Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (125)

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Logaritmos
Jo h n N apier. b a ró n d e M erch is ton , 
l la m a d o ta m b ié n N e p e r o N epair, 
n a c ió e n E d im b u rg o ( 1550) y m u ­
rió e l 4 d e ab ril d e 1617. Fue un 
m a te m á t ic o e sc o c é s re c o n o c id o 
p o r se r e l p r im e ro e n d e fin ir los 
lo g a r itm o s . T am b ién h izo c o m ú n 
e l u so d e l p u n to d e c im a l e n las 
o p e ra c io n e s a ritm é tic a s , Jo h n 
N a p ie r n o fu e a la e sc u e la h a s ta 
c u m p lir lo s 14 a ñ o s , p e ro n o p e r­
m a n e c ió m u c h o tie m p o e n ella, 
p u e s se c re e q u e la a b a n d o n ó 
y v ia jó p o r E u ro p a c o n tin e n ta l 
p a ra c o n tin u a r su s e stu d io s.
De reg re so a M erch is to n e n I5 7 i. 
c o n tr a jo m a tr im o n io a i a ñ o si­
g u ie n te , a d m in is tra n d o a p a rtir 
d e e n to n c e s los b ie n e s d e la fa­
m ilia p o r e n c a rg o d e su p a d re , al 
tie m p o q u e c o n tin u a b a su s e s tu ­
d io s d e m a te m á tic a s y teo lo g ia .
En 1614. N a p ie r p u b lic a su o b ra Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. cjusque usas in utro- 
que Trigonometría: utetiarn in omni logística mathematica, amplissimi. faciUimi. et expeditissimi 
expHcatio. e n la q u e d a a c o n o c e r lo s lo g a r itm o s q u e éi lla m ó « n ú m ero s artificiales». M erced a 
e s to s n ú m e ro s , las m u ltip lic a c io n e s p u e d e n su s titu irse p o r su m a s , las d iv is io n es p o r restas, las 
p o te n c ia s p o r p ro d u c to s y las ra íc e s p o r d iv is iones, lo q u e n o so lo s im p lificó e n o rm e m e n te la 
re a liz a c ió n m a n u a l d e lo s c á lc u lo s m a te m á tic o s , s in o q u e p e rm itió rea liza r o tro s q u e sin su in ­
v e n c ió n n o h a b r ía n s id o posib les.
F u en te : W ib iped la
tscocia, Í55D - Escocia, ffi/7
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<4 DEFINICIÓN
El logaritmo de un número real positivo en una base 
positiva (diferente de la unidad) se define como el ex­
ponente al cual hay que elevar a la expresión llamada 
base para que nos reproduzca el número dado. Así:
I— número 
l09t,N = X =» N = b'
I— logaritmo 
 base
Así: 125 = 5̂ ^ log5l25 = 3
32 = 2® ^ log232 = 5
81 = 3̂ ̂ logjSI = 4
Ejemplos:
1. Calcular x en: logssS = x + 3 
Resolución;
Aplicando la definición de logaritmo se tendrá;
5 = 25’“ ^
Escribiendo la igualdad en función de la base 5.
5 = (5^)' * ' = 5 = 5^'"®
Luego; 2x + 6 = 1
. . X 2
2. Calcular “x" en: log, .,8 1 = 2 
Resolución:
Aplicando la definición de logaritmo;
81 = (X + 1 ) ' ^ 9 " = (X + 1 ) '
Luego: x + 1 = ±9
Si: X + 1 = 9 =» X = 8 (Si es posible)
Si: X + 1 = -9 => X = -10 (No es posible)
Única solución: x = 8
3. Calcular “x” en logj(x + 3) = 7 
Resolución;
Por la definición de logaritmos se tiene:
X + 3 = 2’ =» x + 3 = 128 
X = 125
4. Calcular “x” en Ioq2X + 3 = 7 
Resolución;
Nótese en la distribución de los elementos con res­
pecto al problema anterior, la diferencia saltante 
es que en este ejercicio no aparece el símbolo de 
agrupación ( ):
iogjX + 3 = 7 -» iog2X = 4 ^ x = 2‘* .•. x = 16
5. Resolver: 3 + [iog,(log3X)] = O 
Resolución;
Trasladando el primer sumando al segundo miem­
bro: log^ílogjx) = -3
Aplicando la definición: x” ̂= logjX
Nuevamente aplicando la definición;
X - 3' ' = 3*'
Elevando a x̂ miembro a miembro:
3 = x*̂ = 3^= (x«’ )'
3̂ = (x^
<•1 IGUALDADES FUNDAMENTALES
De las relaciones iniciales:
log^N = X N = b’’
( I ) ( I I )
Reemplazando (l) en (II):
Primera igualdad fundamentalb'°9bN _ N
Ejemplos:
. 2 '°"2’ = 7 • 3 ' “®3< ̂- ” = ( X + 1 )
Reemplazando (II) en (l):
log^b' = X Segunda igualdad fundamental
Ejemplos:
• log55' = 3 log,..2i(x + 2) ̂= 4
<4 PROPIEDADES GENERALES
1. No existe el logaritmo de los números negativos 
en el campo de los números reales, pero si en los 
complejos.
Io93(-9) = 3 en E- Pero si en C
logt.1 = O
logt,b = 1
4. Logaritmo de un producto:
logt,(AB) = log, A + log, B
Ejemplo:
Ioq35 + log37 + 10932 + loga(x + 1) = log370(x + 1) 
5 - Logaritmo de un cociente;
log^íg) = log^A- log,B
lo g . ( ^ ) - log,A + log,B - log^C - log,D
G. Logaritmo de una potencia: 
Observación: logoN"?í log^N
logt,N" = nlon^N
7. Logaritmo de una raíz:
Cambio de base:
Sea "a" la base desconocida o no conveniente.
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Sea “b" la base conocida o conveniente.
log ̂N = l09t,N
log^a
9. Regia de la cadena 
Consecuencias:
• log.a =
log,a X loQgb = 1
1
• logt,a X log^b x iog^c x log,d = log^a
• log^a X log^c x log,.d x log^e = log,;,e
10. Si a las componentes de un logaritmo (nùmero y 
base) ios elevamos a la misma potencia o le ex­
traemos la misma raíz el valor del logaritmo no se 
altera. Es decir:
logt.N =
log.nN"
loĝ .s "-/Ñ
Ejemplo:
log4l6 = 2
iog42l 6 ̂= logigie^ = 2 
log.q /Te = log24 = 2
11, Si se invierte la base de un logaritmo este cambia 
de signo. Así:
log,N = -Io 9i,N
Ejemplo:
logi 7 + logj4 = ~ \ o g J + \ o g ^ 4 = logjy
12. Propiedad de la permuta: Í1090C >K>9tia
<4 COLOGARITMO (COLOG)
Se define, como el logaritmo de la inversa del número 
dado. Recibe también el nombre de aditivo inverso del 
logaritmo (implica que la suma del logaritmo de un nú­
mero con su respectivo cologaritmo siempre dará como 
resultado cero).
colog^N = lo g ,- = -log^N
Ejemplos:
cologjT = -logj7 
-logzS = cologjS 
logzT - -coloysT
< Í ANTILOGARITMO (ANTILOG)
Se define como el número que da origen al logaritmo. 
Entonces: antilog^x = b
Ejemplo:
antiloQjS = 2̂
irfiü W S IIi—
a n t i l o g b ( l o g t . N ) = N 
log^íantilogi/) = x
Ejemplos:
antilog32 = 3 ̂= 9 
• antilog8(log04) = 4
aníilogjX = 2‘
<4 LOGARITMOS COMO PROGRESIONES
Dadas dos progresiones, una geométrica y otra arit­
mética ambas ilimitadas en ambos sentidos, de modo 
tal que tengan dos términos coincidentes (1 y 0). res­
pectivamente, se define logaritmos como progresiones, 
al logaritmo de un término cualquiera de la PG en una 
base dada, su valor correspondiente de la PA.
• q ^ q ’ ;1 ;q ;q^q^
• -2 r ; -r ; 0; r: 2r
De las dos progresiones es posible establecer que: 
r: razón de la progresión aritmética, 
q: razón de la progresión geométrica.
• log,1 = O • log,q = r
• log.q^ = 2r • log,q’ ' = - r
Tomando como referencia la igualdad:
log^q = r => b ' = q b = '/q
b = “̂ ónPÂ razón de la PG
<4 SISTEMA DE LOGARITMOS
Existen infinitos sistemas de logaritmos y vienen a estar 
expresados por la base a emplear. Siendo los más im­
portantes o más usuales.
Logaritmos decimales, vulgares o de Briggs
Es aquel sistema de logaritmos en la cual la base a 
emplear es el numero 10, siendo su notación:
log,oN = logN
Logaritmos naturales o neperíanos
Es aquel sistema de logaritmos en la cual la base a em­
plear es el número inconmensurable “e" donde 
2 < e < 3; (e = 2,7182). Siendo sus notaciones:
log.N = InN = LN
Ejemplo: loge7 = In7 = L7
conversión de logaritmos decimales en natu­
rales
InN = 2,302{logN)
Conversión de logaritmos naturales en deci* 
males
logN = 0,4343(lnN)
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