Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (25)

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Reemplazando en la expresión pedida:
^ _ 3a ̂+ 9a ̂ _ 12a ̂ . ^ - - \ 2
a ̂ a"
Sabiendo que la división:
Ax^ + SSx“ + Bx ̂- 3x + 15 
5x^ + 5x^ - 2x - 2 
deja como residuo: 37x ̂- x + 9. Hallar: A + B . 
Resolución:
Como las incógnitas se presentan en los primeros 
términos del dividendo convendría que estas estén 
al final; para eso se requiere que la división sea 
exacta, entonces recurrimos a lo siguiente.
Cuando en una división al dtvidertdo ¡ 
residuo ̂ ta se convierte en e)3c^; I 
que e( residuo es un poinomio ídéntícan^itenuiQ.
Luego; D(x) - r(x) = Ax ̂+ 55x" + Bx̂ - 37x̂ - 2x + 6 
Entonces:
Ax ̂+ 55x^+BxJ-37x^-2x + 6 
5x^ + 5x^ - 2x - 2 
Aplicamos Horner, pero el polinomio lo ordenamos 
en forma ascendente:
-2 6 -2 -37 B 55 A
2 -6 15 15
-5 8 -20 -20
-5 14 -35 -35
-3 4 7 (B + 9)x' + Ox + (A - 35)
r(x)
Teniendo en cuenta que: r(x) = O
• B + 9 = 0 * B = - 9
• A - 3 5 = 0 = » A = 3 5 
A + B = 26
<4 REGLA DE RUFFINI
Se emplea para dividir polinomios por divisores de la 
forma: ax ± b, o cualquier otra expresión transformable 
a esta.
Reglas o pasos a seguir:
Se completan y ordenan los polinomios con res­
pecto a una sola letra o variable. En caso falte un 
término este se completa con cero.
En caso hubiesen dos o más variables se conside­
ra solo a una de ellas como tal y las demás harán 
el papef de números o constantes. Se distribuyen 
en forma horizontal los coeficientes del dividendo; 
en forma paralela a este paso se iguala el divisor 
a (0), se despeja la variable y ésta se coloca en el 
ángulo inferior izquierdo del gráfico.
Se baja el primer coeficiente del D siendo este el 
primero del q. Luego se multiplica por el valor des-
pejado de la variable y el resultado se coloca deba­
jo de la siguiente columna.
Se reduce la columna siguiente y se repite el paso 
anterior tantas veces hasta que la última operación 
efectuada caiga debajo del último coeficiente del 
D. Llegado este momento, se reduce la columna 
que falta, y siempre se cumplirá que la última co­
lumna le va a pertenecer al resto, y este siempre 
será un valor numérico.
Esquema gráfico:
D I V I D E N D O
X = N
e o e ENTE resto
1.*' caso: cuando el primer coeficiente del divisor es la 
unidad (x ± b)
Ejemplos:
1. Dividir: 2X--7X + 3X--5X-+11 
x + 2
Resolución;
Ordenando al dividendo; 3x ̂- 5x ̂+ 2x ̂- 7x + 11 
Aplicando el método de Ruffini;
X + 2 = 0 3 - 5 2 -7 11
X = -2
i
-2 -6 22 -48 110
3x̂ - 11x̂ + 24x - 55 121
q(x)
.-. q(x) = 3x' - 11x" + 24x - 55 
r(x) = 121
2 Dividir 2x^-^372x° -1 2 x‘ +. 3 . ^ - 2 .
X - /2
Resolución:
Utilizando el criterio de Ruffini;
r(x)
2 ZÍ2 -12 3/2 -2
x ^ / 2
1
Í2 2/2 10 -2 /2 2
2 5/2 -2 /2 0
r(x)q(x)
q(x) = 2x ̂+ 5Í2x^ - 2x + 12 
r(x) - O
2.“ caso; cuando el primer coeficiente del divisor es di­
ferente de la unidad {ax ± D. a i)
• En este caso se procede en forma similar a la ante­
rior pero se debe tener presente que para obtener 
el cociente verdadero se divide cada uno de los 
coeficientes del aparente cociente por el primer 
coeficiente del divisor.
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Ejemplos:
1, Dividir; (6x ̂- 19x^+ 19x - 1 6 ) - ( 3 x - 2 ) 
Resolución:
q(x) = 2x̂ - 5x + 3 
r(x) = -10
- - , ... (lOx“ + 39x ̂+ 29x" + 51x + 28)2, Dividir; ^ 5x + 2
Resolución:
Utilizando el criterio de Ruffini;
q(x) = 2x ̂+ 7x̂ + 3x + 9 
r(x) = 10
3. Dividir: (3x‘' + 2/2x^ + 4x' + /2x + 6) - (3x - /2) 
Resolución:
Usando el método de Ruffini;
q(x) = x̂ + -/2x" + 2x + /2 
r(x) - 8
4, Para la división;
4x̂ + 2x̂ + (1 + /3)x^ - 2/3 x̂ + (1 + S/3)x ̂+ 1 - 3 ^ 
2x - /3 + 1
Suponga que R es el residuo de la división y S es 
la suma de coeficientes del cociente. Calcular: 
R + S
Resolución:
Por el método de Ruffini, se tendrá;
4 2 (1 + ̂ ) -273 (1 +3/3)0 -3/3
/3-1X- 2
/3-1
2 (2/3-2) (3-/3) (2^-2) 1 - / 3 2 /3 - 1
.2 4 2/3 4 -2 2 + 2/3 2 -2/3-1
2x®+/3x‘ + ?x̂ - 1x̂ + Í1 + /3ÌX+1 r(x)
q(x)
Por condición; R = - 2 / 3 - 1 y S = 2/3 + 5 
,', S + R = 4
< i TEOREMA DEL RESIDUO
Se emplea para calcular el resto en forma directa sin 
necesidad de efectuar la operación de la división. Por lo 
general se emplea para divisores de la forma: ax ± b, o 
cualquier otra expresión transformable a esta.
Lema o enunciado de descartes
Dado un P(x) como D y un divisor de la forma ax ± b, 
para calcular el resto en forma directa se iguala el divi­
sor a cero; se despeja la variable y esta se reemplaza 
en el dividendo.
Demostración:
Datos
D = P{x) 
d = ax - b 
q = Q(x) 
r = R
D = dq + r
Sabemos: P{x) = (ax - b)Q(x)- I - R , . . ( l )
Según Descartes: a x - b = 0 » x = —d
Reemplazando en (l): P(^) = 
■■■ '’ ( ! ) =
Casos que se presentan:
a í ^ l - b
D d r
P(x) ax - b P(b/a)
P(x) ax + b p ( - | )
P(x) x - b P(b)
P(x) X + b P(-b)
Ejemplos:
1, Hallar el residuo en (2x‘ + 9x‘* -i- 3x - 4) -r (2x - 1 ) 
Resolución:
Por el teorema del residuo:
2 x - 1 = 0 * x = - l 
Reemplazando en el dividendo: 
2 ( l f - 9 ( | r + 3 ( l ) - 4 = ± - ± + | - 4 = - 3
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2. Hallar el residuo en (3x̂ ̂- 5x’’ + 3x - 5) (x̂ + 1 ) 
Resolución:
Ei dividendo se puede escribir de la siguiente manera;
3(x^)"‘* -5 ¡x ")"x^+ 3 x -5 
x̂ + 1
Por el teorema del resto; x̂ + 1 = O =» = -1
Reemplazando se tendrá; 
r(x) = 3(-1)'" -- 5 {-1 )V + 3x - 5 
r(x) = 5x̂ + 3x - 2
3. Hallare! residuo de;
(x -1 ) ' + 2(x - 1)" + 5x - 7 -x (x - 2)
Resolución:
La expresión se puede escribir;
[ ( x - 1 ) ^ f ( x - 1 ) + 2 H x -1 )^ f + 5 x - 7 
x^-2
Efectuando los paréntesis;
[x^-2x + l f ( x - 1) + 2 [x^-2x+ i f + 5X -7 
x " - 2x
Por el teorema del resto; x̂ -- 2x = O 
Reemplazando;
r(x) = (O + 1)̂ (x - 1) + 2(0 + 1)" + 5x - 7 
« r(x) = (x - 1 ) + 2 + 5x - 7 r(x) = 6(x - 1 )
4. Calcular el residuo en la división;
[{x + 2)' + 3(x + 2)- + X + 1] ^ (x + 1)(x + 3)
Resolución:
Sea; d(x) = x̂ + 4x + 3 + 1 - 1 = (x + 2)̂ - 1 
D(x) = l ( x + 2 f ] \ x + 2) + 3l(x + 2 f f ( x + 2) + x + 1
Por el teorema del resto;
(x + 2)' - 1 = O = (x + 2)̂ = 1
Luego, hallando r(x);
r(x) = (1)(x + 2) + 3{1)(x + 2) + X + 1
=> r(x) = X + 2 + 3x + 6 + X + 1 r(x) = 5x + 9
<4 DIVISIBILIDAD POLINÓMICA
Se dice que un polinomio P(x) es divisible por el polino-
P ( x )mío d(x) si y solo si la división es exacta; además 
se dice que d(x) es un factor del polinomio P(x).
P(x) es divisible por d(x) » p{x) = d(x)q(x)
1. Si un polinomio es divisible por separado entre 
varias expresiones, será divisible por ei producto 
de ellas.
Sea P(x) = (x - a)qi(x) =» r = O 
P(x) = (X - b)q,(x) ^ r = O 
P(x) = (X - c)q3(x) r = O
P(x) = (x - a)(x - b)(x - c)q(x) r = O
Lo contrario también se cumple, es decir si un 
polinomio es divisible por un producto de varias 
expresiones, será divisible por cada una de ellas 
separadamente.
Si; P(x) = (X - a)(x - b)(x - c)q(x) =. r = O
P(x) = (x-a)q,{x) r = O 
P(x) = (x - b)q2(x) ^ r = O 
P{x) = (x - c)q3(x) =. r s O
2. Si ai dividir un polinomio por varias expresiones 
da un mismo resto, entonces al dividir dicho 
polinomio por el producto de ellas, también nos 
dará el mismo resto común.
Si; P(x) = d,(x)q,(x) + r(x)
P(x) = d2(x)qj(x) + r(x)
P(x) = d,(x) d̂ Cx) q(x) + r(x)
3. Sea: P(x)
Si para: x = a; P(a) = O
P(x) = (X - a)q(x)
Además x = a, es un cero o raiz de P(x). 
Ejemplos:
1. Al dividir P(x) por (x - 1)(x - 2) se halla por resto 
2x + 1. ¿Qué resto se encontrará si se divide P(x) 
por x - 2?
Resolución:
Por dato; P(x) = (x - 1)(x- 2)q,(x) + (2x + 1)... (1) 
Además se sabe que:
P(x) = ( X - 2)q3(x) ^ R ... (11)
En (11): parax = 2 « P(2) = R ... (NI)
En (i): parax - 2 =* P(2) = 5 
En (III): resto = R 5
2. Los restos de las divisiones de P(x) por los bino­
mios (x - 1) y (x + 2) son, respectivamente, 8 y 
-7 . Hallar el resto al dividir P(x) por x̂ + x - 2.
Resolución:
Por datos: P(x) = (x - 1)qi(x) + 8 P(1) = 8
P(x) = ( X + 2)q:(x) - 7 P(-2) = -7
Además: resto
P(x) = (x" + X - 2)qj(x) + mx + n ^ P(1)=m + n 
P(-2)= -2m-n
Luego: m + n = 8 ...(i)-2m + n = -7 ...(11)
Restando (1) y (11): 3m = 15=» m = 5
5 + n = 8 == n - 3
R(x) = 5x + 3
3. Calcuiar ‘'m" para que el polinomio:
{x ' + y^ + z y ■+ m(x^ + y" +- z") 
sea divisible por x + y + z.
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