Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (45)

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Ejemplos:
■ c l ^ c l
. c;; = c:_„ = CS = 1
3. c; ; = c " , = c s = 1
4. C í = n
5. Ĉ + Ck*, = C^, I 
Ejemplos:
• c^' + c ¿ " - c ¡ ’
6. Degradación de índices
3) j^Cf..,
Ejemplos:
- gCs
b)
c +c! = c;
Cx-3^ > L ^ C ‘
Ejemplo:
• C ̂= ¿-/-s- C . - ^ C s
C) C : = C"-n - k 
Ejemplo:
, ^9 _ 9 /-%8 _ 9/^8
9 - 4 5 ^
7. Si: Ca = C^, entonces: a = b v a + b = n
Ejemplos:
1. Reducir: F - c ; f + C f° + Cf ° + ... + c ;“ “ °
1 0 0 sum andos
Resolución:
Utilizando la propiedad 2 (combinaciones comple­
mentarias): Ck = C"_k 
La expresión puede escribirse:
F = c : ” + C f ° + C f ' ’ + . „ + C ¡ ° ““
Por la propiedad 4: C, = n 
F = 100 + 200 + 300 + ... -H 10 000 
F = 100(1 + 2 + 3 + ... + 100)
^ 1 0 0 ( 100)(100 + 1)
2
F = 505 000
2. Si; C^+C® + C ̂+ C;°+... + C??=k, calcular el 
valor de: S = C?e + C¡® + ... + Cg’ + C® + Cl + C2
Resolución:
Sumando las dos expresiones se tendrá:
S + k^C^, + C l+ C l + C] + C l+ .. . + C^ + CVs
e l
e l
s = C“ - k
3. Reducir:
^ , x(x+ 1) , x{x+ 1)(x + 2) ,
2! 3!
x(x + 1)(x + 2)...(x + n - 1) 
^ n!
Resolución:
Cada sumando representa a un número combina­
torio; es decir:
E - c ' + O,- + c r ’ + c r ' + c r ' +... + c r " * ’ 
c r '
.-. E = c r *
4. Calcular n en:
1.c r , ' + c = ^(c^n-^ - c:_-; - c ^ :;)
si: 3n - 6 m -I- 2 
Resolución:
Efectuando y agrupando convenientemente;
C|̂ -2 + + 2[CÜ'_,' + '] + + 0™+,'] = Cjn-?
c:_, + 2c: + c:., =cr^,
Desdoblando: 2C| ̂= C" +
c : _ , + c : + c : + c : , , = c^;_^.
Por propiedad:C^ + C¡̂ .,1 = Ck’ i ; se tendrá:
c : ^ v c : , v ^ c ^ ^ , 
c:;,- = cr_̂ .
De donde por propiedad:
• n + 1 = 2 n - 7 = » n = 8
• n + 1 + 2 n - 7 = m - h 2 » 3 n - 6 = m-i -2 
(No puede ser por la condición del problema)
5. H a lla r e l m enor va lo r que debe tom ar n para que la 
C" C"expresión: A = ^ . sea un entero positivo.
Co O, Cj
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Resolución:
Transformando los numeradores a través de la for­
ma práctica; al igual que el denominador (en los 2 
primeros se utilizan propiedades).
n(n-1) n (n -1 ) (n -2 )
n 1 x2 1x 2 x 3
n(n-1)
1 x2
De donde para que la expresión sea entera;
11n - 7 =6
De los conjuntos de valores que puede tomar el 
menor es 48. es decir: 11n - 7 = 48 
n = 5
Calcular n a partir de:
nCÍ ̂ 2(n-1)C^ ̂ 3 (n -2 )C ’ ^
C"Cq C"
Resolución;
Aplicando la propiedad: 
m - n + 1c^
2 ( n - 1 ) Í ^ ^ C Í
= 204
CS
3 ( n - 2 ) < ^ ^ C ^
n̂ + (n - 1)̂ + (n - 2 f +
Se sabe que: 1 ̂ + 2̂ -i- 3̂ + .
^ n(n + 1)(2n + 1) ^ 0̂4
Cí
^ ( n - r ^
• = 204
f 3' + 2̂ + 1' = 204 
n(n + 1)(2n + 1)
n(n +1)(2n + 1) = 8 x 9 x 17
Dándole una forma adecuada al segundo miembro: 
n(n + 1)(2n + 1) = 8(8 + 1)(2x8) + 1)
Se tendrá: n = 8
•..(O7. Resolver: C'_,= C¡;
4CJ = 5C:
Resolución:
En la primera igualdad, transformando el segundo 
miembro utilizando ia propiedad:
x - ^ 1 = X - y + 1
2y = X + 1 ..(1)
En (II) utilizando la propiedad 2 veces consecutivas 
en el primer miembro:
4C: = 5C’ , = 5Cy - 2
4(x - y + 1) x - y + 1 + 1
y y -1
C L , = 5CV - 2
4(x-y-t- 1) x - y + 2
y y - 1
= 5 (2)
(1)en ( 2 ) : ^ = | - y - 9 
E n (1 ) : X = 17
« BINOMIO DE NEWTON
Desarrollo del binomio de Ne%»ton con exponente 
natura l (n € IN)
Sabemos:
(x + a)’ = (X + a) = Cj,x + C¡a
(x + a)̂ = x̂ + 2ax + â = CqX̂ + Cî xa +
(X -H a)^ = x^ + 3xa^ + 3x^a + a^
(x + a)̂ = CqX̂ -h C?x^a -h Cjxa^ -f- Ĉ â
(X + a)"* = x'“ -1- 4x^a + 6x^a ̂+ 4xa^ + a"
(x + a)^= Cpx" + Cíx'a + + x=â + C^xa’ + C^a“
En general:
(X + a)" =
Cgx" + C"x'' 'a + C2X ^a ̂+ ... + Cp_iXa + C^a
Forma práctica del desarrollo de un binomio
(X + a)" = x̂ + 4x'a + 6 x V + 4xa ̂+ a"
(X + a)* = x^ + 5x‘*a + 10x^a^ + lOx^a^ + 5xa“ a®
Donde los coeficientes se calculan con la relación:
C oef. de un
' Exp . d e la base 
té rm in o a n te r io r
C oe f. del 
té rm in o an te rio r
té rm in o cu a lq u ie ra (núm ero de té rm in os q u e le p receda n )
Triángu lo de Pascal o Tartag lia
Es un triángulo formado por los coeficientes del desa­
rrollo del binomio de Nevi/ton. Así tendremos que;
(X + a f = ^
(x + a)’ = 1 
(x + a)' = 1 
(x + a)’ = 1 
(X + a)“ = 1 
(X + a)̂ = 1 
(X + a)® = 1 
(x + a)’ = 1
Es recomendable utilizarlo para potencias menores o 
iguales a 10.
Cálculo de) término general
En el desarrollo general:
(X + a)" = CqX" + C','x'' ’a 4 - CjX" + ... -i- C"
1
2 1
3 3 1
4 6 4 1
5 10 10 5 1
6 15 20 15 6 1
7 21 35 35 21 7
Se tiene;
ti = CcX" a'̂ 
t̂ - Cíx" " ’a
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t = C^x"
t,a= C ?,X "-V ^
En general;
-1 — Ĉ ,x a (fórmula del término general)
Ejemplos:
1. En (X + a)“ °, calcularte 
Resolución:
t. . _ p 60U
Uoc * 1 ~ '- '4 0 0 ^
60U ^ 5 0 0 - 4 0 0 ^ 4 0 0 _ /^ 5 0 0 ^ 1 0 0 _ 4 0 0d — ^400* a
2. En (x ̂+ yy^. calcular tj.
Resolución:
= t , „ _ , - c r . ( x T - ^ “ ( y T -
Leyes del desarro llo del b inom io
1. El número de términos del desarrollo estará expre­
sado por el exponente binómico aumentado en la 
unidad.
2. E! polinomio desarrollo se caracteriza por ser com­
pleto y ordenado respecto a sus bases (en forma 
descendente respecto a la primera y ascendente 
respecto a la segunda). Además de ser homogéneo.
3. Si la base es el binomio suma, los términos del de­
sarrollo serán positivos todos; pero si es el binomio 
diferencia serán alternados (positivos los de lugar 
impar y negativos los de lugar par).
4. Solo cuando e) exponente del binomio sea par 
existirá un número impar de términos; y en conse­
cuencia habrá un solo término central que tendrá 
!a propiedad de tener los exponentes de sus bases 
respectivamente iguales.
5. Los coeficientes de los términos equidistantes de 
los extremos serán respectivamente iguales (por 
combinaciones complementarias).
6. La suma de coeficientes de (x + a)" estará dada 
por; Cq + Cí + ^2 + .- + C" = 2”
De donde:
Suma de los lugares impares: 
cs + C2 + C4 + ... + c;:_i = 2"- '
Suma de los lugares pares:
C" + C3 + C5 + ... + Cp = 2’’ '
Suma de coeficientes de (x - a)" = O
7. Sabemos que;
• Término de lugar (k + 1) contado de izquierda a 
derecha normalmente esta dada por:
• Término de lugar (k + 1 ) contado de derecha a 
izquierda, es decir a partir del extremo final:
- 1"~ ® ^ ~ k̂ 1
Cálculo de la posición dei término central (n expo­
nente del binomio).
• Cuando n es par (3 un solo término central)
• Cuando n es impar (3 dos términos centrales)
tr,H
t. = '
c)" es;
I. I 2 ''
El número de términos de (a h 
(n + 1)(n + 2)
2
En general, si se tuviera; (a + b + c + d + m)"
r términos
. .. . (n + r - 1)lNumero de términos = -i—n ttt-n ( r - 1)
10, En(x“ + a")"
I exponentes = (a P)
n(n + 1)
Formula del té rm ino máximo de un b inom io de 
newton para determ inados valores de x y a
Para calcular e! término, debe cumplir la siguiente re­
lación;
'n - k+ r
: t ) > '
siendo el t,,,, el máximo.
Ejemplo:
Hadar el lugar que ocupa eí término de máximo valor en 
el siguiente desarrollo (3 + 2x)'^ cuando x = ^ 
Resoiución:
16- k \ / 2x7/2' > 1
7(16 - k) > 3k
k < 112 ^
10 10
Como nos interesa el máximo valor, este satisface para 
el mayor valor entero de k, es decir k = 11. Entonces el 
término máximo será k + 1 = 12,
.'. El término de máximo valor ocupa el lugar 12, 
Ejemplos:
1. En el desarrollo (5 + 2x )̂" el coeficiente del término 
que contiene a x'^ es 15 veces el coeficiente del 
término que contiene a x̂ ®. Hallar el valor de n.
Resolución:
Cualquier término del desarrollo estará expresado 
por t k . i = C:(5)"-^(2x')^= CÍ5"-^2^x'^
El coeficiente será: CJ 5" “ 2̂
Por dato; 3k = 33 => k = 11
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