Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (73)

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Análogo al anterior, incógnitas a un miembro y 
los datos al otro:
X , 2x + 7 2x + 1 . 1
9x + 12x + 4 2 - 4 x - 2 18 + 1
18
17X + 40 
3
17x = 17
19 ^ 17x + 40 = 57 
X = 1
Agrupando en un solo miembro a las fracciones 
que tienen igual denominador:
^ + 4 + X _ ^ _ 23 - X
4
X - 1
4
4 + X 35 - 23 + X
2x + 3 _ 12 + X 
4 5
6x = 33
=> lOx + 15 = 48 + 4x
« = f =
Efectuando en ambos miembros:
2x ̂+ 2x - x - 1 - 2x ̂+ 6x - X + 3 = 9x + 4
-2 = 3x . . x = ^
La ecuación puede escribirse:
3x X 2x 10 
4 - 3 0 + 9 7 + 10
6x
11
6x
I I
10
10
- 1 0 = 6x X = -5/3
Desdoblando cada fracción: 
X 1 X ̂ b _ X 1
ab b ac ac be b
X
ab
X
ac
X
be ac abe (c - b - a) = -b^
abe
a + b - e 
X X
a - b 
1- = xl 
a l a - b
a ^ - b '
a + b 
1
a + b
1 _ / a + b - a + b 
a l (a-b) (a + b)
2ab
4ax + 1 - 3x _ 
b ^
=> x(4a - 3) = 5b - 1
4ax - 3x + 1 = 5b
x = 5 b - l
4a - 3
Resolver las ecuaciones irracionales:
Vx + 4 - Jx - 1 = 1
V5 + a + ■fs — 15
Resolución:
• Debe tenerse en cuenta que es una ecuación 
irracional, entonces una vez encontradas las
soluciones habrá que comprobarla en la ecua­
ción original
= 1 + V jrn
Elevando al cuadrado:
x + 4 = 1 + ( x - 1 ) + 2 /x^ = 2 = - / x ^ 
Nuevamente al cuadrado:
4 = x - 1 = x = 5
Comprobando: V5 + 4 - -15 - 1 = 1 
3 - 2 = 1 (cumple) 
Única solución: x = 5
Efectuando:
5 + a + ■i5a + â = 15
V5a + a ̂ = 10 - a 
Elevando al cuadrado miembro a miembro; 
5a + â = 100 - 20a + â
25a = 100 a = 4 
Comprobando:
V5 + 4 + /4 = = 3 + 2 = 4 r (cumple)
V5 + 4 3
Única solución: a = 4
Resolver:
2x^ 3x - 2 
x + 1 X
x + 2
x + 1
Resolución:
Agrupando en un solo miembro aquellas fraccio­
nes con igual denominador.
2x^ X + 2 ^ 3x - 2
x + 1 x+ 1 X x
2 x^ - 2 ^ X + 2 + 3x - 2
x + 1 X
2(x^-1)
x + 1
6. Resolver:
4x
X
a + b + 2b'
^ 2(x -1 ) = 4 X = 3
a - b , a + b a^+b^
X a " - b 
Resolución;
De modo análogo al anterior; 
a + b a - b a ' + b̂ 2b
a - b
X X a'^-b" a ' - b "
a + b - a + b - a ^ - b ^ - 2b^
+ a + b
a - b
(a + b)^
2b . - a" - - 2b
X
a^-b^ ^ ( a - b ) ( a + b)
• + + 2ab +
(a + b)(a - b)
2b 2ab - 2b
X
2b
X
2 b ( a - b )
(a + b) (a - b) x (a + b) (a - b) 
Despejando; x = a + b
Si: ax^ + 2ax^ - (a + 3)x + 3a - 1 = O 
determinar el valor de “a" para que la ecuación ad­
mita como raiz a (-2).
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Resolución;
Si ia ecuación admite como raíz a x = -2 , implica 
que ai reemplazar en ia ecuación originai, ia verifica: 
a(-2)^ + 2a(-2)^ - (a + 3)(-2) + 3a - 1 = O 
—8a + 8a + 2a + 6 + 3a —1 = 0 
=> 5a + 5 = O a = -1
Resolver: 
x - 3 x - 2
x - 4 x - 3
x + 2 _ X + 3 
x+ 1 X +2
Resolución:
Escribiendo cada numerador en función de su de­
nominador. Por ejemplo, veamos para ei primero:
1( x - 4 ) + 1 _ x - 4 ^ 1 = 1 +x - 4 x - 4 x - 4 ' ' x - 4
Hagamos este artificio para todas las fracciones y 
se tendrá:
- 1 -x - 4 x - 3 x
X - 3 - X + 4 X + 2 - X - 1
- 1 -
X + 2
( x - 4 ) ( x - 3 ) (x + 1){x + 2) 
x̂ - 7x + 12 = x̂ + 3x + 2 
^ lOx = 10 X = 1
9. Resolver:
3x - 1 9x^-1 3x - 1
Resolución:
Transponiendo el primer sumando del primer 
miembro al segundo:
2 2 8
9x^-1 3x - 1 3x - 1
2 _ - 6 
(3x+1) (3x -1 ) 3 x - 1
3x + 1 ’ ^ 3
- 9 x - 3 = 1
10. Resolver para x cada caso siguiente: 
. x + a x - a a(2x + ab) 
x - a x + a x^ -a^
2(a + x) 3(b + x) 6(a^-2b^) 
b a ’a ab
Resolución:
• Dando común denominador en el primer miembro: 
(X + a)^ - (x - a)^ _ a(2x + ab)
(x + a ) ( x -a ) ” x^ -a^
4ax = a(2x + ab); x ±a 
=» 4x = 2x + ab ^ X = (ab/2)
• Dando común denominador
2a{a + X) - 3b(b + x) 6(a" - 2b )̂
ab ab
2â + 2ax - 3b̂ - 3bx = 6â - 12b̂ 
(2a - 3b)x = 4â - 9D̂
(2a - 3b)x = (2a + 3D){2a - 3b)
X = 2a + 3b
11. Hallar el valor de X en: Vx + 4 + V x-4 = 4 
Resolución:
La ecuación puede escribirse:
Vx + 4 = 4 - Vx - 4 
X + 4 = 16 - Q - ix - 4 + X - 4
- 8 = - 8 - Í ) T ^ ^ = 1
De donde; x - 4 = 1 =>x = 5 
Comprobando en la ecuación original;
V5 + 4 + V5 - 4 = 4 (cumple)
.-. Única solución; x = 5
12. Si la edad de Alberto es 3 veces la edad de Julio 
y juntos suman 52 años. ¿Cuántos años le llevará 
Alberto a Julio dentro de 5 años?
Resolución:
Sea x la edad de Julio, entonces Alberto tendrá 3x 
Por dato; x + 3x = 52 
= X = 13
Dentro de 5 años Julio tendrá: x + 5 = 18
Alberto tendrá: 3x + 5 = 44
.-. Alberto le llevará a Julio dentro de 5 años;
44 - 18 = 26 años
13. Un número es tal que multiplicado por 2, por 3 y por 
5 da tres números cuyo producto es 15 360. ¿Cuál 
es el número?
Resolución:
Sea a el número; del enunciado;
(2a)(3a)(5a) = 15 360 ^ â = 512 => a = 8 
El número es: 8
14. Si el séxtuplo de la edad que tenía hace 5 años le 
resto el doble de la edad que tendré dentro de 15 
años, obtengo mi edad. ¿Qué edad tengo?
Resolución:
Sea x mi edad, entonces;
6(x - 5) - 2(x + 15) = X 
6x - 30 - 2x - 30 = X => X = 20 
Tengo 20 años.
15. Un automovilista estima que si recorre 75 l<m más, 
completa la mitad de su viaje, del cual ya ha re­
corrido la tercera parte. Hallar la distancia que ha 
recorrido.
Resolución:
Del enunc iado se puede esbozar el gráfico;
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Por dato; = 75 o X - 450
Lo recorrido: = 150 km
16. Una persona tiene S/.120 y otra tan solo S/.50, 
después que cada una de ellas gastó la misma 
cantidad de dinero, a la primera le queda el triple 
de lo que le sobra a la segunda, ¿Cuánto les queda 
en conjunto a ambas personas?
Resolución:
Sea x la cantidad que gastaron:
120 - X = 3(50 - X)
Resolviendo: x = 15
Luego la primera queda con: 120 - 15 = 105 
La segunda queda con: 50 - 15 = 35 
.-. Les queda en conjunto: 105 + 35 = 140
17. Una persona compra un grabado y paga por el 
marco lo mismo que el grabado. Si el marco costa­
se 25 soles menos y el grabado 18,75 soles más, 
el marco costaría la mitad del grabado. ¿Cuál es el 
valor del grabado?
Resolución:
Sea x el costo del grabado. Luego el costo del mar­
co también será x
Pero por dato:
x - 2 5 ^ x+1^8,75
2x - 50 = X + 18,7 ^ x = 68,75 
El grabado cuesta: 68,75 soles
18. Al preguntar un padre a su hijo qué cantidad habla 
gastado de los 350 soles que le dio, este le contes­
ta; "Las tres cuartas de lo que no gasté", ¿Cuánto
gastó?
Resolución:
Sea X la cantidad que ha gastado el hijo.
No gastó: 350 - x
Del enunciado: x=- | ( 350 - x )
4x = 1050 - 3x = 
Gastó 150 soles.
7x = 1050 => x = 150
19. Se ha repartido 3900 soles entre dos obreros en 
partes proporcionales a sus jornales, Al primero le 
correspondió S/,1700 y su jornal es 50 soles me­
nos que el del segundo, ¿Cuál es el jornal del pri­
mero?
Resolución;
Sea X el jornal del primero; luego del segundo será 
x + 50. Luego la constante de proporcionalidad es­
tará dada por;
3900
2 X + 50
Como al primero le toca 1700, entonces;
- 1700
I 2x + 50 i
3900X = 3400x + 50(1700) ^ x = 170 
El jornal del primer obrero es de 170 soles.
20- Viajando a 100 km/h un piloto llegaría a su destino 
a las 19:00 horas, pero viajando a 150 km/h llega­
ría a las 17;00 horas, ¿A qué velocidad debe ir para 
llegar a las 18:00 horas?
Resolución;
Sea: x horas el tiempo de partida;
Primer caso
V = 100
t = 19 - X
Segundo Caso 
V = 150 
t = 17 - X
Como el espacio recorrido es el mismo en ambos 
casos puede establecerse que 
e = 100(19 - X) = 150 (17 - x)
Resolviendo:
190 - lOx = 255 - 15x = X = 13
Se pide la velocidad para que llegue a las 18 horas 
es decir el tiempo empleado sería 18 - 13 == 5
e 100(19-13) Luego; v = j ^ 600
,-, V = 120 km/h
21, Considerando; X O 
Resolver;
x ̂+ 2x+2 , x^+8x + 20 x ̂+ 4x+6 ̂ x ̂+ 6x +12
X + 1 x + 4 x + 2 X + 3
Resolución:
Formando trinomios cuadrados perfectos en los 
numeradores:
(x + 1 ) V l , (x + 4 ) ^ + 4 (x + 2)^ + 2 , (x + 3)^ + 3 
X + 1 x + 4 “ x + 2 x + 3
Descomponiendo cada fracción:
( x + 1 ) ' , 1 , ( x + 4 ) ^ ̂ 4
x + 1 x+ 1 x + 4 (x + 4)
(x + 2)^ , 2 , (X + 3 ) ' ̂ 3
x + 2 Xh 2 x + 3 x + 3
x + 1 + ̂ ! ^ + x + 4 + —̂ = x + 2 + - ^ + x - r 3 + - ^ x+1 x+4 x+2 x+2
1 2 3 4
x + 1 x + 2 x + 3 x + 4
-X - x
X + 2 - 2x - 2 _ 3x + 12 - 4x - 12 _ ^
(x+1)(x + 2) (x + 3)(x + 4) ^ ^
=> x = O
Por condición está solución esta descartada, luego: 
x' + 3x + 2 = x' + 7x + 12
4x = -10 X - - |
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22. Resolver:
(x + 2 ) (x -4 ) {x + 4 ) (x -7 )
7 (x + 3 ) ( x - 5 ) 12(x + 5 ) (x-
5_
84
Resolución:
Desdoblando el segundo miembro como:
_L = 1 _J_
84 7 12
(x + 2 ) (x -4 ) (x + 4 ) (x -7 ) J_
127(x + 3 ) {x -5 ) 7 12(x + 5 ) (x -8 )
Dando común denominador en ambos miembros: 
x ^ - 2 x - 8 - x '+ 2 x + 1 5 x ^ - 3 x - 2 8 - x ^ + 3 x + 4 0
7(x + 3 ) (x-5)
- 2x - 15 = x' - 3x
12(x + 5 ) (x- 
40 X = -25
23. Sean: A = Vx + 4; B = Vx - 1
si al restar B de A se obtiene 1, hallar el valor de A;
Resolución:
A - B = 1
Vx + 4 - Vx - 1 = 1
Elevando al cuadrado ambos miembros; 
( V x T 4 f - { 1
X + 4 = 1 + 2Vx - 1 + X - 1
4 = 2 / ) ^ => 2 = 4 = X - 1
X = 5 (comprobando, verifica en ia ecuación original) 
A = VxT 4 = V5+T = 3
24. Hace 3 años, yo tenía el doble de tu edad en ese 
entonces. Dentro de 17 años yo tendré 5 veces la 
edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tu 
tendrás dentro de 7 años. ¿Que edad tengo?
Resolución:
Pasado Presente Futuro
A 2x 2x + 3 2x +20
B X X + 3 X + 20
2x + 20 = 5(z) ...(1)
Dentro de 7 años B tendrá x + 10:
2x + 3 - ( X + 10) = X - 7 
x: es el tiempo entre presente y el pasado: 
z = X + 3 - (x - 7) = 10 
En(1): 2x + 20 = 5x10 
x = 15
A tendrá: 2x + 3 = 33 años
25. Dos alumnos A y B en el intermedio de clase van al 
pinball a jugar en la máquina Defender que les pro­
porciona 3 naves a cada uno. Si los puntajes obteni­
dos por cada nave, antes de que la derriben, apare­
ce en la tabla y además sabiendo que cada 30 000 
puntos la máquina les proporciona otra nave. Deter­
minar si seguirán jugando con una cuarta nave. Si A 
posee en total 2000 puntos más que B.
^ \ .N a v e
Jugador\^
1." 2." 3."
A 4x 5x - 500 3x + 3000
B 4x - 1000 4x + 4000 3x
Resolución;
PT(A); puntaje total de A
PT(A) = (4x + 5x - 500 + 3x + 3000)
PT(B): puntaje total de B
PT(B) = (4x - 1000) + 4x + 4000 + 3x)
Por dato; PT(A) - PT(B) = 2000
(12x + 2500) - (11x + 3000) = 2000
X = 2500
PT(A) = (12x + 2500) = 32 500 
PT(B) = (11x + 3000) = 30 500 
Siguen jugando ambos
son mayores 
que 30 000
<4 SISTEMAS DE ECUACIONES
Es un conjunto formado por dos o más ecuaciones para 
dos o más incógnitas, las cuales se verifican simultá­
neamente para los mismos valores de las incógnitas. 
Se llaman también ecuaciones simultáneas.
Por Ejemplo: x V + xy = 6 ...(I)
x + y = 3 ...(II)
(I) y (II) forman un sistema de ecuaciones.
Conjunto solución de un sistema
Se llama solución particular o simplemente solución de 
un sistema a los correspondientes valores de las incóg­
nitas que lo verifican, al conjunto de todas estas solu­
ciones se les denomina conjunto solución del sistema 
(y es único).
Se tiene de (I): (xy) ̂+ xy - 6 = O
(xy + 3)(xy - 2) = O
Donde: xy = -3 v xy = 2
xy = -3 ; X + y = 3; t̂ - 3t + 2 = O
V- 3±V2Í 
2
 3-V21 ^ :
xy = 2; X + y = 3
3 + V ^
y? =
2
3 + V2Ì
3 - / 2 Ì
f - 3t + 2 = O 
t == +2 => t = 1
Xa = 2 ^ y3 = 1
X, = 1 ^ y, = 2
CS = í (3 + - / ^ .3-V?^\. /3 - V ^ .3 + V ^ \; (2 ;1) ( 1 ;2)
Clases de sistemas
1. S is tem a com patib le : es aquel que al m enos adm ite 
una so lución. A su vez puede ser;
• Sistema compatible determinado: si el nú­
m ero de so luc iones se puede enum erar, esto
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