Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (4)

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Exponentes 
y radicales 
en ]R
Christoph Rudolff nació en 1499 
en Jawor. región de Silesia y fa­
lleció en 1545 en Viena. Fue el 
autor del primer libro alemán de 
álgebra.
Rudolff fue desde 1517 a 1521 
alum no de Henricus Gram- 
mateus -u n escriba de Érfurt- en 
la Universidad de Viena y fue el 
autor de un libro sobre com pu­
tación, bajo el n'iulo de Behend 
und duTch die bübsch Rechnung 
kunstreichen Regein Algebre.
Rudolff introdujo el uso del signo 
radical { f ) en la raíz cuadrada.
Se cree que esto se debió a que 
el símbolo se parecía a una «r» 
minúscula (por «radix»), aunque 
no hay evidencia directa. Cajori 
solo se limitó a decir que el «pun­
to es el embrión de nuestro ac­
tual símbolo de raíz cuadrada», a
pesar de que según él mismo «posiblemente, quizás probable» los símbolos posteriores a Rudolff 
no fueran puntos, sino erres.
Fuente; Wibipedia
potania. 1433 - Austria, 1545
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^ LEYES DE EXPONENTES
Es el conjunto de teoremas y definiciones que estudian 
a ias diferentes relaciones, operaciones y transforma­
ciones que se puedan reaiizar con ios exponentes.
Exponente natural
Se define:
De donde: si:
A " = A x A x A .,.A
n e IN
r
A" = P
Exponente
-♦ Potencia
-Base
Por ejemplo:
2 ̂= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 
5® = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 3125
Exponente negativo
; A * 0 (A T =A"^"
1/0 = 55; porque la división de un número conocido por 
cero matemáticamente no existe o no está definido.
Por ejemplo: (0,5) ̂=
(0,5)^ 0,125
Exponente fraccionado
= 4 = 8
A"
Por ejemplo: (-27)^^ = = ( - 3)̂ = g
Multiplicación de bases iguales
A'"A" =A"'*'' ; A ^ O
1,1,'
Por ejemplo: 5̂ x5^ x5® =5^ ̂ ® = 5 
División de liases iguales
A ^O
Por ejemplo: ^ = 3’ ' = 3̂ - 27 
Corolario (exponente cero)
A® = 1 . A O
Porque: 0° = Número indeterminado 
Por ejemplo:
• 273" = 1 • ( -24)“ - 1 •
• (0,5 - -~ )° = (4 - 4)° == indeterminado
v4
Potenciación de una m ultiplicación y una 
división
(AB)" = A" B" lA \ A"
I b ) B"
; V B #0
Por ejemplo;
• (5x4)^ = 25x 16 = 400
• 2 " ’ x 3 ’'" ’ x 5 '* ’ = (30)'"' 
Potenciación de otra potencia
15\''_ 15" 
7 T
3 f
2 / 2=
•2
5 f: fh !:*; V:'-’:'. ''S'i? ! - ! ■ ; : í'-’í!: ; ;
En general: (a"*)" ^ a" 
Por ejemplo:
, (2®)̂ = 2’®
• ( x V = x*'^ 
Radicación
3̂ = 3* 
($2)3 = 3®
"VÀB =''/A"1b
Por ejemplo: ^V5x^/4x^/2 = ^5 x 4 x 2 = V̂40 
Radicación de una división
: OÍA "/A
B
Por ejemplo: ^ 4 x j^ _ ?̂ 2xy
V 2xV
Potencia de una raíz
1.
2.
Ejemplo:
3/? X X ’V5T =
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Aplicaciones:
1. Simpiífícar;
F =
2" * 3 ̂ 2" ^ 2” * '
2̂ n+i ̂ 2"
Resoiución:
Extrayendo el factor común 2" ̂en el numerador 
y 2" en el denominador
+ 2 - 1 ) +1)
2'’(2^+1) 2"(2*+1)
F = 2
2. Reducir lo siguiente:
Z = Qm-2x16'> + 2
Resolución:
Expresando el numerador y denominador en 
base 2:
Z = 2
■ ^ 4 n - f 3 - 3 m - 4 n - 2
3. Reducir:
x [ x w ry =
Resolución:
Efectuando en el corchete y en el denominador ios 
exponentes de 2 en 2 de arriba hada abajo-
y = _ * l L - - x L . v = x’*
^ x -"x -'"x« X-« ■ ■ ^
4. Dar la forma simplificada de:
E =
Resolución'.
Expresando en ftjnctón de un solo radical numera­
dor y denominador:
(n-9X".±2̂E
E = 1 
5. Reducir: x Í6 '"x3" + 2'"‘̂ "
T 6"x3"’ + 4"
Resolución:
Expresando en base 3 y 2 ei numerador y denomi* 
nador;
X =
2"x 3"'*" + 2^
FactorizarKk) 2" en el numerador y 2" en ̂ denomi­
nador
X = mm ¿ n 2fn /^ in + r> , /> n \ _
^ Ì _ iaail̂ 2̂ m-ñ) . ^ s 2
2"(3"’*" + 2'‘)
6. Efectuar: E =
Resolución:
Para fransformar la expresión en otra más simple, 
hacemos: 2" = a
E =
Transformando los radicales;
2a 2a 2«
x*-2 + x»-2 2x*
E = ' 7 3 ~ = 2x" ^ = 2xÍ ^
. . E = 2x
7. Reducir: C - ab ab*
lV (abf 
Resolución:
Se sabe que: - yVx
V ib
C = b®^(ab)^ = b(ab)^’« (ab)’"
C = b
8. Reducir: N = 4/l6V32yi28
Resolución:
Transfomiando el primer término en exponente 
negativo y efectuando en el radical:
zl __ i l is áfi
^ _ 2 ’* X'V2*® = 2̂ ® 2'® =2^* — 2®
N = 8
9. Efectuar: S - ( x r ( x ^ ) ( x - = r '
(xTHx»-’)(x-®)-r 
Resolución:
Efectuando denbx) del corchete, empleando el cri­
terio de potencia de potencia:
X'^X^X* s 1
X*
6
X'̂ X^X®
— —r 
X3
—_ X * _ X _ „ . Q _ „= - y = ^ = X .. b - x
A
10. Reducir y dar el valor de:
p = f l3 - '+ ( | ) - v + K ^ ) - ’ - 1 r r
Resolución:
Reduciendo primero tos paréntesis:
p = ([3 ‘ ' + ( f r V + [ ( f ) - ’ - f r T
10
♦
±
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ECUACIONES EXPONENCIALES
Son aquellas en las cuaies la incógnita figura en el ex­
ponente o en la base.
A continuación se estudiarán aquellos casos que son 
factibles de resolverlos utilizando las leyes de exponen­
tes.
I. ; V x í í O a I
te m p lo :
Resolver; 7^--s = 7> + 3 
Resolución:
72x -5 ^ 7 .*3 ^ 2x - 5 = x + 3 x =
II. : v a ? í O
Ejemplo:
Resolver: = 32^
Resolución:
Escribiendo el segundo miembro en base 2: 
xio ^ « x '“ = 2’“ X = 2
; v x # 0
Llamado también el caso de las analogías, pero no 
es genérico (es decir no siempre se cumple).
También: a° «=» X = a ; V x y i O
Aplicaciones:
1. Calcular a si: (a )̂“ (a®)̂ = (a Y (a )̂ ̂(a’)"’ 
Resolución;
Efectuando en el primer y segundo miembro:
â “ a^ = â “ a"a -' ^ = â ^
Entonces: 5a = 25 
a = 5
2. Calcuiar X en: = 3
S^x' + S 
Resolución:
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
+ =3^ ^ 3'’ "® + x‘ = 3'’ "^x ’‘ + 3=’
3" x“ + 3
Factorizando:
3 3 {3 r^ 2 _ i)^ X * (3 ""^ -1 ) « 3=* = x‘ 
x = 3
3. Calcular x si: x‘ ̂ = 36 
Resolución:
Elevando a) cubo miembro a miembro:
(x-')= = (36)^
Efectuando la permutación indicada:
(x^)'^= (6 )̂ ̂ => (xY^= 6® =. = 6
4. Calcular X si: (5x)‘ = 5®
Resolución:
Elevando a la quinta miembro a miembro:
[ ( 5 x ) " ] ^ = [ 5 ^ f 
Efectuando en el primer miembro: (5x)®* = (5®)®* 
Luego se puede afirmar: 5x = 5® x = 5̂
5. Si: = ^V^V2a ; hallar: N = a
Resolución;
Transformando en un solo radical ambos miembros:
= ’'Í2a
Pero: 121x = (1lVx )^ luego: "^^(11/x)^ =®V2a 
En el segundo miembro: multiplicando por 2 al írKü- 
ce y elevando al cuadrado el radicando:
’^^J(llVx)^ = ^ { 2 a f 
De donde podemos afirmar que: 11/x=:2a
2aReemplazando en la expresión pedida: N = —
N = 2
6. Hallar x en: Vs «/3®’ = ̂ -'ñ25
Resolución:
Por el caso 1: a* = a ̂ x = b; a O a 1 
Transformando las bases en ambos miembros:
= 5* « 5 9 = 5 ’'
Igualando los exponentes:
= 9 = 9̂ V V3*"‘ = 3* ■3“ =3^
De donde: 4 = 4 = > 8 * ' = 4^4
Escribiendo la igualdad en función de la base 2:
(2")^*"'= 2“ « 2 -^"’ = 2*; luego: -3 (x"’) = 4 
^ - 1 - 4 1 _ 4
3 X 3 x = 4̂
-*ií
7. Si X € IR", calcular a partir de: x’' s 2 
Resolución:
Transformando el exponente del segundo miem­
bro: multiplicando su numerador y denominador 
por *J2.
Descomponiendo el primer exponente:
-"fie - 2
8^ \*l2
U -T
Utilizando el caso lll: Six^ = a‘ «9 x = a ;V x # 0
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