Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (79)

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K Ü B B im
1. Toda ecuación reciproca de grado impar tiene 
como una de sus raíces a - 1.
2. Si ios cxDeficientes de los términos equidistantes 
de ios extt’emos tienen signos contrarios, entonces 
una de sus raices será x = 1 (ecuación recíproca 
de segunda especie).
3. En toda ecuación reciproca de grado para sí una 
raíz es X = a, otra será x = 1/a.
Ejemplos:
1. Resolver; Ax" - 4x^ + 5x ̂ - 4x + 4 = O 
Resolución:
Factorizando por ei método de aspa dobie especial: 
4x' - 4x^ + 5x ̂ - 4x + 4 = O 
2x' -3 x ' 2
2x' x 2
Se tendrá; (2x ̂ - 3x + 2)(2x^ + x + 2) = O
Si; 2x' - 3x + 2 = O => x = ...3 ±^9 4(4)_
4
4 4
-1 ±V1 - 4 ( + 4 )Si: 2x' + X + 2 = O => X =
■ - - 1 + ^ V x . =
4
1 ~ñW\
2. Resolver: x® - 4x® + 3X" - 8x ̂+ 3x ̂- 4x + 1 = O 
Resolución:
Factorizando;
x' ( x^ - 4 x ̂+ 3x - 8 + - ^ - - Í - 4 í = 0
l X x ^ /
Haciendo:
X 1 = m : x ^ + 4 = - 2 ; + A = r n ^ _ 3 m
X x ̂ x'
Luego: x (̂m ̂- 3m - 4(m^ - 2) + 3m - 8) = O
x^(m- - 4m^) = O x^m^(m - 4) = O
Reponiendo x:
(x̂ + 1)̂ (x̂ - 4x + 1) ^ O
• Si: (x̂ + 1)̂ = O = X, = + 1 V Xj = -1
• Si: (x̂ - 4x + 1) = O
P o r f ó r m u l a : x = l í Í E iH Z m
L u e g o : X 3 = 2 + / 3 y = 2 - - Í 3
SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO 
GRADO Y GRADO SUPERIOR
E x i s t e n m u c h o s c a s o s , p e r o l o s m á s f r e c u e n t e s s o n 
a q u e l l o s e n i o s c u a l e s , s e p r e s e n t a n :
A. Una suma y un producto 
Ejemplos:
1. Resolver; a + b = 3; ab = 2 
Resolución:
Se recomienda formar una ecuación de segun­
do grado;
x' - 3x + 2 = O « (X - 2)(x - 1) = O 
=̂ x, - 2; Xj = 1 V x, = 1 ; Xj = 2
Luego los pares de soluciones serán:
(a; b) = (2; 1)V(1;2)
2. Resolver: + / = 5
xy = 2 ...(2)
Resolución:
De (1) -I- 2(2) se tendrá : (x -(- y)̂ = 9 
=> x + y = ±3
• Si: x + y = 3 A xy = 2; formamos la ecuación 
cuadrada:
m̂ - 3m -I- 2 = O * (m - 2)(m - 1) = O
=■ m = 2 V m = 1
.■.(x; y) = ( - 2 ; 1 ) v ( - 1 ; - 2 )
• Si X + y = -3 A xy = 2; formamos la ecua­
ción cuadrada:
m ̂-I- 3m + 2 = O = (m + 2)(m -i-1 ) = O 
=» m = -2 V m = -1
(x; y) = ( - 2 ; - 1 ) v ( - 1 ; - 2 )
B. Cuando el sistema presenta polinom ios homo­
géneos del m ismo grado 
Ejemplos:
1, Resolver: x^-f 3xy-f ŷ = 11 ...(1)
xy + / - 3 ...(2)
Resolución:
En estos casos se hace: x = my ...(3)
En (1); m V + 3my^ + ŷ = 11 ...(4)
En (2): m V + = 3 -.(5)
= JJ 3ní + 9m + 3 = lim + 11(4) m + 1 3
Simplificando;
3m* - 2m - 8 = O = (3m -H 4)(m - 2) = O 
Donde; m = -4 /3 v m = 2 
• Si m = 2 en (5): ŷ = 1 =» y = ±1 
En (3); x = ±2
El conjunto solución será: (2; 1) v (-2 ; -1 )
C. Casos variados 
Ejemplos:
1. Resolver: x̂ + xy + xz - x = 2 ,..(1)
y "+y z + y z - y = 4 ..,(2) 
z^ - l - zy - l - zx -z = 6 ,-(3)
Resolución:
Sumando (1) + (2) + (3) tendremos:
(X + y -I- z) ̂ - (X + y + z) - 12 = O
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(X + y + z - 4)(x + y + z + 3) = 0 
S ix + y + z = 4
x(x + y + z) - X = 2
y(y + z + x ) - y = 4 ^ y = - 
z = 2
De(1)
De (2)
Luego 
Si X + y + 2 = -3 
De (1):x = -1/2 
De (2): y = -1 ; luego: z = -3/2
■■■ “ =
2. Resolver; x̂ + xy + y" = 28 
xV + xy ̂= 160
Resolución:
F a c t o r i z a n d o i a s e g u n d a e c u a c i ó n y a g r u p a n d o 
l a p r i m e r a s e t e n d r á : 
x y + ( x " + y " ) = 2 8 . . . ( 1 )
x y ( x ' + / ) = 1 6 0 . . . ( 2 )
H a c i e n d o x y = p a x " + y " = q 
E n ( 1 ) ; p + q = 2 8 
E n { 2 ) : p q = 1 6 0
E n t o n c e s ; p , = 2 0 a q , = 8 v P j = 8 A = 2 0
• S i : p = 2 0 A q = 8 ® x y = 2 0 , x " + y " = 8
L u e g o : x " + y ^ + 2 x y = 8 + 4 0 = » ( x + y ) " = 4 8 
x + y = ± / 4 8 = í x + y = + 4 - / 5 ’
• x + y = 4 / 3 A x y = 2 0
t " - 4 / 3 t + 20 = 0 =^t = 2 / 3 ± 2 / 2 Í 
X i = 2 / 3 + 2V2Í; y, = 2 / 3 - 2 / 2 1 
X 2 = 2 / 3 - 2 / 2 Í ; y 2 = 2 / 2 + 2/2Í
• X + y = - 4/3 A x y = 2 0 
t" + 4 / 3 t + 20 = 0
X3 = -2 /3 + 2 ^ ; y3 = - 2 / 3 - 2/2í 
X, = -2 /2 Í - 2 / 2 í ; y ^ = -2 /2 +2 /2 Í
• S i ; p = 8 ; q = 2 0 = x y = 8 : x ^ + y " = 2 0
X 5 = 2 ; y s = 4 = * x « = 4; y g = 2 
X, = - 2 ; y , = - 4 ^ Xe = - 4 ; yg = - 2
3. R e s o l v e r ; x " + x V = 4 9 
X + x y + y = 1 1
Resoiución:
D e l a s e g u n d a e c u a c i ó n : ( x + y ) + x y = 1 1 
= » X + y = 1 1 - x y . . . { 1 )
D e l a p r i m e r a e c u a c i ó n :
x " + y " + 2 x y + x V = 4 9 + 2 x y
( x + y f + x V = 4 9 + 2 x y . . . ( 2 )
( 1 ) e n ( 2 ) : ( 1 1 - x y ) ^ + x V = 4 9 + 2 x y
1 2 1 - 2 2 x y + x ^ 'y ^ + x V = 4 9 + 2 x y 
2 ( x y ) ^ - 2 4 { x y ) + 7 2 = O { x y f - 1 2 ( x y ) + 3 6 = 0 
( x y - 6 ) ^ = O => x y = 6 
L u e g o ; x + y = 5 a x , = 2 ; y , = 3 ; X 2 = 3 ; y ^ = 2 
C S = { ( 2 : 3 ) , ( 3 ; 2 ) }
4. Resolver: ^ — - = a; j — - = b1 - xy 1 - xy
Resoiución;
x" - a = y - axy =» x" - a = (1 - ax)y
^ 1 - ax
Reemplazando en la segunda ecuación:
/ x" - a
■ 1 - ax - X
= b
x‘ - a
( 1 - a x ) ( l - x ^ )
1 - xl . ,\1 - ax /
Efectuando en el primer miembro: 
(x^-a)"-x(1-ax)"
(1 -ax)^ _ x * - 2ax^+a^-x+2ax"-a^x^
1 - ax - x̂ + ax 
1 - ax
rr 4 ■ ^ a"(1 - X̂ ) - X(1 - X̂ ) ^Factonzando: — ^ ?— ~ = b 
(1 -ax)(1 -x^)
Luego; = b = > a ^ -b = ( 1 - ab)x
1 — 3 X
, . x = # Í ^ ; y = b - a
1 - ab' 1 - ab
5. Resolver: x" - yz = a
y" - yz = b 
z" - xy = c
,..{2)
-.(3)
Resolución;
Sea; y = px ; 2 = qx; (pq 7̂ 0) reemplazando en:
(1): x" - (px)(qx) = a ^ x"(1 - pq) = a
(2): (px)" - {qx)x = b =» x^P^ - q) = b
(3): (qx)" - X (px) = c =» x (̂q" - p) = c 
Dividiendo convenientemente:
P̂ - q b . q ̂- P c
1 - pq a ’ 1 - p a
1 - (b - ac)(c' - ab)
(a - be)
<4 ECUACIONES CÚBICAS ¥ CUÁRTICAS
Una ecuación queda resuelta algebraicamente o por 
radicales, cuando las raices se pueden expresar en tér­
minos de operaciones y extracción de radicales de los 
coeficientes de ella.
Durante ios siglos XVI y XVII, se buscó la resolución 
algebraica de las ecuaciones de grado superior, a la 
cuarta, sin resultado. En 1799 y 1828 los matemáticos 
Ruffini y Abel demostraron que, en general, es imposi­
ble resolver por radicales, ecuaciones de grado supe­
rior al cuarto.
Ecuación cúbica
La primera ecuación cúbica resuelta fue: x̂ + mx = n 
La resolvió Scipione del Ferro (1465-1526), pero no pu­
blicó sus resultados.
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Otro matemático, Niccolo de Brescia, llamado Tartaglia 
(1499-1557), resuelve también la ecuación y profundiza 
los conocimientos, resolviendo.
- mx = re n
Tartaglia, tampoco publica su descubrimiento (era cos­
tumbre de la época mantener en secreto los nuevos 
métodos). Bajo promesa de no divulgarlo, Tartaglia in­
forma a Gerolamo Cardano (1501-1576), pero Cardano 
publica como propio el descubrimiento de su colega, en 
la obra Ars Magma (1545).
Se resolverá la ecuación:
ax ̂+ bx ̂ -f ex + d = O ...(I)
haciendo: X = y - ...(II)u3
Se logra una ecuación en "y”, que no contiene término 
cuadrático: ŷ + py + q = O ...(III)
Llamada ecuación cúbica reducida.
La ecuación (III) se puede resolver de 2 maneras: 
Haciendo: y = u + v
...(IV)Haciendo: y - z - oz
Se usará el segundo artificio (propuesto por Viete). 
Reemplazando (IV) en (III) se obtiene:
z' -
27z^
+ q = O
.(V)
Resolviendo la ecuación (V) como cuadrática: 
Donde: A ^ +
z = 3 j - | ± , 5 .(VI)
Se sabe que la raíz cúbica de la unidad tiene 3 valores; 
1, w, w .̂ Si se toman dos valores de (VI):
A = + y 
Tal que; AB = ó
,.,(V1I)
Entonces las seis raíces (z,) de la ecuación (V) son: 
A, wA. w^A, B, wB, w^B
Como w.w ̂= 1
AB = - £ 
3
wA.v/B =
•5
w^A.wB = - £
son 3 parejas
Por cada raíz, se tiene una pareja cuya suma, 
según (IV) es “y"..
Los tres valores de “y " son 
y, = A + B 
y2 = wA + w^B 
y3 = + wB
Fórmulas de Cardano
Finalmente de (II), las raíces de iaecuación primitiva 
(I) son:
Naturaleza de raíces
Se llama discriminante de la ecuación cúbica, al valor:
- ( § ¡ ^-(§i
Si los coeficientes de la ecuación (111) son reales, se 
escogerá A y B, tales que su producto sea real
(AB ^ - real).
I. Si A = O, de (VII), se tiene: A = B
.-. y, = 2A; y2 = y3 = A(w + w‘̂ ) = -A 
(Teniéndose en cuenta que: 1 + w + - 0)
Las raíces de la ecuación (III) serán iguales si y
solo si p = q = O, en cuyo caso: A = B = O
= y2 = y3 = O
Las raíces de la ecuación (I) serán iguales si los
coeficientes de (I) son tales que el primer miembro 
sea un binomio al cubo, 
ax ̂4- bx ̂-H cx -f d = (mx -i- n) ̂= O
X. = X, = x, =
II. Si A > O, A ̂y B̂ son reales al hallar los tres valo­
res de y, se obtiene una raíz real y dos conjugadas 
complejas.
MI. Si A < O, A ̂y B̂ son complejas.
Sean: A ̂= r -f si 
B' = r - si
^ _ q 
2
s = psenft
Donde: r y s son reales: r = y s = a
Haciendo: r = prnsfí
, a n e = i - l i É A 
r q
£ l
27
Se tiene entonces:
y = ^VFTsí + - s í . por ser: y = ^/A + /̂B
y = V p ( c o s O + i s e n O ) - i - ^ V p ( c o s 0 - i s e n O )
I i I
y = p^[(cos0 -f isenO)] ̂-t- (cos0 - isenO )̂
P o r l a f ó r m u l a d e M o i v r e :
y = 2p^cos O + 2kii
Donde; k = 0; 1; 2 
Como: p = 0 - 7 ^ P J o
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y = 2 V -§ c o s i- ^ h 5 . ;k = 0;1;2
D o n d e : t a n 0 = - ( 6: v a l o r p r i n c i p a l )
A l d a r a k l o s v a l o r e s ( 0 ; 1 ; 2 ) , s e o b t i e n e n l a s t r e s 
r a í c e s d e l a e c u a c i ó n ( l i l ) , q u e r e s u l t a n r e a l e s .
L o s c a s o s s e r e f i e r e n a l a e c u a c i ó n c ú b i c a r e d u c i - 
d a : + p y + q = O y n o a l a e c u a c i ó n c o m p l e t a ( I )
E l t e r c e r c a s o , s e l l a m a c a s o I r r e d u c t i b l e , y a q u e 
s u s o l u c i ó n e s s o l o p o s i b l e t r i g o n o m é t r i c a m e n t e 
( i m p o s i b l e d a r u n a r e s p u e s t a c o n r a d i c a l e s ) .
Ejemplos
1 . R e s o l v e r l a e c u a c i ó n :
- 9 x " + 2 4 x - 1 6 = O
Resolución;
H a c i e n d o : x ^ y - ¿ = y - ^ = y + 3
D e d o n d e : (y + 3 ) ' - 9 ( y + 3)^ + 2 4 ( y + 3 ) - 1 6 = O 
E f e c t u a n d o : y^ - 3 y + 2 = O
- 3 ' = O
L a e c u a c i ó n r e d u c i d a p o s e e d o s r a í c e s r e a l e s 
i g u a l e s y u n a r a í z r e a l n e g a t i v a d e d o b l e m ó d u l o 
( c a s o I )
H a c i e n d o e l a r t i f i c i o d e V i e t e :
^ 3 z 3 z
z + 1 
z
(z + l ) - ( z + l ) + 2 = 0
z ® + 2 z ^ + 1 = O = > ( z ^ + 1 ) ^ = O 
z ^ = - 1 = A = B = = - 1
^ _P 
3
p o r l a s f ó r m u l a s d e C a r d a n o
C o m o A . B = - , e l v a l o r d e A = B - 1 , v e r i f i c a
c o m o ; X = y + 3
y , = A + B = - 2 
y 2 = w A + w " B = 1 
y s = w " A + w B = 1
X , = - 2 + 3 = 1 
X j = 1 + 3 = 4 
X , = 1 + 3 = 4
U s a n d o l a s f ó r m u l a s ( V I I ) , c o n : q = 2 y A = O 
S e o b t i e n e n : A = a B =
A - B - -1 ( V e r i f i c á n d o s e : A B - “
A s í s e e v i t a h a c e r e l a r t i f i c i o .
R e s o l v e r :
x ' - 6x " - 6x - 1 4 = O
Resolución:
H a c i e n d o ; x = y - 6
3 ( 1 )
= y + 2
(y + 2) ̂- 6(y + 2 f - 6(y + 2) - 14 = O 
y' - 1 8 y - 4 2 = 0
p = - 1 8
q = - 4 2
= ( - 6) - ^ + ( - 2 1 ) " = 2 2 5
C o m o A > O , s e t e n d r á u n a r a i z r e a l y d o s c o m p l e ­
j a s , u s a n d o d i r e c t a m e n t e l a s f ó r m u l a s ( V I I ) .
A = + = ' / 3 6 ; B = = W
1 8 ( c u m p l e )C o m o : A B = - | ; = -^ O
y , = A + B = ^ / 3 6 + V e 
y 2 = w A + V i í ^ B = ^ / 3 6 + w " W 
y 2 = w " A + w / B = ^ / 3 6 + w /̂6
D a n d o l a r e s p u e s t a c o n d e c i m a l e s , t e n i e n d o e n 
1c u e n t a q u e : w - - ~ + ~ \
S e o b t i e n e :
y , = 5 , 1 1 9 0 4 7 0 ; y ^ = - 2 , 5 5 9 5 2 3 5 + 1 , 2 8 5 8 8 0 6 1 ; 
y 3 = - 2 , 5 5 9 5 2 3 5 - 1 . 2 8 5 8 8 0 6 Í
C o m o ; X, = y + 2 
X , = 7 , 1 1 9 0 4 0 7 0 
X j = - 0 . 5 5 9 5 2 3 5 + 1 . 2 8 5 8 8 0 6 Í 
X 3 = - 0 , 5 5 9 5 2 3 5 - 1 , 2 8 5 8 8 0 6 1
2 2
i i W i W
N o e s n e c e s a r i o m e m o r i z a r l a s f ó r m u l a s q u e s e p r e ­
s e n t a n , y a q u e d a d o e l c a s o , s e t i e n e n a l a m a n o e n 
c u a l q u i e r t e x t o o m a n u a l , o s e t i e n e l a p r e s e n t e o b r a .
P = - 5 
q = -1
( e c u a c i ó n r e d u c i d a )
R e s o l v e r : 
y ^ - 5 y - 1 = O
Resoiución:
^ ^ ( 3 } ^ ( c a s o i r r e d u c t i b l e )
C o m o A > O , l a e c u a c i ó n p o s e e 3 r a i c e s r e a l e s . 
D e l a s f ó r m u l a s d a d a s ;
2 Í ^
y = eos e + 2kn
t a n o =
q
t a n ü = 4 , 1 8 5 5 1 2 8 
0 = 1 , 3 3 6 2 7 3 r a d
" 5 1 , 3 3 6 2 3 7 + 2 k n- e o s - - - - - - - - - - - - ^ - - - - - - - - - - - -
D o n d e : n = 3 , 1 4 1 6 r a d ( l o s á n g u l o s e n r a d i a n e s ) 
S i k = 0 : y , = 2 , 3 3 0 0 5 8 9
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