Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (21)

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Resotución;
Efectuando operaciones en la expresión (2):
( X + a f ( x + b f + ( x + a f ( x + c f + ( x + b f ( x + c f 
( x + a ) { x + b ) ( x + c )
Agrupando términos en eí numerador;
O
(x + a f[(x + b f + (x + c f ] + ( X + b f(x + c f _ 
(x + a){x + b)(x + c)
rs j (x + b f(x + c f .De donde; — —̂ ., . ., — - = 1
( x + a ) { x + b)(x + c )
( X + b)(x + c)
(x + a)
= 1 x + a
(x + b)(x + c)
= 1
49. Si: (1 + a 'x)(a + y)(1 + a ’z) = a + x + y + z, 
calcular; P = x ̂ + y’ ’ + z’ ’
Resolución;
f ) (a + y ) ( 1 + f :Con el dato: (1 + —)(a + y) (1 + - ) = a + (x + y + z)
'a + X)(a + y ) ( i ^ ) = a + (x + y + z)
=> (a + x)(a + y)(a + z) = + a (̂x + y + z)
â + a'(x + y + z) + a(xy + yz + zx) + xyz =
â + a^(x + y + z)
=» a(xy + yz + zx) = -xyz 
^ xy + yz + zx _ 1 ^ xy ̂ yz ̂ 2x ^ 1
xyz a xyz xyz xyz a
^ l + I + I . - lz X y a
En P: P = z’ ’ + X"’ + y ’ P = - 1■' a
50. Si se cumple que: a + b + c = 0. hallar el valor de;
j(a^ + b' + ĉ )'* - 3(a^ + + c'’ f
a V b" + c"
Resolución;
Recordando la identidad condicional; 
a + b + c = 0=> (a' + b̂ + ĉ )̂ = 2{a' + b‘ + c )̂ 
Además, si: a + b + c = 0 = » a + b = - c 
Elevamos al cuadrado: a' + b' + 2ab = ĉ
=> â + b̂ - ĉ = -2ab
Volvemos a elevar al cuadrado:
a" + b" + c" + 2a"b' - 2 b V - 2a'c" = 4 a V
=* a^ + b“ + c'‘ = 2(a'b^ + b^c^ + a^c') ...(a )
También; a + b + c = O
=> â + b̂ + ĉ = -2(ab + be + ac)
Elevando al cuadrado nuevamente:
(â + b̂ + c^f = 4[(a^b* + b̂ ĉ +a^ĉ + 2abc(a + b + c)]
O
De aqui, decimos:
(a^ + b ̂+ ^ = 2(a"b^ + + a'c^)
Reemplazamos en (a): 
a- + b- + c * = Í 2 - ^ ± ^
=. (â + b' + c^f = 2(3“ + b" + c")
Al cuadrado; (a ̂+ b̂ + ĉ )̂ = 4(a“ + b* + c*)̂ 
Reemplazando en lo que nos piden;
M a ^ b ^ + c - ^ f - S la V b ^ T c ^ 
a- + b“ + c'’
■ (̂a'* + b‘' + c‘*) ^ . 
a ̂+ b V c "
51. Si x^ + 4r = + -T = 1 • hallar el valor de (xyz)’“ - 1y" z'
Resolución;
De la condición: x̂ + 4 r = 1
y
=» x V + 1 = y ̂ => x y = y^ - 1 ...(a )
Además: y ^ + 4 r = 1 =» -V = 1 - y ^
2 z
Invirtiendo: ẑ = 1
1 -y ^
( a )x (p ) : x y z ^ = ( y ^ - 1 ) 1
(P)
= - 1
L - ( y ^ - i)
Elevando a la 34: (xyz)'°^ = 1 (xyz)'^^ - 1 = 0
52. Reducir:
(x^ + x + l f - 2 ( x '* + x^+ 1) + (x ^ -x + l f
(x^ + / 3 f + 2(x^ - 3) + (x ' - i 3 f
Resolución:
I S Ü B _______________________________
x“ + X̂ + 1 = (x̂ + X + 1 )(x̂ - x + 1 )
Observamos que el numerador (N) y denominador 
(D) son trinomios cuadrados perfectos.
N = (x' + X + 1)' - 2(x' + X + 1)(x' - x + 1) +
( x ' - X + 1 ) ' 
^ N = [{x' + X + 1) - (x' - X + 1)f ^ N = (2x)* 
Como; x" - 3 = (x' + /3 )(x' - / 3 )
D = (x" + i 3 f + 2(x' + -/3)(x' -V3 ) + {x ^ - - Í3 f 
^ D = [(x' + ¡3 ) + {x^~ i3 ) f = D = (2x )̂^
Luego: N
53. Si:
D 4x‘ '■ D
. x - z ,
= X
z - y ( x + y ) ( z - y )
= 1,
hallar; +
Resolución:
Del dato; (x - z)(x + y) + z' = (x + y)(z - y)
^ ( X - z)(x + y) - ( X + y)(z - y) + z' = O
« ( X + y)(x - z - z + y) + z' = 0
( X + y)(x + y - 2z) + z ̂= 0
=. (x + y) ̂- 2(x + y)z + = O =» (x + y - z) ̂= O
TCP
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De aquí; x + y = z z - y = X 
Reemplazando en lo pedido:
'Z,2 X\2
54. Si + be + bd + cd = O, calcular:
(a + b)(a + c)(a + d)
(b + c)(b + d)(c + d)
Resolución;;
Sabemos que:
(a + b + c)(ab + be + ac) - abe = (a + b)(b + c)(c + a) 
(a + b)(a + c)(a + d) n
(F T ^ K ÍT ^ X ÍT d ) = 5
Trabajamos con el numerador (N):
N = â + (b + o + d)a^ + (be + bd + cd)a + bcd 
Del dato: be + bd + cd = -a^
=̂ N = (a ̂+ (b + c + d)a^ + (-a^)a + bcd
=s N = (b + c + d)[-(bc + bd + cd)] + bcd
=» N = - [(b -t- c + d) (be + bd + cd) - bcd] 
conocido por identidad 
Reemplazando: N = - (b + c)(b + d)(c + d)
Lueao' ^ + c)(b + d)(c + d)
^ D (b + c)(b + d)(c + d)
55. Si a + b = -/3 y a - b = V2, determinar el valor 
de: 4ab(a^ + 3b^)(b ̂+ 3a )̂
Resolución:
Los datos los elevaremos al cubo:
(a + b) ̂= = â + 3a^b + 3ab" + b̂ = 3 ,..(l)
(a - b)̂ = V̂3̂ =* â - 3a'b + 3ab' - b̂ = 2 ,..(ll)
Sumando (!) y (II): 2a ̂+ 6ab^ = 5 
^ 2a(a '+ 3b') - 5 ...(lll)
Restando (I) y (II); 2b ̂+ 6a^b = 1 
^ 2b(b^ + 3a^) = 1 ...(IV)
(lll) X (IV): 4ab(a' + 3b")(b^ + 3a^) = 5
56. Encontrar el valor numérico de la expresión: 
a“ + b" + (a + b)̂P =
[a^ + b^ + (a + b)^]" 
b = '/V2TV3
para; a = 73 - 1;
Resolución:
Efectuando operaciones en el numerador (N) de P 
se tiene:
N = a" + b" + a"+ 4a®b + 6a^b' + 4ab' + b"
N = 2a" + 4a^b + 6 a V + 4ab' + 2b“
N = 2[a‘' + 2a^b + 3a^b ̂+ 2ab^ + b"] 
Desdoblemos: 3a'b^ en 2a'b^ y a'b'
N = 2[(a" + 2 a V + b") + (2a^b + 2ab') + a^b ]̂
N = 2[(a^ + b')^ + 2ab(a' + b )̂ + a^b^
N = 2[(a' + b') + ab]' « N = 2[a' + ab + b']'
El denominador (D) de P se puede escribir;
D = [a' + b' + a' + 2ab + b']'
D = [2a' + 2b' + 2ab]' ^ D = 4(a' + b' + ab)̂
N 2(a^ + ab + b̂ )̂ - p ^ I 
D 4{a^ + ab + h^f 2
57. Si: a+ b + c = 1, hallar el valor de:
__________1 - Sabe__________
2(a^ + b̂ + c^) - 3(a' + b ̂+ c^)
Resolución;
Sabemos que:
{a + b + c) ̂= 3(a' + b' + c')(a + b + e) -
2{a^+ b̂ + c’ ) + 6abc 
Reemplazando el dato: a + b + e = 1 
^ = 3(a' + b' + e')(1) - 2(a^ + b' + c') + 6abe
=> 1 - 6abe = - (2(a^+ b̂ + c )̂ - 3(a' + b̂ + c )̂]
1 - 6abc
2(a ̂+ b̂ + c )̂ - 3 (a '+ b̂ + ê )
= - 1
58. Reducir:
T = (m - n + p - q) ̂- (m - n + p) ̂+
3q(m - n + p)(m - n + p - q) + q̂
Resolución:
Sea: m - n + p = x, reemplazando en T:
T = ( X - q)' - x' + 3qx (x - q) + q'
T = x̂ - - 3xq(x - q) - x̂ + 3qx(x - q) +
T = 0
59. Si: ̂ = 1 , calcular:x - 1 y
(1 + y ')(1 + x ' (x + y)'
(x + y f (1 + y ')(1 +x^)
Resolución:
Del dato: xy + y = - x + 1 => xy + x + y = 1 
Elevando al cuadrado: 
x V + x' + y '+ 2x'y + 2xy' + 2xy = 1 
2xy( x + y + 1)
Pero: x + y = 1 - xy •••(a)
=> + / + 2xy(2 - xy) = 1
Sumando 1 y transponiendo términos:
1 + 2̂ + x' + / = 2 - 2xy(2 - xy)
(1 + x') + y'(1 + x ') = 2(1 - 2xy + x V )
(1 + x')(1 + / ) = 2(1 - xy)=
Reemplazando (a); (1 + x')(1 + / ) = 2(x + y)̂
2(x + y f (x + y)' _ 1 5
(x + y f 2(x + y f ^ 2 2
60. En base a las condiciones;
m' + n' + p' = 16: mn + np + pm = - 6; mnp = 4 
calcular eí valor de:
m'̂ n + n‘p + p'm + m^p + n‘ m + p^n 
además; (m + n + p)” ' < O
Resolución:
Transformemos lo que nos piden (agrupamos): 
(m*n + n*m) + (n*p + p^n) + (p‘‘m + m^p) =
mn(m^ + n^) + np(n^ + p^) + pm(p^ + m ’ ) . . . ( l )
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Del dato:
+ n' + p' + 2(mn + np + pm) = 16 - 2(6)
(m + n + p f 
De aqui: m + n + p = 2 o m + n + p = - 2 
Tomamos: m + n + p = - 2 (por dato)
Sabemos que:
m ̂+ + p’ = (m + n + p) ̂-
3(m + n + p)(mn + mp + np) + 3mnp 
Usando los datos tenemos:
+ n̂ + p' = (-2 ) ' - 3 (-2 )(-6 ) + 3(4)
=> + n̂ + p̂ = -32
Usando en (I):
= mn(-32 - p )̂ + np(-32 - m®) + mn (-32 - n̂ )
Agrupando adecuadamente:
= ~ 32(mn + np + mp) - mnp ̂- npm ̂- mpn^
= - 32(mn + np + mp) - mnp(p^ + + n̂ )
(-6)
Efectuando resulta: 128 
61. Reducir la expresión:
(16)
Í4(a" + b' + c')-(a + b - c) '̂-(a - b + c)' - (b + c - af
siendo: a + b + c = 2p
Resolución:
La expresión pedida se puede escribir:
J(2af+ (2bf+ (2cf-(a + b -c f- (a -b + cf-^(b~+"c^af 
Sea: a + b - c = x, a - b + c = y= b + c - a = z 
De aqui podemos decir que:
X + y = 2a, X + z = 2b, y + z = 2c 
Ademas, sumando se deduce que: 
x + y + z = a + b + c 
Reemplazando en lo pedido se tiene;
J(x + y f + (x + z f + (y + z f - x ̂- 
Desarrollando y reduciendo, queda:
= + ŷ + ẑ + 2xy + 2xz + 2yz
= ^{x + y + z f = x + y + z
Reponiendo se tiene; a + b + c = 2p
62. Si a + /ac = b + íb c . 
además: a # b a abe O
Calcular el valor de: + - ~
Vbc Vac Vab
Resolución;
De: a + Jác = b + ■/be => a - b = -/be - / ic 
=í (/a + /b)(/a - /b) = /c(/b - /a)
=i (/a + /b)(/a - /b) = - /c ( /a - Vb)
^ • /a + /b + - /c = 0 ...(I)
Nos piden: +
Se Vac /ab
/ a x / b x / c / a x / b x / c 
Pero si: /a + /b + /c = O
^ /a^ + /b V /c ^ = 3 / i / ^
Reemplazando arriba, se tiene;3 /a x /b x /c
/a x / b x / c
= 3
63. Si; a - b b + c
P =
A c + a > 1, determinar: 
a - 2b -^c , / a - b - 2c b + c - 2a'
b / \ c / \ a
Resolución:
Del dato: â - ab = be + ĉ =» â - ĉ = ab + be
=> (a + c)(a - c) = b(a + c)
_ - . a - b = cDe aquí; a - c = b i .b + c = a
Reemplazando en lo que nos piden:
P = b -2 b \ + ( c - 2 e f ^ / a - 2 a
P = b / \ c ' a
6 4 . Si se verifica que; V/x + 1 + ^//x + 1=1, calcular 
el valor numérico de la expresión:
T(x) = 64x ̂- 129x ̂+ 876x
Resoiución:
Elevando al cubo el dato: (V/x + 1 + V/x - l f = [ l f 
Desarrollando:______
/x + 1 + 3V(/x + 1)(/x-11(V/x + 1 + V/x-1) + /x - 1 = 1 
liDatoi
2/x + 3 ^ / jn = 1 ^ 3 ^ / x ^ = 1 - 2/x ...(I)
Elevando al cubo ambos miembros de (I): 
[3 ^ /> r^ f = [1 - 2/x]^
=» 27(x - 1) = 1 - 3(2 /x ) + 3(4x) - (4x)(2 /x )
= 6/x + 8x/x - 28 - 15x ...(II)
Elevando al cuadrado ambos miembros de (II):
36x + 96x' + 64x' = 784 - 840x + 225x'
=. 64x ̂- 129x ̂+ 876x = 784 
TM 
T(x) =784
6 5 . Si; x̂ + 1 = O A X # - 1, calcular
. _ (x-1)^ (X-1)^
x̂ X
Resolución;
Transformando el dato por suma de cubos;
= ( X + 1)(x' - X + 1) = O
De aqui: x = - 1 v x ^ - x + 1 = 0
F V
Consideramos: x̂ - x + 1 = 0
( x - l f ( x - l f
(I)
Nos piden: A =
De(l); X - 1 = x̂ ^ A =
x
(x^f
x" X 
= ,A = x“ - x " ^ A = x’ (x - x')
Pero del dato: x® = -1 y de (I): x - = 1
Luego; A = (-1)(1) A = - 1
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