Simplificação de Radicais

Vista previa del material en texto

Sección	7.3	Simplificación	de	radicales	 443
Los ejemplos de cubos perfectos se ilustran a continuación.
Cubos perfectos
Cubo de un número
 
Cubos perfectos
Cubo de una expresión
 
Observa que todos los exponentes de las variables de los cubos perfectos son múltiplos de 3.
Cuando simplifiquemos radicales, estaremos buscando potencias perfectas en el radi-
cando. Por ejemplo, si estamos simplificando una raíz cuadrada, entonces estaremos intere-
sados en encontrar cuadrados perfectos. Si estamos simplificando una raíz cúbica, entonces 
estaremos interesados en encontrar cubos perfectos. Si estamos simplificando una raíz cuarta, 
entonces estaremos interesados en encontrar cuartas potencias perfectas, y así sucesivamente.
Consejo útil
Un método rápido para saber si un radicando xm es una potencia perfecta para un índice, con-
siste en determinar si el exponente m es divisible entre el índice del radical. Por ejemplo, en 
5 x201 . Como el exponente 20 es divisible entre el índice 5, x20 es una quinta potencia perfecta. 
En cambio, en 6 x201 . El exponente, 20 no es divisible entre el índice 6; entonces, x20 no es una 
sexta potencia perfecta. Sin embargo, x18 y x24 sí lo son, ya que 6 divide a 18 y a 24.
Observa que la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto simplifica a una expresión sin signo 
radical; la raíz cúbica de un cubo perfecto simplifica a una expresión sin signo radical, y así 
sucesivamente.
Ejemplos
Ahora estamos listos para discutir la regla del producto para radicales.
	2 	Simplificar	radicales	mediante	la	regla	del	producto	para	
radicales
Para introducir la regla del producto para radicales, observa que 4  9  2  3  61 1 . Tam-
bién 4  9 = 36 = 61 1 1 . Vemos que 4  9  4  91 1 1 . Éste es un ejemplo de la regla del 
producto para radicales.
Comprendiendo 
el álgebra
Una	variable	con	un	exponen-
te	es	un
	 •	 Cuadrado	perfecto	si	el	
exponente	es	divisible	
entre	2.	Por	ejemplo,	x 2,	
x 4,	x 6,…	son	cuadrados	
perfectos.
	 •	 Cubo	perfecto	si	el	expo-
nente	es	divisible	entre	3.	
Por	ejemplo,	x 3,	x 6,	x 9,…	
son	cubos	perfectos.
	 •	 Cuarta	potencia	perfecta	
si	el	exponente	es	divisi-
ble	entre	4.	Por	ejemplo,	
x 4,	x 8,	x 12,…	son	cuartas	
potencias	perfectas.
Este	patrón	continúa	para	las	
potencias	perfectas	superiores.
Regla del producto para radicales
Para números reales no negativos a y b,
1n a # 1n b = 1n ab
Ejemplos de la regla del producto para radicales
120 puede factorizarse en 
cualquiera de estas formas.
13 20 puede factorizarse en 
cualquiera de estas formas.
2x7 puede factorizarse en 
cualquiera de estas formas.
23 x7 puede factorizarse en 
cualquiera de estas formas.
x3, x6, x9, x12, x15, Á
p p p p p 
1x23, 1x223, 1x323, 1x423, 1x523, Á
1, 8, 27, 64, 125, 216, Á
p p p p p p 
13, 23, 33, 43, 53, 63, Á
120 = c
11 # 12012 # 11014 # 15
13 20 = c
13 1 # 13 2013 2 # 13 1013 4 # 13 5
2x7 = c
1x # 2x62x2 # 2x52x3 # 2x4
23 x7 = c
13 x # 23 x623 x2 # 23 x523 x3 # 23 x4
 25 n35 = n35>5 = n7
 23 z12 = z12>3 = z4
 2x6 = x6>2 = x3
 13 27 = 23 33 = 33>3 = 3
 136 = 262 = 62>2 = 6
444	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
A continuación mostramos un procedimiento general que puede usarse para simplificar 
radicales mediante la regla del producto.
Para simplificar radicales mediante la regla del producto
 1. Si el radicando contiene un coeficiente distinto de 1, escríbelo como el producto de dos 
números, uno de los cuales es la máxima potencia perfecta del índice.
 2. Escribe cada factor variable como el producto de dos factores, donde uno de los cuales 
sea la máxima potencia perfecta de la variable del índice.
 3. Utiliza la regla del producto para escribir la expresión radical como un producto de radi-
cales. Coloca todas las potencias perfectas (números y variables) bajo el mismo radical.
 4. Simplifica el radical que contiene las potencias perfectas.
Comprendiendo 
el álgebra
Para	simplificar	 			201 	esto	lo	
escribimos	como	 			4	 				51 1 	por-
que	4	es	el	cuadrado	perfecto	
más	grande	que	divide	a	20:
			20	=					4	 				5	=	2				51 1 1 1
De	manera	similar,	para	sim-
plificar	 3		241 	esto	lo	escribi-
mos	como	 3		8	 		3	31 1 	porque	
8	es	el	cubo	perfecto	más	
grande	que	divide	a	24:
3	24	=			3	8	 		3	3	=	2		3	31 1 1 1
Si simplificamos una raíz cuadrada, debemos escribir el radicando como el producto 
del cuadrado perfecto más grande y otra expresión. Si simplificamos una raíz cúbica, debe-
mos escribir el radicando como el producto del cubo perfecto más grande y otra expresión, 
y así sucesivamente.
EJEMPLO  1 Simplifica. a) 321 b) 601 c) 5431 d) 9641
Solución    En este ejemplo, los radicandos no tienen variables. Seguiremos el paso 
1 del procedimiento.
 a) Como estamos evaluando una raíz cuadrada, buscamos el cuadrado perfecto 
más grande que divida a (o sea un factor de) 32, en este caso, 16.
 b) El cuadrado perfecto más grande que es factor de 60 es 4. 
 c) El cubo perfecto más grande que es factor de 54 es 27.
 d) La cuarta potencia perfecta más grande que es factor de 96 es 16.
Resuelve ahora el ejercicio 19 
Consejo útil
En el ejemplo 1 inciso a), si primero pensaste que 4 era el cuadrado perfecto más grande que 
dividía a 32, podrías proceder como sigue:
Observa que el resultado final es el mismo, pero debes realizar más pasos. Las listas de cua-
drados perfectos y cubos perfectos de las páginas 442-443 pueden ayudarte a determinar el 
cuadrado perfecto o el cubo perfecto más grande que son factores de un radicando.
El ejemplo 1 inciso b), también 151 puede ser factorizado como 5  31 ; sin embargo, 
como ni 5 ni 3 son cuadrados perfectos, 151 no puede simplificarse.
Cuando el radicando es una potencia perfecta del índice, el radical puede simplificar-
se escribiéndolo en forma exponencial, como en el ejemplo 2.
EJEMPLO  2  Simplifica 	 a) 	 	 	 	 b) 	 	 	 	 c) 
Solución   
 a) b) c) 
Resuelve ahora el ejercicio 33 
14 96 = 14 16 # 6 = 14 16 14 6 = 214 6
13 54 = 13 27 # 2 = 13 2713 2 = 313 2
160 = 14 # 15 = 14 115 = 2115
132 = 116 # 2 = 116 12 = 412
25 z40 = z40>5 = z823 x12 = x12>3 = x42x4 = x4>2 = x2
25 z4023 x122x4
 = 214 # 2 = 214 12 = 2 # 212 = 412
 132 = 14 # 8 = 14 18 = 218
	 Sección	7.3	Simplificación	de	radicales	 445
2
 = xy5 x2 2
 y3
 = 2x4y20 2x2
 y3
 = 2x4y20 # x2
 y3
 2x6
 y23 = 2x4 # x2 # y20 # y3
 = x6y81y
 = 2x122y16 1y
 2x12
 y17 = 2x12 # y16 # y = 2x12
 y16 1y
2x6
 y232x12
 y17
¡x42x3 —
4 —
5 23
20
3 —
2y33 = 2y32 # y = 2y32 1y = y32>41y = y8 y1
x23 = 2x20 # x3 = 2x20 2x3 = x20>52x3 = x42x3
2x9 = 2x8 # x = 2x8 # 1x = x8>21x = x41x
2y332x232x9
5 5 5 55
4 4 4 4 44
5
4
4 4
4
4
4
4
5
5 4EJEMPLO  3  Simplifica. a) b) c) 
Solución    Como los radicandos tienen coeficiente 1, iniciamos con el paso 2 del 
procedimiento.
 a) El cuadrado perfecto más grande menor o igual a x9 es x8. 
 b) La quinta potencia perfecta más grande menor o igual a x23 es x20.
 c) La cuarta potencia más grande menor o igual a y33 es y32.
Resuelve ahora el ejercicio 39 
Si observas las respuestas del ejemplo 3, verás que el exponente de la variable del 
radicando siempre es menor que el índice. Cuando un radical se simplifica, el radicando no 
tiene una variable con un exponente mayor o igual al índice.
En el ejemplo 3 inciso b) simplificamos 25 x23 . Si dividimos 23, el exponente en el 
radicando, entre 5, el índice, obtenemos
 
Cociente
 
Residuo
Observa que 25 x23 se simplifica a x425 x3 y
Cociente Residuo
Cuando simplificamos un radical, si dividimos el exponente dentro del radical entre 
el índice, el cociente será el exponente de la variable fuera del signo radical, y el residuo 
será el exponente de la variable dentro del signo radical. Ahora, simplifica el ejemplo 3 c) 
mediante esta técnica.
EJEMPLO  4  Simplifica. a) b) 
Solución   
 a) x12 es un cuadrado perfecto. El cuadrado perfecto más grande que es factor de y17 
es y16.Escribe y17 como y16  y.
 b) Empezamos por encontrar la cuarta potencia perfecta más grande que sea factor 
de x6 y y23. Para un índice de 4, la potencia perfecta más grande que es factor de 
x6 es x4. La potencia perfecta más grande que es factor de y23 es y20.
Resuelve ahora el ejercicio 51  
Comprendiendo 
el álgebra
Con	frecuencia	los	pasos	
cuando	simplificamos	un	
radical	se	hacen	mental-
mente.	Por	ejemplo,	en	
el	ejemplo	4	inciso	a)	no	
mostramos	 			x12	=	x12/2	=	x 61 	y	
			y16	=	y16/2	=	y 81 .
446	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
Con frecuencia los pasos donde cambiamos la expresión radical a forma exponencial 
se realizan de forma mental y, por lo tanto, esos pasos no se ilustran.
Consejo útil
En el ejemplo 4 b), mostramos que . También se puede simplificar este 
radical dividiendo los exponentes de las variables del radicando, 6 y 23, entre el índice, 4. 
Observa la localización de los cocientes y residuos.
6 ÷ 4 da un coeficiente de 1 y un residuo de 2.
23 ÷ 4 da un coeficiente de 5 y un residuo de 3.
EJEMPLO  5  Simplifica. a) b) 
Solución   
 a) El cuadrado perfecto más grande que es factor de 80 es 16. El cuadrado perfecto 
más grande que es un factor de x5 es x4. La expresión y12 es un cuadrado perfecto. 
El cuadrado perfecto más grande que es factor de z3 es z2. Coloca todos los cua-
drados perfectos bajo el mismo radical y luego simplifica. 
 b) El cubo perfecto más grande que es factor de 54 es 27. El cubo perfecto más grande 
que es un factor de x17 es x15. El cubo perfecto más grande que es factor de y25 es y24.
Resuelve ahora el ejercicio 57 
3 	Simplificar	radicales	mediante	la	regla	del	cociente	para	
radicales
A veces en matemáticas es necesario simplificar un cociente de dos radicales; para hacerlo 
se utiliza la regla del cociente para radicales.
Regla del cociente para radicales
Para números reales no negativos a y b,
 
Ejemplos	de	la	regla	del	cociente	para	radicales
222
2
 = 3x5
 y8
 22x2
 y
 = 227x15
 y24 # 22x2
 y
 = 27x15
 y24 # 2x2
 y
 54x17
 y25 = 27 # 2 # x15 # x2 # y24 # y
 = 4x2
 y6
 z15xz
 = 216x4
 y12
 z2 # 15xz
 = 216x4
 y12
 z2 # 5xz
 80x5
 y12
 z3 = 216 # 5 # x4 # x # y12 # z2 # z
254x17
 y25280x5
 y12
 z3 3
3 3
3
3 3
3
b Z 0
1n a1n b
= An a
b
,
11813
= A18
3 A 9
25
=
191252x31x
= Ax3
x Ax4
y2
=
2x42y22y52y2
= A  
y5
y2 A  
z9
27
=
21 z9
273
3 3
3
33
22x6 44 y23 = x1y5 x2y3
	 Sección	7.3	Simplificación	de	radicales	 447
 
2x 3 2
 x 
= 2x2 = x
2x3
x
=
2x2 1x
x
=
x1x
x
= 1x
 
2 2 1
2
1
= 11 = 1
12
2
 x 12
 x 
= 12
 6 
2
 12
 3 
1
= 212
A22
1
11
1 2
 = xy4
 = 2x3
 y12
 
x4
 y7
xy-5
=  
x4
 y7
xy-5
124x
3x
= A  
24x
3x
= 18 = 2
175
3
= A75
3
= 125 = 5
2x433
3 3
 y7
xy-5
24x
3x
17513
3
3
3
3
3
3
3
3
Los ejemplos 6 y 7 ilustran cómo utilizar la regla del cociente para simplificar expre-
siones radicales.
EJEMPLO  6  Simplifica. a) b) c) 
Solución    En cada parte utilizamos la regla del cociente para escribir el cociente 
de radicales como un solo radical. Luego simplificamos.
 a) 
 b) 
 c) Regla del cociente para radicales
 Simplifica el radicando.
Resuelve ahora el ejercicio 93 
Cuando se presentaron los radicales en la sección 7.1, se indicó que A4
9
=
2
3 ya que 
2
3
# 2
3
=
4
9
. La regla del cociente puede ser útil en la evaluación de raíces cuadradas 
que tienen fracciones, como se ilustra en el ejemplo 7 a).
EJEMPLO  7  Simplifica. a) b) c) 
Solución    En cada parte, primero simplificamos el radicando, si esto es posible. Luego 
utilizamos la regla del cociente para escribir el radical dado como cociente de radicales.
 a) 
 b) 
 c) 
Resuelve ahora el ejercicio 97 
Cómo evitar errores comunes
Las siguientes simplificaciones son correctas, ya que los números y variables cancelados no 
están dentro de raíces cuadradas.
	 CORRECTO	 CORRECTO
 	
Cuando una expresión está dentro de una raíz cuadrada, no puede dividirse entre una 
expresión que está fuera de ella.
	 CORRECTO		 	 	 inCORRECTO
 No puede simplificarse más.	
 
2A 2A  
18xy5
3x9
 y
=  
6y4
x8
=
26y4
x8
=
2y4 16
x2
=
y16
x2
A  
8x4
 y
27xy10
= A  
8x3
27y9
=
28x3
27y9
=
2x
3y3
A121
25
=
1121125
=
11
5
3
4 4
4
4
4 4 4
3
3
3
A  
18xy5
3x9
 yA  
8x4
 y
27xy10A121
25
43
448	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
 A4  
3a6
 b5
16a-6
 b13A4  
10x4
 y
81x-8 A3  
54xy4
 z17
18x13
 z4A3  
25x2
 y9
5x8
 y2
A3  
64a5
 b12
27a14
 b5 A3  
5xy
8x13 
2300a10
 b1122ab4
248x6
 y926x2
 y6
272x3
 y528x3
 y7
 
227x623x2
 
264x522x3
12413
A4  
16x16
 y32
81x-4 A3  
a8
 b12
b-8A3  
27x6
y12A3  
c6
64
A49a8
 b10
121c14A 16x4
25y10A9y4
z2Ax2
9
15 215 64A5  
96
3
14 24314 3A4  
3
48
13 3213 4
13 313 81A3  
2
54A3  
3
24
 
115160
 
13148
17212
12713
 A 8
50
 A 81
100A45
5A18
2
26 64x12
 y23
 z50 25 32a10
 b12  -24 32x18
 y31  24 81a8
 b9
 24 48x11
 y2124 32x8
 y9
 z1923 128a10
 b11
 c12 23 81a6
 b8
23 16x3
 y6224x15
 y20
 z27 -220x6
 y7
 z12 25 a6
 b23
  2x5
 y9 23 x3
 y7
 275a7
 b112250y9
 224x3 325 y2327 y15 26 x9
 25 z724 b23 23 a7 823 z32
2b72a5 -2x52x3
 25 y20 23 x6 62y12 23 b9
 -15 243 -15 64 14 162 14 48
 14 80 13 4013 108 13 32
 13 81 13 54 13 24 13 16
1600 1401300 175
 172 150 112 132
 118 1242100249
 
CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.3 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
cociente cuadrado menores 3 cubo mayores 2 producto 4
 1. Un número o expresión es un perfecto si 
es el cuadrado de una expresión.
 2. Un número o expresión es un perfecto si 
puede escribirse como el cubo de una expresión.
 3. Una variable con un exponente es un cubo perfecto si el 
exponente es divisible entre .
 4. Una variable con un exponente es un cuadrado perfecto si 
el exponente es divisible entre .
 5. Una variable con un exponente es una cuarta potencia per-
fecta si el exponente es divisible entre .
 6. Cuando se simplifica un radical, los exponentes de las varia-
bles del radicando son que el índice.
 7. La regla del para radicales establece que 
para números reales no negativos, 2n a # 2n b = 2n ab.
 8. La regla del para radicales establece 
que para números reales no negativos, An a
b
 , b Z 0
2n a2n b
= .
Practica tus habilidades
Simplifica. Supón que todas las variables representan números reales positivos.
 9. 10. 11. 12. 
 13. 14. 15. 16. 
 17. 18. 19. 20. 
 21. 22. 23. 24. 
 25. 26. 27. 28. 
 29. 30. 31. 32. 
 33. 34. 35. 36. 
 37. 38. 39. 40. 
 41. 42. 43. 44. 
 45. 46. 47. 48. 
 49. 50. 51. 52. 
 53. 54. 55. 56. 
 57. 58. 59. 60. 
 61. 62. 63. 64. 
Simplifica. Supón que todas las variables representan números reales positivos.
 65. 66. 67. 68. 
 69. 70. 71. 72. 
 73. 74. 75. 76. 
 77. 78. 79. 80. 
 81. 82. 83. 84. 
 85. 86. 87. 88. 
 89. 90. 91. 92. 
 93. 94. 95. 96. 
 97. 98. 99. 100. 
	 Sección	7.4	Suma,	resta	y	multiplicación	de	radicales	 449
[2.2]	 	 110. Despeja C de la fórmula F =
9
5
 C + 32 .
[2.6]	 	 111. Resuelve para x: ` 2x - 4
5
` = 12.
[5.3]	 	 112. Divide 
15x12 - 5x9 + 20x6
5x6 .
[5.6]	 	 113. Factoriza 1x - 323 + 8.
Ejercicios de repaso acumulados
Ejercicios de conceptos y escritura
 101. a) ¿Cómo se obtienen los números que son cuadrados per-
fectos? 
 b) Escribe los primeros seis cuadrados perfectos. 
 102. a) ¿Cómo se obtienen los números que son cubos perfectos?
 b) Escribe los primeros seis cubos perfectos. 
 103. Cuando proporcionamos la regla del producto, establecimos 
que para números reales no negativos a y b, 1n a # 1n b = 1n ab . 
¿Por qué es necesario especificar que a y b son números rea-
les no negativos?
 104. Cuando proporcionamos la regla del cociente, esta-
blecimos que para números reales no negativosa y b, 1n a1n b
= An a
b
, b Z 0. ¿Por qué es necesario especificar que a y 
b son números reales no negativos?
 105. Prueba que a  b  a b1 1 1 convirtiendo a  b1 a forma expo-
nencial.
 106. El producto de dos radicales ¿siempre será un radical? Pro-
porciona un ejemplo para apoyar tu respuesta. 
 107. El cociente de dos radicales ¿siempre será un radical? Pro-
porciona un ejemplo para apoyar tu respuesta. 
 108. Prueba que An a
b
=
1n a1n b
 convirtiendo An  
a
b
 a forma exponencial.
 109. a) La expresión 
1n x1n x
 ¿siempre será igual a 1? 
 b) Si tu respuesta al inciso a) fue no, ¿en qué condiciones 1n x1n x
 será igual a 1?
	1 	Sumar	y	restar	radicales1 	 Sumar	y	restar	radicales.
	 2 	 Multiplicar	radicales.
7.4 Suma, resta y multiplicación de radicales
La propiedad distributiva se usa para sumar o restar radicales semejantes de la mis-
ma forma en la que se suman o restan términos semejantes.
Ejemplos	de	sumas	y	restas	de	radicales	semejantes
 
 
 
 
Radicales semejantes y no semejantes
• Los radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo radicando y el mismo índice.
• Los radicales no semejantes son los que difieren en el radicando o en el índice.
Ejemplos	de	radicales	semejantes	 	 Ejemplos	de	radicales	no	semejantes
	 Los índices difieren.
	 Los radicandos difieren.
	 Los radicandos difieren.
	 Los índices difieren.
	 Los radicandos difieren.
11
 415x - y15x = 14 - y215x
 24x2 + 524x2 = 11 + 5224x2 = 624x2
 5 x - 71x = 15 - 72 x = -21x
 316 + 216 = 13 + 2216 = 516
3 3 3 3
11
2 xy1 , 2x2
 y2x2
 y5 , - x2
 y5
1x , x12x , -4 2x
1x , 12x1x , 51x
16, 17617, -217
15, 13 515, 315
3 3 3
3344
Comprendiendo 
el álgebra
Sumamos	radicales	semejan-
tes	usando	la	propiedad	distri-
butiva	de	la	misma	forma	que	
cuando	sumamos	términos	
semejantes.
Por	ejemplo,	sumamos	los	
términos	semejantes	3x	y	4x	
como	sigue:
3x + 4x = 13 + 42x = 7x
Sumamos	los	radicales	seme-
jantes	3					21 	y	4					21 	como	sigue:
13 + 4212 = 712
322 + 422 =