Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (78)

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18. Si X, y Xj son raices de ia ecuación 2x ̂+ x + 1 = O 
formar una ecuación cuadrática de incógnita x cuyas 
raíces sean:
X, + — y X, + —X, ̂ ' X2
Resolución:
1 1Para las raíces: x, h— : x, + — , la ecuación es:X, X2
x ^ - ( x , + l + x, + ± ) x + (x, + l ) ( x , + ^ ) = 0
X ,X ¿
1 , (X, + xJ^-2X,X2
x,x¿ x,x, = o
1 1 Pero: x , + x^ = ~ j a x , x ¿ = ^
Reemplazando en la ecuación se tendrá: 
-1x‘ - t - ^ - 1)x +
Efectuando: x̂ + | x + 1 = O
Multiplicando por 2 a ambos miembros, obtendre­
mos que: 2x ̂+ 3x -f- 2 = O será fa ecuación pedida.
"19. Hallar "x" en:
{x - a)Vx - a -r (x - b)lx - b _ . . — , — a D
Vx - a + Vx - b
Resolución:
Si a ' b ^ X > a
Transformando el numerador:
VT ^ ^ + V T : ^ - a - b 
Vx - a -1- Vx - b
Desarrollando la suma de cubos se tendrá:
{V F -á + V x -b )(x -a - V x -a V x -b + x -b ) 
(Vx - a + Vx - b)
a - b
2x - a - b - Vx - a .Vx - b = a - b
2(x - a) = V(x - a)(x - b)
Elevando al cuadrado miembro a miembro: 
Ax'̂ - 8ax + 4a ̂= x‘ - (a + b)x + ab 
3x ̂+ (-7a -f b)x + 4a ̂- ab = O 
3x — - -4a •+• b 
x - -a
Luego: (3x - 4a + D)(x - a) = O
4a - b .-. X = ^ ■ V X = a
20. Hallar los valores de X en:
^V20 + X N y . - 1.1 = 1. X G IR
Resolución:
Haciendo. "Vx - 11 = m => x = m̂ -t- 11 
Reemplazando en la ecuación se tendrá:
'’■Irû + 31 = m + 1
Sacando raiz quinta miembro a miembro: 
m ̂+ 31 = m ̂-*• 5m'' + lOm^ + lOm^ -r 5m + 1 
5(m“ + 2m'̂ -t- 2m^ + m - 6) = O 
m ̂ m ^ 3
m' m
(m ̂+ m + 3)(m^ + m - 2) = O
I T o
Luego: m ̂+ m - 2 = 0 = (m + 2)(m - 1)
De donde: Si m = 1 => x = 12
Si m = -2 ^ X = -21
21. Determinar que cantidad se debe agregar a las raí­
ces de una ecuación: (a + b)x ̂+ (a - b)x + ab = O, 
para que estas nuevas raíces sean raíces simétri­
cas de otra ecuación cuadrática.
Resolución:
Sea el conjunto solución de la ecuación:
(a + b)x ̂+ (a - b)x + ab = 0: = |x,; Xj}
Agregando n a cada raíz se tendrá:
Í I2 = {x, + n; Xj + ni
Si son simétricas: x, + n = -(X2 + n)
Luego: x, + Xj + 2n = O
X , )2n = -(x , + X2
Por la ecuación; x, + X2 = - a - b '
- (a - b)
2(a + b)
a - b 
2(a + b)
22. Calcular a - b; si la ecuación: x̂ + ax ̂-t- bx -7 = O, 
posee como una de sus raíces a l - 2 V2 . Además
a, b e íD.
Resolución:
Sí X, = 1 - 2 V2 , entonces X2 = 1 + 2 V2
El factor cuadrático que da estas raíces es: 
x̂ - 2x - 7 = O
Luego: (x ̂ - 2x - 7)(px -r q) = O 
Es equivalente a: x̂ + ax ̂+ bx - 7 = O ...(1 )
Lo que implica que: p = 1 a q = 1 
^ (x" - 2x - 7)(x + 1) = O 
Reemplazando en (1): x̂ - x̂ - 9x - 7 - O 
= a = - ^ A b = -9 
Se pide: a - b = - 1 + 9 = 8
23, Cuál es ta capacidad de un deposito lleno de al­
cohol puro al cuál se ha sacado 2 veces 5 I repo­
niéndose en cada caso con idèntico volumen HjO 
y resultando únicamente alcohol al 90,25%.
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Resolución:
Sean:
, 5 I H , 0
; ^ p * 5 1
y ^
X 1 x - 5
Alcohol 5 H2O
5 I HjO
5 I mezcla
Con alcohol:
Hay
1.° X
2.° X - 5
( x - 5 ) ' 90,25x
X 100
Se saca 
5
( x - 5 )
(X - 5)^
Queda 
X " 5
(x-5)^
X
9025 x̂ 
1 00 x 10 0
100^(x - 5)' = 95" x'
100(x - 5) - -95x
• 100x- 500 = 95 x
5x = 500 = x = 100
• lOOx - 500 = -95x
195x = 500
x = 2,56 no satisface
24. En que tiempo harían A, B y C un trabajo juntos; si 
A solo, puede hacerlo en 6 horas más; B solo, pue­
de en 1 horas más; y C solo en el doble del tiempo,
Resoiución;
A, B, C juntos lo hacen en x horas.
En 1 h A, B y C harán 1 del trabajo
A lo hace en x + 6 horas 
1En 1 h A hará del trabajo.
B io hace en x + 1 horas 
1En 1 h B hará del trabajo.x+ 1
C lo hace en 2x del trabajo. 
En 1 h C hará del trabajo.
=> En 1 h, A, B, C hará 1
x + 6 
1
1 ' 2x del trabajo
x + 6 x +1 2x X
x + 1 + x + 6Efectuando: 2 - 1
(x t 6){x I 1) 2x 
(2x + 7){2x) = (X + 6)(x + 1)
4x̂ + 14x = x' + 7x + 6
3x' + 7x - 6 = O ^ (3x - 2)(x + 3) = O
Donde: x, - 2/3
Xj - - 3 (no es posible)
2
.-. A, B, C harán juntos el trabajo h
< i ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR 
Teorema de Cardano y Viete
S e a : a „ x " + a , , x " ’ ' + a ^ . ^ x " ̂+ . . . + a , x + a o = O 
U n a e c u a c i ó n d e g r a d o n e i N
a,| O con raices { x , , x^, x^j x „ }
Entonces se demuestra que.
- a . - .
1 . X , + X j + X j + . .. + x „ = --------- —
dn
-3n 22. x,x^ + x,x3 + ... + X, , x„ = — ^
3 . x , x ¿ x 3 . . . + X,, - ( - 1 ) ' ' a r ,
Por ejemplo: en la ecuación; 4x ̂- 5x̂ + 7x - 11 = 0 de 
raíces x,, x̂ , X3 se cumplirá:
X, + Xj + X3 -
X1X2 + X1X3 . A2 A3 
XiXjX, = ( - l ) ' ( ^ 11
4
Teorema de la paridad con ra ices complejas
Toda ecuación algebraica de coeficientes reales, si ad­
mite la raíz compleja a + bi, contendrá también la raíz 
conjugada a — bi.
Coroiario; Si en una ecuación polinómica con coefi­
cientes reales presenta raíces complejas conjugadas 
dos a dos, se concluye que su número de raíces com­
plejas será siempre par.
Teorema de la paridad con raíces irrac iona les
Sí un polinomio P(x) con coeficientes racionales tiene 
como raiz a (a + Vb), donde /b es irracional, con a y b 
racionales, entonces también tiene como raíz al núme­
ro irracional (a - /b ).
Este teorema asegura que las raíces irracionales de di­
cho tipo se presentan por pares en los polinomios con 
coeficientes racionales.
Ejemplo:
En la siguiente ecuación; 
ax® + bx® + cx ̂+ d = O
(a, b, c, d 7Í 0) sus raices son; {x,; x̂ ; Xj; ...; Xj} 
se sabe que; ++ 2 ; d ; 9 : b
, , , , . X, + X, + X, + ... + Xgcalcular el valor de: —̂----------- ------------ -
X,X2 ...X9
Resoiución:
De 2 ; d : 9 ; b se tiene que: 2b = 9b ...(1)
Por el teorema de Cardano y Viete:
_ b
Xl + X; + X3 + ... -t- X9 _____^ ^
d ” dX,X,X,...Xo
(2)
D e ( 1 ) : ^ = 1 = 4 ,5
X , X 2 , . - X g
= 4 ,5
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Ecuaciones b inóm icas
Forma general: ax" ± b = O
Si: + 1 = O = -1
X ^ co s í-? !y^U + isení^^J" k ^ 0; 1; 2
Resoiución de ia ecuación binómica
1.®' caso: ax” - b = O
donde: x" = - ^ x = n j l ^
a ' l a i Na
X = J^"^cosO°+isenO° =< a > a
k = 0,1, 2....(n - 1)
2.“ caso: ax" + b = O
COSI ^ ^ ^ M n + is e n í - ^ ^
donde; x" = - ( - 1) a
X = n
V a
c o s ( 2 ^ ) .x = "i^^Vcosn + isenn = '’J ^ Va Va
k = 0, 1, 2,..., (n -1 ) 
Ejemplo:
Resolver: x'* + 625 = O
Resolución:
De la ecuación: x = ^V625‘‘/ ^ = 5^-T^
Por el procedimiento en el segundo caso se tendrá:
c o s í 2 k ^ 1 ¡ s g r | /2 l^ j : 1X = 5 ‘-Icosn + isenn = 5 
donde: k = 0; 1; 2; 3
S i k = 0 : X = 5 | | c o s | + i s e n ^ )
S i k = 1: x = 5 | ' c o s - ^ + i s e n ^
S i k = 2 : X = 5 | ^ c o s - ^ + i s e n ^
S i k = 3 : X = 5 | ' c o s ^ - f i s e n ^
Ecuaciones trínóm icas
Forma general: a " + bx" + c = O
Resoiución de la ecuación trinóm ica
Haciendo: x" = y
Reemplazando en la ecuación: ay ̂+ by + c = O
Donde: y = ~ b ± : ^ ^ - 4 a c
Luego: x"= -- b ± / | ^ - 4 a o
Ejemplo:
Resolver: x® - x’ - 2 = O
Resoiución:
La ecuación se puede expresar como: (x̂ - 2)(x ̂+ 1) = O 
• Si; - 2 = O == = 2
cos-^^ + is e n ^^ ; k = 0 ; 1 ; 2
3 V' ' ■■'■'"l 3
Ecuaciones bicuadradas
Forma general ax“* + bx ̂+ c = O a O
Resolución de la ecuación bicuadrada
-b±</b^ -4ac
2a
- b± Vb ^- 4ac
2a
x. = J - ^ = P ;
X, = = q; = = - q
1. Suma de raíces: X , + )^ + X3 + )^ = O
2. Suma de productos de ralees: x, Xj + Xj ^ 
(producto binará))
3. Productos de ralees; x , . 5(2. X j. x< = —
Formación de una ecuación bicuadrada
ax'* + bx" + c = O
Dividiendo entre “a”: x" + — x̂ + — = O a a
Luego:
X + (2 n raices binarias)x^ + (n raices) = O
o x‘ + (suma de raíces binarias)x̂ + (producto de raices) = O
Ejemplo:
Formar la ecuación bicuadrada sí dos de sus raíces 
son -2 ; 1/3.
Resolución:
Six, = 2 ^ x^ - - 2 ; x3 - 1 
Luego:
SriRB = X, Xj + X2 X4 = -4 - •! =
nR = x , . x , , x , . x . = (2 ) ( ^ 2 ) ( l ) ( 4 ) = |
R e c o n s t r u y e n d o l a e c u a c i ó n : x * - ' 5 ~ ®
Multiplicando por 9 la ecuación será:
9x" - 37x ̂+ 4 = 0
Ejemplos:
En la ecuaciónbicuadrada; ax* + bx ̂+ c = O, de r a i c e s 
X , ; x¿: X3; X l , se cumple + a . b . c; 49 : a : c". Calcular 
e l v a l o r d e ( x , X 3) ” '' + ( x ^ x , ) ” ' , s i e n d o x , = - X j .
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Resolución;
De los datos; 
- a . b . c:
49 ; a ; ĉ : 
También:
2b = a + c 
= 49
(X , X s ) ' + ( X j X j " =
X,X3 + X;X̂
a = +7c 
b
3 . = k 
Ç c 
a
En{1): 2 b = : = 7 c
Luego si a = 7c: 2 b = 8c =
Si a = -7c: 2 b = - 6c
El valor pedido es 4 v -3 .
^ = 4
- = -3
Resolver la ecuación x.“ - mx ̂ + n = O, si m es la 
suma límite de los términos de la progresión 4 : 
2 :... y n es el quinto término del desarrollo de:
(V3-2 ^ / 45^ f
Resolución;
Por dato: m = 4 - r 2 + 1 + l + ...
Se sabe además;
4
Suma límite = Primer término 
1 - razón
Luego: m = 1 _ /̂2 .
Para el binomio:
n - t , - C®/3" ( - 2 /̂4F ^ r = 1 5 i < ^ i l Í ^ n = 16
Por loianlo la ecuación será; x̂ - 8x̂ + 16 = O 
donde factorizando por aspa simple se tendrá:
(x' - 4)(x' - 4) = O 
X, = 2; X2 = -2 ; X3 = 2; x^ - -2;
(Hay dos raices de multiplicidad 2)
Dada la ecuación x'’ - 3{k + 4)x^ + (k + l f = O
hallar el vaior entero que debe tomar k para que
sus 4 raíces estén en progresión aritmética.
Resolución;
Sean las raíces:
x, = a - 3r; X2 = a - r; X3 = a + r; X4 = a + 3r
Entonces: x, + X2 + X3 + X4 = O 
4a = O =» a = O
Luego:
Raices
b i n a r i a s
X, = -3 r - 
r-X2= - r 
^ X 3 = r 
x̂ = 3r
Raíces
b i n a r i a s
Para el problema:
• X, X4 + X2 X3 = - 3 { k + 4) => -9r^ - r̂ = - 3 ( k + 4) 
3
X, X2 Xj X4 = (k + 1;
(1)
9r“ = (k + 1)̂
Extrayendo raiz cuadrada miembro a miembro: 
3r^= { k + 1) ^ r̂ = ...(2)
De ( l)y (2 ); 
. 3l0(k + 4 ) = Ü f l k = 26
k =
19
4.
Como se pide el valor entero: k = 26
Indique las raices de;
(X + 9)(x - 3)(x - 7)(x + 5) = 385
Resolución
Agrupando en la forma indicada 
(X + 9){x - 3){x - 7)(x + 5) = 385
(x̂ + 2x - 63)(x^ + 2x - 15) = 385
Haciendo: x̂ + 2x = a, se tendrá:
(a - 63)(a - 15) = 385 - a" - 78a + 945 = 385
â - 78a + 560 = O ^ (a - 70)(a - 8) = O
• Si: a - 70 = O - x" + 2x - 70 = O 
Aplicando la fórmula:
_ - 2 ± ^ { 2 ) ' - 4 ( 1 ) ( - 7 D ) -2±-/284
2 2 
x, = -1 + / n V X2 = -1 - -/Ti 
Si: a - 8 = O =• x̂ + 2x - 8 = O 
^ (X + 4)(x - 2) = O 
Luego: X3 = -4 v X4 = 2
Resolver: 81' + SV 
de todas sus raíces.
= 30 e indicar el producto
Resolución;
Transformando la ecuación: 81’
Haciendo; 81' = a a + 81
8 r
= 30
= 30
a " - 3 0 a + 81 = O ^ (a - 2 7 ) ( a - 3 ) = O 
Luego: a = 2 7 v a = 3
• Si a = 2 7 :
8 1 ' " = 2 7 ^ 3 ‘' ‘ ' = 3 ’ 
donde: 4 x ^ = 3 =• x = ± V 3 / 2
• Si a = 3 ;
8 1 ' " = 3 ^ 3 ^ * ' = 3 "
de donde: 4x = 1
Se pide: 2 1\ 2 1\ 2 , 16
< i ECUACIONES RECÍPROCAS
Son aquellas que reducidas en uno de sus miembros 
contienen a un polinomio reciproco.
P o r e j e m p l o : A x ^ + B x " “ + C x ’ - B x + A = O
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