Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (70)

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f, + f,:
1 5 2
2 3 1 
6 - 3 9
5 2
2 3 1 
2 - 1 3
Corrección: f, Í2
Í2 3 1 
1 5 2 
2 - 1 3
Se obtiene; A =
Clave: A
PROBLEMA 5 (UNI 2013 - 1)
Sea A una matriz cuadrada de orden 2 x 2, si se sabe 
que su determinante es A y la traza de la matriz A ̂es T, 
Determine el valor [Traz{A)]^
A)T + A 
D) A + 2T
Resolución:
Sea ia matriz:
/a b\ 
c d i ^
B) + 2A 
E) A ̂+ 2T
C) 2A + T
A = a^+ be 
ac + ed
ab + bd 
d ̂+ be
Se tiene:
|A| = A = ad - be ...(1)
Traz(A^) = T = â + d̂ + 2be ...(2)
Piden:
[Traz(A)]^ = (a + d) ̂ = â + d̂ + 2a^
(T - 2bc) + 2{A + be) 
= T - 2bc + 2A + 2bc 
= T + 2A
Clave;C
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PROBLEMAS PROPUESTOS n * "
Dadas las matrices: 
1 O 2 
-1 1 2A =
Si: =
A 8 =
5 1
-1 2
a b 
c d , hallar: (ab + cd)
A) 243 
D) 181
B) 633 
E)377
012 1
2. Dadas las matrices:
A =
-1
4
3
2 ; B =
3 - 9 
6 12 ; C = 4 - 1 5 
2 1 11 0 0 15
calcular d22, si: D = (2A - ^B)C
A) 24
D) -6
B) 12 
E) 30
O -2
3. Dado el polinomio: P(x) = 2 x '^ t 2x - 4 y la matriz 
1 1A = O 1 . haliar la traza de P(A)
A ) - 1
D)4
B)1 
E) -4
O O
4. Si A = (aJ2.3 / a„ = 2 i - j : i > j 
&¡ + j ; i < j
Ademas, de la igualdad matricial: 
n
A^B = , n G ttí
Calcular la suma de los elementos de la matriz B. 
A) 6 8 )2 0 10 D)3 E)8
5. Si A = (a,,)„,„; tal que A" = A: hallar; A"=®"+ A '“
A) 2! 8)A* + A® C)2A"
D) A + 1 E) 2A^
6. Si A^= 1, hallar la traza de: A® + A‘*+ A ̂+ I; Aj.^.
A) 4 
D) 10
B)6 0 8
E) Faltan datos
7. SiA = - 2 3 
2 -1 A B = -1 - 3 
- 2 2
hallar: Traz(AB + BA)
A) 10 
O) -24
8. SiA =
B) 24
E) 36
C) -12
0 1 D) 2 - 2 E) 2 2
- 1 0 , hallar la suma de los elementos de ; ~2 2 - 2 - 2
la primera fila de: A'°^ + A' 
A ) - 2 B ) -1 C)0
9. Hallar la suma de los elementos de la matriz B, 
donde; B = A+A^+A^+...+A"; n > 2; n e IN.
1 -2Siendo: A = 
D) n(1 - n)
O 1
B) n(n + 1) C) -n(n + 1) 
n (1 - n)
E)
10. Dada la matriz A = 
mentos de la matriz A",
2 1 
1 2 , hallar la suma de ele-
A) 3" + 2" 
D)5"+ 1
B ) 2 x 3" 
E) 2"
O + 2"
11. Sea 8 = A + A ̂+ Â + ... + A “̂°, hatiar ía traza de 
O 18, si:A =
A) 200 
D) 500
1 O
B)300 
E) 600
O 400
12. Si las matrices A y 8 son iguales, hallar la traza de 
2A + 3C, siendo:
A =
C =
A) 4 
D) 10
13. SeaA =
A)
D)
2w - 2z 2z 
- 3 -w
- 2 - 1 
4 2
B = 5 w - 3
- 3 2 z - 1
B)6 
E) 12
1 1
- 2 - 2
1 2 
O 1
2 4 
- 1 O
0 8
A A + 1 = K, calcular; K + A^°“ . 
O3 1 
O 1
3 -1 
1 1
1 O 
O 1
14. Calcular (A + B)(A - B). si; 
 + B' = 1 O 
O 1 ;AB = 0 -1 ; BA = 2 í
1 2 -1 0
A) 1 1
-1 1 B) 1 -1 C) 2 - 2
1 1 2 2
15. Si A = 1 1 
O 1 , calcular; A 4- i i A“
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A)
D)
4 10 
O 4
10 16 
O 10
1 10
0 1
1 O 
O 1
c) 16 20 
O 16
16. Sea:A =
hallar ab, siAB =
2 3 3 2
a 5 y 8 = 1 b ; 24.
A) 6 
D)4
9 10 a 3 1 a 2 d + 12 29
14 16 1 c b 1 b 
d 2 7d + 4 d + 21
C) 12
E) 10
17. Hallar la suma de todos los elementos de la matriz 
A, que satisface:
1 - 1 O 
A O 1 O 
O - 1 1
1 - 3 2 
O - 1 1
A) 2 B) 3 0 4 D)5
18. Sea: A= (a,,)2.2/Traz(A) = O a 
Además: an = 5 ; 821= -4 . 
Hallar A", si n es par.
A) 9" 1 B)9"' ̂I
E)6 
= O
O 9"
D) 9"'®l E) T''°\
19. Escribir explícitamente la matriz:
A = (a„)2.3/ a„ =
A)
D)
2 1 O 
8 7 6
2 - 1 - 2 
8 7 - 1
B) 0 0 C) 0 - 1 - 2
1 0 6 8 0 - 1
E) 2 1 2 
8 7 1
20. Sean: A = 1 2 
3 4
4 3 
2 1 C = 2 3 
4 5
hallar X, si : 2(x - 3A) = (B - C) +4(X - A - B )
A)
D)
6 4 
2 O
6 4 
O 2
1 O 
O 1
6 3
2 1
O 4 6 
2 O
21. Sea la matriz A = (ajj.s. definida de la siguiente 1 0 1 0
forma: 1 2 3 4 0 1 0 1 5 6 8 5
' - j ; ' < i w X y z 0 0 1 1 5 1 5 0
ij ; i = i 1 1 1 0
i + j ; i > ] A) 5 B)6 O o D)7
hallar la traza de AA
A) -3 
D) 24
22. SiA =
B)0
E)68
O 1 2
2 -1 
- 3 3 , además F(x) = x̂ - 5x + 31
hallar la traza de F(A).
A) O B)5 0 8 D)12 E)24
23. Dado el sistema matricial 
X + Y = 2 1 A X - Y = 3 2
3 - 2 1 4
hallar la traza de: XV^
A ) -3/4 B)1/4 0 - 1 5 / 4 D) 5/2
24. En la igualdad:
D)3
E)5
Calcular d. si: a, b, c. d e m.
A) O 
25. Si:
B)1
A = {a X i a„ =
0 2
i - j ; i < j 
i + j : i > ¡
E)4
B — (bij)5>9 b], — i + j ; i = j 
> / j ; i ^ j
hallar: C25 + C,,; si C = AB = (C,j)4v9
A) 89/6 
D) -66
B) 18/7 
E) -113
O -38
26. Si: A = (a,|)2>2> tal'i'J®
1
A = 1 1
16
0 2
16
2 0
1 1 2 0 0 2
hallar el valor de: a,
A) 3x2'=
D)2'^
27. Si. A = (311)4,3 / a,. =
0 0B) - 3 X 2 ’^
E) 3’'
2 : i = j
hallar la suma de los elementos de A
A) O B)3 0 - 3 D)2
- 1 - 1 - 1 
O 1 O 
O O 1
E) -2
28. SeaA =
A) 3 
D) 24
B)0 
E) 18
. calcular la traza de A 
0 4
29. Hallar w + x + y -rz de:
E)1
30. Determinar la suma de los valores de x que satisfa­
cen la siguiente ecuación;
P(x) X
O 1 2 = 0 
O - 1 x +1
donde; P(x) = 2x“ + x ^ - 11x ̂+ x + 2 
A ) -7/2 B ) - 7 0 7/2 D) 3 E)7
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31. Hallarla traza de (A - 5 I) '\ sabiendo que la matriz: 
a 7 5
verifica A ̂- A - 211 = 0A=^
A) 13 
D)32
0 - 8 6 
0 0 3
B) 14 
E) 3
C) 15
32. Si A ̂= 331, hallar la inversa de:
A" + 2A ̂+ 4A ̂+ 8A+ 161
A ) A ^ 21 
D ) A ' 21
B)A+ 31 
E) A - 31
C)A+ I
33. Dada la matriz: A = -1 1 
2 -1
hallar x en la ecuación (Ax)^ = -A + 1.
Dar como respuesta la suma de los elementos de 
la segunda fila de x.
A) -1 8 )0 C)1
D)2 E)3
O -134. Si: A - 1 O 
clones es falsa?
¿cuál de las siguientes proposi-
A) A” = 1 V n par, n g IN 
8 ) A " = A V n impar, n e IN
C) |A"| V n € IN
D) |l + A"! ? O V n par, n e IN
E) |l + A"| = O V n G IN
35. Dada la matriz simétrica; A = 
hallar la Traz(A + A’ ’ )
A) 35/4 8) 17/4
D)8 E)19/2
36. Resolver la ecuación matricial
1 O O 
8 2 0 
b c 4
C) 3
2 1 
-1 2
1 O 
O 1
e indicar la traza de X.
C) 9/10
37. Sea; D = A ' BA; A es inversible, hallar; D"; n e IN
A) 2
D) O
8 ) 11/10 
E) 1/2
A)A-"8A 8)A '8"A C)A ’BA"
D)A "8"A" E)-ABA
Sean las matrices: A = 2 3 
4 5 y B - -1 - 3 
- 4 - 4
hallar el determinante de;
A- + 8̂ + ABA + BÂ + B̂ A + Â B + AB ̂+ BAB
0 36A) 1 
D)64
B)8
E )1000
39. Si A - |B[.B', hallar el valor de: C = lA.A""! A|| 
Sabier>do que jBÍ = 4 y \a matriz B es de orden 4.
A) 4'" B )4 '' 0 4'®
D)4^" E)4^
40. Si:A = 3 1 
2 1 y A'X= Â
hallar el mayor elemento de la matriz X,
A) 2 B)3 0 4
D)5 E)6
41. S i :A - , al resolver la ecuación0 2
1 3
matricial AX = B, indicar el valor de verdad;
I. X es singular
II. X es simétrica
III. Existe X’ '
A) W V 8) VFV O FFF
D) FFV E) W F
Calcular |A|, si; A= (a,,)g.6, ta! que 1
;
i
i
A) -120 8) 120 C)7
D)70 E) 36
a 1 1
Si a = b+c+d. hallar el valor de: b 0 1
c 1 0 1
d 1 0
A) -2a B) 2a O -a
D)a E) 3a
44. Indicar el valor de verdad de;
í. Si A" = 1, entonces |A| = 1
II, Sí |A( + O, entonces det{3A ’) = Aes de 
orden n. 1^1
III, det(A) = O, entonces Aes la matriz nula.
A ) F W B)VFF OFFF
D)FVF E)FFV
45. Si |A| = 3, hallar; ||A|. A| - IIAIA” ’ !. La matriz A es
de orden n.
a) 3" - ’
D) 10x3" ' ’
B) 8x3" 
E)3"* '
0 8x3"
46. Calcular el valor del determinante;
0 1 1 1 1 
1 0 3 3 3
1 3 0 3 3
1 3 3 0 3
1 3 3 3 3
A) 54 8)108 0 81
D)243 E)27
47. Sean A y M, dos matrices de orden n, donde: 
M = I - A(A^.A)’ ' Â . Hallar |M̂ |
A) O B)1 0 = - 1
D)2^ E)3x2"
48. Si: A = (a,j)3. j / A ̂= A, hallar el valor de;
del {A” ') + Traz(2A)
A) 9 B) 7 0 8
D) 27 E) Faltan datos
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49. Calcular:
A) 4 
D)0
50. Calcular:
A) 1 
D) 83a,
-4 1 1 1 1 , . 1
1 --4 1 1 1 2 1 . . 1
1 -4 1 1 57. Hallar el valor de: 3 , . 1
1 1 -4 1
1 1 1 -4 1 . . 100
B) 44 
E)42
O a, 82 
- a , O 83
— 89 — 8-> O
B)0
E) 3̂ 8283
0)43
C) - 3,82
51. Indicar un factor de:
x + y y x
X x + y y
y X x + y
A) /
D)2x^+2y^
B) x̂ 
E)x-1/y
52. Resolver la ecuación:
A) abo
ab + c 
D) 3 + b + o
B)
E)
1 1 1 1 
X a O O 
X O b O 
X O O c
abe 
ab + ac + be
2a + b
C) x V
= O
O 2bc
53. Calcular:
c
1 2 3 4
1 - 1 0 1
A) O B )3 
54. Hallar el valor de
1 O
1 -1
= 10
A) -10 
D) -20
B)8 
E) 18
C) -15
55. Si la m8triz: A =
1 X 1
x - 3 O x - 1 
1 x + 2 3
hallar el menor valor de x.
A ) - 1 B)0 C)1 D)2
es singular,
E)3
56. Dada la ecuación:= O
X 1 2 3 
1 x 0 0
2 0 x 0
3 O O x
Indicar el cuadrado de una de las soluciones.
A) 1 
D)9
B)2 
E) 14
0 )4
A) 91! 
D)97!
B) 100! 
E) 96!
0)98!
58. Resolver la ecuación matricial: 
X 3 - 2 -1 2
5 - 4 - 5 6
Indicar la suma de elementos de X.
0 )0A) 2 
D) -4
B)4 
E) -2
59. Sea A una matriz cuadrada, tal que; A ̂ = 101, 
determinar: (A - 31)” ’
A) A B ) A - 2 i O A + 3 1
D ) A - I E) No existe
60. Consideremos ia matriz A = [a¡,]2.3, tal que:
a¡j = 2i + 3j, para todo valor admisible del i y de j. 
Hallar A.
A)
D)
5 8 11 
5 10 13
5 7 9 
7 10 13
61. Sea la matriz; A = 
hallar; Traz(A’°)
5 8 11 
7 10 13
5 8 11 
7 10 11
O ®/2 O 
V8 O O 
O O V4
5 7
0) 8 10
11 3
0 ) - 9 D)9 E)81 A) 192 B) 144 C) 16
+ 8 ,2 3ii “ 3i2 D) 48 E)0
+ 822 821 — 822
62. Hallar el determinante:
2 a b c
0 3 4 5 6
0 0 5 2 a
0 0 0 3 b
0 0 0 0 a
A) 45 B) 45a C)0
D) 15a l ) 15
Sean B y 0 dos matrices definidas por;
n f-1 2 3/4 -5 / 2
[ 3 4 y c - 0 1/5
Si A y X son matrices que satisfacen las ecuacio­
nes matriciales:
A + C ̂= 1 O 
O 1
B + AB^ = (X - BC
hallar la suma de los elementos de la matriz X.
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