Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (123)

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Resolución;
X + y < a
- X + y < a
- X - y < a 
X - y < a
-O )
,..(11)
...(III)
...(IV)
Nótese que el sistema anterior es equivalente a:
lx| + ly| < a
Donde: a e E ' y cuya gráfica es:
Si S es el área de la región sombreada: 
S = 2a ̂ = 32 . . 3 = 4
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
PROBLEMA 1 (tN I 2 0 1 2 - II)
Cuál de las alternativas es la función cuadrática í, cuyo 
gráfico se muestra a continuación, sabiendo que Xq + 
y l = 34.
A) x" - 6x + 2 B) x^ + 6x + 2
C)2x^ - 6x + 2 D) 2x^ - 12x + 2
E )2x^ + 12x + 2
Resolución;
Sea ía función cuadrática:
F(x) = px' + qx + 2; (0; 2) e F
Vértice; F Í--H- 
2 q ’ ' ^ l 2q
- - 1 = 3 
2p
q = -6p
Dato: (Xo + ŷ )̂ - 2xoyo = 34
(6) ̂- 2 ( ^ ) =34 
F(x) = 2x ̂- 12x + 2
p = 2 A q = -12
Clave: D
PROBLEMA 2 (UNI 2 0 1 2 - II)
Respecto a la función f: A —»• E, tal que: 
f(x) = A A = (2; + ^ )
Indique la secuencia correcta, después de determinar si 
!a proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. fesinyectiva
II. fes sobreyectiva
III. r existe, donde f* indica la inversa de f
A) W V 
D) FFV
Resolución;
B)VFV 
E) FFF
C) VFF
11
f es inyectiva 
Ranf = (3; +oo) =» 
=> r no existe 
I-V ; II-F; I I I -F
x - 2 
f no es sobreyectiva
Clave: C
PROBLEMA 3 (UNI 2 0 1 3 - 1)
Sea f; E —► E una función, tal que f(x) ̂ O, para todo x e E, 
y sea a e E 
Si f satisface:
|a - 2|(f(x))^ - a^f(x) < f(x)), para todo x g E.
Determine el conjunto de todos los valores de "a” que 
garantizan que la función f sea acotada.
C )E \{2 }A) {2} 
D )E \{4 }
B ){4}
E)E
ja - 2|f(x) < â + 1
Resolución:
I. Para: f(x) > O 
la - 21f(x) - a" < 1
II. Para: f(x) < O
|a - 2|f(x) - â > -1 = |a - 2|f(x) > - 1
= - 1 < [a - 2|f(x) <a^ + ^
â
f es acotada, v A g E \ {2}
Clave; C
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PROBLEMA 4 (lilMI 2013 - 1)
Sean f, g y h funciones reales de variable real.
Dadas las siguientes proposiciones; 
f. h o ( f+ g } = f io f + h o g
II. Si Dom(f) = Dom(g) = IR, entonces Dom(f o g) = IR
III. (f o g) o h = f o (g o h)
Señale la alternativa que presenta la secuencia correc­
ta después de determinar si la proposición es verdade­
ra (V) o falsa (F).
A) W V B) VFV C) FW
D)FVF E)FFF
Resolución;
I. La función compuesta no verifica la propiedad dis­
tributiva. (F)
II. Dom(f o g): X e Dg A g{x) e Df
E n IR = IR (V)
III; (f o g) o h = f o (g o h); la función compuesta verifi­
ca la propiedad asociativa. (V)
Clave:C
PROBLfMA 5 (UMI 2 0 1 3 • I)
Dada la gráfica de la función cuadrática f, halle el valor 
de X(„ sabiendo que f tiene el coeficiente del término de 
mayor grado igual a uno.
A) 1/4
D) 1 E) 3/2
Resolución:
La función cuadrática: f(x) = a(x - Xo)̂ Xq 
Se sabe que a = 1 a (0; 2) e f
^ f(0) = 2; f ( 0 ) - x ^ + X o -2 
Reemplazando: xg + Xq = - 2 = O 
(Xo + 2){Xo - 1) = O 
Del gráfico: Xq > O =» x̂ = 1
Clave: D
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■ ■O P R O B L E M A S PROPUESTOS o
1. Hallar el rango de la función: f(x) = - 3
A ) [3 ;+o c ) B ) [ - 3 ; 0 ) C) ( -3;+3=)
D) [0: +co) E} (—oc; +3o)
2. Determinar el rango de la función F, donde; 
f: E-^IR/y = F(x) = x̂ + 4x + 7; x e ( -5 ;4 ]
A) [12; 39] B ) [2 ;11] C) [3; 39]
D)<12; 39] E){12; 39)
3. Determinar el máximo valor de la función: 
f(x) = -x'* + 6x ̂ - 4; en el intervalo [ - 1 ; 1]
A) -4 
D)7
8)3
E)5
C)1
4. Si el dominio de la función:
f(x) = ’/e - Vx“* - 10x ̂+ 25x'^ es Ja; b] u [c; d]
calcular: a + b + c + d
A) 6 
D)9
8)7 
E) 10
C ) 8
5. Si A = (1;2; 3) A B = {2; 4; 6}
expresar por extensión la relación R, de A en B, 
definida asi: R = {(x; y) g A x B/ y = 2x}
A )R -{(1 ;2 ) , (2:4)}
B)R = {{0;1), (2; 4), (3; 5)}
C)R = {(1;2), {2; 4), (3; 6))
D)R = {(1;2), (2; 4), (4; 8)}
E)R = «2;4), (1;6)>
6. Hallar el rango de la función;
y = F(x) = jsenxl + senx; O < x < 360°
A )(-1 ;1 ) B )[-1 ;0 ] C)[1;2]
D) (0; 2] E) (0; 2]
7. Dada la función F, definida así:
I, F(x) > 0; V X e DJ
F(x + y) = 1
F(x) F(y)
calcular: ]^F(k) J]F(2k)
k=1 k - 1
A) 3" 
D)1
B) 5" 
E)2
C) T
8. Dada la función: F(x) = 2x ̂+ 3x + 2: x e E
donde; Ran(F) = [ 
Calcular "a".
A) 6 
D)9
a + 1; +«)
B)7
E)10
C)8
9. Sea la función polinomial f(x); IR—*3R
f(x) = X® - 3x'* + 3x ̂- 12; encontrar su dominio, si 
su rango es [-12; 16)
A) [1 ; +x) 
D) (-1 ; 4)
B )(-16 ; 12) 
E )(-4 ; 1]
C )(-2 ; 2)
10. Sea (a fur^ción; F = ((x; y) e IR̂ / y =
x ̂+ 9
Se sabe que su rango es: (a; b], hallar; 9b + a
A) 2 
D)0
B)1
E ) 4
C)3
11. Sea:f(x) = -(x - 1)̂ + 2, si;
A(x) = bf(x) / (1 - x). con b > O y f{x + b) = f(x). 
hallar en qué intervalo se encuentra A(x), cuando: 
O < X < 1
A) (-6 ; 7) 
D )(0; 4)
B )(2; 4) 
E)(1;4)
C)(0: 1)
12. Indicar verdadero o falso, sabiendo que f(x) = 3x
I. Si; lx-11 ^0,1 11{x)-3¡ < 0,3
II. Si: |f(x)| = 3 => x e { - 1 o 1}
IH. Si; lf(x) - 31 < 0,6 ^ lx-11 < 0,1
C) VFVA) V W 
D) W F
B) VFF 
E) FW
13. Sea la función; f: (1; +oo> —*• IN, tal que f(x) es el 
número de primos menores o iguales a x.
' <letern,ir,arf(g(4)).
A) O 
D) 13/5
B)1
E)3
C) 17/7
14. Sean las funciones;
f(x) = x̂ - -/x^- 1 A g{x) = 1 + Vx^- 1
Sea A ei dominio de {f + g) y B el rango de (f + g).
determinar A u B, 
A)m
D) [0; +oc)
B )(-1 ; 1) 
E)[1; +CC)
15. Hallar el rango de: F{x) = | - ^ [ ( x - 1)̂ + 2|x|].
A )E - [-1 ; 1]
D) (-:c ; 0)
B ){-1 ; 1)
E ) ( - 1 ; +oc)
1 6 . C a lc u la r la s u m a d e e le m e n to s d e l ra n g o de:
F(x) =
lx "+ 1
siendo: (Ixll = n « n < x < n + 1 ;n c E
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17. Sea fuña función definida por: 
f(x) = e’ + ln|xl; x e ir
determinar los signos de la función en los puntos; 
1 . 1x= -100 ; X = -
A) + - - +
D) - + + -
1 0 0 ’ 100
18. Sea; h(t) =
B) + + - -
E) + - + +
t > 0
t< 0
: X = 100; son;
C) - + + +
Si definimos. g(t) = h(t + 2) 
se cumple que;
t< 1
h{t - 2). entonces,
A)g(t) =
B) g(t)
C) g(t) =
0
1 
O
0
1 
o
0
1 
o
o
D) g(t) = \ 1 
o 
o
E) g(t) = ■! 1 
o
1 < 1 < 2 
t > 2
t< 1 
1< t < 2
t> 2
t < 1
1 < t< 2
t> 2
t < -2 
-2 < t < 2 
t> 2
t < - 2
- 2 < t < 2
t> 2
19. Sea: F(x + 3) = F(x) + F(3)
además: F(0) = 0; F{3) ^ 0; x e IR
Señala el valor de las siguientes proposiciones;
I. f(3) = -F (-3 ) II. 3F(6) = 6F(3)
III ^ = 9 F(3)
A) VFV 
D) V W
B)VFF
E )F W
C) W F
20. Sea F, una función lineal, tal que:
F(x+y) = F(x) + f(y); F(3) = 6.
dicha función lineal, geométricamente, representa
una linea recta. Determinar la pendiente de dicha
recta.
A )-1
D)2
B)1
E)3
C) -2
21. Sea F = {(x; x ' - 2)/Dom f = (-2 ; 2]} 
hallar la suma de los elementos del rango de F.
A ) -2 B )-1 C)0
D)1 E)2
22. Si la intersección del dominio y rango de la siguien-
te función:
F(x} = 1 0 X + 5
2x + 4
es: IR - {a; b}, hallar el valor de ab.
A) 10 
D)5
B) -5 
E) 10
Á l g e b r a ■ 5 3 9 
0 - 1
23. Sean las funciones:
F(x) = x ^ -4 x + 8 A G {x)=m x-1 
calcular la suma de los valores de m en valor abso­
luto para que la gráfica de las funciones se corten 
en un punto (interpretar geométricamente).
A)8 8 )9 C)10
D ) 1 1 E ) 1 2
24. Esbozar la gráfica de la función:
F(x) = |x|x - 3x
A). B).
O)
25. Sea F una función real de variable real, tal que; 
F(x^) - F(y") + 2x + 1 = F(x + y) F(x - y) 
hallar el valor de F(-0,009).
A) 0,119 B) 0.919 C) 0,091
D) 0,999 E) 0,991
26. Sea F una función lineal, tal que F(10) = 11 y 
F(50) = 15. Calcular el valor de: J = F(3) + F(7)
A) 30 
D)23
B)28
E)21
C) 25
27. Calcular el área de la región encerrada por la gráfi­
ca de las funciones:
F(x)= X + 2; G(x) = ^ y el eje de las abs-
A) 40 
D) 10
B) 30 
E)5
C)20
28. Sea F una función de proporcionalidad, tal que; 
F(0,1) + F(0,2) + F(1.7) = 0,02 
h a l l a r e l v a l o r d e F ( 0 , 0 1 ) .
A) 10-
D) lo ­
fi) 10-
E) 10-
C) 10-
29. Sea la función: F(x) = - 4x ; 3x c {-3 ; 15)
Si Ran(F) = [a: b). hallar el valor de 2a + 3b.
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A) 7 
D) -4
B)4
E) -7
C) -2
y I H
30. Si [a; bj es el rango de la función: F{x) = - ,
x*̂ -!- 3
determinare! valor de: a ' + b
A) -8 
D)4
8) -4 
E)8
C) -2
31. Conrespecto a la siguiente función:
F(x) = 3 +
determinar el Dom(F) n Ran(F).
A )í-4 ;71 B) 1-4; 31 C)[4;7]
D) [3; 4] E) [3; 7]
32. Dado el siguiente gráfico:
calcular la suma de los elementos enteros del 
Domf n Ranf.
A) 2 B)3 C)4 D)5 E)9
33. Si el conjunto:
F = {(1; a^), (1; a+ 2), (2; a '+ 1), (a; 3 a + 1)} 
nos representa a una función, hallar la suma de los 
elementos del rango.
A) 20 
D )-1
B) 10 
E) -5
C)3
34. Sea el conjunto;
F = {(1;5), (2; 6), (3; 8), (4; 12). (x; 10)}
Calcular la suma de los valores que no admite x 
para que F nos represente a una función.
A) 3 B)5 C) 10 D)13 E)18
35. Indica cuáles de los siguientes conjuntos:
F = {(X - y; xy) / x, y g E}
^ - 4x + 4 12 - xj)/ X e IR}
H = {{t ̂+ 2; t + 3) / 1 € IR} 
nos representan a una función,
A) Solo F B) Solo G C) Solo H
D) F y G E) G y H
36. Dado el siguiente diagrama sagital:
í A2 í ̂ - 2
3 -^
calcular el valor de: E =
A) 9 
D) 1/3
B)3 
E) 1/9
C)1
37. Calcular la suma de los elementos enteros del do­
minio de la siguiente función:
F(x) = + — L -
TsT x x - 7
A) 6 B)13 C)14
D) 19 E)26
38. Determinar el domiriio máximo de la siguiente 
función: F(x) = i^ -V x + 2
A) l-1 ;2 ]
D) (4; +oc)
B)10;2}
E) (2; +oc)
39. Determine el rango de F(x) = x + ^ 
sabiendo que Domf = IR' a b e E “".
A)(2-/b; + ^ ) B)(2-íb; +=o)
C )[2 /2 b ; +3c) D) [ - 2 ^ ; +ac>
E )[-2 7 b ;2 /b ]
40. Sean las funciones:
F(x) = 2x^ - X - 1 
G(x) = -x^ -H 3x + 1
Si Ran(F) n Ran(G) = (a; b], hallar el valor de; 
2a + b
A ) -2 B )-1 C)0 D)1 E)2
41. Dadas las funciones;
F; E - * E /y = F(x) = |x" - 6x| + (x - 3| + x; x e [x; 3] 
G: E E /y = G(x) = x|x| - 6; x e (-2 : 4] 
determinar el rango de; F + G
A)(0;3) B)[0;3] C )[-3;15J
D )(-3 ;3 ] E )[-3 ;3 ]
42. Sean;
F = {(-1 ;1 ), (2; 0), (1 ;-1 ), (5 ;-1 ), (3; 1)}
G = {(3; 0), (5;4),(1;0), (-1 ;2 )}
hallar el número de valores distintos para "y", si:
'F^G'
G 
A) 2
(x) = y 
8)3 0 4 D)5 E)1
43. Sea la función lineal f, E E cuya regla de corres­
pondencia es:
f(x) = (ax̂ - 3ax + a - 2| + ax ̂ - ax + 3
indicar los valores del parámetro real a, que defi­
nen completamente la función f,
A) a e (0; 8/5) B) a 6(1; 5/3)
C )a e ( -8 /5 :1) D)aGlR
E )a c { -8/5; 0)
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