escribe simbólicamente de la siguiente manera:  Representación de los números Racionales Existen tres formas para representar a los números racionales, la primera es por medio de cociente o división, la segunda es en forma decimal periódicay en forma de porcentajes(%).1.-Todo número racional se puede escribir en forma de cociente o división de números enteros con el denominador diferente de cero, es decir 0ax con bb6 3 4 2 1 1 1 1 2 3 4 7 5 6, 2 , , , , , , ,0, , , , , , , 3,3 3 5 3 3 4 5 2 2 2 2 3 2 2 2.-Todo número racional se puede escribir en forma decimal periódica (expansión decimal periódica), don de el periodo es la secuencia de dígitos que se repiten en unmomento dado después del punto decimal.Algunos números periódicos son:1.50 1.500000 03.45 3.455555 52.10124 2.10124124 1244 4.0000000 01.123 1.123123123 1235.003671 5.0036713671 36712.01 2.010101su periodo essu periodo essu periodo essu periodo essu periodo essu periodo essu periodo es013.-todo número racional se puede escribir en forma de porcentaje.Hay que tomar en cuenta que la unidad equivale al 100%, es decir 1 = 100%. De manera que:3 10.75075% 0.3(33.333)%4 35 22.5250% 0.440%2 5 -2-10123
		
UNIDAD I NÚMEROS Y OPERACIONES ARÍTMETICAS7Elaboró: Alberto Carrillo Castrejón2200% 1100%20.6 (66.666 )%3Conversiones de una forma a otraparalos números racionalesadecimal porcentajesbComo se acaba de señalar los números racionales se escriben de tres formas y por consecuencia es posible pasar de una a la otra como se ilustra en los siguientes ejemplos.De la forma de cociente o división a la decimal periódicaEscribir los números en racionales en forma decimal periódica. 3 2 1 20 12, , ,4 3 6 11 7y.Para obtener la forma decimal periódica solo habrá que realizar ladivisión, hasta encontrar el periodo.En el caso de la fracción 34tenemos 30.7504, ya que:0.7504 330 20 0De manera análoga con los demás números.20.666 0.63; 10.166 0.166; 201.8181 1.81110.6663 2 20 200.16661 10 40 40 1.818111 20 90 20 90Actividad 4: Escribe los siguientes números fraccionarios en forma decimal periódica y señala su periodo respectivo.3 5 3 8 7 5 6 8, , , , , ,2 3 4 5 6 4 7 11yDe la forma decimal periódica a cociente o división Escribir los siguientes números en forma de cociente o división de enteros.3.20, 1.2, 0.31, 1.234y 2.854
		
UNIDAD I NÚMEROS Y OPERACIONES ARÍTMETICAS8Elaboró: Alberto Carrillo CastrejónPara convertir estos números debemos recorrer el punto decimal las cifras necesarias para que aparezca “empatado” el periodo, como se ilustra a continuación.Le asignamos al número 3.20una letra, por ejemplo x3.20Cuando el periodo es cero (0), basta que multipliquemos por 10 para recorrer el punto decimal a donde inicia el periodo y despejamos directamente a x3.2010 32.010 3232 1610 5163.205xxxxAhora para los números que cuyo periodo es diferente de cero y aparece inmediatamente después del punto decimal, primero se multiplica por una potencia de 10 adecuada de acuerdo al periodo de manera que el punto decimal se recorra un periodo y restamos al “nuevo número” el original para después despejar fácilmente a x.1.21.210 12.21.29 11119111.29xxxxx0.310.31100 31.31 0.3199 313199310.3199xxxxx1.2341.2341000 1234.234 1.234 99912331233 411 137999 333 1111371.234111xxxxxFinalmente cuando entre el punto decimal y el periodo se encuentra alguna o algunascifras, primero se recorre el punto decimal hasta donde inicia el periodo multiplicando por una potencia de 10 adecuada, después el punto decimal se recorre hasta donde termine un periodo y se resta este ultimo con el anterior para despejar finalmente a x2.8542.85410 28.541000 2854.54 10 28.54 990 28262826 314 157990 110 551572.85455xxxxxx
		
UNIDAD I NÚMEROS Y OPERACIONES ARÍTMETICAS9Elaboró: Alberto Carrillo CastrejónActividad 5:Convierte los números 1.40 , 5.2 , 0.34 , 4.125 2.3459y.De la forma decimal periódica a porcentajesEsta conversión es la más directa, ya que solo hay que multiplicar por 100el número dado en forma decimal.3 10.75075% 0.3(33.333)%4 35 22.5250% 0.440%2 52200% 1100%20.6 (66.666 )%3 Actividad 6:escribe los siguientesnúmeros en forma de porcentajes.3 5 3 8 7 5 6 8, , , , , ,2 3 4 5 6 4 7 11yOperaciones con números racionales o fraccionariosSuma y resta:0 0a c ad bcdonde b y db d bdProducto:0 0a c acdonde b y db d bdDivisión o cociente:0, 0 0a c addonde b c y db d bcO bienabadcbcdLos números Irracionales ISe dice que los números racionales cumplen con la cerradura para las cuatro operaciones, es decir la suma, resta, producto y división de números racionales da como resultado un número racional. Sin embargo existen otro tipo de números distintos 
		
UNIDAD I NÚMEROS Y OPERACIONES ARÍTMETICAS10Elaboró: Alberto Carrillo Castrejóna los racionales que no se pueden representar en forma de división de dos números enteros y son conocidos como Números Irracionales. Se pueden definir de la siguiente manera:I 0 0ax x donde a y bbSe puede apreciar que los números Irracionales son distintos a los racionalesy en consecuencia a los enteros y naturales, es decir su expansión decimal no es periódica.Algunos de estos números son:2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, , 2.718 , 3.1415 , .  e etcLa raíz cuadrada de números naturales que no da un entero es considerada como Irracional, el número ey , entre otros.Estos números en la antigüedad no fueron aceptados, por que se creía que los números racionales eran completos, es decir que cubrían por completo a la recta numéricasi se localizaran en ella y también por que entre dos racionales diferentes siempre existe otro racional.Ejemplo: Encontrar un número racional que se encuentre entre los números 1 13 4y.En realidad hay una infinidad de números entre estos dos, uno de estos es su “promedio” y lo podemos obtener fácilmente usando operaciones aritméticas, como se ilustra a continuación.1 14 3 73 4712 122 2 2421yPor lo que un número entre 1 13 4yes 724Observar que se pueden ir obteniendo más números entre estos dos realizando de manera análoga, tomando el “nuevo” número y uno de los originales.Actividad 7:Encuentra un númeroracionalque se encuentre entre los siguientes números.1 13 4y3 44 5y3 24 3y2 65 11yRegresando a los números IrracionalesI, solo basta que recordemos que no tienen expansión decimal periódica (no hay periodo) y repasaremos como se obtiene la raíz cuadrada de un número.Actividad 8:Anota lo que se explica en la clase al respecto de la raíz cuadrada, los ejemplos resueltosy calcula las siguientes raíces sin calculadora.2.000000 432.1234 5.123456 42.214365 
		
UNIDAD I NÚMEROS Y OPERACIONES ARÍTMETICAS11Elaboró: Alberto Carrillo CastrejónLos números Reales Este el conjunto más importante de números para el desarrollo de la Aritmética, el Algebra, la Geometría plana, Analítica y el Calculo Diferencial e Integral.Se definen como la unión de los números Racionales
e Irracionales I(  I) y si cubren por completo a la recta numérica, es por ello que los Realesse dibujan como la recta sin “huecos”.Los números reales abarcan a todos los demás y en la figura se ilustra esta afirmación.Propiedades de la igualdad en los números Reales.-Reflexiva x x-Simetría x y y x-Transitiva x y y z x z;Propiedades de las operacionescon números Reales.Si las letras a b y c,representan a números reales (a b y c  ,)Se cumple que:()() 0 a b Cerradura para la sumaa b b a Conmutativa para la sumaa b c a b c Asociativa para la sumaa a Neutro para la su()0 ()() maa a a a reciproco para la sumaab Cerradura para el productoab ba Conmutativa para el productoa bc ab c Asociativa para el producto II I
		
UNIDAD I NÚMEROS Y OPERACIONES ARÍTMETICAS12Elaboró: Alberto Carrillo Castrejón1=1;0 () ()aa con a Inverso para el productoa aa b c ab ac Distributiva factorizacionEsta propiedad es muy útil para entender correctamente la factorización, la cual es una herramienta básica para el Álgebra, entre otras ramas de las Matemáticas.Potencias y Radicales La primera unidad termina con el estudio de las potencias y radicales, especialmente con sus leyes o propiedades que serán trabajadas en el resto del curso.Cuando se tiene un número real cualquiera x(x) Se define la potencia n-esima de xcomo:nx xxxxxx xa xse le llama base de la potencia y nexponente.Ejemplos:Leyes de los exponentes01)10 2)3) 4)5) 6)0n m n mnmn m n nmmnnnn nnx con x x x xxx x xxx xxy x y donde yy y17) 0nny donde yyDefinición de Radicación.Se dice que yes la raíz n-esima del número x, si y solo si, ny xnnx y y xLeyes de los radicales.1) 2)3) 4);0mm nn nm nn nnnnn nnnx x x x x xx xxy x y yyyn veces
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