Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (93)

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48. Resolver |x + 2| - |x ~ 4| < Vx̂ - 36, si el conjunto 
solución es: S = (-cc; a] u [ -a/2 ; +oc). hallar “a". 
Resolución:
jx + 2| - [x - 4| < Vx' - 36
Note que: - 36 > O => x > 6 v x < - 6
Entonces:
( x < - 6 A - x - 2 + x - 4 < J x T ^ )
V {x>6 A x + 2 - x + 4< - Ix ^ - 36)
=» (x< -6 A - 6 < Vx^-36) V _____
(x > 6 A 6 < Vx̂ - 36 
=> {X < -6) V (X > 6 A 36 < x̂ - 36)
X < -6 V {X > 6 A (X + 6/2)(x - 6/2 )> 0} 
^ x < - 6 v { x > 6 a x>6V2}
=» x< -6 V x>6V2 
Luego: CS = (—cc; — 6] u {6/2; +oo) 
a = -6
49 . Señale el conjunto solución de la inecuación res­
pecto a la variable x, tal que:
/x - Vx̂ + x + 3 
Resolución:
Del denominador: 0 < x = 0 < x < x - t - x ' + 3 
=> ■íx < Vx + x̂ + 3 
=> Vx-Vx^ + x + 3 < 0 .
Luego, la inecuación se reduce a:
■¡X + + V - x - 2 y > 0 A y > 0
x + / > 0 A y ' - x > 0 A x > 0 A
h + y^ ¡ / ~ x > 2y 
=> (x > -y^ A x < ŷ A X > 0) A
X + / + / - X + 2 i y * - x^ > 4y^
=> O < X < y^ A l y * - < y ‘
=> O < X < ŷ A y* - x̂ < ŷ
= *0 <x< y^ A x^<0=s.x = 0 
CS = {0}
50. Al resolver la inecuación:
,2[X + x‘ + 1 + 2
>0,
(x® + x " - h 2 ) { 9 - x ^ 
hallar el conjunto solución.
Resolución:
Sea: |x| - 1 > O a 9 - > O
« |x| > 1 A x̂ < 9
1 < |x| A |xl < 3 ^ 1 < |x| < 3 
« xe (-3; -1 ] u {1; 3)
51. Deteimine T = a + b del conjunto A definido por: 
A = {x e IR / V xT l + V x ^ < V3x} = 
Resolución:
De A: Vx + 1 + Vx - 1 < V3x 
Como: x 4 - 1 > 0 a x - 1 ^ 0 a 3 x > 0
X > -1 AX> 1 A X > 0
Intersecando: X > 1 ...(a)
(1)^: X + 1 + 2Vx + 1 + Vx - 1 + X - 1 < 3x
De aquí: /{x+ 1)(x- 1) < -| v ^ ^ - 1 < ^ 
Aplicando en lo anterior:
I > 0 a x ' - 1 < ( | ) '
X > O A 4x^ - 4 < x^ 
x > 0 a 3 x ' - 4 < 0 
X > O A (V3x + 2)(V3x-2) < O
O
Intersecando: O < x < - ^
V3
Luego: CS = (a) ri (P)
CS = [ 1 : + « ) n ( 0 ; ^ ) ^ CS = { 1 ; ^ )
Identificando con el dato: 
a = l A b = 2 T = 1 + 2 = 3
-(P )
52. Resolver: x < V1 - 2x , si la solución es:
S = a). Dar el valor deT = (a + 1)̂ .
Resolución:
De V1 - 2x > X, se tiene:
(i) X > O A 1 - 2x > x'
(ii) x < 0 a 1 - 2 x > 0 
De(i);x > O A x̂ -I- 2x < 1
X > O A (x + 1)̂ < 2
x > O a - V 2 < x + 1<V2 
x > 0 A - V 2 - 1 < x < V2-1 
Intersectando S,: O < x < V2 - 1 
De (ii): X < O A x<
Intersectando Sj: x < O 
Luego: S = 8, u S2
=• S = [0; /2 - 1) u (-cc; 0> =» 8 = (-cc; V2 - 1) 
Identificando con el dato: 
a = V2 - 1 « a + 1 = V2 T = (a -i- 1)̂ = 2
53. Al resolver: V2x + 1 - Vx + 8 > 3, se obtiene:
X e (a + bVc ; -hoo) si a; b; c e Z*, calcule el valor 
deM = a + b + c
Resolución:
De V2x+ 1 - VxTa > 3 
Como: 2 x + 1 > 0 a x + 8 > 0
X > A X > - 8
Intersectando: x > -
-.(1)
•(a)
De (1): V2x +"i > 3 + VxT?
Al cuadrado: 2x + 1 > 9 -1- 6VxT8 -1- x -1- 8 
De aquí: VxTS < b
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x - 1 6 > O A X + 8 < 16
6 ^ \ 6 
X > 16 A 36x + 288 < - 32x + 256
X > 16 A - 68x - 32 > o
^ X = 34 + 6^33
X > 16 A ( X < 34 - 6/33 v x > 34 + 6 ^ ) 
Intersectando: X > 34 + 6/33 ...(p)
Luego, la solución se obtiene: (a) n (p):
=» x > 34 + 6 /33
identificando con ei dato: a = 34; b = 6; c = 33 
a + b + c = 73
54. Si {a - 1)" = a(a + 1)"” calcule x en:
"Jax + 1 + "/ix _ 3 
”/ax + 1 - "/ix
Resolución:
"/ax + 1 + "/ix a 
1De
Ala n:
"/ax + 1 - "/ix 
ax + 1 {a + 1)"
Del dato: {a - 1)" = a 
a + 1
( a - i r 
(3 + i r
2"/ax~+ 1 _ a + 1 
2"/ix a - 1
...(a)
De aquí:
a
En {a):
ax + 1 a + 1
a+1
a + 1)"
(a-1)"
=, ax + 1 = ax + Xax a
55. Resolver la inecuación: /̂x̂ - 7 < x - 1 
Resolución:
De: Vx ̂- 7 < x - 1
Elevamos al cubo:
x̂ - 7 < x̂ - 3x̂ + 3x - 1
De aquí: x̂ = x - 2 < O
^ (x + 1)(x - 2 ) < 0 => - 1 < x < 2
■••CS = (-1;2)
56. Resolver: Vx ̂- 3x ̂+ 5x - 6 < x - 2 
Resolución:
De /̂x̂ - 3x ̂+ 5x - 6 < x - 2 
Elevamos al cubo:
x̂ - 3x̂ + 5x - 6 < x̂ - 6x ̂+ 12x - 8 
De aquí: 3x̂ - 7x + 2 < O
X ^ ^ ^ - 2
(3x - 1)(x - 2 ) < 0 « - ^ < x < 2
X = 1
••• cs = (^ ;2
57. Sea; 
A = X e E/x^ + 2/x^ + 6x > 6(4 - ^
|x + 3 | - 1
hallar :n(A‘̂ n 2)
|x + 3 | - 1
Resolución:
x' + 2/x^ + 6x > 6 (4 - x , ,
> + 3 | - 1
= |x + 3| - 1 O A x̂ + 2/x^ + 6x > 6(4 - x)
= |x + 3| # 1 A x" + 6x + 2/x^ + 6x -24 > O 
=> -2; -4 A x̂ + 6x > O A
( / x '^ + 6 x + 6 ) ( / x % 6 x - 4 ) > 0 
=. X - 2 ; - 4 A x ( x + 6) > O A / x ^ + 6 x - 4 > O
=» { x - 2 ; - 4 A {X < - 6 V x > 0) } A x^ + 6 x > 16
=» {X < - 6 V X > 0} A (X + 8 )(x - 2 ) > O
=> {x < - 6 V X > 0 } A {x < - 8 V X > 2 }
= » x < - 8 v x > 2 
Luego: A = (-oo; - 8 ) u (2; +oo)
A ̂+ Z = (-8; 2] n 2 = {-8; -7; 2}
n(A'̂ + Z) = 11
58. Hallar el conjunto solución de:
|x + 1| + |x - 2| > V|4x^-12x + 8¡
Resolución:
ix - 1| + |x - 2| > VI4x^- 12x + 8|
=> |x - 1| + |x - 2| > 2 j|7 "-^1 |jx-2 l 
Recuerde que:
v a >0 A v b > 0;a + b> 2/ab 
a + b > 2/ab ® a > 0 A b > 0 A a 5¿b 
Luego, como: |x - 1| > O a | x - 2| > O 
Solo queda que: |x - 1| # |x - 2| 
= » x - 1 5 ¿ x - 2 a x - 1 # 2 - x
= » - l 7 ^ - 2 A x # | = ^ x e |
x e E -
59. Si M = {x G E / "Vx^ + / 7 - 1 < |x|}, hallar E* n M' 
Resolución:
M = {x e E / + 17 - ^< |x |}
De la condición, se tiene:
|xp + |xp - 1 < jx| ^ |xp + |x|̂ - tx| - 1 < O 
- (|x|-1)(2|x|^ + |x| + 1)<0 
=» |x| - 1 < O =* jx| < 1 
^ - 1 < x < 1 = M = [-1; 1]
Luego: E’ n = <1; +cc)
60. Si / j r ^ + 8
x - 1 | 
Resolución:
< 2, hallar el conjunto solución S.
/ > r ^ + 8
I X - i l < 2 = > x - 2 > 0 a <2
x > 2 A +B<2{x-^)
x > 2 a / x ^ < 2 x - 1 0
x> 2 a 2 x -1 0 > G a x - 2 < ( 2 x - 10)'
x > 2 A x > 5 A 4 x ^ - 4 1 x + 1 0 2 > 0
X > 5 A (4 x - 1 7 ) ( x - 6 ) > 0
x > 5 a x - 6 > 0 ^ x > 6 S = [6 ; +oo)
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61. Sabiendo que a > O, hallar el intervalo al que per- 
tenece, si; + (1 - 2a)x + a e E, v x e IR
Resolución'.
V X e IR; Vax̂ + (1 - 2 a ) x + ~ a g IR 
* ax^ + (1 - 2 a )x + a > O, x e E 
Como: a > O => (1 - 2 a f - 4a^ < O 
= » a > 0 A l - 4 a < 0
= » a > 0 A a > 4 - = » a > 44 4
62. Hallar el intervalo los valores de x que satisfacen la
r 2 -1 x IIX - 11 Ì
=> a G i 4
M = x e T R I -----— - < 0
i 2 - l x |
siguiente desigualdad:
Resolución:
2x-/x^ - 4 7 x^
J 7 ^ { x - 4 )
2 x V x ^ - 4 - / j r ^
■ i x ^ ( x - 4 )
2 / x ^ ( x - 2 ) 
V x ^ ( x - 4 )
> 1
> 1
X - 2 > O A > 1
x - 4
> O
x - 4
x > 2 a (x < 0 v x > 4 )
(x > 2 a x < 0 ) v (x > 2 v x > 4 )
x e 0 V x > 4 = » x > 4
63. Al resolver.
. (x^ + x + 1 )(lx l-1)
> O
{xV x^+1)(x + 2) 
se obtiene S como conjunto solución: calcular: 
Su [ -1 ; 1]
Resolución:
( X ^ + X + 1 ) ( | x ¡ - 1 ) ^ ^
(x ̂+ x'+1)(x + 2)
Gomo: v x € IB: x̂ + x + 1 > O, también: x̂ + x̂ + 1 > O 
= ^ ^ ^ > 0 - (|x|-1)(x + 2 )> 0 
Usando la propiedad:
a b > 0 =» ( a > O A b > O ) v ( a < 0 A b < 0 ) 
(|xl - 1 > 0 A x + 2 > 0 ) v (|x| - 1 < O A x +2 < 0) 
=» {jxj > 1 A X < -2) V (|x| < 1 A X < -2)
=» {(x > 1 V X < -1 ) A X > -2 } V
{-1 < X < 1 A x < -2} 
= ! ' { - 2 < x < - 1 v x > 1} v x e 0 
Luego: -2 < x < -1 v x > 1 
^ S = {-2 ; -1) u(1; +cc>
Su[ -1 ; 1] = (-2 ; +oo)
64. Luego de resolver: 
mos afirmar que:
1
x + 2
< x + 1
X + 4 x + 4
pode-
Resolución:
1
x + 2 
1
x + 1
x' ' + 4 x + 4 
I x + l j
A x + 2 ^ 0
| x + 2 | ] x + 2 j
Como: X + 2^0 =» l x + 2 [ > 0 
Luego: | x + 2| < | x + 11 A x ^ - 2
=> (2x + 3)(1)<0 A x?t -2 
Pues: |a| < |b| + (a + b){a - b) < O
X < - | A XÍ^-2
xe(-c^ ; - | ) - { - 2 }
65. Sea el conjunto M:
hallar M.
Resolución:
X e IR /-
.2|x| |x-
<0
2-1x1 
Analicemos tres casos: 
.< 0 ..
(X-2)(X + 1) „
=> X < O A > ox + 2
=> X < O A - 1 ± 4 ¿ O x + 2
=> X < O A ( -2 < x< -1)
=> - 2 < x< -1
0 < x < 1 : ^ z W ( lz i í ) < o2 - x
+
=» O < X < 1 A 2L±2L±-2 < o 
2 - x
= > 0 < x < 1 a 2 - x < 0
» 0 < X < 1 A X > 2 = » X £ 0
i z W ( ^ < o
2 - X
(x-2) (x+1) ^
=» X > 1 A -i ------'-<0x - 2
* x > 1 a x 5 ¿ 2 a x + 1 < 0 
= ; r X > 1 A X 5 ¿ 2 a X < - 1 = » X € 0Luego, de los casos:-2 < x < -1 
M = (-2 ; -1 ]
66. Dada la inecuación ||xl + 21 < lx| ,̂ cuya solución es 
de la forma (-co; a] u [b; +co>, hallar a + b.
Resolución:
l{xl + 21 < Ixí̂ « 1x1 + 2 < Ixf
|x^ - |x| - 2 > O 
(1x1 + 1X1x1-2) > O 1x1 - 2 > o
^ )x)>2=»x>2 V x < - 2 
X e (-oo; -2 ] u [2; +co) a = -2 a b = 2
67. Si x e (-3 ; 2] y además se verifica;
x" + 21x1 + 3 > K (K € E)
Encuentre el máximo valor de K.
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Resolución;
Sea f(x) = + 2!x| + 3 = (|xl+ 1 )' + 2
Como: -3 < X < 2
= » 0 < | x | < 3 ^ 3 < (lx| + + 2 < 18
Es decir:
K f (x )
3 18
De ahí, máximo vafor: K = 3
(x + l f (x-7f(x^+k)
68. Resolverla in e c u a c ió n ; ------- r r - 0
{x - l f ( x ^ -x + 3)(x-5)‘
siendo; k > O 
Resolución:
Como > O
<0
( x + l f ( x - 7 f ( x ^ + k)
(x -1)®(x ' -x + 3)(x-8) ‘
' + ’ + ' + ’
CVA:E- {1;8} -.(a)
Reduciendo la inecuación a otra equivalente;
( X + 1)(x - 7 ) < 0 =» - 1 < x < 7 ...(|3)
(a) + (p); CS: ( -1 ;7 ] - {1 }
69. Determinar el conjunto solución S, que cumple: 
|- lx |- 3| + |-|x! - 2| + ||-x| + 1| + l - l - x l - 21 =44. 
Dar como respuesta la suma de los cuadrados de 
los elementos de S.
R e s o lu c ió n :
Como |x| = |-x|, V X € IR 
la ecuación quedará así:
l- jx |- 3i + |-|x| -2| + ||-x| + 11 + i-|x| -2 | = 44. 
Más aún:
||x| + 3| + l|x| +2| + ||x| + 1t + ||x| + 21=44 
^ |x| + 3 + |x| + 2 + |x| + 1 + |x| + 2 = 44 
^ 4|x| + 8 = 44 ^ |x| = 9 
^ X = 9 V X = -9 « CS; {9; -9}
(9)' - (-9 )' = 162
7 0 . Decir el valor de verdad de las siguientes proposi­
ciones:
I. ||a| - lb|| < |a + b|, V a; b g IR
II. |a + b| < |a + b + c|, V a; b e E, V c > O
III. |x - 2| < 3 ^ xe [-1; 5]
Resolución;
I. V x; y e IR; ix + y| < jxl + |y|
Luego: va; b e IR:
]a| = la + b + (-b)j < la + bj + j-b i 
= |a| < (a + b| + lb|
=9 |al - |b| < |a + b| ...(a)
|b| = Ib a + (-a)l < |b + a| + |-a|
=> |b| < |a + b| + |a|
=> - ja + b| < jal - |b| ...(P)
Luego, de (a) y (p):
||a| - |b|| < |a + b| (V)
II, V a; b e E A V c > 0:
a + b < a + b + c =* |a + b| < |a -I- b + c| (F)
III. | x - 2 | < 3 = - 3 < x - 2 < 3
^ -1 < X < 5 (F)
VFF
71. Hallar A = {|6ab - 3| / a + 5b = 2; a; b e IR"} 
Resolución:
A = {16ab - 3| / a + 5b > 2 a a, b e IR"} 
a; b e IR'" =» a + 5b > 2 V5ab 
2 > 2/5ab = V5ab< 1 
O < a b < 1/5 =» O < 6ab <6/5 
- 3 < 6ab - 3< “ 9/5 
= 9/5 < |6ab - 3| < 3 A = [ 9/5; 3)
72. Hallar el número de soluciones de la ecuación 
i|x' - 1| - 21 = 1/8
Resolución;
=» Ix" - 11 - 2 = 4 V Ix" - 11 - 2 = - 4 
O o
- l X ^ - 1 1 - ^ V |x" -11=
(x"
(x̂ - 1 = V x̂ - 1 = - ^ ) 
(X^ = # V x ' = - I ) V {x" - V - - J )
2 soluciones xgiR 
Hay 4 soluciones
2 so luc iones x € IR
73. La temperatura normal del cuerpo humano es de 
9 8 ,6 °F. Si una temperatura x difiere de la norma! 
por al menos 1,5° es considerada no sana, escriba 
la condición para una temperatura no sana x como 
una desigualdad que involucre valor absoluto, y re­
suelva para x.
Resolución:
1,5 1,5
X 98,6 X
X - 9 8 ,6 > 1,5 V 9 8 ,6 - x > 1,5 
Es decir; Ix - 98,61 ^ 1 . 5
Resolviendo: X > 100.1 v x<97,1
74. Si A es un conjunto definido por:
A= ^ + 1 > J1 -
/> r ^
¿qué se puede afirmar? 
Resolución:
En primer lugar, nótese que; 
8 - x > 0 a x - 5 > 0 a 1 -
=> 8 > x a x > 5 A
x - 4
= > 5 < x < 8 a {x < 4 v x > 7 )
x - 4
x - 4
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