Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (22)

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66. Efectuar y simplificar;
A = (x + y - 2)(x + y) + (X - y + z)(x + z) +
(y + z - x)(y + z) - 2(x ̂+ y )̂
Resolución:
A = ( X + y ~ z) ( X + y) + ( X - y + z) ( X + z) +
(y + z - X ) (y + z) - 2{x ̂+ / )
Multiplicando convenientemente;
A = (x + y f - z ( X + y) + (x + zf - y(x + z) + jy + zf -
x{y + z) - 2x' - 2y^
Desarrollando dichas equivalencias:
A = x̂ + 2xy + / - z x - z y + x̂ + 2xz + ẑ - 
yx - yz + y' + 2yz + ẑ - xy - xz - 2x ̂- 2y ̂
A = 2x'
6 7 . Si:
a + b + c =
a-b )(b -c ) (b-c)(c-a) (c-a){a-b) 
hallar: T = í i ± ^ + ( h + ^ ^ (c + a - b f
ab be ac
Resolución:
Del dato:
a + b + c =
a + b + c =
_ c - a + a - b + b - c
(a - b)(b - c)(c - a) 
O
(a - b)(b - c)(c - a) 
a + b + c = O ...(I)
De (I); a + b = -c ; b + c = -a ; a + c = -b
Reemplazando en T;
T = ( - c - c f ̂ ( - a - a f ̂ ( - b - b f
ab be
T =
ab be ac 
4 X 3abc
ac
c ̂+ a ' + b-
abc
abe . T = 12
68. Si la diferencia de las cuartas potencias de dos nú­
meros es 369 y el cuadrado de la suma de ios cua­
drados es: 1681, ¿Cuál es la suma de los números?
Resolución:
a " - b ' = 369 ...(1)
(a' + b ^ = 1681 ...(2)
De (1): (a ̂+ b )̂(a ̂- b') = 369 ...(3)
De (2); (a ̂+ b^)' = 41 ̂ ^ a' + b' = 41 ...(4)
Reemplazando (4) en (3):
41(a^ - b )̂ = 369 =» â - b̂ = 9 
Sumando (4) + (5); 2a ̂= 50 => a = 5 
Reemplazando en (4): 5̂ - b̂ = 41 =» 
Piden; a + b = 9
(5)
b = 4
6 9 . Siendo: ab = '/TOO -V Í0 + 1,a + b - 1 = VTÜ, 
hallar: 3ab{a -i- b)
Resolución:
Primera igualdad: ab = VTo^ - VTO + 1 
Segundo igualdad: a + b = ViO + 1
Multiplicando miembro a miembro (da suma de cu­
bos):
=9 ab(a + b) = VÍÓ^ + f = 11 3ab(a + b) = 33
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PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
PROBLEMA 1 (UNI 1 978 )
Si se tiene la suma S y el producto P de dos cantidades
■x' + y ' - es igual a:
B)0,25S" - PS' + P'
x, y; entonces:
A) (S - P)̂ - (s - P)̂
C) S" - 2PS' - 3P'S + P̂ D) S" - PS(1 - S) + |P ' 
E) S’ - PS + |P '
Resolución:
Sumando y restando 2xy en el numerador de la base: 
TCP
(x + y f - 2xy
De donde: ^ ^ + ^ ^ = 3
Nuevamente sumando 2 miembro a miembro:
2L = 3 + 2 =.
V a Vx® a = 5
+ ŷ + 2xy - 2xy _
Reemplazando datos:
S' - 2P S' -4S=P + 4P' = 0,258“ - S'P + P̂ 
Clave: B
PROBLEMA 2 (UNI 1978)
Determinar los dos números consecutivos: x > y , que 
cumplen la siguiente relación:
x - y X 4 - y \ / x ^ + y ^ x y
x + y X - y /\ 2xy
11 ̂ - = 5I 2 2! x ̂+ y"
TCP
^ + a
PROBLEMA 4 ( tN I 19 8 2 • If)
Cuál es el valor que asume la expresión:
Clave: C
X + 2y 2y
xy
si; 1 + 1 
X y
2x X + 3y
x + y 
A) 2 B)3
Resolución:
C)1 D)4
1 ,1 4
E)N.A.
Efectuando !a condición: — + - =
X y x + y
(X + y)̂ = 4xy = x̂ + 2xy + / = 4xy => (x - y)' = O
Sacando f ~ miembro a miembro; x - y = O
De donde x = y
Reemplazando en U:
x' + x' , X + 2x
A)x = 3, y = 2 B)x = 9, y = 8 C)x = 7, y = 6 
D) X = 2, y = 1 E) N. A,
Resolución:
Efectuando operaciones en cada uno de los paréntesis:
U =
x‘
U = 4
2x
2x 
X + 3x U = 2 + J 4
Clave: D
PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 3 - II)
(x-t-y f+ (x-y)^ (x + y)' xy Sabiendo que se cumple: a x b x c = 0
(x+ y)(x - yi 2xy x' + y' a + b + c = 1
2ix^ - ŷ ) (x + y f xy x + y
(x i - y)(x - y) 2xy [x^ + ŷ x - y = 5
De donde, x + y - 5x - 5y 6y = 4x =* 2x = 3y 
Por condición y de la igualdad: x = 3; y = 2
Clave: A
PROBLEMA 3 (UNI 1981)
Sabiendo que' = 7x̂ a
El vaior de la expresión: ^ e s :
C )/5 D)5 E)A) B) 4
Resolución:
Sumando 2 miembro a miembro en la condición:
+ 2 = 7 + 2 +
halle el valor de: K = ^ + ‘> + ^ -^ O
A) o B)1/6 
Resolución:
Si: a X b X c = O 
a + b + c = 1 
+ b̂ + ĉ
0 1 /3 D)1/2 E) 1
a' + b' + ĉ
ac)
2 3
a' + b' + c' = 1 - 2(ab + be 
+ b̂ + ĉ = 1 - 3(ab + be + ae) 
Reempiazando en K:
1 - 2(ab + be + ac) 1 - 3(ab + be + ae)K =
K = 1 - {ab + be + ac) - 1
3
(ab + be ac)
Clave: B
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■ ■
O P R O B L E M A S PROPUESTOS
1. Calcular el valor de: S = ,
3b -'+ a-^
3i: b =V2; a = /3
A) 6 
D)9
B) 12 
E) /5
C)1
2. Si a, b y c son números que satisfacen las condi­
ciones: a + b + c = 3; + ĉ = 30, abe = 4;
calcular: T = 1 1 1 a b e
A) 1/4 
D) 1/3
B) 1/2 
E) 1/6
C) 1/5
3. Si X , y € IR; t a l que se v e r i f i c a :
$ + = 42 - 9 / Í - / 7■/x Jy
calcular: x + y
A )7 B )25
D)13 E)2G
C) 10
4. S( X , y e E , calcular el menor valor de:
v . 4 + 4 - 4 - 4 + 2 i + y
y“ x^ y" y X
A) O B)1 0 2 D)3
5. Sea x > O que verifica: x̂ - 3x + 1 = O, 
calcular el valor numérico de:
S = x' + x' + l . + -L 
x'̂ x
A) 24 B) 25 O 26
D)27 E)28
6. Si: ^ t ̂ = 5: X 0; calcular: T = x® + -L
E)4
X
A) 525 
D) 528
8)527 
E) 529
X“
0 526
7. Dada la expresión:
2(x + y)' + 2{z + w) = (X + y + z + w)' - (x + y - z - w)';
calcular: v = ( ^ f \ z + w /
A) 3 B)4 0 2
D)1 E)0
8. Reducir: S = (x + 1)(x - 1)(x ̂+ x̂ + 1), 
si: x = /3 + /5 + J3 --/5
A) 99 
D)999
9. Efectuar: T
A) 7 
D)9
B) 100 
E)1
O 1000
= (X + 5 )^ - (x + 11)(x- 1)
(x + 3 )^ - (x + 5)(x + 1)
B)6 0 8
E ) -5
10. Simplificar:
V = ^l(a ̂+ 2ab - b ')' + (a ̂- 2ab - b ')‘
C)2b^A) a' - b̂ 
D) a' + b
B)2a^
E)ab
11. Sean: S = (x + 1)(x + 2){x + 3)
T = (x + 2)( X + 3) + (x + 2)( X + 4) 
S - x ^Indicar:
A) 2 
D)0
T - 5x' -
8)3
E)x
C)1
12. Encontrar el valor de: X* - 4x - 4,
si: x = //2 + 1 + ^ / 2 - Í
A) 4 
D)0
8)3 
E) -2
O í
13. Si; a + b + c = 2p; calcular:
T - (p - a)' + (p - b)" + (p - c f + p'
A) a + b + c 8) abe C) 1 + abe
D) a' + b' + c' E) 1
14. Efectuar:
S = (x' + 1 - x)(x' + 1 + x)(x® + 1)(x' - 1)
Dar el valorde: S + 1
A)1 B)0 Ox®
D )x ' E)x^'
15. Dados los números: a, b, c; tal que a j^c; ade­
más; (a + b + c) ̂= 3(ab + ac + be)
Calcular: V = (a + b)^ + (a + c ) '+ (b + c)' 
a ' + b ' + c'
A) 2
D)5
B ) 4
E)1
0 )8
16. Calcular el valor de: T = (x + a)(x + b) _
a + 2x + b ab
si; (a + 2x + b)(a - 2x + b) = (a - b)'
A) 11 8 )0 C)4
D)2 E)3
17. Si: a - 1 - 2, calcular: S ^ fa^ + 47Va^-
A) 78 
0)84
B) 80 
E) 86
a
0 82
o , ■■ {a + b)“ - ( a - b ) ‘18. Sea la expresión: — — ~ — ~ ^ = 4
calcular: N = 
A)1
(a ̂+ b V - ( a ^ - b V
4a t 2b
4a - b
8 )2 0 3/4 D)5/3 E j4
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