Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (41)

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Se pide: MN = ab
b - a
b ̂+ â
ab(b - a)
b̂ + â 
(b -a )
MN =
13. Simplificar
b ̂+ â
(a -b )^
(x -a ) " + 2(a^ + x') + (x + a)'
(x + a ) " - ( x -a )^ 
y dar como respuesta el valor numérico para: 
x = /3 -1 y a = ■/3+1 
Resolución:
Efectuando operaciones:
________ Legendre________
(x - a)^ + 2(a^ + x̂ ) + (x + a f
(x + a) - (x -a )^
Legendre
2 (a H x V 2 (a ^ + x̂
4ax
4(a^ + xQ ^ + x̂
4ax ax
Reemplazando los valores numéricos respectivos, 
se tendrá;
(/3 + 1 ) ^ + ( ^ -1 ) ^ 2(-/3^+1^) 2(4)
(;3 + 1 ) ( /3 - i ; 3 - 1 = 4
14. Si a * b = a ' + b ’ + (ab) ’ - (a + b). hallar: 
{ ñ + Í 2) ' {iZ - l 2)
Resolución:
El operador (•) puede interpretarse:
^ ■ '’ = l + E + iÉ -^ (= + ‘=>
En nuestro caso: 
a = / 3 + ‘/2; b = / 3 - / 2
(/3+Í2).{)3-/2) = ^ • + •
/3+/2 /3-/2 (/3+ /2)(^-^)
- (/3 + /2 + /3 - /2) 
^ /3--/2 + Z3 + -/2 ̂ 1____ 2^3
3 - 2 3 -2
= 0 + 1 = 1
15. Si para todo n 1, se cumple que;
^ ^ . calcular: A + Bn ^ - 1 n + 1 n -1
Resoiución:
Efectuando operaciones en el segundo miembro: 
1 _ A(n - 1) + B(n + 1)
n ̂- 1 n̂ - 1
De donde:
1 = An - A + Bn + B 
1 = (A + B)n + (B - A)
También el primer miembro puede escribirse;
(0)n + 1 = (A + B)n + (B - A)
A + B = O
16. Si P, y P2 son dos polinomios factorizables, defini­
dos por;
Pi(x) = ax ̂+ 2x - b 
Pjíx) = ax ̂ - 4x + b
Tal que “a" y “b” son números enteros positivos y 
MCM(Pi: Pj) = x̂ - x̂ - 9x + 9, hallar el valor de; 
T = b^- a
Resolución;
P,(x) = ax ̂+ 2x - b; a, b s 
P2(x) = ax ̂- 4x + b 
MCM(P,; Pj) = x' - x= - 9x + 9 
MCM(P,; P )̂ = (X - 1)(x + 3)(x - 3)
Como: P1P2 = (MCD)(MCM)
4.° *3 ^ ^
=> MCD es de grado 1.
P, y P2 tienen un factor común de 1.® 
=> P, - P2 contiene a este
P,(x) = P , ( x ) - 6 x - 2 b - 6 ( x - | )
Como b
grado
x - H . x - 1
TL'. entonces;
x - | . x - 3
b = 3 V b = 9 
b = 3: P,(x) = ax ̂+ 2x - 3 
PjÍx) = ax ̂- 4x + 3 
Contienen al factor (x - 1) =» a = 1 
b = 9; P,(x) = ax ̂+ 2x - 9 
Pjíx) = ax ̂- 4x + 9 
Contienen al factor (x - 3); pero esto no es posible, 
pues:
Pi (3) = 9a + 6 - 9 = 0 ^ a = 1/3; a ^ Z"
T = b̂ - a = 3' - 1 = 8
17. Si P y Q son dos polinomios factorizables, defini­
dos por:
P(x) = x" + 5x ̂+ 12x' + 14x + 8
Q(x) = x ̂+ 6x ̂+ 16x ̂+ 21x + 12
hallar la suma de los coeficientes del MCD(P; Q).
Resolución:
Factorizando cada polinomio;
P(x) = x" + 5x' + 12x' + 14x + 8
x̂ 3x 4
x' 2x 2
=» P(x) = (x̂ + 3x + 4)(x^ + 2x + 2)
Q(x)= x‘ + 6x^+ 16x' + 21x + 12
x̂ 3x ^ 4
Falta;
6x'
'6x^
Falta;
7x^
9x"
^ Q (x ) = (x^ + 3x + 4 )(x^ + 3 x + 3)
Luego; MCD(P: Q) = x̂ + 3x + 4 
S coef (MCD) = 8
18. Si P y Q son polinomios factorizables, definidos por: 
P(x) = - 3x" - X + 3
Q(x) = x= - x" - 5x - 3 
hallar el término independiente del MCD(P; Q).
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Resolución:
Factorizando cada poìinomio:
P(x) = x' 3x' - X + 3
P(x) = x'(x-- 3 ) - ( x - 3) - ( X -
- P ( X ) = (X - 3)(x + 1)(x - 1)
Q{x) = x' - x' - 5x - 3
1 -1 -5 -3
X =-1 1 -1 2 3
1 -2 -3 0
- Q(x) = (X + 1)(x'- 2x -3 )
X 3
== Q(x)=.(x+1)^(x-3)
Luego: MCD(P: Q} = (x + 1)(x - 3)
TI(MCD) = MCD(0)= -3
19. Determinar cuál {o cuáles) de las siguientes propo­
siciones son correctas:
I. Si P y Q son polinomios definidos por:
P(x) = (X - 1/(x + 3 ) " A Q(x) = (X - l f { x + 3 f ; 
entonces el MCD(P, Q) = (x - 1)'(x + 3)"
II. Si P(x) = x“* - 5x̂ + 4 es un polinomio factoriza- 
ble, entonces (x + 1 ) es un factor.
III. (x'̂ ̂- a®̂ )+(x̂ - a®) origina un cociente notable. 
Resolución:
I. Si P(x) = (x - 1 )̂ {x + 3y A Q(x) = (X - 1 )'(x + 3 f, 
entonces: MCD{P; Q) (x - 1)̂ (x + 3)̂ (V)
II. P(x) = X* - 5x' + 4 = (x̂ - 1)(x" - 4)
P{x) = (X + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2)
= x + 1 es un factor (primo).
y l5 5 9-'111 ^ —a
X " - a 
Son correctas: I y II
no origina CN, pues ^ b b
(V)
(F)
20. Si: P(x) = ax̂ - 4x + b; Q(x) = ax̂ + 2x - b a 
MCM(P; Q) = x̂ - x̂ - 9x + 9, calcular: T = a + b 
Resolución:
MCM(P; Q) = x̂ - x' - 9x + 9 
MCM(P; Q) = ( X - l)(x + 3)(x - 3)
P(x) = ax̂ - 4x + b = (x - 1)(x - 3)
Q(x) = ax' + 2x - b = (X - 1)(x + 3)
=> a = 1 A b = 3 
a + b = 4
21. Determine al MCD para los polinomios:
P(x) = x“* + 1
Q{x) = x̂ - /2 x ' + x
H(x) = x" - 2/2x^ + 4 x ^ - 2 / 2 x + 1
Dar como respuesta el cxseficiente irracional del
MCD.
Resolución:
Factorizando en E:
P(x) = x" + 1 = x“ + 2x ̂+ 1 - 2x^
P(x) = (x' + 1)̂ - ( Í2 x f
P(x) = (x' + /2x + 1)(x' - /2x +1)
Q(x) = x̂ - /2x= + X = x(x ̂ - ■/Ix + 1)
H(x) = x“ - 2/2 x̂ + 4 x^ -2 /2 x + 1
H(x) = (x' - 7 2 x + 1)̂
MCD(P; Q; H) = x" - /2x + 1 
El coeficiente irracional: --/2
22. Sean los polinomios: P(x) = Ax^ - x - B a
Q(x) = Ax ̂- 5x + B, con valores de A y B enteros 
positivos. Si el MCM(P; Q) = x̂ - 3x ̂ - 4x + 12, 
hallar el valor de: T = 3B + 6A
Resolución:
P(x) = Ax' - x - B: A, B e 
Q(x) = Ax' - 5x + B 
MCM(P; Q) = x̂ - 3x ̂- 4x + 12 
MCM(P; Q) = (X - 3){x + 2)(x - 2)
De donde:
P(x) = Ax ̂ - X - a - (X - 3)(x + 2)
Q(x) = Ax ̂ - 5x + B = (X - 3)(x - 2)
Luego: A = 1 a B = 6
T = 3B + 6A= 18 + 6 = 24
23. Dar la suma de los coeftcíentes del MCM de los 
polinomios.
P(x) = x" - x' - 2x - 1 
Q(x) = (x̂ + x + 1)^(x+1)
Resolución:
Factorizancto cada polinomio;
P(x) = x“ - x̂ - 2x - 1 = x" - (x' + 2x + 1)
P(x) = x" - (X + 1)' = (x ̂+ X + 1)(x' - x - 1 )
Q(x) = (x' + x + 1)"(x + 1)
= MCM(P; Q) = (x ̂+ X + 1 ) V ~ x - 1)(x + 1)
La suma de coeficientes del MCM es;
MCM(1) = (3)'(-1)(2) = -54
24. Si P y Q son dos polinomios factorizables, definidos por
P(x) = 2x" - x ̂- 3x ̂+ 3x - 9 
Q(x) = lOx^ - 9x' + 17x - 6 
hallar el coeficiente de mayor valor absoluto de! 
MCD(P; Q).
Resolución:
Factorizando cada polinomio:
P(x) = 2x" - x̂ - 3x' + 3x 9 
2x'v. ^ ' X \ ^ 3.x„:x _3
^ P(x) = (2x" - X + 3)(x' - 3) 
Q(x) = lOx' - 9x' + 17x - 6
falta; Ox
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10 -9 17 -6
2
5 i 4 -2 6
10 -5 15 0
:5 2 -1 3
^ Q(x) = (2x - 5)(2x' - x + 3)
Luego; MCD(P; Q) = 2x' - x + 3
El coeficiente de mayor vaior absoluto es 3.
25. Si P, Q y R son tres polinomios factorizables, defi­
nidos por:
P(x; y) = x“ + 3x^y + 3xV + xŷ
Q{x: y) = 3x̂ + 5x'y + xy' - ŷ
R(x: y) = x'* + xŷ + x’y + y“ 
hallar el MCD(P; Q; R).
Resolución;
Factorizando cada polinomio:
P(x; y) = x“ + 3xV + 3x̂ ŷ + xŷ
=. P(x: y) = x{x̂ + 3x'y + 3 x / + ŷ ) = x(x + y)' 
Q(x; y) = 3x̂ + 5x^y + xŷ - ŷ
3 5y / -y=
-y -3y -2y '
3 2y -y ' 0
Q(x; y) = (x + y)(3x' + 2xy - y')
^ Q(x; y) = (x + y}'(3x - y)
R(x: y) = x“ + xy" + x"y + y'*
R(x; y) = x(x ̂+ ŷ ) + y(x̂ + ŷ }
R(x: y) - (x + y}(x ̂+ y')
=> R(x; y) = (X + y)^(x'-xy + y')
MCD(P; Q; R)=(x + y)̂
26. Si el producto de dos polinomios es x̂ - 18x̂ + 81 
y el cociente de su MCM y MCD es x' - 6x + 9, 
hallar el MCD de dichos polinomios.
Resolución;
Sean P(x) y Q(x) los polinomios:
P(x)Q(x) - x" - 18x̂ + 81
M C M { ^ , 
MCD(P;Q) (X - 3)'
Por propiedad:
P(x)Q(x) = MCD(P; Q) x MCM(P; Q)
= MCD{P: Q) X MCM(P; Q) = x" - 18x' + 81 
= MCD{P; Q) X MCM(P; Q) = (x + 3) (̂x - 3)̂ 
Pero: MCM{P; Q) = (x - 3)'MCD(P; Q) 
Reemplazando:
MCD(P; Q)[(x - 3)^MCD(P; Q)} = (x + 3)̂ (x - 3)̂ 
=* [MCD(P; Q)]' = (X + 3 f 
MCD(P: Q) = X + 3
27. El MCM y el MCD de dos polinomios son (a - b) y 
(a‘‘ - ab̂ + a’b - b‘*). Si uno de los polinomios es 
- b^ determinar el otro polinomio.
Resolución:
Sean los polinomios; P y Q
MCD(P; Q) = a - b, MCM(P; Q) = a" - ab̂ + a"b - b" 
=> MCM = (a + b)(a - b)(a' + ab + b̂ )
Por propiedad: PQ = [MCD(P; Q)][MCM(P; Q)] 
Sea: P(a; b) = a' - b', reemplazando:
(a' - b')Q = (a - b)(a + b)(a ~ b)(a' + ab + b')
=> Q(a: b) = (a - b)(a' + ab + b')
.-. Q(a; b) = â - b"
28. Si los polinomios:
P(x) = 6x'* + 4x̂ + 5x' + mx + n 
R(x) = 2mx" + 2nx' + px - q 
admiten como MCD a 2x̂ + 2x + 1, hallar un divi­
sor de R(x).
Resolución:
MCD es factor de P y R.
P
MCD es una división exacta.
2 6 4 5 m n
-2 - 6 -3
-1 -2 2
4
1
-4 -2
3 -1 2 0 0
De donde: m = 3 a n = 2P
También: es una división exacta, donde:
R(x} = 6x" + 4x' + px - q
2 6 4 p -q
-2 ■O' -6 -3
-1 -2
3 -1 0 0
^ R ( x ) = {2 x ' + 2 x + 1 )(3 x - 1)
.-. Un divisorde R es: 3x - 1
29. Si el MCD de los polinomios:
F(x) = 2 x ^ - x ' + 3x + a a G{x) = x" + x' + b
es x̂ - X + 2: determinar: E = 1
Resolución:
F{x) = 2x̂ - x' + 3x + a 
G(x)= x̂ + x' + b 
MCD{F; G) = x' - X + 2
Como MCD es factor de F y G 
F(x) = (x̂ - X + 2)q,(x)
G(x) = (x' - X + 2)q2(x)
F(x) = (x' -- X I 2)(2x+ | )
^x^ - 2x̂ = -x^ = a - 2
G(x) - (x^ - X + 2)(x + | )
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