Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina

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/Número de subconjuntos^ 
\ propios de (A n B
2^-1 = 127
56. Hay 3 estaciones de radio A, B y C que pueden 
ser recibidas en una ciudad de 3000 familias. Se 
obtuvo la siguiente información:
• 1800 familias escuchan ta estación A.
• 1700 familias escuchan la estación B.
• 1200 familias escuchan la estación C.
• 1250 familias escuchan la estación A y B.
• 750 familias escuchan la estación A y C.
• 600 familias escuchan la estación ByC.
• 200 familias escuchan la estación A, B y C.
¿Cuál es et número de conjuntos de familias que 
no escuchan a A pero escuchan B o C?.
Resolución:
Haciendo el gráfico:
T = 3000
e + 200 = 1250 => e = 1050
d + 200 = 750 =» d = 550
f + 200 = 600 =» f = 400
a + e + d + 200 = 1800 =» a = <!•
1600
b + e + f + 200 = 1700 =» b = 50 
1450
c + d + f + 200 = 1200 = c = 50 
9 ^
No escuchan a A pero escuchan 8 o C {b, c, f}. 
Nos piden: b + c + f = 500
57. En una reunión se observa que por cada 9 mujeres 
hay 4 varones. Si de cada 10 varones, 7 beben. 
¿Cuántos varones no beben?
Nota: La diferencia de la cantidad de mujeres y va­
rones está comprendida entre 297 y 306.
RMolución:
Tenemos las relaciones en el siguiente gráfico; 
Mujeres t-lombres
14k
6k
Beben 
No beben
(5)x9k (5)x4k
297 < (45 - 20) (k) < 305
4 -
Número entero 
11, ... < k < 12,... =» k = 12 
Varones que no beben; 6 x 12 = 72
58. En una encuesta realizado entre 100 personas, to­
dos los hombres tienen más de 20 años, el gru> 
po hay 50 noujeres, hay 60 personas de más de 20 
años, 25 mujeres casadas, 15 personas casadas 
con más de 20 años de edad y 10 mujeres casa* 
das con más de 20 años. Determinar la cantidad de 
hombres solteros.
Resoiuctón:
-Casados -̂ /̂-Solteros-̂
Hombres
Mujeres
>20
< 2cy 
> 20
< 20
a = 5 b
c = 10 d
e = 15 f
■50
\^1o por dato
50
Por dato: a + b + c + d = 60 
c + e = 25 
Además: c = 10 ^ e = 15 
Como: a + b = 50 .•. b = 45
59. En un autobús viajan 41 pasajeros entre k>s cuales 
se observa que:
• 21 personas están sentadas.
• Hay 16 mujeres en tota).
* De los que están parados, 10 son hombres que 
no fuman.
* De ias 12 miqeres sentadas, 8 TK) fuman. 
¿Cuántos hombres que están parados fuman, sí 
hay 6 mujeres que fuman?
Resoiución:
Total; 41
Sentados Fuman 8
(21) 4
Parados
(20)
6 2
10 2
\^rones(25) Mujeres (16)
60. En un salón de clase se tiene a 25 jóvenes cuyas 
preferencias entre dos cursos (Física o Bioiogia) 
se define así;
* Hay tantos varones morenos que les gusta sólo 
Física como varones que g u s ^ ambos cursos.
* Hay tantos varones blancos que les gustan 
soío Física como varones que les gusta sólo 
biología.
* Hay 7 jóvenes que no les gusta esos cursos.
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Si se elige un soio estudiante, ¿cuál 
iidad de que le guste biología?
la probabi-
Resolucíón:
Morenos Blancos
Dei gráfico:
2(a+ b + c) + 7 = 25 
a + b + c = 9 Pß- a + b + c _ _9_ 
25 25
61. Un dub consta de 78 personas. De eiias 50 juegan 
fútbol, 32 básquet, 23 vóiey, además, 6 practican 
ios 3 deportes y 10 no practican ninguno. SI x es 
el total de personas que practican solo un deporte, 
e y es ei total de personas que practican solo 2 
deportes, calcule x - y
Resolución:
Realizamos el diagrama de Venn-Euler.
U(78)
Luego, sea:
x: totai de personas que practican sólo un deporte 
^ x = a + c + f 
y: total de personas que practican sólo dos de­
portes
=>y = b + d + e 
Del gráfico obtenemos 
a + b + d = 44
+b + c + e 
e + d + f
= 26 
17
a + b + c + d + e + f+ b + d + e = 87
62 y
62 + y = 87 =» y = 25 
Además: a + c + f + b + d + e = 62
X + 25 = 62 =» X = 37
25
X - y =12
62. De un grupo de 100 alumnos se satte lo siguiente:
* 46 no estudian Álgebra.
* 50 no estudian Aritmética.
* 20 no estudian ninguno de estos cursos. 
¿Cuántos estudian Álgebra y Aritmética a la vez?
Resolución:
Como el total de alumnos es 100, además tene­
mos
* 46 no estudian Álgebra 
» 54 estudian Álgebra
* 50 no estudian Aritmética 
^ 50 estudian Aritmética
Graficando tenemos:
U (100)
No estudian ninguno de los cursos
Del gráfico tenemos:
• 54 + a + 20 = 100 =» a = 26
a + x = 50=» 26 + x = 50 =»x = 24 
.-. 24 alumnos estudian Aritmética y Álgebra a la 
vez.
63. Un club deportivo xyz cuenta con 48 jugadores de 
fútbol, 25 jugadores de básquet y 30 jugadores de 
béisbol. Si son en total 68 jugadores y solo 6 figu­
ran en los 3 deportes. ¿Cuántos jugadores juegan 
solo 1 deporte?
Resolución:
Haciendo un diagrama:
48 jug. de fúüjol ^ a + c + y = 42 
25jug. de básquet =» b + x + z = 1 9 
30 jug. de beísiMl => c + y + z = 24 
Sumando: a + b + c + 2(x +y + z) = 85 
68 jug. en total: a + b + c + x + y + z = 62
Restando ei doble de ésta última menos la anterior: 
a -i- b -i- c = 2(62) - 8 5 =»a + b - f c = 39 
Juegan 1 sólo deporte: a + b + c = 39
64. En un salón de 600 alumnos, 100 no estudian in­
glés ni francés y 50 estudian francés e inglés. Si 
450 estudian francés.
¿Cuántos estudian solo inglés?
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Resolución:
Haciendo y llenando el gráfico: 
T = 600
Inglés Francés
50 400
w
100
X + 50 + 400 + 100 = 600 x = 50
65 . En ei salón de dase donde hay 50 alumnos se ob> 
sen/a que: 6 veteranos usan bigotes, y 4 mujeres 
veteranas usan falda; 32 veteranos no usan falda; 
9 mujeres usan fólda y 8 hombres usan bigotes. 
¿Cuántos no veteranos no usan ni bigotes ni falda?
Resolución:
Hadando el gráfico:
T = 50
Por dato: 6 + m = 32=»m = 26 
Luego: 2 + 6 + m + 4 + 5 + x = 50
66. Sean los subconjuntos de R:
E = <a; b>, donde a < b;
A =: {x/x e (E n Q)} Q: racionales 
B = {x/x e (E“ n I)} I: in-acionales. 
Determinar: A® A B®
Resolución:
Haciendo el gráfico:
Q
X = 7
A y
X B
A“ = {x; y; B}
B' = {A; x; y}
A ' a B“ ={A; B } = A u B
67 . En un autobús viajan 32 pasajeros entre perua* 
nos y extranjeros en el cual hay 9 extranjeros de 
sexo femenino, 6 niños extranjeros, 8 extranjeros 
de sexo masculino, 10 niños, 4 niñas extranjeras, 
8 señoras y 7 señores. ¿Cuántas niñas pemanas 
hay en e! autobús?
Resolución:
Haciendo el gráfico:
Hombres Mujeres T = 32
Por dato; b + 6 = 8 ^ b = 2 
Por dato; a + 6 = 1 0 ^ a = 4 
c + 4 = 9 = > c = 5 
c + d = 8 » d = 3 
e + b = 7 = » e = 5 
Hombres + Mujeres = Total 
5 + 2 + 4 + 6 + 3 + 5 + 4 + x = 3 2 
X = 3
68. En una competencia olímpica partidparon 100 
atletas, se realizaron 10 pruebas atléticas y en la 
premiación se nota que:
* 3 ganaron medallas de oro y plata y bronce.
* 5 ganaron medallas de oro y plata.
* 6 ganaron medallas de oro y bronce.
* 4 ganaron medallas de plata y bronce. 
¿Cuántos atletas no ganaron medaHas? 
Resoiución:
=» x + 2 + 2 + 6 + 4 + 4 = 100 
X = 82
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PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
PROBLEMA 1 ( tN I 2002 • I)
Sean los conjuntos; A = {x = (r/s) / r, s e Z, con 
1 < r < 3 y 0 < s < 3 } ; B = { x e E / 1 < x < 2 } 
Calcular: A u B
C) [1;2>A) (1:2)
D)[1;2]
B)(1;2] 
E ) [2; 3)
Resolución:
Como r, s e Z, se tiene: 1 < r < 3 » r = 2 ; 0 < s < 3 
s = 1; s = 2 
Luego; A = {1:2}
Además; B = (1; 2)
Uniendo: A u B = [1; 2)
Clave; D
PROBIfMA 2 (UNI 2004 • II)
Sea X un conjunto no vacio y R c P(X) un subconjunto 
no vacío del conjunto potencia de X, R es un anillo de 
conjuntos sí para cualquier par de elementos A y 6 se 
cumple:
A u B € IB y A / B e m 
Si R es un anillo de conjuntos, indique el valor de ver­
dad de las siguientes afirmaciones;
I . A A B e E I I . A n B e E M I.0eIB
C) W VA) VFF
D) W F
B)FVF 
E) VFV
Resolución:
I. Verdadero;
A A B = (A u B) \ (A n B) = (A \ B) u (B \ A) 
Como(BuA)e lE y B \ A e E, entonces;
A \B y B \ A e l R =» (AnB)elR
II. Verdadero;
A A B = (A u B) \ (A n B) G E A (A u B) G E 
=» A n B e E
III. Verdadero:
0 6 E, el vacío es subconjunto de todo conjunto no 
vacío.
Clave: C
PROBLEMA 3 (UNI 2007 • i)
Dados los conjuntos A; B y C en U.
Simplifique la expresión; [A a (B A C) A [C A 8*̂ 1
A)A^ B)B'= OC'"
D)A E)B
Resolución:
Sabemos que si:
M, N y P e U
=» M AN = (MnN'=)U(NnM=) ...(1)
M A N ' = (M A ...(2)
Luego:
[A A (B A C)J A [C A B'=] == [A A (B A C)] A [C A B]'̂de (2)
= {[A A (B A C)j A (C A B]}'^ de (2) 
= {Aa [ (BaC)a(CaB) ] } ^
= {A A = A'̂
Clave; A
PROBLEMA 4 (UNI 2010 - 1)
En un colegio el 60% aprot>ó Aritmética, el 32% aprobó 
Álgebra y los que aprobaron Aritmética y Álgebra re­
presentan el 60% de los que no aprobaron ninguno de 
los dos cursos. Si 42 aprobaron Aritmética y Álgebra, 
calcule el número de alumnos del colegio.
C) 360A) 340
D) 370
B) 350 
E) 380
Resolución;
Sea M; número total de alumnos del colegio:
Por dato: 42 = 60%(8%M + 42) M = 350
Clave: B
PROBLEMA 5 ( tN I 2010 • II)
Dados los conjuntos
A = {{a,; 3;) e / (a,; a )̂ e [3; 4] x [4; 5]} y 
B = ({b,; b2> G E^/ bf + b| < 1}
Si se define: A + B = {a - i -b /aGA, EeB} 
Determine el área de A + B
A) 1 + 71 B) 2 + 71 C) 3 + 71
D) 5 + n E) 6 + n
Resolución:
Tenemos que;
A = {(a,; a,) g E ' / (a,; a )̂ g [3; 4;] x [4; 5]}
1 2 3 4
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B = {{b i b2) e ® ^ / b ? + b | < 1}
X
- 1
- 1
La gráfica de A + B cuyos elementos tienen la forma 
(a, + b,; 82 + bj) viene dada por:
Figura forrrtada por 5 
cuadractos de lado 1 y 
4 cuartos de círculo.
1 2 3 4 5
Área de A + B = 1(5) + 4 ^ = 5 + n
Clave: D
PROBl£MA 6 (UNI 2012 - 1)
Se sabe que un conjunto de n elementos tiene 2" sub­
conjuntos, la intersección de P y Q tiene 128 subcon­
juntos, la diferencia de P respecto de Q tiene 64 sub­
conjuntos. El producto cartesiano P x Q presenta 182 
pares. Luego podemos afirmar que el número de ele­
mentos de Q\P es:
A) 5
D)8
8)6
E)9
0 7
Resolución:
Tama: Conjuntos
P n Q =» 128 = 2 ̂ =* n(P n Q) = 7 
P - Q =» 64 = 2® = n(P - Q) = 6 
P X Q =» 182 =» n(P) X n(Q) = 182 
De (I) y (II): n(P) = 13 
De (II) y (lll): n(Q) = 14
n(Q - P) = 7 n(Q\P) = 7
•••(0
...(II)
...(lll)
Clave: 0
PROBUMA 7 (UNI 2012 • II)
Sean A, 8 conjuntos del mismo universo U. Señale la 
alternativa que presenta la secuencia correcta des­
pués de determinar si la proposición es verdadera (V) 
o falsa (F).
I. Card (A u B) = Card{A) + Card(B) - Card (A n B)
Card(P(AnB) 
Donde P(A) es el conjunto potencia de A.
III. SI Card (A n B) = O entonces A = o B = 1̂
A) V W B) W F C) VFF
D)FFV E)FFF
Resolución:
Conjuntos
I. V (A; B) c U: n(A u 8) = n(A) + n(B) - n(A n B) (V)
II. v (A ;B )c U :2 '’‘*'-'®V2'’‘*̂ + 2'^®'-2^*"®^ (F)
III. S i :AnB =4 i
=» Los conjuntos son disjuntos, pero no r>ece$ana- 
mente nulos (F)
VFF
Clave: O
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