Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (69)

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=
a b' 
c d,
1 | ( 5 “ -1)
â + b̂ + ĉ + d̂ = 4 + 9 + 4 + 1 = 1 8 0 5“
65. SiA = , determinar la suma de los elementos2 5 
.1 3, 
de la matriz A'^ 
Resolución:
det(A') = [det(A)]' = 1 = |A 
Luego: A’ ̂= (A^)"'' = -1— Adj(A') = 14 -2 5 \ 
5 9
S elementos: 14 - 5 - 25 + 9 = -7
66. Si A. B y P son matrices cuadradas del mismo or­
den con |P| # O, yA = P’ ’BP. Determinar el valor de 
verdad de cada una de las siguientes afirmaciones:
I. B = P -’AP
II. |A V | = |B1̂
III. A ̂= P-’ B^P
Resolución;
A, B y P matrices cuadradas del mismo orden, con 
|P| ^ O, es decir, existe: P” ’ a A = P” 'BP
I, P (A )P -’ = P (P -’ B P )P -'
PAP-' = (PP;’J B(PP~')
I
^ B = PAP-'
II. BA= BP- ’ BP
|A V | = |(BA/| = |BA| = |BP-’BP| 
|A V ! = |B!|P-’ ||B||P|
|AV1 - |B||Pr'|B||Pi - |B|̂
III. A ' = A A = (P -’BP)(P-'BP)
A ̂ = P-’B(PP-’)BP = P-’BBP
A' = P-’B ^
FW
(F)
(V)
(V)
1 767. Si :A= ' ' O 5
Resolución:
; hallar a “
A = 1 7 
0 5 ’
/ Ien general, sea: A = ^ a\
bj
 - 1 a 
0 b lo b| lo
a+ab\
1
 - 1 a+ab / I a 
0 b ̂ 0 b
_ 11 a-f-ab+b^’
‘ o b ̂ ,
A" = 1 a + ab + ab ̂+ 
0 b"
..+ab'' ' j _ 1 a 
0
b " - l \
b - i ;
b"
Reemplazando: n = 50; a = 7; b = 5
68. Sean las matrices A y B, tales que: 
A =
1 -1 1 u V w
0 1/2 -1 ; B = 0 X y
0 0 1/4 0 0 z
Encontrar u-t-v + w + x-i-y + z, si cumple que AB = 
(I: matriz identidad).
Resolución:
AB = I, reemplazando:
1 - 1 1 u v w 1 0 0
0 1/2 - 1 0 X y = 0 1 0
0 0 1/4 0 0 z 0 0 1
u v -x w - y + z 1 0 0
0 I x
2
i y - z = 0 1 0
I 0 0 1
0 0 ■jZ
4
De donde: u = 1; X = 1 - X
— 1 ^ : = 4;
/ - X = 0 = V = X == 2
l y - z = 0 y = 2z => y = 8
w - y + z = O = V/ = y - z =» v̂ = 4 
u + v + w + x + y + z = 21
69. Calculara -H b -i- m, para que A sea la matriz identidad: 
2a 
5 
aA =
^-15 20 -b 40-a
t - b $ - 1 1 i^ -11 o
a
10
Resolución:
A = I, entonces:
. _ 15 = 1
D
• ^ - 1 1 = 1 D
4m
11
a A 
— - 40 '
a = 40 
b = 20 
• m = 44
m
4
4m
11 ■-15
- 15 = 1
Con esto, los demás elementos son nulos. 
.-. a + b + m = 104
/ I a /'I bTeniendo en cuenta que:
.0 1 O 1
1 a-hbi 
O 1 I
Para: A„ 1
2" 
O 1
70. Hallar aben:
7 0 3 a 0 5 51 0 2
4 5 2 0 3 4 = 30 15 18
3 0 6 3 0 b 36 0 -51
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Resolución;
7 0 3 a 0 5 51 0 2
4 5 2 0 3 4 = 30 15 18
3 0 6 3 0 b 36 0 -51
7a+9 0 35+3b 51 0 2 |A | -
1
- 3
5
-8
11
-8
4a+6 15 40+2b = 30 15 18 -4 -8 -15
,3a+18 0 15+6b 36 0 -51
De donde: 7 a + 9 = 51 =»a = 6 5 11 7 25
35 + 3b = 2 = b = -11 |A| = 0 7 25 -
12 29
.. ab = - 66 0 12 29
1 2 3 4
Calcular; 1
2
-1 0
1
1
0
1 3 1 -1
Resolución;
1 2 3 4
Sea; A = 1
2
-1
1
0
1
1
0
1 3 1 -1
- í.; h -- 2f ' f , - fv
1 2 3 4
A = 0 - 
0 -
3 - 
3 -
3
5
-3
-8
0 1 - 2 -5
Tomando menores complementos respecto a la 
primera columna;
A =
- 3 - 3 
- 3 - 5
- 3
-8 = -3
1
-3 -5
1
-8
1 - 2 - 5 1 -2 - 5
Í2 + 3f, A fj - f,:
A = -3 0
1
-2
1
-5 = -3 - 2 - 5
0 -3 -6 - 3 -6
A = -3(12 - 15) = 9
i i > j
72. Dada la matriz A == (81)4,4 definida por; 8i, ='1 1 i = j
calcule; det(A) 
Resolución:
j ' < j
A = (a,)4
|A1 =
a„ =
1 2 3 4
2 1 3 4
3 3 1 4
4 4 4 1
i; i > j 
1 ; i= j 
j : i < j
Í 2 - 2 f , ; f 3 - 3 f , a f 4 - 4 f , ; 
|A| =
1 2 3 4
O -3 -3 -4
O -3 -8 -8 
O - 4 -8 -15
!A| =
- 3 - 3 - 4 
- 3 - 8 - 8 
- 4 - 8 -1 5
Í2 + 3f, 
h + 4f,
|A| = 7 x 2 9 - 12x25 = -97 
73. Hallar el valor de la determinante;
1 • • 1
2 1 • - 1
3 • - 1
1 • • 98
Resolución:
1 1 1 
1 2 1 
1 1 3A =
1 1 1
1
1
1
98
La matriz es de orden 98.
Restando a cada fila, a partir de la segunda, la pri­
mera; se obtiene;
1 1 1 ••• 1
O 1 O 
0 0 2
0 0 0
O
O
97
Ha resultado una matriz triangular superior. 
Luego: A = 1 x 1 x 2 x 3 ... 97 = 97!
74. Dada la matriz; A = [a j2.3 / =
hallar; E = Traz(A^A) + [AA ĵ 
Resolución:
Í1 + j:
1 ; i = j
1 3 4 
i2 1 4
1 + j;
1 ; i = j
A = [a,j2,3 
A =
A a,. =
A^A =
1 2
3 1
4 4
bl, = (1 2)
= (3 1) 
b33 = (4 4)
1 3 4\ 
1 4
= 5 
= 10 
= 32
= [bj3
4
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=> Traz(A^A) = b„ + bjj + bjj 
Traz(A''A) = 5 + 10 + 32 = 47 
'1 2
AA ̂= 1 3 4
2 1 4 3 1 
14 4
26 21 
21 21
lAA^I = 26 X 21 - 21 ̂= 21 X 5 = 105 
Traz(A^A) + lAA'"! = 152
75. Resolver la ecuación y hallar x: 
1 1 1 1
X a O O 
X O b O 
X O O c
= O
= O
a - x
- X
- X
- X - X 
b- x - X 
- X c- x
= O
Resolución:
Í2 - xf,; (3 - xf, A fí - xf,:
1 1 1 1 
O a -x - x - X 
O - X b -x - X 
O - X - X c -x
a - X - X 
c, - c¡: -b b -x - X = 0 
O - X c -x
Tomando menores complementarios con respecto 
a la primera columna;
 Vb -x - X + b - X - x
- X c -x - X c - x
a[(b - x)(c - X) - x l̂ + b[x{x - c) - x^] = O 
a[bc - (b + c)x] + b(-cx) = O 
abe - a(b + c)x - bcx = 0 ab + be + ac
b i < j 
a i
a i > j
76. Sea la matriz A = (a,,)„, tal que: a, = 
hallar: |A|
Resolución:
A = (a,,)„. „ / a. =
Restando a cada fila, a partir de la segunda, la pri­
mera:
a b b ••• b
O a - b O ••• O
|A| = O a - b a - b ••• O
O a - b a - b a - b
Tomando menores con respecto a la primera co­
lumna. resulta;
a - b O O O
a - b a - b O ••• O
a - b a - b a - b - O|A| = a
a - b a - b a - b a - b
La matriz que resulta es triangular inferior de orden 
(n - 1 ) .
n - 1 v e c e s
Luego: |A| = a(a - b)(a - b). 
| A | - a { a - b ) " - ’
77. Sean las matrices:
A = (a .),,,/a , = { 2 7 i
B - ( b „ ) , . , / b + i< j
( a - b )
2 + j i -> j
Además AX = B. Calcular e! determinante de X. 
Resolución:
'2 i - j i < j 
1 i> j 
â , a „ \ . /1 O
A = (a 
A =
■ la.. =
11 <=>12 
2̂1 2̂2
A =
B = (b, )̂2>2/b 
b'11 bi2
b „ b
i2 2
= I i + 2j: i < j 
2 + j: i> j
3 5\
3 6j
| A | - 2
|B| = 3
•’ 21 2̂21
AX = B ^ |AX( = |B|
=» |A||X| = |B|, reemplazando: 2|X| = 3
■■ 1X1-I
78. Calcular;
a b b • • b 0 a, 82
b; i < j a a b • - b -a , 0 83
a: i - j « |A| = a a a • • b -32 - a , 0
a; i > i
a a a ' a Resolución:
Sea: A =
O
-a ,
a,
O 83
- a j -83 O
Se observa que: Â = - A; es decir, A es antisimé­
trica de orden 3, luego:
1A"| = 1-A1 = !AV(-1)^|A |
|A| = -iA| 2|A| = 0 .-. |A| = 0
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PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
PROBLEMA 1 (UNI 2011 - II)
1 4 k
Considere la matriz: A = 1 k 4 
1 k k
Determinar el conjunto de valores de k para que A sea 
invertible.
A ) k e m \ { 0 } B)keIR
D) k = -4 E) k = O
Resolución:
Si es invertible, entonces |A] # O 
Siendo;
C )k 6 E \{4 }
1 4 k fj - f. 1 4 k
| A | - 1 k 4
3̂ “ 2̂
0 ( k - 4 ) ( 4 - k )
1 k k 0 0 ( k - 4 )
Luego:
ha))e:
c O c 
a b o 
d c b
Donde; a, c, d e (0: ac) y b e (-ac; 0)
A) -4 
D)4
Resolución:
Dado
B) -2
E)6
0 2
c 2c c
5b a 3b
b + 5c b + d b + 3c
A partir de:
c 2c c 0 2c c
5b a 3b Cj — C3 2b a 3b
b + 5c b + d b + 3c 2c b + d b + 3c
k C, - -C , 0 2c c 0 c c
< 3 -X .k -4 r(4 -k ) ^ 0 « (k - 4)(k - 4 ) ^ 0 ^ k ^ 4 ' ̂ 2 ' 2b a 0 C, - C3 2b a 00 ' 'a - - . . ( k - '4 ) - 2c b + d b 2c d b
Luego afirmamos; k e E \ { 4 }
PROBLEMA 2 (UNI 2012 ■ I)
a b e
Dada la matriz A =
Ciave: C
determine la matriz P; tal
que PAP =
a c b 
g i h 
d f e
-a 1 0 0 0 - 1 1 0
A) 0 - b 1 B) 0 0 1 C) 1 - 1 0
1 0 - c 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0
D) 0 -1 0 E) 0 0
1 0 1 0
Resolución:
Con los elementos dados de las matrices A y PAP, ob­
servamos que: |A| = |PAP|
Luego; |P̂ | = 1
Igualdad que verifica la matriz involutiva P, 
tal qu9 P̂ = 1
Clave: B
PROBLEMA 3 (UNI 2012 - 1)
c 2c c 1 5 2
SI: 5b a 3b = -4 i En la matnz transformada; - 4 6 - 8
b + 5c b + d b + 3c 6 - 3 9
Factorizando el 2 de la columna 1, tenemos: 2 
Intercambiamos la columna C, por Ĉ :
O c c 
b a O 
c d b
c O c 
a b O 
d c b
= -4
c O c 
a b O 
d c b
Clave:C
PROBLEMA 4 (UNI 2012 - II)
Las siguientes operaciones elementales:
C, « Cj; Sfj: f¡ - fl, en este orden, transformar la ma- 
1 5 2
triz A en: - 4 6 - 8 , la cual se puede expresar 
6 - 3 9
como (RPQ)A. donde RPQ son matrices de orden 3 x 3 
no singulares.
Determine A.
2 3 1 1 2 5 - 2 - 5 1
A) 1 5 2 B) - 1 3 1 0 3 4 1
2 - 1 3 2 - 1 1 3 -1
2 - 1 4 4 3 - 5
D) 4 3 - 1 E) 1 - 1 2
2 - 1 2 0 3Resolución:
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