Clase 2 3 Prof Moreno Conceptos Básicos Análisis Dimensional

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TURBOMÁQUINAS TÉRMICAS
CT-3412CT-3412
2-Conceptos básicos 3 – Análisis dimensional
Prof. Nathaly Moreno Salas
Ing. Victor Trejo
Contenido
� Definición de análisis dimensional
� Utilidad del análisis dimensional
� Teorema Π de Buckingham
� Similitud
� Análisis dimensional en las turbomáquinas� Análisis dimensional en las turbomáquinas
� Escalamiento geométrico
� Similitud en las turbomáquinas
� Números adimensionales empleados en TMT
� Introducción a los mapas de operación
� Resumen
Definición de análisis dimensional
� El análisis dimensional es un procedimiento formal a través 
del cual un grupo de variables involucradas en una situación 
física es reducido a un número más pequeño de grupos 
adimensionales.
“I have often been impressed by the scanty attention paid
even by original workers in physics to the great principle of 
similitude. It happens not infrequently that results in the form
of “laws” are put forward as novelties on the basis of 
elaborate experiments, which might have been predicted a 
priori after a few minutes of consideration.”
Lord Rayleigh
Fuentes: Fluid mechanics and thermodynamics of turbomachinery – Dixon S. Hall C.
The principle of similitude – Lord Rayleigh
Utilidad del análisis dimensional
� En general el análisis dimensional permite en cálculo 
sencillo del comportamiento de un sistema, de sus 
pérdidas y procesos de transformación de energía 
conociendo las características de sistemas similares, 
por ejemplo sistemas con:por ejemplo sistemas con:
� Otras dimensiones
� Régimen de operación diferente
(velocidad, velocidad angular)
� Otro fluido de trabajo
� Diferentes condiciones de entrada
Fuente: Presentaciones de la asignatura Fundamentos de las turbomáquinas térmicas de la universidad de Stuttgart
Prueba en túnel de viento de modelo a escala de la aeronove X-48C
Similitud
� El concepto de similitud se refiere a relaciones 
derivadas del análisis dimensional empleadas para 
validar la experimentación sobre modelos y para 
obtener información de estas pruebas.
� Tipos de similitud:
Geométrica: Longitudes proporcionales (L =kL )� Geométrica: Longitudes proporcionales (Lp=kLm)
� Cinemática: Dirección de velocidad igual, magnitudes 
proporcionales
� Dinámica: Fuerzas viscosas, de fricción, de presión 
proporcionales
� Termodinámica: Cambios de estado (cocientes de 
temperatura, de presión, etc.) proporcionales. Mismo 
exponente politrópico.
Fuente: Dimensional Analysis – Gibbings J.C.
Teorema Π de Buckingham
� El análisis dimensional permite expresar un fenómeno físico en el cual las 
variables involucradas Q1, Q2, Q3,…, QN que pueden ser expresadas en 
términos de k cantidades físicas fundamentales y regido por una ecuación 
general de la forma:
en términos de un grupo de números adimensionales Π1, Π2, Π3,…, Πp, es decir, 
0),...,,,( 321 =nQQQQf
en términos de un grupo de números adimensionales Π1, Π2, Π3,…, Πp, es decir, 
puede ser expresado de la siguiente forma:
El teorema Π de Buckingham establece que la cantidad de números 
adimensionales necesarios p es la diferencia entre el número de variables n y 
el número de cantidades físicas k
Este teorema permite hallar el grupo de números adimensionales involucrados en 
el fenómeno de interés aun sin conocer las ecuaciones que lo rigen. No dice 
nada sobre el orden de importancia de estas cantidades
0),...,,,( 321 =ΠΠΠΠ pf
knp −=
Fuente: Dimensional Analysis – Gibbings J.C.
Análisis dimensional en las turbomáquinas (1/3)
� El análisis dimensional ha sido fundamental en la 
comprensión del comportamiento general de las 
turbomáquinas.
Fuentes: Fluid mechanics and thermodynamics of turbomachinery – Dixon S. Hall C.
Turbomachinery performance Analysis – Lewis R.
Presentaciones de la asignatura Fundamentos de las turbomáquinas térmicas de la 
Universidad de Stuttgart
Tipos de 
flujo según 
presencia 
de 
turbulencia
Análisis dimensional en las turbomáquinas (2/3)
� Emplear análisis dimensional permite:
� Predecir el desempeño de un prototipo a través de experimentación 
sobre un modelo a escala.
� Determinar el tipo de máquina mas apropiado sobre la base de 
máxima eficiencia, carga, velocidad y flujo másico.
Escalamiento geométrico
Curva de máxima eficiencia de una familia de bombas o ventiladores en función de parámetros adimensionales
Análisis dimensional en las turbomáquinas (3/3)
� Emplear análisis dimensional permite:
� Al diseñador disponer de un marco para unificar el proceso de 
diseño de una turbomáquina vinculando las condiciones de 
operación (flujo, trabajo) con los triángulos de velocidad y el 
diseño aerodinámico.
� Representar información (de operación o experimental) de forma 
condensada.
Mapa de operación de un compresor
Mapa de operación de una turbina
Triángulos de velocidad en
el rotor de una turbina
Escalamiento geométrico (1/2)
� Uno de los usos más extendidos del análisis dimensional 
es la experimentación sobre modelos a escala. Las 
consecuencias del escalamiento geométrico sobre las 
magnitudes físicas son:
� Velocidades y ángulos iguales� Velocidades y ángulos iguales
� Superficie: 
� Volumen:
� Flujo volumétrico: 
� Peso:
� Igual número de Mach (si las condiciones de referencia son 
iguales)
mp AkA 2=
mp VkV 3=
mp VkVAcV &&& 2=⇒=
mp PesokPeso 3=
Fuente: Presentaciones de la asignatura Fundamentos de las turbomáquinas térmicas de la universidad de Stuttgart
Escalamiento geométrico (2/2)
� Trabajar sobre un modelo 
reducido permite el 
perfeccionamiento del 
prototipo final y una 
reducción de costos 
importante en la importante en la 
experimentación gracias a 
la disminución de espacio 
requerido, de materiales y 
en particular de flujo 
másico (menos uso de 
combustible en caso de 
turbinas y menor consumo 
de energía en caso de 
compresores)
Modelo de turbina a vapor de baja presión reducido
en un factor de 4,2 en un banco de prueba en la 
Universidad de Stuttgart
Similitud en las turbomáquinas (1/4)
� En el estudio de las turbomáquinas térmicas 
aparecen los siguientes números adimensionales en 
distintas formas:
� Número de Euler: Fuerzas de presión/fuerzas viscosas Número de Euler: Fuerzas de presión/fuerzas viscosas 
(da una idea del trabajo trasmitido, presente como 
factor de carga)
Fuente: Presentaciones de la asignatura Fundamentos de las turbomáquinas térmicas de la universidad de Stuttgart
Retrato de Leonhard Euler,
matemático y físico suizo
(1707-1783)
Similitud en las turbomáquinas (2/4)
� Número de Reynolds: Fuerzas inerciales/fuerzas 
viscosas (da una idea de la importancia de las fuerzas 
viscosas en el proceso)
Retrato de Osborne Reynolds,
ingeniero y físico irlandés
(1842-1912)
Similitud en las turbomáquinas (3/4)
� Número de Mach: Velocidad del fluido/velocidad del 
sonido (da una idea de la importancia de los efectos de 
la compresibilidad del fluido en el proceso)
Retrato de Ernst Mach,
físico y filósofo austriaco
(1838-1916)
Similitud en las turbomáquinas (4/4)
� Número de Strouhal: Velocidad/Frecuencia*longitud (da 
una idea del flujo másico, presenta en la forma de factor 
de flujo)
Retrato de Vincent Strouhal,
físico checo
(1850-1922)
Números adimensionales empleados en las TMT (1/13)
� El propósito de las turbomáquinas es la transferencia de 
energía desde o hacia el fluido de trabajo. Por esto es de 
especial interés conocer:
� el trabajo específico que es posible transferir ∆h0s,
� la tasa de transferencia de trabajo, es decir, la potencia P� la tasa de transferencia de trabajo, es decir, la potencia P
� y la eficiencia con la que se realiza la transformación energética η
Proceso de compresión (izquierda) y de expansión (derecha)
El diagrama h-s ofrece 
un medio de inspección 
del trabajo específico 
(diferencia de entalpía 
total) y de la eficiencia 
(diferencia de 
entropía)
Números adimensionales empleados en las TMT (2/13)
� Estas 3 variables o parámetros de desempeño (trabajo 
especifico, potencia y eficiencia) dependen de otras variablescomo:
� las propiedades del fluido y la cantidad de fluido
� y las características de la máquina (geometría, velocidad de giro, etc.)� y las características de la máquina (geometría, velocidad de giro, etc.)
),,,,,,(,, 01010 γρµη amDNfPh s &=∆
La velocidad del sonido 
a01 y la densidad total 
ρ01 se eligen a la entrada 
de la máquina como 
magnitudes de referencia 
ya que éstas varían 
durante el proceso.sespecífico calores de ecoeficient:
entrada de scondicione a sonido del velocidad:
entrada de scondicione a totaldensidad:
másico flujo:
máquina la de ticacaracterís longitud:
máquina la de giro de velocidad:
d viscosida:
01
01
γ
ρ
µ
a
m
D
N
&
Fuente: Fluid mechanics and thermodynamics of turbomachinery – Dixon S. Hall C.
Números adimensionales empleados en las TMT (3/13)
� Aplicar el teorema Π de Buckingham permite hallar 
los grupos adimensionales de variables relevantes 
en el análisis global de las turbomáquinas térmicas:




=∆ γ
µ
ρ
ρρ
η ,,,,,
2
01
35322
0
a
NDND
ND
m
f
DN
P
DN
h s &
� Se ha reducido el grupo de 8 variables 
dimensionales (η y eran ya adimensionales) a 5 
números adimensionales. Estos números suelen ser 
reformulados de forma más conveniente en función 
de variables fácilmente medibles…




= γ
µρρ
η ,,,,,
01
3
01
53
01
22 aND
f
DNDN
γ
Fuente: Fluid mechanics and thermodynamics of turbomachinery – Dixon S. Hall C.
Números adimensionales empleados en las TMT (4/13)
� Una suposición común en las TMT es que el fluido de 
trabajo se comporta como un gas ideal. La siguiente 
reformulación de los números adimensionales emplea 
esta suposición.
� puede ser interpretado como número de Mach del 
álabe (ND es proporcional a la velocidad del álabe). 
Reescribiendo la velocidad del sonido para gas ideal 
se obtiene:
Fuente: Fluid mechanics and thermodynamics of turbomachinery – Dixon S. Hall C.






=∆ γ
µ
ρ
ρρ
η ,,,,,
01
2
01
3
01
53
01
22
0
a
NDND
ND
m
f
DN
P
DN
h s &
01a
ND
01RT
ND
γ
Números adimensionales empleados en las TMT (5/13)
� Nótese que tiene dimensiones de velocidad por 
longitud y que es proporcional a la velocidad del 
álabe U.






=∆ γ
µ
ρ
ρρ
η ,,,,,
01
2
01
3
01
53
01
22
0
a
NDND
ND
m
f
DN
P
DN
h s &
2ND
ND
álabe U.
� Ahora es fácilmente reconocible como el número de 
Reynolds. 
� Las TMT suelen girar a altas velocidades, por lo que 
los efectos viscosos suelen ser despreciables
µ
ρ
µ
ρ UDND 01
2
01 ∝
Re01 =
µ
ρ UD
Fuente: Fluid mechanics and thermodynamics of turbomachinery – Dixon S. Hall C.
Números adimensionales empleados en las TMT (6/13)
� Si observamos el denominador, identificamos el producto ND 
también contenido en el número de Mach. Si multiplicamos y 






=∆ γ
µ
ρ
ρρ
η ,,,,,
01
2
01
3
01
53
01
22
0
a
NDND
ND
m
f
DN
P
DN
h s &
también contenido en el número de Mach. Si multiplicamos y 
dividimos el denominador por tenemos ahora la presencia 
de Mach y lo podemos eliminar porque ya está contemplado 
en el estudio:
01a
2
0101
2
0101
01
2
0101
01
012
01
3
01 Da
m
MaDa
m
a
ND
Da
m
a
a
NDD
m
ND
m
ρρ
ρρ
ρ
&&&&& ≈=






=






=
Números adimensionales empleados en las TMT (7/13)
� Ahora pueden ser reescritos de la siguiente forma con la 
suposición de gas ideal: 






=∆ γ
µ
ρ
ρρ
η ,,,,,
01
2
01
3
01
53
01
22
0
a
NDND
ND
m
f
DN
P
DN
h s &
0101 y aρ
p
� Sustituyendo y reordenando:
� A este número se le conoce como factor de flujo:
0101 RTa γ=
01
01
01 RT
p=ρ
γγρ 2
01
01
2
01
01
01
2
0101 Dp
RTm
DRT
RT
p
m
Da
m &&& ==
γ2
01
01
Dp
RTm&=Φ
Números adimensionales empleados en las TMT (8/13)
� Al inspeccionar este grupo adimensional notamos que el 
denominador se parece al del factor de flujo. Si además 
expresamos la potencia como (gas ideal):






=∆ γ
µ
ρ
ρρ
η ,,,,,
01
2
01
3
01
53
01
22
0
a
NDND
ND
m
f
DN
P
DN
h s &
expresamos la potencia como (gas ideal):
� Y ahora podemos eliminar el factor de flujo porque ya está entre 
los grupos adimensionales obtenidos. Si ahora multiplicamos y 
dividimos por el cuadrado de a01, obtenemos:
TCpmP ∆= &
223
01
53
01
53
01 DN
TCp
ND
m
DN
TCpm
DN
P ∆=∆=
ρρρ
&&
2
01
0
22
01
0
22
2
01
2
01
2
01
22
0 1
a
TCp
Maa
TCp
DN
a
a
a
DN
TCp ∆=∆=∆
Números adimensionales empleados en las TMT (9/13)
� Nuevamente podemos eliminar al número de Mach. Al expresar la 
velocidad del sonido en función de la temperatura, tenemos:






=∆ γ
µ
ρ
ρρ
η ,,,,,
01
2
01
3
01
53
01
22
0
a
NDND
ND
m
f
DN
P
DN
h s &
TCpTCp ∆=∆
� El calor específico, la constante R y el cociente de calores 
específicos están relacionados mediante
� Al emplear esta relación obtenemos finalmente una expresión 
conveniente para el factor de potencia:
01
0
2
01
0
RT
TCp
a
TCp
γ
∆=∆
1−
=
γ
γR
Cp
γ2
01
01
Dp
RTm&=Φ
Números adimensionales empleados en las TMT (10/13)
� Revisemos primero el numerador del factor de 
carga. Para un gas ideal tenemos las dos siguientes 






=∆ γ
µ
ρ
ρρ
η ,,,,,
01
2
01
3
01
53
01
22
0
a
NDND
ND
m
f
DN
P
DN
h s &
carga. Para un gas ideal tenemos las dos siguientes 
relaciones:
� Si tomamos T01 como factor común y sustituimos el 
cociente de temperaturas resultante por el cociente 
de presión, tenemos:
( )
γ
γ 1
01
02
01
02
01020 y 
−






=





−=∆
p
p
T
T
TTCph s
ss










−





=





−=∆
−
11
1
01
02
01
01
02
010
γ
γ
p
p
CpT
T
T
CpTh s
s
Números adimensionales empleados en las TMT (11/13)
� Veamos el cociente completo. Reemplazando ahora 
en el denominador el cuadrado de ND por el 






=∆ γ
µ
ρ
ρρ
η ,,,,,
01
2
01
3
01
53
01
22
0
a
NDND
ND
m
f
DN
P
DN
h s &
en el denominador el cuadrado de ND por el 
cuadrado de la velocidad del sonido y 
expresándola en función de la temperatura (gas 
ideal):










−





=










−





=∆
−−
11
1
01
02
1
01
02
01
01
22
0
γ
γ
γ
γ
γγ p
p
R
Cp
p
p
RT
CpT
DN
h s
Números adimensionales empleados en las TMT (12/13)
� Recordando nuevamente que , podemos sustituir 
Cp y obtener una expresión más conveniente del factor 






=∆ γ
µ
ρ
ρρ
η ,,,,,
01
2
01
3
01
53
01
22
0
a
NDND
ND
m
f
DN
P
DN
h s &
1−
=
γ
γR
Cp
Cp y obtener una expresión más conveniente del factor 
de carga:
� Éste es un resultado importante porque expresa el 
trabajo específico isentrópico como función del fluido 
(cociente de calores específico) y del cociente de 
presiones totales. 










−





−
=∆
−
1
1
1
1
01
02
22
0
γ
γ
γ p
p
DN
h s
Números adimensionales empleados en las TMT (13/13)
� Gracias a este desarrollo podemos expresar los grupos adimensionales de 
esta forma:
( ) 







=
−
∆










−





−
−
γ
γγγ
η
γ
γ
γ
,Re,,
1
,,1
1
1
01
2
01
01
01
0
1
01
02
RT
ND
Dp
RTm
f
T
T
p
p &
� Usando sólo la suposición de gas ideal se logró expresar los números 
adimensionales obtenidos a través del teorema Π de Buckingham en 
función de las temperaturas y presiones de estancamiento de entrada y 
salida, variables fácilmente medibles en una turbomáquina.
� Es práctica común eliminar el cociente de calores específicos cuando se 
trabaja con el mismo fluido y la longitud característica D cuando se trabaja 
con la misma máquina, llegándose a expresiones más sencillas de estos 
números. El número de Reynolds es frecuentemente eliminado del análisis 
(altas velocidades).




 01010101
Resumen
� En esta presentación se hizo una breve revisión de 
los conceptos básicos del análisis dimensional y se 
describieronlos beneficios de su uso.
� En el ámbito de las turbomáquinas térmicas se hizo 
énfasis en las aplicaciones del análisis dimensional énfasis en las aplicaciones del análisis dimensional 
en el escalamiento geométrico y en la condensación 
de información en los mapas de operación.
� Los beneficios del análisis dimensional en el diseño 
de equipos serán mostrados a lo largo del curso al 
introducir otros conceptos importantes en el diseño.