Resolução de Equações Racionais

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Sección	6.4	Resolución	de	ecuaciones	racionales		 399
.31.21
15.
16.
17.
18. Despeja a de . 
19. Despeja r de .x =
4
1 - r
1
a
-
1
b
=
1
c
x = 1 +
12
x
m - 7
m - 11
=
4
m - 11
3x - 1
7
=
-x + 9
2
y-2 + 7y-1
7y-3 + y-4
5
x
-
8
x2
6 -
1
x
3.
4.
5.
7.
8.
9.
10.
11.
9 +
a
b
3 - c
b
4
2x2 + 5x - 12
-
3
x2 - 16
10
3x2
 y
+
a
6xy3
5x
x - 5
-
25
x - 5
x2 - 5x - 7
x2 - x - 30
+
3x2 + 19
x2 - 4x - 12
.
4a2 + 4a + 1
4a2 + 6a - 2a - 3
,
2a2 - 17a - 9
(2a + 3)2
x2 + 4x - 21
x2 - 5x - 6
# x2 - 2x - 24
x2 + 11x + 28
11a + 11b
3
,
a3 + b3
15b
x2 + 9x + 20
2x2 + 5x - 12
.
h(x) =
2x + 13
x3 - 25x
.
2x
x 2
5
14
Actividad de grupo
 101. Construye una ecuación que no pueda tener como solución 
4 o ] 2. Explica cómo determinaste tu respuesta.
 102. Construye una ecuación que contenga la suma de dos expresio-
nes racionales en la variable x cuya solución sea el conjunto de 
los números reales. Explica cómo determinaste tu respuesta.
 103. Construye una ecuación en la que la variable x que con-
tenga la suma de dos expresiones racionales cuya solución 
sea el conjunto de los números reales excepto el 0. Explica 
cómo determinaste tu respuesta.
 104. Longitud focal Una lente con una longitud focal de 80 mm 
se utiliza para enfocar una imagen y fotografiarla con una 
cámara. La distancia máxima permitida entre la lente y la 
película plana es de 120 mm.
 a) Miembro 1 del grupo: determina a que distancia debe 
estar la lente respecto de la película, si el objeto que 
será fotografiado está a 10 metros de distancia.
 b) Miembro 2 del grupo: repite el inciso a) para una distan-
cia de 3 metros.
 c) Miembro 3 del grupo: repite el inciso a) para una distan-
cia de 1 metro.
 d) Determinen de manera individual cuál es la distancia 
más corta a la que debe estar un objeto para poder foto-
grafiarlo claramente.
 e) Comparen sus respuestas para ver si parecen razonables 
y consistentes.
Ejercicios de repaso acumulados
[2.5] 105. Resuelve la desigualdad ]1 # 5 ] 2x # 7.
[3.4] 106. Determina la pendiente y la intersección con el eje y 
de la gráfica de la ecuación 3(y  4)  (x  2).
[5.1] 107. Simplifica 3x2y  4xy  2y2  (3xy  6y2  9x). 
 
[5.8] 108. Jardinería Se colocará un pasillo de ancho uniforme
 alrededor del jardín de Jessyca Nino Aquino. El jar-
dín y el pasillo juntos cubren un área de 320 pies cua-
drados. Si el jardín mide 12 por 16 pies, determina el 
ancho del pasillo.
 
 14. ¿Qué es una solución extraña? Explica bajo qué condicio-
nes debes comprobar la existencia de soluciones extrañas.
Resuelve cada ecuación y comprueba tus soluciones.
 
 
 
 20. Triángulos Los dos triángulos son semejantes. Determina 
las longitudes de los dos lados desconocidos que tienen la 
variable x.
Prueba de mitad de capítulo: 6.1-6.4
Para determinar la comprensión del tema que se ha abordado hasta el momento, resuelve esta breve prueba. Las respuestas y la sección donde 
se trató el tema por primera vez, se proporcionan al final del libro. Repasa el material de las preguntas que respondas de forma incorrecta.
 1. Determina el dominio de 
 2. Simplifica la expresión racional 
Multiplica o divide como se indica.
 
 
 
 6. Rectángulo El área de un rectángulo es 12a2 + 13ab + 13b2. 
Si el largo es 18a + 6b, determina una expresión para el 
ancho dividiendo el área entre el largo.
 Determina el mínimo común denominador para
 
Suma o resta. Simplifica todas las respuestas.
 
 
 
Simplifica cada fracción compleja.
 
400	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
6.5 Ecuaciones racionales: aplicaciones 
y resolución de problemas
	1 	 Resolver	problemas	
de	trabajo.
	2 	 Resolver	problemas	
numéricos.
	3 	 Resolver	problemas	
de	movimiento.
En esta sección examinaremos algunas aplicaciones más, iniciando con problemas de trabajo.
	1 	Resolver	problemas	de	trabajo
Para resolver problemas de trabajo utilizaremos los hechos resumidos en el diagrama siguiente:
£
parte de la tarea hecha 
por la primera persona 
o máquina
≥ £
parte de la tarea hecha 
por la segunda 
persona o máquina
≥ £
1 
(una tarea completa 
terminada)
≥� �
Para determinar la parte de la tarea realizada por cada persona o máquina, utilizamos la 
fórmula
tasa de trabajo  tiempo trabajado  parte de la tarea completada
Para determinar la tasa de trabajo, considera los ejemplos siguientes.
 • Si Joe puede realizar una tarea en 5 horas, su tasa es 
1
5
 de la tarea por hora.
 • Si Yoko puede realizar una tarea en 4 horas, su tasa es 
1
4
 de la tarea por hora.
 • De igual forma, si Julian puede realizar una tarea en x horas, su tasa es 
1
x
 de la tarea 
por hora.
EJEMPLO 1 Despejando una entrada para autos Después de una nevada, le 
toma a Bud 3 horas despejar la entrada. A Tina le toma 5 horas despejar la misma en-
trada. Si Bud y Tina trabajan juntos, ¿cuánto tiempo les tomará despejar la entrada?
Comprendiendo 
el álgebra
Problemas	donde	dos	o	más	
personas	o	máquinas	trabajan	
juntas	para	completar	una	
cierta	tarea	se	conocen	como	
problemas de trabajo.
Comprendiendo 
el álgebra
En	general,	si	una	persona	(o	
máquina)	puede	terminar	una	
tarea	en	x	unidades	de	tiem-
po,	la	razón	es	
1
x
	de	la	tarea	
por	unidad	de	tiempo.
Trabajador	 Tasa	de	trabajo Tiempo	de	trabajo Parte	de	la	tarea	completada
Bud
1
3
x
x
3
Tina
1
5
x
x
5
Solución    Entiende Necesitamos determinar el número de horas que les toma a 
Bud y Tina despejar la entrada si trabajan juntos. Sea x igual al número de horas que 
necesitan Bud y Tina para despejar la entrada trabajando juntos.
Traduce
Realiza	los	cálculos Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD, 15. 
Luego despejamos x, para obtener el número de horas.
 Multiplica por el MCD, 15.
 Propiedad distributiva.
 
 
 
� 1
x
5
�
x
3
 ¢parte de la entrada despejada 
por Bud en x horas ≤ � ¢parte de la entrada despejada 
por Tina en x horas ≤ � 11entrada completa despejada2
 x �
15
8
 8x � 15
 5x + 3x � 15
51 a ax
3
b � 15
x
5
b � 15
 15 ax
3
�
x
5
b � 15 � 1
	 Sección	6.5	Ecuaciones	racionales:	aplicaciones	y	resolución	de	problemas		 401
Responde Bud y Tina juntos pueden despejar la entrada en 
15
8
 horas, o aproxima-
damente 1.88 horas. Esta respuesta es razonable porque el tiempo es menor al que 
les toma a cada uno de manera individual despejar la entrada.
Resuelve ahora el ejercicio 15
EJEMPLO 2 Llenado de una bañera Jim McEnroy abre la llave del agua y abre 
el desagüe de la bañera al mismo tiempo. La llave puede llenar la bañera en 7.6 
minutos y el drenaje puede vaciar la bañera en 10.3 minutos. Si la llave está abierta y 
el desagüe también, ¿cuánto tiempo tomará el llenado de la bañera?
Solución    Entiende Mientras la llave del agua llena la bañera, el desagüe la va-
cía. Así la llave y el desagüe están trabajando uno en contra del otro. Sea x igual a la 
cantidad de tiempo necesario para llenar la bañera.
		 	
Tasa	de	trabajo
	
Tiempo	de	trabajo
Parte	de	la	bañera	
que	se	llena	o	se	vacía
Llave llenando la bañera 
7.6
1
x 7.6
x
Desagüe vaciando la bañera
1
10.3
x
x
10.3
	
Trabajador
	
Tasa	de	trabajo
	
Tiempo	de	trabajo
Parte	de	las	
plantas	revisadas
Chris
1
36
24
24
36
=
2
3
Mark
1
x
24
24
x
Traduce Como la llave y el desagüe están trabajando uno contra el otro, restamos 
la parte de agua de la bañera que se está vaciando de la parte de agua de la bañera 
que se va llenando.
� 1
x
10.3
�
x
7.6
 ¢ parte de la bañera
llena en �x minutos ≤ ¢ parte de la bañera
vacía en �x minutos ≤ � � 11bañera llena completa2
Realiza	los	cálculos Podemos eliminar fracciones al multiplicar ambos lados de la 
ecuación por el MCD, (7.6)(10.3)  78.28.
 x � 28.99
7.2 x � 78.28
3.01 x � 7.6x � 78.28
  78.28 
10.3 a x
 7.6 
b �  78.28 
7.6 a x
 10.3 
b � 78.28112
 78.28 a x
7.6
�
x
10.3
b � 78.28 112
Responde La bañera se llenará en aproximadamente 29 minutos.
Resuelve ahora el ejercicio 25
EJEMPLO3 Trabajo en un viñedo Chris Burditt y Mark Greenhalgh trabajan 
en un viñedo. Cuando Chris y Mark trabajan juntos, pueden revisar todas las plan-
tas en un terreno determinado en 24 minutos. Cuando Chris revisa las plantas solo, 
necesita 36 minutos. ¿Cuánto tardará Mark en revisar las plantas él solo?
Solución    Entiende Sea x igual a la cantidad de tiempo que necesita Mark para 
revisar las plantas él solo. Sabemos que cuando trabajan juntos pueden hacer ese 
trabajo en 24 minutos. Organizamos esta información en una tabla como sigue.
©
 A
lle
n 
R.
 A
ng
el
402	 Capítulo	6	 	 Expresiones		racionales	y	ecuaciones	
Traduce 
� 1
24
x
�
2
3
¢parte de las plantas
revisadas por Chris≤ ¢parte de las plantas
revisadas por Mark≤ � � 11terreno completo revisado2
Realiza	los	cálculos Multiplica ambos lados por el MCD, 3x.
 
 27 � x
 2x � 72 � 3x
 3x a2
3
�
24
x
b � 3x � 1
Responde Mark puede revisar las plantas, él solo, en 72 minutos.
Resuelve ahora el ejercicio 23
Observa que en el ejemplo 3 usamos 
2
3
 en lugar de 
24
36
 para la parte de las plantas 
revisada por Chris. Utiliza siempre fracciones simplificadas cuando plantees y resuelvas 
ecuaciones.
	2 	Resolver	problemas	numéricos
Veamos ahora un problema numérico, en el que se debe encontrar un número relacionado 
con uno o más números.
EJEMPLO 4 Problema numérico Cuando el recíproco del triple de un número 
se resta de 7, el resultado es el recíproco del doble del número. Determina el número.
Solución    Entiende Sea x igual al número desconocido. Entonces 3x es el triple 
del número, y 1
3x
 es el recíproco del triple del número. El doble del número es 2x, 
1
2x
 es el recíproco del doble del número.
Traduce	 7 �
1
3x
�
1
2x
Realiza	cálculos Multiplica por el MCD, 6x.
 
 
 
 
 x �
5
42
24 x � 5
24 x � 2 � 3
 6x172 � 6xa 1
3x
b � 6xa 1
2x
b
 6x a7 �
1
3x
b � 6x �
1
2x
Responde Una comprobación verificará que el número es 
5
42
.
Resuelve ahora el ejercicio 33
	3 	Resolver	problemas	de	movimiento
El último tipo de problemas que veremos son los problemas de movimiento. Recuerda que 
distancia  velocidad  tiempo. En ocasiones es conveniente despejar el tiempo cuando 
resolvemos problemas de movimiento.
tiempo �
distancia
velocidad
Comprendiendo 
el álgebra
Usualmente	escribimos	la		
fórmula	de	la	distancia	como
distancia		velocidad		tiempo
Sin	embargo,	en	ocasiones	
es	conveniente	despejar	el	
tiempo	de	la	fórmula:
o			 � tiempo
distancia 
velocidad
distancia 
velocidad
 � 
velocidad � tiempo
velocidad
	 Sección	6.5	Ecuaciones	racionales:	aplicaciones	y	resolución	de	problemas		 403
Viento (20 mph)
Oeste Este
Volando 
con el viento 
a favor, 
400 millas
Volando 
con el viento 
en contra, 
300 millas
FIGURA	 6.8	 	 
EJEMPLO 5 Vuelo en aeroplano Sally Sestani está realizando su plan de vuelo 
y ella determina que hay un viento de 20 millas por hora moviéndose de este a oeste 
a la misma altura a la que volará. Si ella viaja hacia el oeste (con el viento a favor), 
puede recorrer 400 millas en el mismo tiempo en el que podría recorrer 300 millas 
volando hacia el este (con el viento en contra) (ver Figura 6.8). Suponiendo que, si 
no hubiese viento, el aeroplano volaría a la misma velocidad viajando hacia el este o 
hacia el oeste, determina la velocidad a la que vuela con el viento en calma.
Solución    Entiende Sea x  a la velocidad del avión con el viento en calma. 
Debemos construir una tabla que nos ayude a responder la pregunta.
Aeroplano	 Distancia	 Velocidad	 Tiempo
Viento en contra 300 x  20
300
x - 20
Viento a favor 400 x  20
400
x + 20
Traduce Como los tiempos son los mismos planteamos y resolvemos la ecuación 
siguiente:
 
300
x - 20
=
400
x + 20
Realiza	los	cálculos Multiplicación cruzada.
 
 000,41 = 100x
0006 = 100x - 8000
003 x + 6000 = 400x - 8000
003 1x + 202 = 4001x - 202
Responde La velocidad del aeroplano con el viento en calma es de 140 millas por 
hora.
Resuelve ahora el ejercicio 41
EJEMPLO 6 Paseo en bicicleta acuática Marty y Betty McKane pasean en bici-
cleta acuática. Cuando viajan en contra de la corriente (alejándose de la costa), pro-
median 2 millas por hora. De regreso (acercándose a la costa), viajan con la corriente 
a favor y promedian 3 millas por hora. Si tardan 
1
4
 de hora más de ida que de vuelta 
a la costa, ¿qué tanto se alejaron de la costa durante su paseo?
Solución    Entiende En este problema, el tiempo de ida y de regreso no son 
iguales. Les tomó 
1
4
 de hora más para alejarse de la costa que para el regreso. Por lo 
tanto, para igualar los tiempos podemos sumar 
1
4
 de hora al tiempo que les tomó el 
regreso (o restar 
1
4
 de hora del tiempo de ida). Sea x igual a la distancia que se alejaron 
de la costa.
Bicicleta	 Distancia	 Velocidad	 Tiempo	
Viaje de ida x 2
x
2
Viaje de regreso x 3
x
3
Traduce tiempo del viaje de regreso  
1
4
  de hora  tiempo del viaje de ida 
 
x
3
+
1
4
=
x
2
©
 A
lle
n 
R.
 A
ng
el