Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (87)

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Desigualdades 
Inecuaciones 
Valor absoluto Ö
ü
G e o rg F r ie d r ic h B e rn h a rd Rie- 
m a n n n a c ió e n B rese len z (A le­
m a n ia ) e l 17 d e s e p t ie m b re d e 
1826 y m u r ió e n V e rb an ia (Italia) 
e l 20 d e ju lio d e 1866. F u e u n 
m a te m á t ic o a le m á n q u e rea lizó 
c o n tr ib u c io n e s m u y im p o r ta n te s 
a l an á lis is y la g e o m e tr ía d if e re n ­
c ia l, a lg u n a s d e las c u a le s a l la n a ­
ro n e l c a m in o p a r a e i d e s a r ro llo 
m á s a v a n z a d o d e la re la tiv id a d 
g e n e ra l . S u n o m b re e s tá c o n e c ­
ta d o c o n la fu n c ió n ze ta , la h ip ó ­
tesis d e R ie m a n n . la in te g ra l d e 
R ie m a n n . e l le m a d e R ie m a n n , 
las v a r ie d a d e s d e R ie m a n n , las 
su p e r f ic ie s d e R ie m a n n y ia g e o ­
m e tr ía d e R ie m a n n .
D esd e p e q u e ñ o d e m o s tró u n a 
fa b u lo sa c a p a c id a d p a ra e l c á l­
c u lo u n id a a u n a tim id e z cas i e n ­
fe rm iza . D u ra n te su s e s tu d io s d e 
s e c u n d a r ia a p re n d ía ta n r á p id o q u e e n s e g u id a a d e la n ta b a a to d o s su s p ro fe so re s . E n 1846, a 
la e d a d d e 19 a ñ o s c o m e n z ó a e s tu d ia r F ilo log ía y T eo log ía e n la U n iv e rs id a d d e G ö ttin g e n . En 
1847 su p a d re r e u n ió el d in e r o su f ic ie n te p a ra q u e c o m e n z a ra a e s tu d ia r m a te m á t ic a s . En 1859, 
a l d o c to r a r s e e n M a te m á tic a s a n te G au ss , fo rm u ló p o r p r im e ra v e z la h ip ó te s is d e R ie m a n n ,la 
c u a l es u n o d e los m á s fa m o so s e im p o r ta n te s p ro b le m a s s in re s o lv e r d e las m a te m á t ic a s . Lo 
a s c e n d ie ro n a p ro fe s o r e x tr a o rd in a r io e n la U n iv e rs id a d d e G ö ttin g e n e n 1857 y se h iz o p ro fe ­
so r o rd in a r io e n 1859. E n ) 862 se c a s ó c o n E lise K och . M u rió d e tu b e rc u lo s is c n su te r c e r v ia je 
a Ita lia e n S e la sca .
Fuente-. W ifeipedia
\̂emania. IBZB - Ita/ia, /fifig
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<4 DESIGUALDADES
Son relaciones de comparación entre dos o más canti­
dades reales de diferente valor 
Por ejemplo; si:
La edad de Juan es 40 años.
La edad de Pedro es 60 años.
La edad de Luis es 70 años.
Se tendrá las siguientes relaciones:
• La edad de Juan es menor que la edad de Pedro. 
La edad de Luis es mayor que la edad de Pedro. 
La edad de Juan es menor que la edad de Luis.
Intuitivamente estamos comparando magnitudes reales 
de una misma especie. Las desigualdades solo se veri­
fican en el campo de los números reales que asociado 
a ía recta real podemos observar:
Recta num érica real
<( - ) ; IR-
- J 2 Y /2 71
-1 - 3 -1
Origen__
2 3
-Unidad
+ 30
Que para cada número real le corresponde un único 
punto de la recta real y reciprocamente para cada punto 
de la recta real, le corresponde un único número real. 
La correspondencia biunívoca entre números reales y 
puntos de una recta real nos ayuda a dar una interpre­
tación geométrica de la relación de orden entre los nú­
meros reales. Para la gráfica adjunta:
O B
La relación | a < b I (se lee: a menor que b) significa que 
al punto A le corresponde el número real "a" y se en­
cuentra a la izquierda del punto 8 al cual le corresponde 
el número real “b",
<4 AXIOMAS DE RELACIÓN DE ORDEN
I. Orden de tricotom ía
V a; b e IR, se cumple una y solo una de las si­
guientes posibilidades:
a < b v a = b v b < a
Por ejemplo: dado ¡os número reales -6 ; 3; ~3 y 4; 
se cumple que:
• - 6 < -3 • 3 < 4
. -3 < 4 • - 6 < 4
II. Orden transitivo
V a; b; c G IR, si: a < b a b < c
Ejemplo:
En la recta real:
-12 -2 
-12 < - 2 A - 2 •12 < 8
Ili. Orden de la monotonía
V a: b; c e IR 
• Ley aditiva
S i : | a < b ^ a + c < b
Ley multiplicativa
Si: c c E ' A a ‘ ' b =» ac <- be
Si: c e 2?' A a •-■ b -> be <; ac
<4 REUCIONES QUE EXPRESAN DESIGUALDADES
1. a es menor que b (a < b)
a < b » a - b < 0
2. a es mayor que b (a > b)
[T3> b ■c» a - b~;' 0| 
a es mayor o igual que b {a > b)
a > b » a > b v a = b '
4. a es menor o igual que b (a < b)
| a < b « ^ a < b v a = b|
<4 CLASES DE DESIGUALDADES
I. Desigualdades absolutas
Son aquellas que se verifican en el campo de los 
número reales y a su vez pueden ser numéricas o 
literales.
Ejemplos:
Numéricas
• 8 > O
• 7 > 3
• 4 -
Literales
• > - 3
• -6 < (x - 2 f
• X® + y® > O
II. Desigualdades relativas
Estas desigualdades se conocen también con el 
nombre de inecuaciones y se caracterizan por que 
se verifican para un conjunto de valores denomi­
nados conjunto solución y su representación se 
visualiza en la recta real.
Ejemplos:
1. La inecuación: 4x - 3 > 5, se verifica para todo 
valor de x mayor que dos (x > 2).
Su representación gráfica en la recta real sería 
de la siguiente forma.
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- 3 0 Ó 2 + 3 0
2. La inecuación; - 25 < O, se verifica para lodo 
X , tal que: x > -5 a x < 5
Su representación gráfica en la recta real sería 
de la siguiente forma:
X > - 5 A X < 5 1
-5
« INTERVALO
Es ei conjunto de valores x pertenecientes a la recta 
real, limitado en sus extremos por los elementos a y b, 
tai que a < b, a y b pueden o no pertenecer al conjunto 
de valores x.
Clases de intervalo
• Intervalo abierto: (a: b> = {x/a < x < b; a < b } 
Su representación gráfica es:
a < x <
— CO o
X e {a; b)
b +:
Intervalo cerrado: [a; b] = {x/a 5 x < b; a < b} 
Su representación gráfica es:
a < x < b
—CO a Ò
X e [a; b]
Intervalos mixtos:
1. (a; b] = {x/a < X < b; a < b)
+ CC
l
a < X < bS 1 i 1
— 00 a 0 b + 0C
X G (a; b]
2- (a; b) = { x/a < x < b; a < b}
a < X < b
_ Q _
“ OO a o b
X e [a: b)
3. {—co; a] = {x/ —30 < X < a; —oo < a}
-oo < X < a
X e (-oc; aj
4. [a; +cc) = (x/a < x '' *-cc; a ■- +o^}
x fc [a; +oc;
<4 PROPIEDADES GENERALES DE LAS DES­
IGUALDADES
1. Si a los dos miembros de una desigualdad, se 
suma o resta una misma cantidad, el signo de la 
desigualdad no se altera.
Si; a > b - 5 a i c > b ± c
Si a los dos miembros de una desigualdad se multi­
plica o divide por una cantidad positiva, el signo de 
ta desigualdad no se altera.
Si: a > b a c > O =»
3. Si a los dos miembros de una desigualdad se mul­
tiplica o divide por una cantidad negativa, el signo 
de la desigualdad se invierte.
Si: a > b A c < O =■ ac
Dos desigualdades de signo contrario se pueden 
restar miembro a miembro y el signo de la des­
igualdad resultante es el mismo que hace las ve­
ces de minuendo, es decir:
Dado el sistema: a b a c d 
Se cumple que:
j a - c > b - d V c - a ■' d - b I
Dos o más desigualdades del mismo sentido se 
pueden multiplicar o dividir miembro a miembro y 
el sentido de la desigualdad no se altera, siempre 
y cuando los miembros de las desigualdades sean 
cantidades positivas.
V a; b; c; d; e IR': si a b a c > d
Se cumple: ac bd v —
Dos desigualdades de signo contrario y miembros 
positivos se pueden dividir miembro a miembro, el 
signo de la desigualdad resultante es el mismo que 
el signo de la desigualdad que hace las veces de 
dividendo.
Es decir: v a, b; c: d; s IR ; si a - b a c d 
Se cumple:
Si a los dos miembros de una desigualdad se eleva 
a una potencia impar o se extrae raíces de Índice
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