Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (68)

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1+a -a 
1 -a 
1 0 
1 0
Q 0 
a 0 
b -b 
0 -b
1+a -a 0 0
1 -a a 0
0 0 b -b
0 0 0 -b
a -a 0 0
0 -a a 0
0 0 b -b - {
0 0 0 -b
Reemplazando valores:
(®/72x®/TÒ8f - {V3^x2 'x2^x3^y 
(abf = 5 / ( 3 ^
45. Para: A = cosa 1 
1 cosa
= 36 
, cosa / ±1
cuát(es) de los siguientes enunciados son verda­
deros.
I. Traz(A"') = 2cosa + 3
II. jA Î = (cos^a - 1
III. |{A )̂” ’A |̂ = cos^a + 1 
Resolución:
fcosa 1A =
1 cosa
I. A ’ =
cosa -1 \ 
-1 cosa/
cosa 1 
1 cosa
cosa -1 
-1 cosa 
cos^a - 1 
-sen^
A ’ = -csc^a cosa -1 \ 
-1 cosa/
=» Traz{A ’) = -csc^a(2cosa) =» (I) es F
II. |Â ( = |A| ̂= (cos^a - 1)̂ =9 (II) es V
III. KaY ’A Î - KAY'jjA^j = jAVlAj^
= jA r ’ iA r = |A|
- cos^a - 1 =» (III) es F 
Solo (II) es verdadero,
46. Los polinomios:
P(x) = ax ̂+ bx + c; a; b; c e E 
Q(x) = x' - 1
tienen una raíz común, indique cuál(es) de los si­
guientes enunciados son correctos.
a b e a b e a b e
b e a = 0 II. a c b = 0 III. b a c
c a b a a a c b a
Resolución:
P(x) = ax ̂+ bx -I- c; a; b; c e IR 
Q(x) = (x - l)(x^ + X + 1)
= O
La raíz común no puede ser del trinomio 
+ X + 1 porque estas son complejas y tendrían 
que presentarse por pares conjugadas; y en este 
caso, tendrían 2 raíces comunes.
=5 La raiz común es: x = 1 
Luego: P(1) = a-i -b + c = 0 
a b e
b e a
c a b
- 7
a + b + c b c 0 b c
a + b + c c a = 0 c a
a + b + c a b 0 a b
Sumemos a C, todas las demás columnas;
= 0 « (I) es V.
II. En forma similar al anterior se obtiene que (II) 
es F,
III. En forma igual a la 1.® obtenemos que (III) es V. 
(I) y (lll)son correctos
47. Halle x, si se definen las matrices;
A =
2 -1 -1 2 0
1 x 0 ; B = x -1 2 1
0 2x -1 3 2 1
Resolución:
Reemplazando las matrices, se tiene;
3 2 - 2
| 2 A - B | = 3 - x 2x -2 -1 
- 3 4x -2 - 3 
Desarrollando;
|2A - Bj = ~18x + 18 - 2(3 - x)(4x - 2) + 6 -
6(2x - 2) + 3(4x - 2) + 6(3 - x) 
Efectuando y reduciendo;
8x ̂- 52x + 60 = 8x ̂- 20x - 4 
=. 32x = -64 X = 2
48. Determine el mayor valor que debe tomar “k” para 
que la matriz:
A =
k 1 - 1 
O 2 k 
4 O - k
: no tenga inversa
Resotución:
k 1 -1
O 2 k
4 O - k
A = : no tiene inversa, si |A| = O
Luego: |A| = -2k^ + 4k + 8 = O 
=» k̂ - 2k - 4 = O
= =. K = 1± - /5
Mayor valor de k: 1 + ■Í5
49. Si A^B ̂= 1; A = 
I: matriz identidad
0 0 3
0 2 - 1
1 -1 4
, calcular |B|.
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Resolución:
l B̂ I = |l| = 
lA llB l =
. \ A V \ = I
O 3 
2 -1 = O 2
-1 + 0
-( • )
O 3 
-1 41 -1 4
2 0 0 0 0 0
|A| = 1(0 - 6) = -6 E = 0 2 1 = 2 i + A; donde: A = 0 0 1
Luego en (I): |B| = - - 1 1 0 2 1 0 0,
0 0 0 0 0 0
50. S i: A- [a j3 .3 ; |A | = 2 A B = |B[ - 3 A' ^ 1 0 0 ; A' = 0 0 0 = 0
calcular; E =
0 0 0 0 0 0
|2Br|AM =» A" = 0, VnGDí A n > 3
Resolución:
E=
( 2 ' |B | f |Ap 2 ^ B f \ A \ 2^\Bf \A\
E = 1 1 E = 1
2®x3^x2 2 'x3^ 1152
51. Calcular el valor del determinante de la matriz A;
A =
3̂
4*
5̂
6̂
Resolución;
|A| =
1 4 9 16 1 3 5 7 1 3 2 2
4 9 16 25 4 5 7 9 4 5 2 2
9 16 25 36 9 7 9 11 9 7 2 2
16 25 36 49 16 9 11 13 16 9 2 2
,-c. c,-c, c.-c. c,-c, c.-c. idértticss
= 0
|A| = O
52. Si p. q G E determinar la matriz: Q = pA ̂+ qB^
1 2 2 3 6 - 2
sabiendo que: A = -1 - 2 -1 B = - 2 - 4 1
1 1 0 - 2 - 3 0
Resolución:
1 2 2 
- 1 - 2 - 1 
1 1 O
A =
1 2 2 1 2 2 1 0 0
A' = -1 -2 -1 -1 -2 -1 ^ A ' = 0 1 0
1 1 0 1 1 0 0 0 1
3 6 - 2
B = -2 - 4 1
- 2 - 3 0
B" =
3 6 - 2
- 2 - 4 1 
- 2 - 3 O
- ^ a2
3 6 - 2 1 0 0
-2 - 4 1 0 0
-2 - 3 0 0 0 1
Q = pA ̂+ qB ̂= pl + ql = (p + q)l
53. Se defìne la matriz: E
2 0 0
0 2 1 , determinar la
1 O 2
suma de los elementos de la primera columna de 
la matriz E" (n g 1L*).
Resoiuciórx:
Como Al = IA; V A matriz cuadrada
(W+A)'' = i¿ (kl)" + (ki)"-’A + r (kiyn - A2
+ Í " ) a "
n/
Se liene:
E" = (21 + A)" = (2 i r + : (2I)'’ - \A +1̂,
.A' +
E" = 2M" + 2'” \ n . 1 .A + 2 " - = í l í ^ . r - ^ A '
E" = 2" ■ ̂ (81 + 4nA + n(n - 1 )A )̂
[8 0 0 0 0 0 0 0 0]
E" = 2"" ' 0 8 0 + 0 0 4n + n(n-1) 0 0
[o 0 8 4n 0 0 0 0 oj
8 0 0
E" = 2 " ' ' n(n-1) 8 4n
4n 0 8
1 columna: S = 2" ' ̂ [8 + n(n - 1) + 4n]
Suma: 2'’ ” (̂n̂ + 3n + 8)
54. Si A y B son matrices simétricas de orden n y C, 
es una matriz cuadrada de orden n que cumplen la 
condición: C + AB' + (C - I') = A'(BC - I) 
Determinar la matriz C.
Resolución:
A y B son matrices simétricas;
=» A' = A A B' = B A I' = I 
0' + AB‘(C - I') = A‘(BC - I)
C + AB'C - ABT = A'BC - A'l 
C + ABC - ABI = ABC - Al 
C’ - AB = - Al ^ C = AB - Al 
C' = A(B - I) = A‘(B' - I')
C' = A'(B - 1/ = [{B - \)A]'
« C = (B - l)A C = BA - A
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55. Si B es la matriz definida por: 
1 2 3 4 
- 1 2 0 1 
4 6 0 3 
2 1 0 5
A = ; calcule el |A|
Resolución;
-1-----2 -^> .3 .^
-1 2 ■1 1
4 6 1 3
2 1 ' ' 5
|A| =
Desarrollando respecto a C,
-1 2 1 
1A| = 3 4 6 3 
2 1 5
|A| = 3(-30 + 4 + 12 - 12 + 3 - 40)
|A| = 3{-63) = -189
56. Calcule el valor del siguiente determinante;
1 1 1 1
E = 12 3 4 
1 3 6 10 
1 4 20 10
Resolución:
Restamos C, a todas las demás columnas:
1 0 0 0
1 1 2 3
1 2 5 9
1 3 19 9
.i. 0 0
í 1 2 3
f3- Í2 T ^ 3 6
t 1 14 0
1 2 3
E = 1 3 6 42 + 12
1 14 0
57. Si S es una matriz definida por:
x - y x + y x + y x + y
8 = x - y x + y x + y x - y
x - y x + y x - y x - y
x + y x - y x - y x - y
Resolución:
x - y x + y x + y x + y
S = x - y x + y x + y x - y
x - y x + y x - y x - y
x + y x - y x - y x - y
hallar |S|
f, 2̂ 
f . - f 3
u - u
O O O 2y
O O 2y O
- 2y 2y O O
x + y x - y x - y x~y
-0 e------6—
O O 2y 6
O 2y O (
2x x - y x - y x-l-y
Desarrollando respecto a f,:
O O 2 / "
O O 
, 2 < x - y x - y
= -(2y){-8xy^) = 16xy'
-(2y)
58. Calcule el valor del siguiente determinante:
5 4 3 2 1
8 8 6 4 2
9 9 9 6 3
8 8 8 8 4
5 5 5 5 5
= 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
59. Calcule el valor del siguiente determinante:
2 - 2 - 4 - 6 - i
3 1 0 - 1 - 2
2 0 - 1 - 2 - 3
4 2 1 0 - 3
5 3 2 3 0
Resolución:
- 6 - 2
U +
U + h
f, - 4Í3
-6 ^ :- i) 
2 
2
2 4
-1 -2
— J
-2 -6
0 -4
De f, extraemos (-2):
3 1 O - 1 - 2 
3 1 O -1 -2 ^ 
(-2 ) 2 0 - 1 - 2 - 3 
6 2 O - 2 - 6 
6 2 0 0 - 4
= (-2)(0) = O
60. Calcule el valor del siguiente determinante:
4 3 3 3 3
3 4 3 3 3
3 3 4 3 3
3 3 3 4 3
3 3 3 3 4
Resolución:
Sumamos a f, todas las demás filas y luego extrae­
mos 16 a f,:
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16 16 16 16 16 1 i 63. Determinar el valor de la verdad de las siguientes
3 4 3 3 3 3 4 3 3 3 proposiciones:
3 3 4 3 3 = 16 3 3 4 3 3 1. Si A B ^iene inversa, entonces Ay B separada­
3 3 3 4 3 3 3 3 4 3 mente poseen inversas.
3 3 3 3 4 3 3 3 3 4 II. Existen matrices A y B de orden n x n , tal que
fs - 3f, 
f. - 3fi 
h - 3f, 
f, - 3f,
A =
a b O O 
O a b O 
O O a b
0 0 0 0 
b O O O
Resolución:
4'a> b O O
A =
O O 
O O 
O O
a b 
O a
-e-0-
a b O
O a b
Ó O O O
:b; 0 0 0
O O 
O O
a b 
O a
Desarrollamos respecto a la 1.̂ columna:
triangular superior
+ ( - i ;
triangular inferior 
=> A = a{a" ') + (-1)"^'b(b" 
A - a" + ( - 1 ) " - ’b"
62. Dada la matriz M = 
Resolución;
De la matriz: M = a
O -a '
a O ,
0 -1
1 0. 
-1 O
O -1
, hallar el valor de: M’
= -a " lSe tiene; = a'
Luego:
= (M T'M = ( - a ^ ir a ( ° “ J j -
AB = BA + I
III- Si A y B son no singulares, entonces AB es no 
singular.
Resolución:
I. AB” ̂posee inversa, entonces AB’ ̂es no sin­
gular: det(AB’ )̂ 9̂ O
^ det(A) det(B’ ') O
« det(A) # O A det(B’ )̂ O
== det(A) O A det{B O
^ det(A) O A det(B) ^ O
Luego, A y B poseen inversa (V)
II. Recuerde que:
Traz(A -i- B) = Traz(A) + Traz(B)
Traz(AB) = Traz(BA)
Sean A y B de orden n, tales que: AB = BA -i-1 
Traz(AB) = Traz(BA + I)
=» Traz(AB) = Traz(BA) + Traz(l)
=> Traz{i) = O ;
absurdo, pues Traz(l) = n, v n € Di, n > 1 (F)
III. A y B son no singulares, entonces: 
det(A) ^ 0 A det(B) # O
= det(AB) = det(A)det(B) ^ O 
=> AB es no singular (V)
VFV
64. Si: Â = 1 3\ 3 4
2 4 I1 5
5 2
1 3 
4 3
2 1
^27 26 
25 24
y A - ( 3 i r = a b 
c d - 12A’
1 3\15 2\ 3 4 ¡4 3 ¡27 26
2 4, ,1 3.)^ 1 5 (21 (25 24,
Hallar elvator de: (a ̂-i- b̂ -i- ĉ + d̂ 
Resolución:
De la primera:
 =
 = 
 = 
A-' =
8 11 
14 16 
1 - 2 
3 O 
1 ( 0 - 3 
2
20 13 
14 8
A =
I Al 1
27 26 
25 24
1 3 
- 2 O
O - 3
2 1
De la segunda: 
a bA - ( 3 i r = 
1 3
c d, - 12A-
-2 1
3 O 
lo 3
a b 
c d
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