Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (114)

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17. Determine la siguiente suma:
S =
Resolución:
/2 + 1,
1/2 + 1 
■/2 - 1 ' 2 - / 2 ' 2
S =
l 2 - ^ 2 - / 2 2
a, Sj
Se nota que:
1
3; 2 - /2 1
a, /2 + 1 /2(/2 + 1) 2 + / Í
1
/ 2 - 1
£3 ^
a, 1
2 - / 2
2 + /2
1
= q
<0;i;Además: q = ^
2 + /2
^ S = a, + a,q + a,q ̂+ a,q ̂+ ...
/2 + 1
S= r ^ = = (/2 + 1)(2 + /2)1 - q ̂ _ 1
2 + /2
S = 4 + 3/2
18. Indique el menor de 4 números en progresión 
geométrica creciente sabiendo que la suma de sus 
extremos es 140 y la suma de los términos centra­
les es 60.
Resolución:
H 1: tq: tq̂ - tq̂ a q . • 1 a t O (PG creciente) 
t + = 140 =. t(1 + q̂ ) = 140
tq + tq̂ = 60 ^ tq(1 + q) = 60
1 -q + q̂ 7
q 3
Dividiendo:
^ 3q̂ - lOq + 3 = O q = 3 (q :• 1)
Luego: t(1 + 3̂ ) = 140 
t = 5
19. En una progresión geométrica de 6 términos, la 
suma de los términos de lugar par es 1365 y la de 
los de lugar impar es 455. Hallar el primer término 
de la progresión.
Resolución;
H t: tq: tq'; tq': tq^ tq'
Suma de términos de lugar par; 
tq -t- tq̂ + tq̂ = 1365 
= tq(1 + q"+ q") = 1365 ...(a)
Suma de términos de lugar impar: 
t + tq̂ + tq" = 455 
= t(1 + q̂ + q") = 455 
En {a); (q)(455) = 1365 = q = 3 
Luego. t(1 + 3^+3') = 455 
t = 5
r = - I - l = - 5 
2 3 6
20. Dadas las progresiones aritméticas:
3 2 " ' 3 3 6 ...... 2
determine la suma de los elementos de P, que tam­
bién perenecen a Pj.
Resolución:
• D eP ,-fJ ._ I
3 2 " ' 3
Número de tenninos = 39 
Cálculo de su término general: 
a, = a, (x - 1)r
. a . = i + ( x - 1 ) ( - | )
Donde-, x = 1; 2; 3;...; 39
D e P , + _ £ _ 3 1 _ . 4 1 = > r :
3 6 2
Número de términos = 6 
Cálculo de su término general 
a,= + (y - 1)r
- a , = - | + ( y - 1 ) ( - f
Donde; y = 1; 2; 3; 6
Ahora, si; a, a a, pertenecen a ambas progre­
siones. entonces: a, = a,
Efectuando se obtiene:
23y - 5x = 8 
i l
...(a)
23
.,.(P)
Valores que 
verifican
Con esto:
3
26
83 de P, = a, de P2 = - O
32sde p, = ae de P2 = - y
(+)
Suma de ellos: - 131
2 1 . Tres números enteros en PA cumple la siguiente 
relación: la suma de los tres al cuadrado es igual a 
su producto. Determine la suma de estos números. 
Resolución:
Sean los números enteros en PA; 
a - r; a; a + r
Dato: (a - r + a + a + r)̂ = (a - r)(a)(a + r)
= 9â - (a^- r̂ )a
De aquí: - 9a = ..,(1)
= a(a - 9) = > O
= > a (a -9 )> 0 = » a < 0 v a > 9 
Si los lérminos son enteros;
=» a A r G Z
Si; a = 12; en (I); r = 6 v -6
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• Para a = 12 y r= 6; la PAes: 6:12; 18
• Para a = 12 y r = -6 ; la PAes: 18; 12; 6 
En los dos casos: Z de términos = 36
22. Se prepara una cantidad de reserva de comida 
para 31 conejos, sabiendo que estos consumen 
61/2 kg semanales cada uno. Dicha reserva se 
hizo en el supuesto de que el número de animales 
permaneciera fijo, pero cada semana disminuye 
un conejo; la comida reservada duró el doble del 
tiempo previsto. ¿Qué cantidad de comida se pre­
paró?
Resolución:
Supongamos que se prepara comida para t sema­
nas.
Como son 31 conejos que consumen 61/2 kg. se­
manales cada uno, entonces se tiene:
Cantidad de comida que se preparó;
1 3 '(31)(- t ..(I)
Luego, se disminuye un conejo semanal hasta el 
último conejo, la comida durará (2t) semanas (dato)
1 s 2 s 3 s (2 t)s
31c 30 c 29 c Oc
1 + 31 = 2 + 30 = ... = 2t + O = 32 
Donde: t = 16
En (I): comida prep. = 3234 kg.
23. Determine el valor de r, si se define la siguiente 
progresión geométrica; 2; 2 + r; 2 + 2r; ... 
Resolución:
De la PG: 2; (2 + r); (2 + 2r)
Se cumple: (2 + r)' = 2(2 + 2r)
=,4-i-4r-i-H = 4 + 4r =>r ̂= 0 r = 0
24. Se ha interpolado entre 3 y 384 un cierto número 
de medias geométricas, cuya suma es 378. Deter­
mine la razón de interpolación.
Resolución:
Sea la PG de razón q:
H 3 ;..................... ; 384
n ú m e r o d e M G = m
La razón de interpolación no es otra cosa que la 
razón de (a PG.
q =
O también: q™’ ’ ^ 128
Ahora, según fórmula, la suma de todos ios térmi-
nos (S.,,.2) es: .2 = t. - 1
378 + 3 + 387 = 3 q - 1
765
Aqui: 255(q - 1) = 128q - 1 
,-, Resolviendo: q = 2
25. Una progresión geométrica finita tiene n términos. 
Si S es ia suma de sus términos, S' la suma de sus 
recíprocos y P el producto de sus términos, enton­
ces en la expresión P̂ = el valor de x es:
Resolución:
Dada la PG de n términos y razón q:
H t,; ............. ; t„ =» se conoce que;
• Suma de todos los términos:
•(i)
Producto de todos los términos: J í tX J = P 
De aquí; P '= (t,t„)" ,..(11)
Además:
Suma de los recíprocos de todos sus términos;
= .„(III)
t . 'q - 1
(f)y(lll): t A = f
I S \'’Elevamos a la n; (t,t„) -
Multiplicamos por (II); P = 
Con el dato, vemos que: x = n
26. Dado un círculo de radio r, se construye un segun­
do círculo cuyo diámetro sea el radio del anterior, 
un tercero cuyo diámetro sea el radio del segundo 
y así sucesivamente, ¿cuál será la suma de las 
áreas de todos los círculos así formados?
Resolución:
Af = AC, -I- ACj + AC3 + AC4 + ,,
Pero: S, =
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27. Sabiendo que: forman una PA, en4 4 4
ese orden, ¿qué tipo de progresión forman;
2 ? 2 , —=—, —=—, en ese orden?x + y y + 2 2 + x
Resolución:
Si; + ( IV 4 V 4 2 ( 4 \ =
y + z
>4/UA4.
=> 2x = y + 2
Supongamos que la progresión que nos dan sea 
una PG.
Por propiedad de término central;
- 4 -4
(y + z f 
1
(x -z ) (x -y )
 1______
(y + z f x̂ + (y + z)x + yz
Reemplazando: 
1 1 O 1
4x"4x 3x + yz
Como se obtiene una igualdad numérica correcta 
significa que lo supuesto es correcto.
28. A las nueve de la noche terminó una de las se­
siones de un sindicato en huelga y en el tiempo 
que duró la sesión dio el reloj 48 campanadas. ¿A 
qué hora empezó la reunión? El reloj da las horas 
y medias horas.
Resolución:
Lo general de un reloj que da campanadas es que 
a la hora da el mismo número de campanadas que 
la marcada y a la media hora solo una. En función 
a ello:
Asumamos las x horas (inicio de la reunión). 
Luego: x horas dará x campanas
Horas marcadas N.° de campanadas
x X
• 112 hora después 1
(x + 1) ( x + 1 )
• 1/2 hora 1
( + 2 ) (x + 2)
• 1/2 hora 1
(x + n) horas (x + n)
• 1/2 horas después 1
Donde: x + n = 9 (datô
Además:
y. número campanadas = 48 (dato)
=> X +(x4-1)+(x+2)+ ... + (x+n) + (1+1 +...+ 1) = 48
Operando;
(x + X +...+ x) + (1 + 2 + 3 +....+ n) + n(1) = 48
“n + 1” veces
n(n+ 1)(n+1)(x) + n = 48
2(n + 1)x + n̂ + 3n = 96 . . . ( I I )
(l)en ( I I ) ; 2(n + 1)(9 - n) + n̂ + 3n = 96 
De aquí: n̂ - 19n + 78 = O
n \ / - 1 3 V
n -6 n" := 6
Reemplazando en (I):
Si: n = 13 =* x = -4 h (no) 
n= 6 =>x = 3h
29. La suma de los 4 primeros términos de lugar impar 
de una PG es a la suma de los restantes como 1 
es a 2. Ademas la suma de todos los 8 términos es 
510, Señale uno de los términos centrales.
Resolucíón:
Sea: h- t,; t,q; t,q'; t,q^ t,q^ t,q'; t,q®; t,q^
Datos; | ^ ^ 2S¡ ...(I)
Sp + S, = Sg = 510 „.(II)
De (1) y (II); S, = 170 a Sp = 340
Pero: Si= r,(1 + q^+q'*+q®) = 170 ...(MI)
Sp = r,q(1 + q"+ q‘ + q®) = 340 ..-(IV)
De (IV) y (III): q = 2
En (111); t, = 2
H 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256
30. Sea la PA + â ; ĉ ; d^ cuya suma de sus térmi­
nos es n. siendo la razón 2n, encontrar el vator de: 
M = a" - d"
Resolución:
Datos: r = 2n
'a ' + d^\
n = 2(a ̂+ d̂ )
De la PA se plantea; d̂ = + 3r
d̂ - â = 3r = 6n =» â - d̂ = -6n 
Nos piden; M = a"* - d̂
M = (â + d')(a' - d') = ^(-6n)
M = -3n '
31. Ei nùmero de lérminos de una progresión aritmé­
tica comprendidos entre 23 y 59 es el doble del 
número de términos comprendidos entre 3 y 23, 
hallar la razón.
Resolución:
- 3 ;...... ; 23; ; 59
X términos 2x términos 
Sea r la razón de la PA (r p- 0), luego:
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a„ = a, + (n - 1)r
2 3 = a , . 2 = a , + ( x + 1 )r = 3 + (X + 1 ) r
=> 20 = (X + 1)r ,.,(1)
59 = 83, * 3 = a, + (3x + 2)r = 3 + (3x + 2)r
^ 56 = (3x + 2)r
Dividiendo (I) entre (II): 56 3x + 2
^ 15x + 10 = 14x + 14 « X = 4 
r = 4
32. Si en una progresión geométrica: 
Resolución:
en una PG: t, = ¿ ; t, =
Siendo: t, ?!= O aq O (razón)
Se sabe que: t„ = t,q" ” '
También; t„ = t„q"''''
5̂ - 2 - ^ = -L(q= 1280 20'^
q = 1
Luego: t; - t̂ q" ' ^ ¿
t, g
33. Entre 4 y 18 se han interpolado m medios aritméti­
cos, entre 10 y 24 se han interpolado m + 2 medios
aritméticos de manera que: — = ^ . Si r, y r̂ son las
razones de ia primera y segunda progresión arit­
mética, hallar la suma del número total de términos 
que hay en las dos progresiones.
Resolución;
^ 4 ; ...... ; 18 (razón r,) ,,.(1)
m m e d io s a r itm é t ic o s
+ 10;...... ; 24 (razón ..(II)
(m + 2 ) m e d io s a r itm é t ic o s
De (I); 18 = a„.2 = a, + (m + 1)r,
18 = 4 + (m + 1)r, => (m + 1)r, = 14 
De (II): 24 = am,̂ 4 = a, + (m + 3)t2 
24 = 10 + (m + 3)t2 =» (m + 3)t2 = 14 
De (I) y (II): (m + 1)r, = (m + 3)r2
m + 1
m = 6m+ 1 7
La primera tiene: m + 2 = 8 términos 
La segunda tiene: m + 4 = 10 términos 
n,° de términos = 18
34. Sean: a„=1 + 2 + 3+ ,,, + n 
S„ = a, + 02 + 83+
Si; m = 101, calcular S„.
Resolución;
a„ = 1 + 2 + 3+ , + n = 
S„ = a, + a, + a, + â + -,
n(n + 1) 
2
+ a„
S„,= X a , = £
k(k+ 1)
Pero: =
k - 1 ' k = 1 k = 1
m(m + 1)(2m + 1)
Z k =
m(m + 1)
k = 1
Reemplazando:
^ S,. =
m(m + 1)(2m + 1) m(m + 1)
m(m + 1)(m + 2)
2
m = 101
S,n, = 176 851
35. Diana no pudiendo cancelar una deuda de S/. 12 950, 
le propone a su acreedor pagarle del siguiente 
modo: S/,600 al final del primer mes y cada mes 
siguiente S/.50 más que el anterior ¿Cuál será el 
importe del último pago?
Resolución:
Datos: S = 12 950; a, = 600; r = 50
Como: S„ = [2a, + (n - 1)r]^
(n -1 )50 ]^ n = 14Luego: 12 950 = [2(600) -t 
Como: a„ = a, + (n - 1)r 
^ a„ = 600 + (14 - 1)50 => a„ = 1250 
El importe del último pago es; S/,1250
36. La suma de los tres primeros términos de una PA 
es 65, la suma de los tres últimos es 307 y la suma 
de todos los términos es 3100. ¿Cuántos términos 
tiene la PA?
Resolución:
De los datos:
a, + aj + 83 = 65
a„ + a„ _ 1 + a„ ̂= 307
(a, + a„) + (a„ _, + 82) + (â _ 2 + a3) = 372 
3(a„ + a,) = 372 
a„ + a, = 124 
a. + a,\ /124Dato; Ŝ = 
n = 50
n = 3100 n = 3100
37. Un peón debe llevar una carretilla de arena al pie 
de cada uno de los 30 árboles que están al lado de 
una calzada; los árboles están a 8 m de distancia 
y el montón de arena está a 10 m antes del primer 
árbol, ¿Cuánto habrá recorrido después de haber 
terminado su trabajo y vuelto la can-etilla al montón 
de arena?
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