U5 pp 122 ecuaciones segundo grado

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Ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado1 2 o ecuación cuadrática de una
variable es una ecuación que tiene la expresión general:
Ecuación de segundo grado
donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático
(distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este
polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función
cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil,
porque las abscisas de las intersecciones o punto de tangencia de esta
gráfica, en el caso de existir, con el eje X son las raíces reales de la
ecuación. Si la parábola no corta el eje X las raíces son números
complejos, corresponden a un discriminante negativo.
Historia
Soluciones de la ecuación de segundo grado
Naturaleza de las raíces según el discriminante
Coeficiente principal uno en la ecuación completa
Ecuaciones incompletas
Sin término independiente
Sin término lineal
Completa con coeficiente lineal par
Completa reducida con coeficiente lineal par
Ecuación bicuadrada
Ecuación bicuadrada simétrica
Ecuación bicuadrada antisimétrica
Relaciones de raíces y coeficientes
Relación entre la fórmula general y la proporción
áurea
Ecuación trinomia de grado par
Véase también
Referencias
Enlaces externos
Índice
Historia
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Eje_de_las_abscisas
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Ecuaci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica.svg
Las ecuaciones de segundo grado y su solución de las ecuaciones se conocen desde la antigüedad. En Babilonia se conocieron
algoritmos para resolverla. Fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto
de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método sólo proporcionaba una de las
soluciones, incluso en el caso de que las dos soluciones sean positivas). La primera solución completa la desarrolló el matemático
Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otras grafías), en el siglo IX en su trabajo Compendio de cálculo por reintegración y
comparación, cerrando con ello un problema que se había perseguido durante siglos. Basándose en el trabajo de Al-Juarismi, el
matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas ecuaciones.[cita requerida] Hay
que esperar a Évariste Galois para conseguir resolver en general las ecuaciones polinómicas, o saber cuándo son irresolubles por
radicales, que viene a ser una generalización de los métodos de resolución de las ecuaciones de segundo grado.
La primera gran dificultad pudo surgir en la solución de ecuaciones cuadráticas se dio con la ecuación en la época de
los pitagóricos, al calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 ya que no se podía expresar la raíz cuadrada de dos
como razón de dos números enteros.3 
En el Renacimiento al resolver que requiere hallar un número real cuyo cuadrado sea -1, se superó con la
construcción de números imaginarios y la invención de la unidad imaginaria i, definida mediante la igualdad .4 5 
Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas,
llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces
deben ser complejas conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces:
Se usa ± para indicar las dos soluciones:
y
Soluciones de la ecuación de segundo grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_(%C3%A1lgebra)
https://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuaciones
https://es.wikipedia.org/wiki/Babilonia
https://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo
https://es.wikipedia.org/wiki/Grecia
https://es.wikipedia.org/wiki/Diofanto_de_Alejandr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Al-Juarismi
https://es.wikipedia.org/wiki/Compendio_de_c%C3%A1lculo_por_reintegraci%C3%B3n_y_comparaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Abraham_bar_Hiyya
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Liber_embadorum&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Verificabilidad
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_de_una_funci%C3%B3n
Deducción de la solución
La deducción de la fórmula cuadrática proviene de la fórmula de completar el
cuadrado:
La ecuación canónica de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el
coeficiente principal, de forma que
Para simplificar la demostración, se asume que y :
Desde la ecuación
Pasando el término a la derecha:
Sumando a ambos lados de la ecuación para completar cuadrados:
Simplificamos el primer miembro a un binomio cuadrado
Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros
Aislando y simplificando la fracción de la raíz
Simplificando a común denominador
si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado
La demostración sin cambio de variables se puede ver aquí:
Partimos de nuestra ecuación simplificada:
https://es.wikipedia.org/wiki/Completar_el_cuadrado
https://es.wikipedia.org/wiki/Cambio_de_variable
Pasamos al otro término :
Sumamos para obtener un binomio desarrollado:
El trinomio a la izquierda es un cuadrado perfecto; simplificando a común
denominador el segundo miembro:
Extrayendo las 2 posibles raíces cuadradas, obtenemos:
Moviendo y aplicando la raíz al denominador:
Simplificando a común denominador:
El discriminante es y sirve para analizar la naturaleza de las raíces que pueden ser reales o complejas.6 
Ejemplo del signo del discriminante:
■ : dos raíces reales distintas. la parábola corta el eje de las
abscisas en dos puntos diferentes.
■ : una raíz real, pero de multiplicidad dos o doble. La parábola
solo toca en un único punto al eje de las abscisas.
■ : dos raíces complejas conjugadas. La parábola no corta al eje
de las abscisas.
Naturaleza de las raíces según el discriminante
https://es.wikipedia.org/wiki/Discriminante
https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Quadratic_equation_discriminant.png
donde i es la unidad imaginaria.
Cuando el término principal o cuadrático no tiene el coeficiente expreso, se sobreentiende que es 1, la ecuación se escribe: 
 7 , cuyas raíces son:
Son de la forma:
cuyas raíces son:
esto es:
Son de la forma , cuyas raíces son reales opuestos o imaginarios puros opuestos.
Si las raíces son reales: o 
Si las raíces son imaginarias puras: o 
En este caso aparece como coeficiente del término de primer grado un número par 2m y la ecuación es
Coeficiente principal uno en la ecuación completa
Ecuaciones incompletas
Sin término independiente
Sin término lineal
Completa con coeficiente lineal par
https://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_imaginaria
, siendo las raíces
En este caso el coeficiente principal es 1; el coeficiente lineal es par y asume la forma
cuyas raíces son
Éstas son un caso particular de la ecuación de cuarto grado. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencias. Su forma
polinómica es:
Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable 
Con lo que queda: El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la
fórmula:
Al deshacer el cambio de variable aparecen las cuatro soluciones:
Una ecuación bicuadrada simétrica asume la forma:8 
Completa reducida con coeficiente lineal par
Ecuación bicuadrada
Ecuación bicuadrada simétrica
Ecuación bicuadrada antisimétrica
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_cuarto_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Cambio_de_variableCuando el primer coeficiente y el término independiente son opuestos9 
Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raíces , podemos construir el binomio a partir de estas con:
De lo que se deduce:
Suma de raíces
Demostración a partir de Cardano Vieta
Partiendo de igualar los términos del mismo grado
Se despeja la suma y se divide por x
Producto de raíces
Demostración a partir de Cardano Vieta
Partiendo de igualar los términos del mismo grado
Se despeja el producto de raíces:
Observación:
Relaciones de raíces y coeficientes
https://es.wikipedia.org/wiki/Relaciones_de_Cardano-Vieta
https://es.wikipedia.org/wiki/Relaciones_de_Cardano-Vieta
Desarrollando los binomios:
Donde finalmente queda:
En el caso de la ecuación se tiene
10 
solo en la solución real, si en la fórmula general el valor de las variables es el siguiente o se presenta el siguiente caso en que:
entonces la fórmula general dará como resultado el número áureo
Es una ecuación de la forma:
donde usualmente:
, 
Para resolver se hace la sustitución: de lo siguiente
 
con lo que resulta la ecuación original como:
Relación entre la fórmula general y la proporción áurea
Ecuación trinomia de grado par
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo
Finalmente de:
se hallan los valores de "x" mediante:
con seguridad, en el campo de los números complejos, hay "2m" raíces.11 
Completar el cuadrado
Función cuadrática
Ecuación de primer grado
Ecuación de tercer grado
Ecuación de cuarto grado
Ecuación de quinto grado
Ecuación de sexto grado
Ecuación de séptimo grado
Ecuación de octavo grado
1. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Ecuación cuadrática» (http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Qua
dratic_equation&oldid=14167), Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104
2. Weisstein, Eric W. «Ecuación cuadrática» (http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html). En Weisstein,
Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
3. Hoffmann. Historia de la matemática
4. Birkhoff- Mac Lane. Álgebra moderna
5. Otto Bekken. Una breve historia del álgebra
6. Kúrosch: Ecuaciones algebraicas de grado arbitrario, Editorial Mir, Moscú, varias ediciones
7. Al trinomio del primer miembro, Birkhoff lo llama trinomio mónico
8. Tsipkin, A.G. (1985). Manual de matemáticas para la enseñanza media. Moscú: Mir.
9. Tsipkin: Op. cit.
10. Hall-Knight: álgebra superior Uteha, Méxixo /1982
11. Adaptación de Álgebra superior de G. M. Bruño
 Wikilibros alberga un libro o manual sobre Ecuación cuadrática.
Ecuaciones de segundo grado y bicuadradas (http://www.ematematicas.net/ecsegundogrado.php). Ejercicios de
matemáticas.
Ecuaciones cuadráticas (http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas.html). Disfruta
las matemáticas, Pierce, Rod.
La ecuación de segundo grado, en descartes.cnice.mec.es (http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/
Ecuacion_de_segundo_grado/index.htm)
Vídeo explicativo de la ecuación cuadrática (http://audiovisuales.uned.ac.cr/mediateca/videos/146/ecuación-cuad
rática-(ecuaciones-de-segundo-grado))
Calculadora Ecuación de segundo grado (http://www.elektro-energetika.cz/calculations/kvadrov.php?language=e
spanol)
Véase también
Referencias
Enlaces externos
https://es.wikipedia.org/wiki/Completar_el_cuadrado
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_primer_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_cuarto_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_quinto_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_sexto_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_s%C3%A9ptimo_grado
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_octavo_grado
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Quadratic_equation&oldid=14167
https://es.wikipedia.org/wiki/Encyclopaedia_of_Mathematics
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-1556080104
https://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html
https://es.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Research
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikilibros
https://es.wikibooks.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica
http://www.ematematicas.net/ecsegundogrado.php
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas.html
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Ecuacion_de_segundo_grado/index.htm
http://audiovisuales.uned.ac.cr/mediateca/videos/146/ecuaci%C3%B3n-cuadr%C3%A1tica-(ecuaciones-de-segundo-grado)
http://www.elektro-energetika.cz/calculations/kvadrov.php?language=espanol
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