Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (89)

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=* ax + by + c < 0 (ya que b < 0)
En cuyo caso P(x; y) pertenece a la región Rj y 
satisface la inecuación: ax + by + c < O
Si la inecuación es del tipo ax + by + c < O o 
ax + by + c > O, la región del plano encontrada, 
no incluye los puntos de la recta ax + by + c = 0. 
Mientras que si la inecuación es del tipo 
ax + by + c < O o ax + by + c > O, la región del 
plano encontrada, incluye los puntos de la recta 
ax + by + c = 0-
Regla práctica para encontrar las regiones R, o 
Rj. Se presentan dos casos:
Si la recta ax + by + c = O no pasa por el 
origen. Tomar el origen (0: 0) y reemplazarlo 
en la inecuación dada, se tiene:
i) Si resulta verdadera (V) se sombrea el se- 
miplano donde esta el origen.
ii) Si resulta falsa (F) se sombrea el semipla- 
no donde no esta el origen.
Si la recta ax + by + c = O pasa por el origen 
(es decir, la recta es de ia forma ax + by = 0). 
Tomar un punto cualquiera, menos el origen, 
y reemplazarlo en la inecuación dada. Se re­
pite el proceso anterior.
Ejemplos:
1. Graficar: 3x - 4y > 12 
Resolución:
Graficando la recta: 3x - 4y = 12 
Tabulando unos cuantos valores.
X y
0 -3
4 0
{0; -3 )
(4; 0)
Este par de puntos se unen con una línea pun­
teada, ya que la inecuación es del tipo > (ma­
yor que).
Como la recta no pasa por el origen, reempla­
zamos e) origen (0; 0) en la inecuación dada, 
resulta:
3(0) - 4{0) = O > 12 (F)
A continuación sombreamos el semipleno don­
de no esta el origen, quedando tal como se 
muestra en el gráfico adjunto.
A tal semiplano, se le llama semiplano abierto 
y a la línea L que la limita se le llama línea de 
contorno o frontera.
y
0
3 . - " ’i
. M
■i-»-'
2. Graficar; 3x - 4y < O 
Resolución:
Graficando la recta: 3x - 4y = O
X y
0 0 - (0; 0)
4 3 - (4 :3)
Como la inecuación es del tipo < (menor o igual 
que) este par de puntos se unen con línea cerrada. 
Como la recta pasa por el origen, tomamos un 
punto cualquiera, por ejemplo (1; 0) y reempla­
zamos en la inecuación dada, resulta:
3(1) - 4(0) < 0 ^ 3 < O (F)
A continuación sombreamos el semiplano don­
de no esta el punto (1; 0).
A este semiplano se le llama semiplano cerrado.
3. Determinar la región definida por las inecuacio­
nes X < 3 A y > -2 .
Resolución:
Graficamos la recta vertical x = 3 y la recta ho­
rizontal y = -2 ,
y t
Siguiendo el proceso anterior, se tiene que la 
región es la que tiene doble sombreado.
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4. Esbozar el gráfico de la región determinada por 
S, tal que:
S = {(x; y) e / 2x + 3y - 12 > O A - X + 2y < 3}
Resolución:
Tabulamos y graficamos.
Para 2x + 3y - 12 = O Para - x + 2y = 3
X y X y
0 4 0 3/2
6 0 -3 0
Para {0; 0):
2(0)+ 3(0)-12 > O
^ -12 > 0(F) 
Sombreando, tenemos.
- O + 2(0) < 3
O < 3 (V)
- X + 2y = 3
' • 2 x + 3 y - 1 2 = 0 
.'. La región pedida es la que tiene doble sombreado.
5. Graficar A/A = {(x; y) e / 3 < |y| < 5} 
Resolución;
Tenemos: 3 < |y| < 5
|y |<5 =» - 5 < y < 5 =* y e [-5 ; 5] 
A | y | > 3 ® y > 3 v y < - 3 
= y e ( - 3 o ; —3)u(3 ;+o : )
Intersectando ambas soluciones tenemos:
y e [ - 5 ; 5] n ( ( -cc;-3 ) u (3 ; + o o ) ) 
y e [-5; 3) u (3:5]
Graficando:
VI o
T
. J.
3
Inecuaciones de segundo grado con dos variables
Haremos el estudio para el caso de la circunferencia, 
parábola y elipse.
a. Para la circunferencia. Toda ecuación se segun­
do grado en x e y de la forma: 
x̂ + ŷ + Dx + Ey + F = O, representará una cir­
cunferencia.
El centro y el radio de la circunferencia se encuen­
tran mediante el método de completar cuadrados 
en X e y, resultando:
Centro: C - ( - | ; - | ) .
Radio: r = ■/D̂ + E' - 4F donde: D' + - 4F > O
y^<9
Ejemplos:
1, Graficar la región: x̂
Resolución;
Graficamos la circunferencia; x ̂+ / = 9 
Su centro está situado en (0; 0) y su radio es 
r = V9 = 3.
Eligiendo (0; 0) y reemplazando en la inecua­
ción x̂ + / < 9, nos queda;
0̂ + O" < 9 = O < 9 (V)
Sombreamos la región que contiene al origen 
(0; 0), es decir, la parte interna de la circunfe­
rencia.
2. Graficar la región determinada por R. tal que:
R = {(5<; y) / x̂ + ŷ - 6x + 10y + 9 > 0}
Resolución:
Para encontrar el centro C y el radio r, comple­
tamos cuadrados en x e y: 
x̂ + y ^ - 6x + 10y + 9 = O 
=» (x̂ - 6x + 9) + (ŷ + 10y + 25) - 25 = O 
(X - 3) ̂ + (y + 5)' = 25 
El centro es C = (3; -5 ) y el radio es r= l25 = 5
Compruebe lo anterior aplicando las fórmulas 
para el centro y el radio, donde:
D= -6 ; E= 10; F= 9
Eligiendo (0; 0) y reemplazando en la inecua­
ción dada, resulta:
0̂ + 0 ' - 6 x 0 + 1 0 x 0 + 9 > 0 (V) 
Sombreamos la región que contiene al origen, 
es decir, la parte exterior de la circunferencia.
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Para la parábola. Todo trinomio de segundo grado 
en X o en y (pero no en ambos) de una de las for­
mas: y = ax ̂-1- bx -H c v x = ay ̂ by + c, repre­
sentará una parábola.
Usando el método de completar cuadrados, los tri­
nomios cuadrados anteriores se llevan a la forma:
• Para el prim er caso: y - k = a(x - h)^ en don­
de el punto V(h; k) recibe el nombre de vértice 
de la parábola; en donde h = -b/2a.
Haciendo x = h y reemplazando en 
y = ax ̂+ bx + c, se calcula el valor de k.
Si a > O, la parábda y = ax̂ + bx + c, se abre ha­
cia arriba, en cuyo caso se dice que el vértice 
V(h; k) es ei punto mas bajo de la parábola. Es 
decir, decimos que para x = h, el valor minimo 
de y = ax ̂+ bx + c, (se obtiene reemplazando 
X = h) es y = k.
Si a < O, la parábola y = ax ̂+ bx c, se abre 
hacia abajo, en cuyo caso el vértice V(h; k) es 
el punto mas alto. Decimos que para x = h, el 
valor máximo de y es y = k.
Para el segurido caso: x - h = a(y - k)^ en
donde el vértice es V(h; k); k = -b/2c. 
Haciendo y = k, y reemplazando en: 
x = ay ̂-H by -1- c, se calcula un valor de h.
Si a > 0. la parábola se abre hacia la derecha; 
mientras que si a < 0. la parábola se abre 
hacia la izquierda.
a> O
Casos particulares:
I. La gráfica de y = ax ̂ + bx + c, para a > O, es 
una parábola que se abre hacia arriba; luego 
tenemos uno de los siguientes casos:
V (h , K)
Se tienen dos raíces 
reales 
x „ X2 
A = b̂ - 4ac > O
Hay dos raíces 
reales iguales 
X, = Xj 
A = b̂ - 4ac = O
No hay raíces reales 
(Hay dos raíces complejas)
A = b̂ - 4ac O
Otros casos son:
Si y = f(x) = ax ̂ -H bx + c; A = b̂ - 4ac >0, 
entonces decimos que una de las raíces reales 
de la ecuación ax ̂ + bx + c = O, esta en el 
intervalo (m; n) si ocurre uno de los dos casos 
siguientes:
f(m)
Tenemos que f(m)f(n) < O
Conclusión. Para que la ecuación:
ax ̂+ bx + c = O (a > 0) tenga una raíz real en
el intervalo (m; n) debe ocurrir dos casos:
• Que el discriminante sea mayor que cero:
A = b̂ - 4ac > O ; y
• Que f(m) f(n) < O, donde f(x) = ax ̂+ bx + c.
b. Sea y = f(x) = ax ̂+ bx + c (a > 0). ¿Qué con­
diciones deben cumplirse para que ias raíces 
reales de la ecuación ax ̂ + bx + c = O, estén 
una a la izquierda y la otra a la derecha del nú­
mero k?
Para esto efectuamos un gráfico; mostrando las 
raíces x,, x¿ y el número x.
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Conclusión. Para que la siguiente ecuación; 
ax ̂+ bx + c = 0, (a>0) tenga una raíz a ia iz­
quierda y la otra a la derecha del número k. 
debe ocurrir que:
• A = - 4ac > O
• f(k) < O, donde f(x) = ax ̂+ bx + o
c. Decimos que: ax ̂+ bx + c > k, v x e E, si se 
cumplen dos condiciones;
• a > O
• A = b̂ - 4a(c - k) < 0; donde k e IR.
d. En forma análoga: ax ̂+ bx + c < k, v x e IR, si 
se cumple que a < O A A = b^ - 4a(c - k) < 0; 
donde k e IR.
Ejemplo:
¿Para qué valor de x -i- c, ocurre qué la mínima 
“y" de la parábola y = x̂ - 2x + c, vale 4?
Resolución:
Tenemos que a = 1 > O, luego la parábola se 
abre hacía arriba.
El vértice V(h; k) será el punto más bajo; de 
donde pasa x = h, el vator mínimo de y = k.
Pero por dato: x = 4; es decir y = 4
Por otro lado, para y = x ̂ - 2x -i- c, se tiene
que: x = h = - ¿ = | = 1
Luego reemplazamos x = 1, en y = x̂ - 2x + c; 
con lo cual; 4 = 1 - 2 + c => c = 5 
Finalmente se tiene: x + c = 6<4 VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real x, es el número no 
negativo denotado por |x| y definido por:
x; si X > 0
|xl = 0; si X = 0
-x ; si X <r 0
Ejemplos:
. |5| - 5 • |-2 | = 2
• 1-51 = - ( - 5 ) = 5 • |-3 | = 3
• |0! = O • I 3 - 3( = 3
De los ejemplos podemos observar que:
1. v x E i R ; |x| > 0 3. |x| = | - x |
2. |x| = 0 » x = 0
V X. ye E; se cum ple ;
|-x| - |x| 
txyl = |x||y|
|xl̂ = x̂ V |x^|= x̂
^ = |x|
|x + y| = jxj + | y |«xy>0 
|x - yi = |x| + ly| « xy < O
= M : y í ^ o 
y|
|x| + | y | > 2 / Í 7 í ^
<4 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
En resolución de ecuaciones con valor absoluto, debe­
mos tener en cuenta lo siguiente:
Si X e E, entonces |x| es el número real no negativo 
definido por:
x; si X > O 
-x ; si X < O
|x| = O «=*■ X = O
|x| = |b| » X = b V X = -b
|x| = b « b > O A [x = b V X = -b ]
Ejemplos
1. Hallar el conjunto solución en la ecuación:
|x + 2|(x‘' - 1) = O
Resolución:
Factorizando, se tendría: |x + 2|(x̂ + 1)(x + 1)(x - 1) = O 
Igualando cada factor a cero.
• |x + 2| = O ^ X = -2
• x ^ + 1 = 0 = » x = í V x = - i
• x + 1 = 0 = > x = -1
• X - 1 = O = X = 1
Como X G E; i A - i no son parte de la solución.
,-, CS = {-2 ; 1; -1 }
- i = ; tal que î = -1
2, Resolver: |x̂ - x -31 = |x - 3| 
Resolución:
Para este caso se cumple la propiedad:
|x] = |b| o X = b y X = -b
Para nuestro caso:
x ^ - x - 3 = x - 3 ...(a)
x ^ - X - 3 = - ( X - 3 ) . . . (p)
De (a): x ^ - x - 3 = x - 3 =»x^ -2x = 0 
=»x (x -2 ) = 0 =.x = 0 v x = 2
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