Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina-4

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7. Señale la secuencia correcta, al determinar 
si la proposición es verdadera (V) o falsa (F), 
si (p A q) A p es verdadera:
I. pA(~q=»p)
II. p =. [(~p V q) A {p A q)3
III. (p A ~q) =» (p A ~q)
Resolución:
(p A q) A p es V, entonces (p A q) es V y p es V; 
qesF.
I. p A ( ^ =» p)
V =» V
V A V 
F
II. P = » [ ( ^ V q ) A ( £ _ ^ ) ]
F V F V 
F A V.
V
V
lll. ( p A ^ ) = 
V A V
 V
( p A ^ ) 
V A V
FVF
8. Si la siguiente proposición: (p a ~q) » (r ^ t), es 
fóisa, indicar el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones;
I. (r «91) V ~ r
II. [{ r ** p) A (t V r)] V H )
III. ( ~ p « r ) v ~ t
Resolución:
(p A ~q) => (r =» t) es F
entonces: (p A ~q) es V y (r =» t) es F,
entonces; p es V; q es F; r es V y t es F
I. { r * * t ) v ~ r = ( V « F ) v F = {F )vF = F
II. [ { r « p ) A ( t v r ) l v ( ~ t )
= [(V V) a (F V V)] V (V)
= ((V) A (V)] v V = V
III. (~p =» r) V ~t = (F =» V) W = (V) v V = V 
FW
9. Dada la siguiente fónmula iógica S: (r=» p)«»(-q » r); 
Indique el valor de verdad de las siguientes afirma- 
dones:
I. Si p y q son verdaderas, para que S sea verda­
dera el valor de verdad de r siempre es F.
Ii. Si r es falsa y S es falsa, entonces q es F. 
ill. Si r es venjadera y P es falsa, entonces S es V.
Resolución:
Si (r =» p )« (- q=»r)
I. p e s V y q e s V
S = (r=»V)«»(F=»r)
= (V)o(V) = V
S siempre es V, para cualquier valor de r. (F)
II. r es F y 8 es F, se tiene:
{ F - p ) « ( - q « F) = F 
(V ) « ( ~ q » F ) = F
^ (~q=,F) = F
=► ~q = V; q es F (V)
MI. r es V y p es F, se tiene:
S = (V =» F) « (~q « V)
S = (F)«(V) = F (F)
FVF
10. Simplificar la siguiente proposición compuesta: 
[p « (q V ~r)] a { [p ^ (q a ~r)] a [p A (q r)]}.
Resolución:
[p « (q V ~ r)] A { [p =í (q A -r)] A [p A {q =» r)]} = S 
Nótese que:
p =» (q A ~r) A p = ~(~q v r)
= p =» ~(q r)
= ~p V -(q =» r)
= ~[p a (q =» r)]
Luego, S quedará asi: ^
S = [p « (q V ~r)] A {-[p A (q « r)] a [p a (q - r)]}
S = [p « (q V ~r)] A {~t A t} 
S = [p » (q V ~r)] A F = F
t
11. S im p lifica r la s igu ien te p roposic ión com puesta: 
~ { [{~ q =* ~P ) A ~ (~ p ^ ~ q ) ] V (p =9 ~q)}.
Resolución:
~ {[{~ q =* ^ p ) A ~ (~ p =» ~ q )] V (p =» ~ q )}
= ~ {[(q V ~ p ) A ~ (p V ~ q ) ] V (~ p V ~ q )}
= - {[(q V ~ p ) A (~ p A q ) l V (~ p V ~ q )}
= - {[(q V ~ p ) A ~ p ] A q ) V (~ p V ~ q )}
= ~ {( [ ~ p ] A q ) v (~ p V ~ q )} 
pues: (q v ~ p ) a ~ p = ~ p 
= ~ { ( ( ~ p A q ) v ~ p ] v ~ q }
= ~ { ( ~ p ) v ~ q }
= ~ ( ~ p ) A ~ ( ~ q ) = p A q
12. S im p lifica r la s igu ien te p roposic ión com puesta:
[~ p ^ ~ (p ^ q)] V [(p A (p « q )) => p].
Resolución:
[~ p =» ~ (p =» q )] V [(p A (p =» q )) =» p]
= [ ~ p =» ~ (~ p V q ) ] V [(p A (~ p V q )) =» p]
= h p =» (p A ~ q ) l V [((p A - p ) V (p A q ) ) =» p ] 
= [p V (p A ~ q ) ] V ((F V (p A q )) =* p j 
= (P) ((P A q ) « p]
pues: p V (p A ~ q ) = p; F v (p a q ) = p a q 
= p V h ( p A q ) V p]
= p v [ ( ~ p v ~ q ) v p ]
= p V [V V - q ] : pu es ~ p v p = V 
= p v l V ] = V
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13. Si # es un operador lógico definido por: 
p # q = {p V [(r « p) A p]} A {q A (p « ~p)} 
Haiiar p # q
Resolución:
p # q = { p v í ( r p )Ap] } A { q A ( p * * ~ p ) }
. p # q = {p V I (~ r V p ) A p ] } A F 
p # q = {p V (p)} A F = p A F
p # q = p
14. Si ~(~(p A q)) =» ~(r A p) es una proposición com­
puesta fóisa, determine ¿cuái(es) de ias siguientes 
proposiciones son verdaderas? 
i. (~pAm)=»{x«y)
ll. (p r) =» (8 A q) 
iii. ( x v - y ) = * ( p A r A ~ q )
Resolución:
~(~(p A q)) ~(r A p) es F
Entonces: p A q es V y ~(r a p) es F
De donde: r a p es V; es decir: r es V y p es V; como
p A q es V, entonces q es F.
i. (~p A m) ^ (x «> y)
F =» ?
(P « r) 
V » V
(SAq) 
? A F
l l l . (X V ~ y ) =» ( p _ ^ A
V A V
q )
V
Son verdaderas I y iii.
15. De las siguientes proposiciones'.
I. p « ( p v q )
II. (pAq)=»p
IIL (p=.q)<»(~q=»~p)
IV. A (~p =» q)] V ~p 
Son tautológicas.
Resolución:
I. p=»(pvq) = ~ p v ( p v q )
= ( ~ p v p ) v q = V v q = V 
Es una tautología
II. (pAq)=>p = ~ ( p A q ) v p
= ( ~ p v ~ q ) v p = { ~ p v p ) v ~ q 
= (V) V ~q = V 
Es una tautología
Ili. Como ~q =» --p = p s» q, entonces;
(p =» q ) « (~q =» ~p)
- ** ^=»_q)
= r » r = V 
Es una tautología
IV. [p A (~p q)] V ~p
= [p A (p V q)] V ~p 
= (p)v~p = V 
Es una tautología
1,11, ili y IV
16. En relación a la proposición compuesta:
T; Ip =» (q A r)l A [p A (~q V ~r)l 
indique cuál de los siguientes enunciados son co­
rrectos:
I. S es una contradicción.
II. S es una contingencia.
III. S es una tautologia.
Resolución:
La proposición T se puede mejorar así:
T : Ip =» (q A r)] A [p A ~(q A r)]
= [p =» (q A r)l A ~[~p V (q A t )] 
s [p =» (q A r)] A ~[p « (q A r)}
Por lo que T tiene la forma a A ~a, y como a, ~a 
son de valores opuestos, entonces a A ~a es V 
siempre: por lo tanto, T es una tautología.
Soío lll es correcto.
17. i ^ siguiente proposición:
[(~p V q) V ~(p A ~q)J A [p A ~ r] ; es equivalente a:
I. (p =. q) A ~{p =» r)
II. (p A q) V ~(p =. r)
III. {p =» q) => (p A r)
IV. ~(p A q) =» r
V (p^q)A(p=^r )
Resolución:
I(~p V q) V ~(p A ~q)] A (p A ~r) 
s {(-p V q) V [~p V ~(~q)I} a (p a -r )
= [-P V q) V (~p V q)} A ~ {-p V r)
= h p v q l A ~ ( ~ p v r ) 
s (p =» q) A ~(p =» r)
Es equivalente a I.
18. Si * es un operador lógico definido mediante la si­
guiente tabla de verdad:
p q P * q
V V F
V F F
F V F
F F V
Simplificar la proposición: (p*q) * (q*p
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Resolución;
p - q -(P V q)
F ( V ) 
F ( V ) 
F ( V ) 
V ( F )
Se nota que:
p *q = ~ (pvq) = ~pA~q
También, nótese que:
p .q = q«p A r * r = ~r
Luego: {p * q) • ( q * p) s { p • q) * ( p * q)
= ~(p»q) = - l~(pvq)3 
= p v q
19. Si * es un operador lógico definido mediante la ta­
bla adjunta, tai que (s * t) • ( t • s) es verdadero.
p q p * q
V V F
V F F
F V V
F F F
Hallar el valor de verdad de ~ (s * t). 
Resolución:
P q p .q
V V F
V F F
F V V
F F F
Ai igual que en el problema anterior: 
p • q = ~(q =» p) = q A ~p 
Luego: (s • t) * (l * s) = (t a ~ s ) • (s a - t)
= (s A ~ i) A A ~ s)
= ( s A ~ t) A (~ t V S)
= S A [~ t A (~ t V S)]
= s A (~t) = -(s =» t) es V 
Entonces: s ̂ t es F 
Luego: s es V y t es F 
~(s • t) = ~(t A ~s) = ~ t V s 
= t s es V 
~(s * t) es V
20. Si □ es un operador lógico definido mediante la si­
guiente tabla:
P q p o q
V V F
V F F
F V V
F F F
Simplificar la proposición'. 
[ p D ( ~ p a q ) ] ü q
Resoiución:
Se nota que: pD q = ~(q=>p) = q A ~ p 
Luego: [p o (~ p a q)] d q = [p □ (q a p)] o q
= l(q A p) A ~ Pl D q 
= [q A (p A ~ p)l □ q 
= [q A (F)] o q = F □ q 
= qA (~ F ) = q A V = q
21. Si p, q. X, z, y, t son proposiciones lógicas, tal 
que cumplen las condiciones: p A q es verdadera, 
~x y es verdadera, indicar el valor de la verdad 
de las siguientes proposiciones:
I. z=»~pv- -q
II. p « ~ q
III. ( ~ x A ~ y ) » t 
Resoiución:
p A q e s V A - x ^ y e s V 
Luego: p y q tienen valores opuestos 
( ~ x ^ y = x v y ) es V
I. z = * ~ p v ~ q
V pues uno de ellos es V 
= z=»V = V
II. p«»~qesV
pues p y >̂ q tienen el mismo valor.
III. (~ x A - y) ̂ t = ~(x V y) =» t 
= -(V ) =» t = F =» t = V 
V W
22. Simplificar la proposición:
-{ [(~ p A ~q) V (p A (~p V q))] =* ~(p V q)} 
Resolución:
~{[~P A ~q) V (p A (-P Vq))]« p Vq)}
= (p V q) V [(pA ~p) V (p A q)lJ ~(p V q)}
F
= ~ {[ ~{p V q) V (p A q)] =» ~(p V q)}
= ~ (p V q) V (p A q)] V ~(p V q)}
Por una de las leyes de Morgan:
= Q ~ (p v q )v ( p Aq ) lA (p v q )
= [~ (p vq) A (p vq) I VI(p Aq) A(p Vq)]
F
= (p A q) A (p V q) = p A [q A (p V q)l 
q
= pAqwww.full-ebook.com
23. Si se cumple:
(~ p A q) =» (p V r) = (s A t ) «»(- s V ~ t) 
Simplificar la proposición:
[(P A r) =» (s V t)] A (q A t)
Resolución:
(SA t )« (~ S V~t )
= {S A t) « ~ (S A t) = F
Es decir: (~p a q) =» (p v r) es F
Entonces: (~ p a q) es V y (p v r) es F, de donde
puede notarse que p es F; q es V y r es V.
Luego: [(p a r )»(s v t)] a (q a t)
F a y 
F ?
= V A (q A t)
= q A t = V A t = t
24 . H a lla r e i va lo r de ve rdad de:
M = [(p A q ) =» r] + (p =» (q « r)]
Resolución:
M = l ( p A q ) « r ] « [ p = » ( q « r ) ]
M = [~ (p A q ) V r] « [p =» ( - q v r)]
M = h ( p A q ) V r] « [~ p V (~ q v r)]
M = [ ~ (p A q ) V r ] « [(~ p V ~ q ) V r]
M = h ( p A q ) V r ] «. h ( p A q ) V r]
M = s <9 s = V M es una tau to log ía
25. S im plificar: { [~ (q =» p)] a [~ (p v ~ q )]} v ~ q 
Resolución:
{ [ - (q - P)1 A h (p V ~ q )]} V ~ q 
= ~ t ( q « p ) v ( p v ~ q ) 3 v ~ q 
= - I ( - ' q v p ) v ( p v ~ q ) 3 v ~ q 
= ~ [ - q v p 3 v ~ q 
pues: r V r = r 
= ~ [ ( ~ q v p ) A q ]
= ~ [(~ q A q ) V (p A q)l 
= ~ [F V (p A q ) l = ~ (p A q)
= ~ p v ~ q = p = ' - q o tam b ién = q ^ - p
26 . S i se de fine : p V q = ~ p A ~ q , s im plificar:
M = [ ( p V q ) V q ] V [ ( p V p ) V ~ p ]
Resolución:
p V q = ~ p A - - q = ~ ( p v q )
M = [ ( p V q ) V q ] V [ ( p V p ) V ~ p l
r s
r = (p V q ) V q = ( ~ p A ~ q ) V q 
= - ( ~ p A ~ q ) A ~ q 
s ( p v q ) A ~ q
= { p A - q ) v ( q A - q > = p A ~ q 
F
s = ( p V p ) V ~ p = ~ ( p v p ) V ~ p 
= ~ p V ~ p = ~ ( ~ p )A ~ (~ .p )
= p A p = p
Luego; M = (p A ~ q ) V p 
M = ~ (p A ~ q ) A ~ p 
M = (~ p V q ) A - p . M = - p
27. Si se conoce [(p * q) * r] * s es F, además:
p q p * q
V V V
V F V
F V F
F F V
Determinar los valores de verdad de los siguientes 
enunciados:
I, p=» r II. s « r III. ~ p » q 
Resolución:
De la tabla, se puede notar que: p • q = q ^ p 
Además: [(p * q) * r] • s es falsa 
s (p * q) * r es falsa 
Entonces; s es V y (p * q) * r es F 
r => (p * q) es falsa, de donde r es V y (p • q) es F; y 
entonces; q es V y p es F.
Luego:
I. p » r es V II. s «» r es V
F V V V
III. ~p «»q es V 
V V
28. Si definimos # como: p # q = ( p v q ) A ~(p A q) 
Determíne una expresión equivalente de p # q.
Resolución:
p X q = (p V q) A ~ (p A q)
= (pvq) A ( ~ p v ~ q )
= [p A (~ p V ~ q)] V [q A ("P V ~q)]
= t(p A ~ p) V (p A ~q)l V [(q A ~p) V (q A -q )}
= ÍF v ( p A ~ q ) J v í { q A ~ p ) v F ]
= (p A ~ q) V (q A ~p)
= ~ ( ~ p v q ) v ~ ( ~ q v p )
= ~ (p - q) V ~ (q - p)
= ~((p=»q)A(q=»p)]
= ~{p«*q)
29. Sea A = {1; {1; 1}; {1}; {1; 1; 1}}, detennine la se­
cuencia correcta, al determinar si la proposición es 
verdadera (V) o falsa (F).
I. A tiene 4 elementos
II. {1}eA
III. {1 }cA 
Resolución:
A = {1;{1;1};
=*A = {1:{1}: {1}: {1}}
« A - { 1 ; { i y }
I. A tiene 2 elementos. (F)
II. {1}esunelenr»ntodeA,porloque;{1}G A (V)
III. Tenga en cuenta que: s i x eA = >{ x } cA 
Como; 1 e A ^ {1} c A (V)
.-. FWwww.full-ebook.com