Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (20)

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Resolución;
De la condición, escribimos;
b ^ c ^ g ^ a ^ a _ ^ b ^ 2 + 2 + 2
a a ¿ b c — '
Transponiendo y agrupando;
Cada paréntesis se puede escribir:
a V e I
Para que la suma de cuadrados valga O, la única 
posibilidad es que cada sumando tiene valor 0.
>a ya ’ a ^b a b 
=» b̂ = â => a = b 
En forma similar; a = c a b = c 
Conclusión; a = b = c = k 
Reemplazando en lo pedido:
, m = 9M =
3k" 3k^
3 2 . Si: X, y, z e E; tal que satisface;
7
ie: T = ^
x'̂ + y ’ + z
X" - yz , y - xz ̂ z - xy _ Q
hallar elvalcr de:
Resolución:
_ - yz y ̂- xz z ̂- xy ^De: ------^ + - --------+ -------- ^ = 0x y z
x^yz - {yzf + y^xz - (xzf + z^xy - (xy) ̂ = O 
Hagamos los cambios: xy = a; yz = b; xz = c 
=;> ac - b̂ + ab - ĉ + be - = O
=> â + b̂ + - ab - be - ac = O
conocido
^ [(a - b f + (b - c r + (c - 3)1 = O 
=» (a - b)̂ + (b - c) ̂+ (c - a) ̂= O 
Para que la suma de cuadrados valga O, la única 
posibilidad es que cada sumando tiene valor 0. 
a ~ b = Q: b - c = 0: c - a = O 
a = b b = c c = a
Reponiendo:
xy = yz; yz = xz; xy = xz =s y = z; z = x; y = x 
Luego: x = y = z = k
T = 8/3j ^ (2k)(2k){2k) _ 8k^
3k-̂ Sk-“
3 3 . Si: (a + b + c + d) ̂ = 4(a + b)(c + d), hallar el
valor de: 8 = +d - b d - a
Resolución:
En el dato, hagamos los cambios; a + b = x;c + d = y
=» (x + y) ̂= 4xy
=> x̂ + 2xy + / = 4xy =» (x - y) ̂ = O
De aqui: x = y
Reponiendo: a + b = c + d
De aqui: a - e = d - b; también: b - c = d - a
^ S = + ,•.8 = 2a - c b - c
3 4 . Si; x = hallar el valor de;
R = (8x ̂- 6x)
Resolución;
D a , c : x = l ( | . | 2x = r + -b a
Al cubo: (2x)^ = b a
8x’ - 6 x = ( f r + ( i
3 5 . Si se cumple que:
(a - b - c) ̂- (a - b + c) ̂= 2{(a - b) ̂ + c*}
halle el valor de: ^ ~ ^ a
Resolución:
Hacemos un cambio de variable.
Sea: x = a - b
Reemplacemos: (x - c) ̂- (x + e)̂ = 2(x ̂+ c )̂ 
Usando la identidad de Legendre, tenemos;
-4xc = 2{x ̂+ c }̂
=» x ̂+ c ̂= -2xc => x ̂+ 0 ̂+ 2xc = O 
(x + e)̂ = O =9 X = - c 
Regresando a tas variables iniciales, obtenemos: 
x = a - b = - c =» a = b - c 
• b - c _ ̂
a
3 6 . Si tenemos que 2̂ * + 2~*' - 47, halle el valor de:
2” + 2 -
Resolución:
Completamos el trinomio cuadrado perfecto;
2*”+ 2 '^ + 2 = 49
(2 “̂ + 2-'*)^ = 49 ^ (2 ‘̂ + 2'2’-) = 7
Razonando de igual forma obtenemos:
(22. + 2'^* + 2) = 9
(2« + 2- ‘ f = 9 => 2 ' + 2 ' = 3
3 7 . Si x + 1 = 1; halle el valor de; x® + -7
X X®
Resolución:
Para obtener la suma de potencias quintas, pode­
mos multiplicar la suma de cubos por la suma de 
cuadrados.www.full-ebook.com
Del dato tenemos;
1 ■
■('}
X + -L = 1 2 = , x = + 4 + 2 = 1 
X/ x̂
x + 1
X
== 1̂ 
= 1'
x' + -V = -1
X
x 3 + , + 3 x ( l) ( x + | | = 1
X + -Í-) = f = * x ' + 4 = 1 - 3 = 2
x / x̂
Reemplazamos en (1): (-1 ) (-2 ) = x̂ + -^ + 1
.-. X® + -L = 1
X®
3 8 . Si: x’ + = 3xyz, encontrar el equivalente de;
T = n-1 | x + y + z gabiendo que; x + y + z O 
^ (x + y + zj'
Resolución:
Se sabe que:
1x̂ + ŷ + z - 3xyz = ^ (x +y + z) ({x - y) ̂ +
(y - z) ̂ + (z - x f l ...{1}
Dato: x̂ + ŷ + ẑ - Sxyz = O ...(2)
Igualando (1) y (2):
l ( x + y + z)í(x - y f + (y - z)= + {z - x) ]̂ = O 
Como:
x + y + Z i¿0=> la única posibilidad es que:
(X - y) ̂ + (y - z f + (z - x)' - O 
Se debe cumplir que:
( x - y f = 0=» x - y = 0 =» x = y
(y -z )^ = 0 = y - z = 0 = » y = z x = y = z
{z -x )^ = 0 =̂ z - x = 0 => z = x
Luego la expresión propuesta equivale a:
T = n-
(x + x + x)"
x" + x" + x" _ ^_,|_3x^ _ p_i| 3x"
(Sxy' S^x'’
T =
detemiinar el valor de: P = -3 z
3 9 . Si; x̂ + ŷ + ẑ = 5.6; x̂ + ŷ + 2 ̂= 7 A xyz = -2
^ x̂ + y ̂+ (z - 2 f 
xy
Resolución:
Recordemos la siguiente identidad:
(x + y + z f s 3(x ̂+ ŷ + z^){x + y + z) -
2(x’ + y' + z') + 6xyz 
En nuestro caso, reemplazando datos;
(x + y + z) ̂^ 3 ( | í) (x + y + z) - 2(7) + 6 (- 2)
=» 3(x + y + z) ̂ = 51(x + y + z) -78 
Vemos que: x + y + z = 2 
=^x + y + ( z - 2) = 0 ...(1)
Como: a + b + c = 0 =» â + b̂ + ĉ = Sabe 
De (1): x' + ŷ + (z - 2)' = Sxy (z - 2) 
x' + ŷ + ( z - 2)'
P =
xy
x ' + yS
= 3z - 6
(z -2 )^
xy - Sz P = -6
4 0 . Reducir;
M = (m - n + p - q)̂ - (m - n + p)̂ +
Sq(m - n + p - q)(m - n + p)
Resolución:
Hacemos un cambio de variable: m - n + p = x 
Reemplazando;
M = (x - q)̂ - (x)' + Sq(x - q) (x)
M = x̂ - Sx̂ q + 3xq̂ - q̂ - x̂ + (3qx ̂- Sq̂ x)
M = -q '
4 1 . Calcular: P = b - a b + c a - b a + c
b - c b + a a - c a + b
si; 1 + 1 = 1 a b e
Resolución:
Efectuando:
P = b - a b + c a + c
b + a b - c a - c (1)
Pero: 1 + 1 = 1 
b
a + b = 2 = 0 - 2ab 
ca b e ab c a + b
Reemplazando el valor de c en la expresión (1);
2ab
P =
h , 2ab
b - a a + b
b + a b 2ab.
a + b
a + a + b
2ab
a + b
b - a b + 3a a + Sb
b + a b - a a - bP =
P = (b - a ) 4(b + a)
(b + a) (b -a )
P = 4
4 2 . Determinar la expresión algebraica p para que la 
siguiente igualdad;
p2 = (x ̂+ / + ẑ + p)^ - (X + y + zf{%^ + ŷ + z )̂ 
se convierta en identidad.
Resolución:
Sea; x̂ + ŷ + ẑ = a
(x + y + z)' = x̂ + y' + ẑ + 2(xy + yz + xz)
(x + y + z f ^ a + 2(xy + yz + xz)
« = (a + p) ̂- [a + 2{xy + yz + xz)]a
Efectuando operaciones y reduciendo quedará; 
2ap = 2a (xy + yz + zx) 
p = xy + yz + zx
4 3 . Si a + b + c = + b̂ + = 1,
a’ + b* + c ̂- 3abcalcular:
a'' + b'* I c“ - 4abc
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Resolución:
Dato: a + b + c = 1 
Elevando al cuadrado: 
â + 4- 2(ab + be + ac) = 1
1
^ ab + be + ac = O 
Sabemos que;
(â + b̂ + ĉ )̂ = a'’ + b“* + e'* + 2(â b̂ + bV + aV) .. .(I) 
Además:
(ab + be + ac)̂ = â b̂ + b̂ ê + + 2abe (a + b + c)
O 1
Usando los datos; â b̂ + b̂ ĉ + â ĉ = - 2abc 
En (I): (1)" = a" + b" + e" + 2(-2abc)
=> a“* + b“ + c“" - 4abc = 1 
También sabemos que: 
â + b^+ ĉ = (a + b + c)̂ -
3(a + b + c)(ab+ be + ac) + 3abc 
Con los datos: â + b̂ + ê = (1)̂ - 3(1)(0) + Sabe 
=í â + b̂ + ĉ - 3abc = 1 
Reemplazando en lo pedido: 
a^+ b̂ + ĉ - 3abc
c - 4abc
4 4 . Simplificar:
(a -b )^ ( b - e ) (c -a )"
(b -e ) (c -a ) (e -a ) (a -b ) (a -b ) (b -c )
Resolución:
Hagamos los cambios:
a - b = x, b - e = y, c - a = z
Nos piden: — + — + — yz zx xy
Operando se tiene: X + y + z 
x y z
- . ( a )
Pero de los cambios vemos que: x + y + z = O, 
entonces se cumple que: 
x̂ + y'’ + ẑ = 3xyz
Reempiazando en (a ) : - 3
4 5 . Si {a: b; c; x; y; z} c IR, que verifica:
(a + b+ c)̂ = 3(ab + be + ea - x̂ - ŷ - ẑ ) 
hallar el valor de:
a ̂+ b̂ + ĉ
b ̂+ c^)(a= + b^+c®
(x' + y" + z-* + :
Resolución:
De la condición:
â + b̂ + ĉ + 2(ab + be + ac) = 3(ab + be + ae) -
3(x̂ + +z^)
=> â + b̂ + ĉ - ab - be - ac + 3(x̂ + / +z^) = O 
Multiplicamos por 2 y desdoblamos:
+ â + ¿̂ + b̂ + ĉ + - 2ab - 2̂ ~ 2gg +
6(x̂ + / + ẑ ) - O
Agrupando como se indica:
(a - b)̂ + (b - c)̂ + (c - a)̂ + 6(x̂ + ŷ + ẑ ) = O
La suma de cuadrados de números reales igual a 
O, implica que cada sumando (base) vale 0.
« a -b = 0, b - c = 0, c = a = 0, x = 0. y = 0,z = 0
De aquí; a = b = C A x = y = z = 0 
Luego, en lo que nos piden:
3a'
(3a^)(3a'
= 27 3a'
9a"
= 9
4 6 . Si:
2(x + y)̂ + 2{z + w)̂ = ( X + y + z + w)̂ - (x + y - z - w f
hallar: M H ^ r\ z + w /
Resolución:
Dato:
2(x + y)̂ + 2(z + w)̂ = [(x + y) + (z + v\/)]̂ -
[(X + y) - (z + w)]̂ 
Hacemos: x + y = a;z + v\/ = b 
En el dato: 2a ̂+ 2b̂ = (a +b)^ - (a - b)̂
2a' + 2b' = 4ab =» 2a' - 4ab + 2b' = O 
a"- 2ab + b'̂ = O => (a - b)' = O ^ a = b 
De donde; x + y = z + víí
•z + w
I z + w/En M: M =
M = 1
4 7 . Si que se cumple:
a‘ o + b;a + c^b , 3 ,^ ̂^ b^c + c^a + a ‘ b ^ 
1 ¿ lo
calcular: (a + b) , (b + e f (c + a)
ab be ca
Resolución:
De las dos condiciones, se obtiene:
(â e + b'a + c'b) + (b'c + e'a -»• a'b) = 12abc + 18abc 
=> a'c + b'̂ a + e‘b + b'c + c'a + a'b = 30 abe ... (u) 
Transformemos lo que nos piden:
c(a + b)' + a(b + e)' + b(c + a)̂ 
abe
eâ +2abc + cb*̂ + ab' + 2abc + ac^ + be + 2abe + ba 
abe
Agrupando en el numerador:
(ea' + cb' + ab' + ae' + be' + ba') + 6abe 
abe
Usando (a), se obtiene: 
30abc + 6abc 36abc = 36abe abe
4 8 . Si; ( x + b)̂ + (X + c f = O
(x + a)(x-*-b) (x + a)(xrc) (x + b)(x+c)
x + b
...(1) 
-1 .,.(2)
hallar: (x + b)(x + c|
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