Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (29)

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51. Encontrar el resto de dividir un polinomio P(n) entre 
(2n - 1), si se sabe que el término independiente 
del cociente es 5 y además P(0) = 18,
Resolución:
Ecuación fundamental:
P(n) = (2n - 1)Q(n) + R
1.“ »Grado cero
Datos: P(0) = 18 a Q{0) = 5 
Para n = 0: P(0) = (-1)Q{0) + R 
R = 23
18 = -5 + R
52. Al dividir un polinomio P{x) entre (x + 4) se obtu­
vo como residuo 13, al dividir el mismo polinomio 
entre (x + 2) el residuo es -5. Hallar el residuo de 
dividir dicho polinomio entre: (x + 4){x + 2)
Resolución:
Datos:
P(x) - (X + 4) => R = 13 ^ P(-4) = 13
P(x) - (X + 2) ^ R = -5 ^ P{-2) = -5
Ecuación fundamental:
P(x) = (X +4)(x + 2)q(x) + R_
2 . “ 1.°
De donde: R = ax + b
P{-4) = O + {-4)a + b = 4a + b = 13 ...(I)
P(-2) = O + (-2)a + b == 2a + b = -5 ...(II)
Resolviendo {I) y (II): a = -9 a b = -23 
R = -9x - 23
53. Los coeficientes de un polinomio P(x) de cuarto 
grado son número enteros consecutivos, si se divi­
de P(x) entre (x - 1 ) el resto es 35, hallar la suma 
de coeficientes de los términos lineal y cúbico.
Resolución:
Sea:
P(x) = ax“ + (a + 1)x̂ + (a + 2)x̂ + (a + 3)x + (a + 4) 
Dato: P(1) = 35. luego:
P(1) = a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + a + 4 = 35 
=> 5a = 25 =» a = 5 
Coeficiente del término lineal: a + 3 = 8 
Coeficiente del termino cúbico: a + 1 = 6 
8 + 6 = 14
54. Un polinomio entero en x, al ser dividido por (x - 1 ) 
y por (x - 2) separadamente, los residuos son 6 y
8. respectivamente. Cuánto se debe restar al poli­
nomio para que al dividirlo entre (x - 1)(x - 2). el 
cociente resulte exacto.
Resolucíón:
Dato:
P(x) + (X - 1) ^ R = 6 ^ P(1) = 6 
P(x) + ( x - 2 ) ^ R = 8=^ P(2) = 8 
Ecuación fundamental;
P(x) = (X - 1)(x-2)q(x) + R
De donde; R = ax + b
P(1) = o + (1)a + b ^ a + b = 6 ...(I)
P(2) = O + (2)a + b ^ 2 a + b = 8 ...(II)
Resolviendo (I) y (ll): 
a = 2 / ^ b = 4=^ R = 2 x + 4
q(x) será exacto cuando se le reste; 2x + 4
55. Un polinomio presenta las siguientes característi­
cas; grado (n + 1), término independiente -3, pri­
mer coeficiente 1, es divisible por (x" +1). además 
P(2) = -33. Según lo mencionado, hallar "n".
Resolución:
l- P(x) => grado; n + 1
II. P(0) = -3
III. 1 coeficiente; 1
IV. P(x) + (x'' -f-1) => R = O
V. P{2) = -33, nos piden n 
Ecuación fundamental:
De (IV): P(x) = (x" + 1)Q(x)
De (l): (n + 1).° n.° I . ”
De donde:
P(x) = (x" + 1 )(ax + b) 
P(x) = (x"+ 1)(x+b) ^ 
P(x) = ( x " +1 ) ( x - 3 ) = 
n = 5
de (III): a = 1
de (II); b = -3
de (V): (2"+1)(-1) = -33
56- Al dividir el polinomio P(x) entre (2x^ + x + 3) se 
obtiene por residuo 6 y un cociente cuya suma de
P(x)coeficientes es 9. Halle el resto en: 
Resolución:
Ecuación fundamental;
P(x) = (2x ̂+ x + 3)Q(x) + 6 
Además: Q(1) = 9 
^ R = P( 1) = (2 + 1 + 3)Q(1) + 6
x - 1
R = 60
57. Calcular el mínimo valor de “k" de manera que en 
el cociente notable;
+ ’ Ltia + b" •; para (m = impar)
a"’ + b
el grado absoluto del término que ocupa el lugar “k” 
exceda en (4m - 4) al grado absoluto del término 
que ocupa el lugar “k" contado desde la derecha.
Resolución:
Sea;
(a"^ + (b)
Si el desarrollo es un cociente notable entero nece­
sariamente: m = n.“ impar.
Dato: GA(t,) - GA(tk) = 4m - 4 ...(a)
r = (signo)(a" "(b)^
K = (signo)(a'")''-'(b)''
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En (a):
- k) + (k - 1}] - [m(k - 1) + (m"" - k)] =4n - 4 
Operando; m"" = 2k + 3 =» k = ^ ^
■■■ k _ = 1 2 (p a ra m = 3)
58. Al dividir P(x) = mx̂ + 2nx̂ - 7x̂ - 3x + 2 entre 
d(x) = x̂ + X + 1, se obtiene por cociente q{x) y 
resto r{x) = 5x - 1. Hallar el valor de P(m).
Resolución:
Por el algoritmo de la división;
P(x) = d(x)q(x) + r(x)
Luego, reemplazando;
mx̂ + 2nx̂ - 7x̂ - 3x + 2 = {x̂ + x + 1 )q(x) + 5x - 1 
mx* + 2nx ̂- 7x̂ - 8x + 3 = (x̂ + x + 1 )q(x)
Por Horner invertido;
-1 3 -8 -7 2n ( ° ^ ^ m >1
-1
- 1
3 -3
11 11
-1 -1
-(2n + 10) -(2n+ 10)
3 -11 1 2n + 10 ^ 0 ) L 0 J
Luego; O + { - 1) + l-(2n + 10)] = O => 2n = -11 
También; m + f-(2n + 10)] = 0 =5 m = -1 
P(x) = -x® - 11x̂ - 7x̂ - 3x + 2 
•. P (- l) = 1+11 - 7 + 3 + 2 = 10
59. Un polinomio entero en x de tercer grado se anula 
para x = 7 y para x = -3, y al dividirlo entre x - 10 
da como residuo 39 si e! primer coeficiente del po­
linomio es 3. Hallar el resto de dividirlo entre x - 8.
Resolución:
Sabemos que es un polinomio entero de tercer gra­
do cuyo primer coeficiente es 3 y se anula para 
X = 7 y X = -3, podemos plantear que;
P(x) = (x - 7)(x +3)(3x + B) ...(I)
3.“
Dato; P(x)
1,'
R = 39 . P(10)= 39
X - 10
En (I); P{10) = (10 - 7)(10 + 3)(10 x 3 + B) = 39 
B = -29.
Luego; P(x) = (x - 7)(x + 3)(3x - 29)
P(x)Piden; R = P(8)
^ P(8) = (8 - 7)( 8 + 3)(3 X 8 - 29) - R
(-5) - R
R = -55
60. Al dividir; P(x) = x“ + Ax̂ + Bx̂ + 2x -- 1 entre 
un polinomio de segundo grado, se obtuvo como 
cociente: (x̂ - 1 ) y como residuo: (2x + 1 ). Indique 
el valor de B.
Resolución:
Por Euclides;
x“ + Ax' + Bx' + 2x - 1 = d(x)(x' - 1) + (2x + 1) 
Parax = 1: A + 8 = 1 ...(a)
Pa r a x = - 1 ; B - A = 1 ...(ji)
Sumando (a) + (P); B = 1
61. Al dividir P(x) = mx* + nx ̂ + 5x ̂+ 5x - 6 entre 
d(x) = x' - 3x + 2, el resto es x - 2. Hallar; n̂ - m̂
Resolución:
Del algoritmo de ia división; 
mx“ + nx' + 5x' + 5x - 6 = (x̂ - 3x + 2)q(x) + x - 2
mx“ + nx' + 5x' + 5x - 6 = ( X - 2)(x - 1 )q(x)+ x - 2
S i x = 1;
m(1)“ + n(1) ̂+ 5(1)' + 5 ( 1 ) - 6 =
( 1 - 2 ) ( 1 - 1 ) q ( 1 ) + 1 - 2 
m + n + 4 = - 1 = » m + n = -5 ...(I)
S ix = 2;
m(2)“ + n(2) ̂+ 5(2)^ + 5(2) - 6 =
( 2 - 2 ) ( 2 - 1 ) q ( 2 ) + 2 - 2 
16m + 8n + 24 = O =5 2m + n = -3 ...(II)
De (I) y (II): m = 2; n = -7 
n' - m' = (-7 ) ' - (2) ̂= 45
62. Qué lugar ocupa en el desanollo del cociente rwtable;
^160 _ y2B0
— -— el ténnino que tiene grado absoluto 252.
x“ - y '
Resoiución:
Dándole la forma adecuada;
x160 _ yzao _ (^4^.0 _ (y7)40
y- - y ' y^ - f
Sabemos que un término cualquiera del desarrollo 
estará expresado por; t̂ = (x )̂“° ' ‘‘(y')*'” '
Pero; GA(t,) = 160 - 4k + 7k - 7 = 153 + 3k
Dato; GA(tJ = 252 = 153 + 3k =» k = 33
El término de lugar; 33
63. Dar la suma de coeficientes del cociente de la si-
guiente división indicada:
Resolución:
Por la regla de Ruffini
. x®-14x“ + 49x^-36
(x -1 )(x -2 ) (x -3 )
1 0 -14 0 49 0 -36
x= 1 1 -13 -13 36 36
x - 1 1 -13 -13 3C 36 0
2 6 -14 -54 -36
x = 3 1 3 -7 -27 1 -18 0
3 18 33 ! 18
1 6 11 6 1 0
Q(x) = x ' + 6x' + 11x + 6 
iCoef, = Q(1) = 24
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64. Cuál es el resto de la división: - 2
x +1
Resolución;
Multiplicando el dividendo y el divisor por ( x +1 ) 
obtenemos;
(x '"^ -2 ) ((x+1))
( x ^ - x + 1)((x + 1)) 
Expresando ei
(x Y ''x ' + (x'
ibs - 2x - 2
x^+ 1
Expresando en fundón de al dividendo tendríamos;
,3M22.,2 , /-3yi^^ x - 2 x - 2
x̂ + 1
Aplicando el teorema del resto;
x̂ + 1 = O =» x̂ = - 1
Reemplazando en el dividendo, obtenemos:
( X + 1)R(x) = (-1)’^V + ( - l ) ’^^x - 2x - 2 
( X + 1)R(x) = x" + X - 2x - 2
R(x) - ^ 7 ̂x +1 ...{!) porla división:
( x - 1)'“ + x̂ + 20
De (I), por Ruffini: 1 -1 -2 Sx“ - 5x ̂+ x + 2
-1 -1 +2 Resolución;
R(x) = x - 2
1 -2 0 Usando la propiedad deducimos que nos piden 
q(1) + R(1), donde q(x) y R(x) son el cociente y 
residuo, respectivamente.
65. Determine el menor valor de “n" para que las si­
guientes divisiones tengan el mismo resto.
(x - 2) V x̂ + X - n . 2x'^ + nx + n̂
X - 2 x+ 1
Resolución;
Aplicamos el teorema del resto para cada división. 
De la primera división;
• x - 2 = 0 =>x = 2
• R, = (2 - 2)® + 2' + 2 - n =» R, = 6 - n 
De la segunda división;
• x + 1 = 0 =»x = -1
• Ra = 2 (-1 )’®+ n(-1) + n̂ ^ R̂ = 2 - n + n̂ 
Por dato: R, = R2=>6 - n = 2 - n + n̂
=»n ̂= 4=»n = 2 V n = -2 
Ei menor valor de n es -2 .
66. Al dividir un polinomio P(x) entre (x + 3) se obtuvo 
por residuo -5 y un cociente cuya suma de coefi­
cientes es igual a 3. Encontrar el residuo de dividir 
P(x) entre ( x - 1) .
Resolución:
Datos:
P(x) - ( X + 3) ^ P(x) = ( X + 3)Q(x) - 5 
Suma de coeficientesde Q(x), es decir; Q(1) = 3 
Aplicamos el teorema del resto: x - i = o 
= X = 1 « R = P(l)
En P(x), para x = 1;
R = P(i) = (1 + 3)Q(1)-® ^ R = 4Q(1) ^
Pero; Q(1 ) = 3 = R = 4(3) - 5 =. R = 7
67. Si el cociente notable que se genera de la división
x“ - V®—— ^ tiene 10 términos, halle el valor de: a + b
x“ -y®
Resolución
Para que genere la división un cociente notable, 
debe cumplirse que:
20 __ a _ N.° de términos
b ~ 3 ~ del cociente
20
b
10
b = 2A .^ = 10 =»3 = 30Luego: ^ - 10 
a + b = 32
68. Determine la suma de coeficientes del cociente 
más la suma de coeficientes del residuo generado
1 .
De la identidad fundamental, obtenemos;
Six = 1: 21 = (1)q(1) + R(1) 
q(1) + R(1) = 21
69. Al dividir P(x) = 3ax® + (a + 1 )x̂ + 4x ̂ - 6x + a 
entre (x - 1) y (x ̂- 1) los restos que se obtuvieron 
fueron 14 y (bx + c), respectivamente. Calcular; 
a + b + c.
Resolución:
3ax® + (a+ 1)x^ + 4x^ -6x + a 
( x - 1 )
- R , - 1 4 ...(I)
Calculando R, por el teorema del resto: 
x - 1 = 0 = > x = 1 
Reemplazando en el dividendo;
R, = 3a(1)® + (a + 1)(1) ̂+ 4(1)^ - 6(1) + a 
Ri = 3a + ( a+1 ) + 4 ~ 6 + a 
^ R, = 5a - 1 ...(II)
De (I) = (11); 5a - 1 = 14 5a = 15 =» a = 3
„ „ 3ax® + (a + 1)x^ + 4x^ - 6x + a
(x^-1)
=> Rj = bx + c ...(111)
Calculando Rj por el teorema del resto;
x̂ - 1 = O => x̂ = 1 
Transformando el dividendo;
3a(x )̂^x + (a + 1)x̂ x + 4x ̂- 6x + a
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Reemplazando (x̂ = 1) en el dividendo:
R2 = 3a(1)'x + (a + 1)(1)x + 4(1) - 6x + a 
Rj = 3ax + (a + 1 )x + 4 - 6x + a 
R̂ = (3a + a + 1 - 6)x + (a + 4)
« Rj = (4a - 5)x + (a + 4) ...(IV)
Igualando: (III) = (IV):
^ + c = (4a - 5)x + (a + 4)
Donde:
b = 4 a - 5 = » b = 4(3) - 5 ^ b = 7 
c = a + 4 => c = 7 a + b + c = 3 + 7 + 7 = 17
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
PROBLEMA 1 ( tN I 1988)
Dos de las raíces del polinomio P(x) = ax̂ + bx̂ + cx + d;
son 3 y r. Hallar un polinomio de tercer grado, dos de
4 r + 1 cuyas raíces sean y —*5 r
A) cx ̂+ (a - b)x ̂ + (b + d - c)x + (a + b - d)
B) dx^ + (c - 3d)x ̂+ (b + 3d - 2c)x + (a + c - b - d)
C) dx^ - 3dx ̂ + (3b + d)x + (a - b - c)
D) ax ̂- 2cx ̂ + bx + (a - b - d)
E) bx" + (2a + b)x' + (b + c)x + (b - a - c)
Resolución:
Quiere decir que existe un P(y) de raices 1 + a 1 + •>3 r
El polinomio P(y) se determina haciendo:
1 + - = y
X '
y = X - 1
o sea que: P(y) = P x - 1
Finalmente el polinomio buscado es:
n/ 1 \ _/ 1 1
x - 1 ,
(7 ^
+ b[ 1 + d
X - 1/ I x - 1/ ' \ x - 1,
= dx" + (c - 3d)x' + (b + 3d - 2c)x +
(a + c - b - d ) = 0 
Clave: B
PROBLEMA 2 (IIISII 2 0 0 9 - 1)
Sea P(x) el polinomio de grado “n", donde “n" es ei me­
nor posible y cuya gráfica se representa a continuación:
Encuentre el residuo al efectuar ta división de P(x) con 
Q(x) = x - 3
A ) - 6 B ) - 4 0 - 1
D)1 E)4
Resolución:
Del gráfico: P(x) = a(x - 1)"’(x - 2) (grado minimo)
(0 ; 2) eP ^ a = -1 
^ P ( x ) - - ( x - 1 ) ^ ( x - 2 )
p ( x )
Se pide el residuo de: x - 3
Por teorema del resto:
R(x) = P(3) = -(3 - 1) (̂3 - 2) = -4
Clave: B
PROBLEMA 3 (UNI 2011 • I)
Si P(x) = x’ ax' - x + b - 6 es divisible entre x' - 1 y 
la suma de los valores de x que cumplen P(x) = O es -4 . 
Calcule el producto de a y b.
A ) - 7 B ) - 4 0 4 D)5
Resolución:
Si: P(x)
x ' -
- ^ 
1
R = 0
1 a i -1 b - 6
0 0 1 1
10 a
1 a 10 a - i - b - 6 =» a - i - b - 6 = 0
P(x) = (X + 1)(x - 1)(x + a) 
X = - 1
P(x) = o X = 1
, X = -a
-1 + 1 - a = -4 a = 4 A b = 2 a b = 8 
Clave: E
PROBLEMA 4 (UNI 2011 - II)
Al dividir un polinomio p(x) entre x* - 1 se obtuvo como 
residuo 3x" + nx' + mx - 2; si además se sabe que, el 
resto de dividir p(x) entre (x' - 1) es 5x - 4, entonces 
el valor de m" es:
A) -4
D) 1/4
B) -2 
E)4
O 1/2
Resolución:
Dei dato:
P(x) = (X'* - 1 )q(x) + 3x ̂+ nx ̂+ mx - 2
Además: P(x) deja residuo: R(x) = 5x - 4
x " - 1
Por teorema del resto en (II): x ' = 1
, . . ( l )
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