Funções Quadráticas e Problemas

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Sección	8.5	 	 graficación	de	funciones	cuadráticas	 547
 96.	 Área	máxima	 	 ¿Cuáles son las dimensiones que debe te­
ner un jardín rectangular para alcanzar su área máxima, si 
el perímetro será de 70 pies?
©
 Im
ag
em
an
/S
hu
tte
rs
to
ck
	97.	 Producto	mínimo	 	 ¿Cuál es el producto mínimo de dos nú­
meros que difieren en 8 unidades? ¿Cuáles son los números?
	98.	 Producto	mínimo	 	 ¿Cuál es el producto mínimo de dos nú­
meros que difieren en 10 unidades? ¿Cuáles son los números?
	99.	 Producto	 máximo	 	 ¿Cuál es el producto máximo de dos 
números cuya suma da como resultado 60? ¿Cuáles son los 
números?
	100.	 Producto	 máximo	 	 ¿Cuál es el producto máximo de dos 
números cuya suma da como resultado 5? ¿Cuáles son los 
números?
La ganancia de una compañía, en dólares, es la diferencia entre sus ingresos y sus gastos. En los ejercicios 101 y 102 se dieron las funciones de 
gastos C(x), y de ingresos R(x) para una compañía particular. La x representa el número de artículos producidos y vendidos a los distribuidores. 
Determina a) la ganancia máxima de la compañía y b) el número de artículos que deben producir y vender para obtener la ganancia máxima.
101.	 C(x) 5 2000 1 40x
 R(x) 5 800x 2 x2
	102.	 C(x) 5 5000 1 12x
 R(x) 5 2000x 2 x2
Ejercicios de conceptos y escritura
	103.	 Considera la gráfica de f (x) 5 ax2. ¿Cuál es la forma gene­
ral de f (x), si a)	a > 0, b) a < 0?
	104.	 Considera la gráfica de f (x) 5 ax2. Explica cómo cambia 
la forma de f (x) conforme |a| aumenta y conforme |a| dis­
minuye.
	105.	 ¿La función f (x) 5 3x2 2 4x 1 2 tiene un valor máximo o 
mínimo? Explica.
	106.	 ¿La función g 1x2 = -  
1
2
x2 + 2x - 7 tiene un valor máxi­
mo o mínimo? Explica.
	107.	 Considera f (x) 5 x2 2 8x 1 12 y g(x) 5 2x2 1 8x 2 12.
	 a) Sin graficar, ¿podrías describir cómo esperas que sean 
las gráficas de ambas funciones y compararlas?
	 b)	 ¿Las gráficas tendrán las mismas intersecciones con el 
eje x? Explica.
	 c) ¿Las gráficas tendrán el mismo vértice? Explica.
	 d)	 Grafica ambas funciones en los mismos ejes.
	108. Si observas el coeficiente principal en una función cuadrá­
tica y determinas las coordenadas del vértice de su gráfica, 
explica: ¿cómo se puede determinar el número de intersec­
ciones con el eje de las x que tiene la parábola?
Problemas de desafío
	109.	 Béisbol En el ejemplo 3 de esta sección usamos la función 
f (t) 5 216t2 1 52t 1 3 para determinar la altura máxima, 
f , alcanzada por una bola de béisbol golpeada por Mark 
DeRosa, que fue de 45.25 pies. La bola alcanzó esta altura 
a los 1.625 segundos después de que fue bateada. 
 Repasa el ejemplo 3 ahora.
	 a) Completando el cuadrado, escribe f(t) en la forma 
f (t) 5 a(t 2 h)2 1 k.
	 b) Mediante la función que obtuviste en el inciso a), deter­
mina la altura máxima que alcanza la bola de béisbol y 
el tiempo que tarda en llegar a ella a partir de que fue 
bateada.
	 c) ¿Las respuestas que obtuviste en el inciso b), son las 
mismas que se obtuvieron en el ejemplo 3? Si no es así, 
explica por qué.
Actividad de grupo
Comenten y respondan en grupo el ejercicio 110.
	110.	 a) Miembro 1 del grupo: escribe dos funciones cuadráticas 
f (x) y g(x) de modo que no se intersecten.
	 b) Miembro 2 del grupo: escribe dos funciones cuadráticas 
f (x) y g(x) de modo que ninguna de ellas tenga intersec­
ciones con el eje x y los vértices de ambas encuentren en 
lados opuestos del eje x.
	 c) Miembro 3 del grupo: escribe dos funciones cuadráticas 
f (x) y g(x) de modo que ambas tengan el mismo vértice, 
pero una función que abra hacia arriba y la otra abra 
hacia abajo.
	 d) Revisen en grupo sus respuestas a los incisos a)-c) y de­
cidan si son correctas. Si hay alguna incorrecta, corríjanla.
548	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
Ejercicios de repaso acumulados
	[2.2] 111.	 Encuentra el área sombreada en azul de la figura.
30 pies
10 pies
	[4.2] 113.	 Resuelve el sistema de ecuaciones.
 x 2 y 5 25
 2x 1 2y 2 z 5 0
 x 1 y 1 z 5 3
 [4.5] 114.	 Evalúa el determinante.
P P1
2
3
2 -4
	[6.1] 115.	 Divide 1x - 32 ,
x2 + 3x - 18
x
.
	[3.7] 112.	 Grafica y …
2
3
 x + 3.
8.6 Desigualdades cuadráticas y de otros tipos 
con una variable 
	1 	 Resolver	desigualdades	
cuadráticas.
	2 	 Resolver	otras	desigualda-
des	polinomiales.
	3 	 Resolver	desigualdades	
racionales.
En la sección 2.5 se analizaron las desigualdades lineales con una variable. Ahora estudia­
remos las desigualdades cuadráticas con una variable.
Ejemplos de desigualdades cuadráticas
x2 + x - 12 7 0, 2x2 - 9x - 5 … 0
Por ejemplo, si sustituimos x por 5 en x2 1 x 2 12  0.
Verdadero18 7 0
52 + 5 - 12 7
?
0
x2 + x - 12 7 0
La desigualdad es verdadera cuando x es 5, por lo que 5 es una solución de (o satisface) la 
desigualdad. Sin embargo, 5 no es la única solución, existen otros valores que son solucio­
nes de la desigualdad.
*	Una desigualdad de la forma ax2 1 bx 1 c  0 también se considera una desigualdad cuadrática, pero no 
se estudiará en este libro.
Una desigualdad	cuadrática* es una desigualdad que se puede escribir en alguna de las 
siguientes formas
ax2 1 bx 1 c  0 ax2 1 bx 1 c  0
ax2 1 bx 1 c  0 ax2 1 bx 1 c  0
donde a, b y c son números reales, con a  0. 
Desigualdad cuadrática 
La solución	de	una desigualdad	cuadrática es el conjunto de todos los valores que hacen a 
la desigualdad una proposición verdadera.
Solución de una desigualdad cuadrática
	 Sección	8.6	 	 Desigualdades	cuadráticas	y	de	otros	tipos	con	una	variable	 549
�10
�14
�8
�6
�4
�2
10
8
6
4
2
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1
y
x
�10
�14
�8
�6
�4
�2
10
8
6
4
21�3 �2 �1
y
x
(a) (b)
f (x) � 0 para
�4 � x � 3
f (x) � 0 para
x � �4
f (x) � 0 para
x � 3
FIguRA	 8.21
	1 	Resolver	desigualdades	cuadráticas
Comenzaremos nuestro estudio de las desigualdades cuadráticas por medio del estudio de 
las gráficas de las funciones cuadráticas. Por ejemplo, considera una vez más la desigualdad 
x2 1 x 2 12  0. En la Figura	8.21a se muestra la gráfica de la función f (x) 5 x2 1 x 2 12.
Observa que cuando x < 24 o x  3, tenemos que f(x)  0 (resaltado en azul claro en la 
Figura	8.21b). Por lo tanto, cuando x  24 o x  3, x2 1 x 2 12  0.
Además observa que cuando 24  x  3, f (x) < 0 (mostrada en azul oscuro en la Figura	
8.21b). Por lo tanto, cuando 24  x  3, x2 1 x 2 12  0.
Aunque el método que acabamos de describir para resolver desigualdades cuadráticas 
funcionará para cualquier desigualdad cuadrática, para muchas desigualdades podrá ser in­
conveniente o tomará mucho tiempo graficar la función. En el siguiente ejemplo, describire­
mos un procedimiento más eficiente para resolver desigualdades cuadráticas. 
EJEMPLO  1   Resuelve la desigualdad x2 1 x 2 12 > 0. Da la solución a) en una rec­
ta numérica, b) en notación de intervalos, y c) en notación constructiva de conjuntos.
Solución    Primero, haz la desigualdad igual a 0 y resuelve la ecuación.
 x = -4 x = 3
 x + 4 = 0 o x - 3 = 0
 1x + 42 1 x - 32 = 0
 x2 + x - 12 = 0
Los valores x 5 24 y x 5 3 se denominan valores	frontera, ya que se encuentran 
en la frontera de los intervalos del conjunto de números que forman parte de la solución 
a la desigualdad. Los valores frontera se utilizan para dividir una recta numérica en inter­
valos. Siempre que la desigualdad original tenga los símbolos  o , indicaremos los va­
lores frontera en la recta numérica como círculos abiertos, ~. Esto indica que los valores 
frontera no son parte de la solución. Sin embargo, si en la desigualdad original tenemos 
los símbolos  o , los valores frontera se indicarán en la recta numérica como círculos 
cerrados, . Lo anterior significa que los valores frontera forman parte de la solución.
3�4
A B C
(��, �4) (�4, 3) (3, �)
Valores frontera indicados
con círculos abiertos.FIguRA	 8.22	 	
En la Figura	8.22, se identifican los intervalos A, B y C. A continuación seleccio­
namos un valor de prueba en cada uno de los intervalos. Luego sustituimoscada uno 
de estos números, uno a la vez, en la desigualdad x2 1 x 2 12  0. Si el valor de la 
Comprendiendo 
el álgebra
Mientras	resuelves	desigual-
dades	cuadráticas	en	la	recta	
numérica,	utiliza	la	siguiente	
notación	para	marcar	tus	valo-
res	frontera:
	 •	 Si	el	símbolo	de	desigual-
dad	es		o	,	utiliza	un	
círculo	abierto,	~.
	 •	 Si	el	símbolo	de	desigual-
dad	es		o	,	utiliza	un	
círculo	cerrado,	 .
550	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
Como los valores de prueba en los intervalos A y C satisfacen la desigualdad, la 
solución es todos los números reales en los intervalos A o C. Ya que el símbolo de 
desigualdad es , los valores 24 y 3 no se incluyen en la solución, ya que hacen que 
la desigualdad sea igual a 0.
Las respuestas a los incisos a), b) y c) son las siguientes.
	 a)	 La solución se ilustra en la recta numérica de la Figura	8.24.
	 b)	 La solución en notación de intervalos es (2q, 24) ∪ (3, q).
	 c)	 La solución en notación constructiva de conjuntos es {x |x 	24 o x 	3}.
Observa que la solución, en cualquier forma, es consistente con la porción azul claro 
de la gráfica en la Figura 8.21b.
Resuelve ahora el ejercicio 15
3�4
Solución
FIguRA	 8.24	 	
3�4
A B C
�5 0 4
x � �5, x � 0, x � 4
son los valores de prueba
FIguRA	 8.23	 	
EJEMPLO  2    Resuelve la desigualdad x2 2 4x  24. Da la solución a) en una rec­
ta numérica, b) en notación de intervalos y c) en notación constructiva de conjuntos.
Solución    Escribe la desigualdad como ecuación y resuélvela.
 x = 2 x = 2
 x - 2 = 0 o x - 2 = 0
 1x - 22 1 x - 22 = 0
 x2 - 4x + 4 = 0
 x2 - 4x = -4
Como ambos factores son iguales, existe un solo valor frontera, 2, como se indica en 
la Figura	8.25 con un círculo cerrado. Ambos valores de prueba, 1 y 3, hacen que la 
desigualdad sea verdadera.
2
A B
31
FIguRA	 8.25	 	
prueba satisface la desigualdad, significa que todos los demás valores de ese inter­
valo también lo harán. Si el valor de la prueba no satisface la desigualdad, ningún 
número del intervalo lo hará.
En este ejemplo usaremos los valores de prueba 25 en el intervalo A, 0 en el 
intervalo B y 4 en el intervalo C (ver Figura	8.23).
Intervalo A Intervalo B Intervalo C
 1 - q , -42 1 -4, 32 1 3, q 2
Valor de prueba, -5 Valor de prueba, 0 Valor de prueba, 4
¿Es x2 + x - 12 7 0? ¿Es x2 + x - 12 7 0? ¿Es x2 + x - 12 7 0?
1-52 2 - 5 - 12
?
7 0 0 2 + 0 - 12
?
7 0 42 + 4 - 12
?
7 0
8 7 0 -12 7 0 8 7 0
FalsoVerdadero Verdadero
	 1. Escribe la desigualdad como una ecuación y resuélvela. Las soluciones son los valores 
frontera.
	 2. Construye una recta numérica y marca cada valor frontera del paso 1 como sigue:
	 •	 Si el símbolo de desigualdad es  o, utiliza un círculo abierto ~.
	 •	 Si el símbolo de desigualdad es  o , utiliza un círculo cerrado .
	 3.	 Si resuelves una desigualdad racional, determina los valores que hacen que el deno­
minador sea igual a 0. Estos valores también son valores frontera. Indica estos valores 
frontera en tu recta numérica con un círculo abierto ~.
	 4.	 Selecciona un valor de prueba en cada intervalo y determina si satisface la desigualdad.
	 5. La solución es el conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad.
	 6. Escribe la solución en la forma solicitada.
Para resolver desigualdades cuadráticas y de otros tipos
	 Sección	8.6	 	 Desigualdades	cuadráticas	y	de	otros	tipos	con	una	variable	 551
El conjunto solución incluye ambos intervalos y el valor frontera, 2. Por lo tanto, el 
conjunto solución es el conjunto de los números reales, . Las respuestas a los incisos 
a), b) y c) son:
 a) 
2
 b) (2q, q) c) {x |2q 	x 	q}.
Resuelve ahora el ejercicio 11
Podemos comprobar la solución del ejemplo 2 mediante una gráfica. Sea f(x) 5 x2 2 4x 
y g(x) 5 24. Para que x2 2 4x  24 sea verdadero, queremos que f (x)  g(x). Las 
gráficas de f (x) y g(x) se ilustran en la Figura 8.26.
Observa que f (x) 5 g(x) en x 5 2 y f (x)  g(x) para todos los demás valores 
de x. Por lo tanto, f (x)  g(x) para todos los valores de x, y el conjunto solución es el 
conjunto de los números reales.
En el ejemplo 2 reescribimos la desigualdad x2 2 4x  24 como x2 2 4x 1 4  0 
y luego como (x 22)2  0, podemos ver que la solución debe ser el conjunto de los nú­
meros reales, ya que (x 2 2)2 debe ser mayor o igual a 0 para cualquier número real x.
f (x) � x2 � 4x
g(x) � �4
�5
�6
�3
�2
�1
5
6
4
3
2
1
54321�4 �3 �2 �1 x
y
FIguRA	 8.26	 	
EJEMPLO  3  Resuelve la desigualdad x2 2 2x 2 4  0. Expresa la solución en 
notación de intervalos.
Solución    Primero necesitamos resolver la ecuación x2 2 2x 2 4 5 0. Debido a 
que esta ecuación no se puede factorizar, utilizamos la fórmula cuadrática para re­
solverla, sea a 5 1, b 5 22 y c 5 24.
=
- 1-22 � " 1-22 2 - 41 12 1 -42
21 12 =
2 � !20
2
=
2 � 2!5
2
= 1 � !5
x =
-b � "b2 - 4ac
2a
Los valores frontera son 1 2 !5 y 1 1 !5. El valor de 1 2 !5 es aproximadamente 
21.24 y el valor de 1 1 !5 es alrededor de 3.24. Indicamos los valores frontera en 
la recta numérica con círculos cerrados y seleccionamos como los valores de prueba 
22, 0 y 4 (ver Figura	8.27).
1 � �5 1 � �5
�2 0 4
A B C
FIguRA	 8.27	 	
1 - q , 24 3 2, q 2
Valor de prueba, 1 Valor de prueba, 3
x2 - 4x Ú -4 x2 - 4x Ú -4
12 - 4 11 2 ?
Ú -4 32 - 4 13 2 ?
Ú -4
1 - 4
?
Ú -4 9 - 12
?
Ú -4
Verdadero-3 Ú -4 Verdadero-3 Ú -4
Intervalo A Intervalo B
Intervalo A Intervalo B Intervalo C
1 - q , 1 - !54 3 1 - !5, 1 + !54 3 1 + !5, q 2
x2 - 2x - 4 … 0 x2 - 2x - 4 … 0 x2 - 2x - 4 … 0
1-22 2 - 2 1 -2 2 - 4
?
… 0 02 - 2 10 2 - 4
?
… 0 42 - 2 14 2 - 4
?
… 0
4 + 4 - 4
?
… 0 0 - 0 - 4
?
… 0 16 - 8 - 4
?
… 0
4 … 0 -4 … 0 4 … 0
Verdadero Verdadero Falso
Valor de prueba, -2 Valor de prueba, 0 Valor de prueba, 4