Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (136)

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Si X 1 => h 0 
Reemplazando en E:
E - limfi-0
sen5n(1 + h) + cosn(1 + h) •+ 1
_ . 2sen^^ c senSrth 21 -(1 +h)^ E = l l im2 fi-o 5nh h
E = lím
n .0
sen(5n + 5;th) + cos(7t + nh) + 1
1 -(1 +2h + h^)
Como:
sen(5?i + 57ih) = sen(4n + n + 5rth) = -senSüh
c o s ( t i + 7th) = - c o s ith
Reemplazando:
- s e n S n h - c o s n h + 1E = lim
h - O
E = lim 1
-h (h + 2)
-senSnh + 1 - cosnh
0 (h + 2) - h
E = lim 1 lim
-0 (h + 2)f'-o
-senSnh 1 - cosnh
- h - h
E = l l im2ri -0
c SGnSrch
inh
5 , | (m S e ! | !Ü _ i| ín , f,
n-Q 5nn 2 h-o
. 7ih
Tih
2
5n
2
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
PROBLEM/V 1 (UNI 1978)
Una pelota proyecta verticalmente hacia arriba S pies 
del punto de partida. En el instante t (segundos) donde: 
S = 64t - 16t̂
¿Cuál es la màxima altura alcanzada?
A) 64 B)0 0 1 6
D) 32 E) Infinita
Resolución;
Por condición: S = f(t)
Como se quiere calcular una altura màxima en un ins­
tante determinado, calcularemos la primera derivada de 
S con respecto a t. - 321
Para que la altura sea máxima: 64 - 32t = O => t = 2 s 
Reemplazando en la igualdad inicial:
S = 64(2) - 16(2)' .-.S = 64 pies
Clave: A
PROBLEMA 2 (UNI -1 9 8 7 )
Sea:
1 --/x
¿a qué valor se aproxima L, cuando x se aproxima a 1? 
A) 1/2 B )-1 /3 0 - 4 / 3 D)3/4 E )-3/4
Resolución:
Para x = 1, toma la forma: ^ (forma indeterminada) 
Aplicando la regla de L'Hospital-Bernoulli:
| ( 2 x - 1 ) '^ ( 2 ) - lx '^
Evaluando para x = 1 se tendrá:
4
_ 1 3
2
Clave: C
PROBLEMA 3 (UNI 2001 - 1)
Un agricultor quiere levantar una cerca alrededor de un 
terreno rectangular que está ubicado en la ribera de un 
río. usando 1000 m de material, ¿Cuál es el área más 
grande que puede cercar, considerando que no va a 
poner una cerca a lo largo del río?
A) 50 000 m' 
0 )67 500 m'
E) 125 000
Resolución:
Del gráfico:
B) 62 500 m̂
D) 100 000 m'
A(x: y) = xy 
2x -t- y = 1000
Luego: A(x) = x(1000 - 2x)
A(x) = 1 0 0 0 X - 2 x " 
Derivando e igualando a cero: 
A’(x) = 1000 - 4x = 0=> x - 250 
Entonces: A(250) = 1250 000 m'
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PROBLEMA 4 (tN I 2002 - II)
Un avión realiza una maniobra a velocidad supersóni­
ca, según la trayectoria: 2y ̂ - = 48
Hallar la menor distancia de la trayectoria al punto (6; 0)
A) 9 B)8 0 7 D)6 E) 5
Resolución:
Graficando;
(
y
1:2̂ 6
/ (x ; y ) 
1
d
(6; 0 ) 
(0;2V6]
Del gráfico;
d(x; y) = [ ( X - 6) ̂+
Escribiendo en función de una variable: 
d(x) = [ ( X - 6 ) ' + ^ + 24]''= 
d(x) = (3xV2 - 12x + 60)̂ '^
Derivándose e igualando a cero:
(1/2)(3x-12)
d (x) = O => , , ■■■—------------- = O => X = 4
(3x^/2-1 2 x + 6 0 )
Luego: d(4) = 6 =?■ d„,„ = 6
Clave: D
PROBLEMA 3 (UNI 2003 • I)
La población de venados de una región está dada por 
la función: V(t) = - f ’ + 21t ̂+ 100, donde tes el tiempo 
en años. Entonces, el intervalo de tiempo, donde ocurre 
la población máxima de venados es:
A ){0 ;1 ] B )[1 ;2 ] O Í2; 3]
D) L3, 4] E) [4; 5]
Resolución:
De! problema: V(t) = + 21t" + 100; t ^ O
Derivando e igualando a cero:
V’(t) = -4t^ + 42t = O =. t = 0; t = JTÜ2
Luego: t = JTUZ = 3,24 O
Entonces: t = 3,24 e [3; 4]
Clave: D
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P R O B L E M A S PROPUESTOS
1. Calcular; lím
A) e"
D)e-^
2x^
-2x^ + 5/
B)e ® 
E)e-’^
x'’ - 12. Calcular; lím „
x - 1 x ^ - 1
p, q e Z'
A) pq
D )?
3. Calcular: lím
4. Calcular; lím
x - o
A) 5 
D) 1/3
B) pq
p + q
E)1
3 x^ -4 3x + 2
B ) |
«I
sen(5x) 
ln{1 + 4x)
B) 5/2
E)2/5
5. Sí: lím 1 + '/x
+®/x
A) 15
D)5/3
B)3 
E) 10
6. Calcular: lím ÉÍ-±-d 
ax + c
sí; lím (ax + b - ^6x^ - x ̂> = O
C)e^
0 5/4
0 3/5
A) 3
D)4
7. Calcular: lím
X - O
A) 3/2
D) 2/5
8)6 
E) 2/3
Vi + X + - 1
sen(4x)
B) 5/4 
E)7/3
O - 6
O 1/8
8. Calcular: lím _3§enx - x^^ x̂ 
»-0 tanx + 2senx + 5x
A)1 
D) -1
B)2
E) -2
0 3
9. Calcular las constantes “a” y “b", sí: 
lím (ax + b - = 0. Indicar: ab
x"+ 1
10. Calcular: , ¡ m ^ 1 + z ^ - ^ V 1 - 2 z
N i 11 >
2 - 0 z ^ + z
A)1 
D) -2
B) 1/2 
E) 3/2
O -1/2
11. Calcular: lim ■ -̂----
« - i" V x + 1 7 -2
A) 16 B)24 0 32 D) 26 E) 8
12. Calcular: ,¡^ (x+1)ln(1 + x ) - 
x-o e‘ - x - 1
x
A) 2 B) 1 0 3 D) -1 E) -2
13. Calcular; lím + 1 
x ^ -3 x + 2
A) 2 B)3 « 1
0 ) |
14. Calcular: lim 7 7 ^ - V 3 x - 1 4
x - 5
A) 1 B ) - 1 C ) 2
D) - 2 e l
15. Calcular: lím- 2 x - 2
"V26 + X - 3
A) 3 B) 12 C) 27
D)54 E) 18
16. Calcular; lim ’'j'í + 4 ; -X— ce
A ) 1n B) n O m
D )n E) mn
A
17. Calcular: lírn(cosx)’
A ) 1 B) e - ’ O e
D) e ' ^ E )2
18. Calcular; lím-s * - 1
X .0 x
A ) 1 B)2 C) -1
D )e
19. Calcular: lím V ( x + a)(x + b) - x
A) ab B ) a + b
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20. Calcular: lim 
A) 273
J 3 x - 2 + V2x - 3
C) /3
21. En la figura. C es una circunferencia unitaria, cuyo 
centro es el origen de coordenadas, T es la recta 
tangente a C en el punto P y O < x nl2.
Halle lím ^
. OA
A) 1 
D)0 E)4
22. S i:f(x)= Aan^3x + / f ^ 2 x ' , halle: f'(0)
0 2A)1
D)0
B)3
E)4
23. Si g{x) = mx + b, es la ecuación de la recta tangen­
te a la curva de la ecuación: f(x) = sen(ncos^-^x)] 
en el punto de abscisa 1, determine g(0).
A) 71 B )?
24. Dada la función f, definida por: f(x) = 2 x -1
X + 1
halle el limite, cuando h O, de la pendiente de la 
secante, que une los puntos de la cun/a de absci­
sas 1 y 1 + h.
^ > 5
D ) í
c > !
25. Mostrar el equivalente de: lím
A )31/45 
D) 13/5
B) -14/17 
E) 21/13
26. Calcular: lim i /'* + ^ x _ ^ ' 
Wl + 12x - 7
A) 3/5 
D) -1
B) 1/7 
E) 7/18
/ 3/Ì+X + = / Í ^ - 2 ■ 
i "TÍTx + / Í+ x - 2 .
C) 32/45
C) 7/8
27 3 ¡. lim / + '*)(8x + 1)...n factores
- ’- l ( 2 x - 1 ) ^
es igual a 8'®. ¿cuál es el valor de n?
28. Calcular: iim ^ x + x'̂
x ^ - 1
A) 1 
D) 1/3
B) 2 
E) 1/2
0 3
29. Calcular: lím l(2x^ + 5x - 3)( ^ —
‘ - M Ix ' - ^ x - e
A) 1/5 
D) 1
B) 3/5 
E)5/6
30. Calcular: lím «/£±J1 .-o V a - X
A)
D)
31. Calcular: iim
B) "V? 
E)1 
x ̂+ 2
0 7/5
O
A )-1
D)2
O 1
2 x ^ + 1 /
B)0 
E ) 1/4
32. Si: F (x ) = 2x^ - 3x^ + x ̂ + 7x -h 4, calcular el valor 
de F (x ) cuando: x = -1
A) 10 B)0 0 27
D )2 3 E ) 2 9
33. Si: F(x) = 'l2x^ - 3. encontrar: F'(x)
A)
D)
2x
)2 x -3
B)
1
^2x^-3
E)
C) 2x
V2X-3
34. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva: 
y = 3x ̂-4 , que es paralela a la recta: 3x + y = 4
A) 6x + 2y + 9 = O B) 6x - 2y + 9 = O
C) 12x - 4y + 19 = O D) 12x + 4y+ 19 = 0
E) 6x + 4y = O
35. Efectuar:
A) 2/3 
D)9/4
<-o\ 1 4- )eV
B) 3/2 
E)4/9
A) 1 
D)9/4
ln(3 -t- e 
8)2/3
C)1
O 3/2
E)4/9
37. Si: F(x) = 3 , calcular: F’ (2)
A)
10
- l f
B) V̂TO
D) 100^/10 E ) -
30
7 /̂10
O 10^/10
30
38. Calcular: lím[senVx + 2 - sen/x]
A ) - l 
D) 1/2
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c o s ^
39. Calcular: lím------^
« •' 1 - / x
A)1 B) rr O 1/71
D)2/n E)n/2
40. Calcular: llm a” - “ '
■ - 0 X
A) 1 B)2 O ln ( f }
D )ln ( |) E ) ln (f)
41. Calcular:
M = lím 1 - 4 ) , , ( 1 - 4
4^/ ' n"
A) 2 B) 1/3 O 1/4
D) 1/2 E) 1/9
42. Tenemos:
Í5x - 1; X < 1 
.4 - x; X > 1
F(x) =
3 - 2x; X ■- 1 
G(x) = ■ X - 1; X = 1 
4x - 2; X > 1 
calcular: lím(F + G)(x)
A )-1 B)1 0 - 2
43. Si: límx-'(f(x)-1) =
calcular: lím x’ ' [f(mx) -f(nx)]
D) 3 E)5
A) O
D)
B) m + n 
E) m - n
O m‘ - n'̂
44. Determinar la constante ‘a", de modo que la fun­
ción: F(x) = ~ tenga un mínimo en x = 3.
A) 18 
D)20
B) 16 
E)54
O 12
45. Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor 
área y con los lados paralelos a los ejes coorde­
nados que pueden inscribirse en la figura limitada 
por las dos parábolas: 3y = 12 - x'; 6y = x' - 12
Indicar la suma de tales dimensiones (base y altura)
A) 8 B)2
46. Dado el gráfico:
O -2 D)4 E) -4
Determinar ei valor de "a". 
A) 1 B)2 0 4 D)6
47. Dado: F{x) = x^lnx, hallar: f ' “ (1) 
donde: f"(1) es la enésima derivada. 
A)(9n)! B)2(97)! 0 -2 (7 ) !
D) 1(97)! E)96!
48. Un cono recto circular es circunscrito a una esfera 
de radio conocido. Encontrar ia razón de la altura 
al radio de la base del cono del volumen mínimo.
A) /2 
D) /3
49. Dado: g(x) = f(
B) 2/3
:+ 10 2 / 2
si f es diferenciable en E, y
X - 1
f'(-1 )= 2, hallar: g'(0)
A) 4 B )-4 0 3 D )-3 E) O
50. Determinar; g' (0). si: g(x) = {x ̂+ 2x + 3)f(x) 
donde; f{10) = 5; iím ^ = 4
A) 10 B)12
X
O 15 D)20 E)22
51. Dadas las funciones polinomiales f(x) y g(x), don­
de: f(x) = g'(x); V X G E 
Calcular el valor de:
| f (a '+ 1 ) -g {a ^ + 1 ) !- | f (b + 1 )-g (b + 1)| 
donde: a: b e IR a a' b
A) O 
D)ab
B) 1
E)a - b
O -1
1. B 8. A 15. D 22. D 29, C , 36, C 43, E
2. C 9. B 16. A 23. D 30, B 37. E 44. E
3. C 10. B 17. A 24, A 31, B 38, C 45. D
4. C 11. C 18. A 25. C 32. C 39. B 46. B
5. D 12. B 19. B 26. E 33. C 40. D 47. B
6. C 13. C 20. B 27. A 34. D 41, D 48. C
7, C 14. B 21. D 28. D 35. A 42. E 49. 8
50. E
51. A
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